77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

7.1 Einföldun og sannprófun hornafallasamsemda

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

sannprófað grundvallarsamsemdir hornafallanna.
einfaldað hornafallastæður með algebru og samsemdum.

Lettnesk vegabréf og ferðaskilríki á borði. — **Mynd 1.** Vegabréf og ferðaskilríki

Í njósnamyndum sjáum við alþjóðlega njósnara með mörg vegabréf sem hvert um sig gefur upp önnur persónueinkenni. Við vitum þó að öll vegabréfin tilheyra sömu manneskjunni. Hornafallasamsemdir virka svipað og mörg vegabréf: sömu hornafallastæðuna má rita á marga vegu. Rétt eins og njósnari velur ítalskt vegabréf þegar hann ferðast til Ítalíu veljum við þá samsemd sem á við þegar við leysum tiltekna hornafallajöfnu.

Í þessum hluta skoðum við grundvallarsamsemdir hornafallanna, hvernig má sannprófa þær og nota til að einfalda hornafallastæður.

Sannprófun grundvallarsamsemda hornafallanna

Samsemdir gera okkur kleift að einfalda flóknar stæður. Þær eru grunnverkfæri hornafræðinnar við lausn hornafallajafna, rétt eins og þáttun, samnefnari og sérformúlur eru grunnverkfæri við lausn algebrujafna. Við notum raunar stöðugt algebruaðferðir til að einfalda hornafallastæður. Grundvallareiginleikar og formúlur algebrunnar, svo sem reglan um mismun ferninga og reglan um ferning tvíliðu, einfalda vinnu með hornafallastæður og -jöfnur. Við vitum nú þegar að öll hornaföllin tengjast, enda eru þau öll skilgreind út frá einingarhringnum. Því má rita sérhverja hornafallasamsemd á marga vegu.

Við sannprófun hornafallasamsemda byrjum við yfirleitt á flóknari hlið jöfnunnar og umritum stæðuna þar til hún hefur tekið sömu mynd og stæðan hinum megin við jafnaðarmerkið. Stundum þarf að þátta stæður, margfalda upp úr svigum, finna samnefnara eða nota aðrar algebruaðferðir til að fá æskilega niðurstöðu. Í þessum fyrsta hluta vinnum við með grundvallarsamsemdirnar: Pýþagórasarsamsemdir, samsemdir jafnstæðra og oddstæðra falla, samsemdir um margföldunarandhverfur og kvótasamsemdir. Samsemd gildir fyrir öll gildi þar sem báðar hliðar hennar eru skilgreindar. Við deilingu, styttingu og einföldun þarf því að halda öllum skilyrðum um að nefnarar séu ekki núll; einfaldari stæða getur verið skilgreind víðar en upprunalega stæðan.

Við byrjum á Pýþagórasarsamsemdunum (sjá töflu 1), sem eru jöfnur með hornaföllum og byggjast á eiginleikum rétthyrnds þríhyrnings. Við höfum þegar séð og notað þá fyrstu en nú notum við einnig fleiri samsemdir.

			Pýþagórasarsamsemdir
	$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$		$1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$		$1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$

Fá má aðra og þriðju samsemdina með því að umrita þá fyrstu. Samsemdin $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$ fæst með því að umrita vinstri hliðina með sínus og kósínus.

Sannið: $1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ$

\begin{array}{l} 1 + \cot^{2} θ = (1 + \frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ}) & Umritum vinstri hliðina . \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\sin^{2} θ}) + (\frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ}) & Ritum báða liði með sama nefnara . \\ = \frac{\sin^{2} θ + \cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = \frac{1}{\sin^{2} θ} \\ = \csc^{2} θ \end{array}

Á sama hátt má fá $1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ$ með því að umrita vinstri hliðina með sínus og kósínus. Þá fæst

\begin{array}{l} 1 + \tan^{2} θ = 1 + {(\frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} & Umritum vinstri hliðina . \\ = {(\frac{\cos θ}{\cos θ})}^{2} + {(\frac{\sin θ}{\cos θ})}^{2} & Ritum báða liði með sama nefnara . \\ = \frac{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{1}{\cos^{2} θ} \\ = \sec^{2} θ \end{array}

Næsti flokkur grundvallarsamsemda er samsemdir jafnstæðra og oddstæðra falla. Þær tengja gildi hornafalls við horn og gagnstætt horn og sýna hvort fallið er jafnstætt eða oddstætt. Sjá töflu 2.

			Samsemdir jafnstæðra og oddstæðra falla
	$\begin{array}{l} \tan (- θ) = - \tan θ \\ \cot (- θ) = - \cot θ \end{array}$		$\begin{array}{l} \sin (- θ) = - \sin θ \\ \csc (- θ) = - \csc θ \end{array}$		$\begin{array}{l} \cos (- θ) = \cos θ \\ \sec (- θ) = \sec θ \end{array}$

Munið að oddstætt fall uppfyllir $f (- x) = - f (x)$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f$ . Skilgreiningarmengið þarf jafnframt að vera samhverft um núll. Sínusfallið er oddstætt því að $\sin (- θ) = - \sin θ$ . Graf oddstæðs falls er samhverft um upphafspunktinn. Skoðum til dæmis inntökin $\frac{π}{2}$ og $- \frac{π}{2}$ . Fallgildið $\sin (\frac{π}{2})$ er gagnstæð tala við fallgildið $\sin (- \frac{π}{2})$ . Því er

\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{2}) = 1 \\ og \\ \sin (- \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2}) \\ = - 1 \end{array}

Þetta er sýnt á mynd 2.

Graf sínusfallsins á bilinu frá −2π til 2π er samhverft um upphafspunktinn. Merktir punktar eru (π/2; 1) og (−π/2; −1). — **Mynd 2.** Graf $y = \sin θ$

Munið að jafnstætt fall hefur skilgreiningarmengi sem er samhverft um núll og uppfyllir eftirfarandi:

\begin{matrix} f (- x) = f (x) fyrir öll x í skilgreiningarmengi f \end{matrix}

Graf jafnstæðs falls er samhverft um y-ásinn. Samsemdin $\cos (- θ) = \cos θ$ sýnir að kósínusfallið sé jafnstætt. Skoðum til dæmis inntökin $\frac{π}{4}$ og $- \frac{π}{4}$ og berum saman fallgildin. Fallgildin $\cos (\frac{π}{4})$ og $\cos (- \frac{π}{4})$ eru jöfn. Því er

\begin{array}{l} \cos (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4}) \\ \approx 0,707 \end{array}

Sjá mynd 3.

Graf kósínusfallsins á bilinu frá −2π til 2π er samhverft um y-ásinn. Merktir punktar eru (−π/4; 0,707) og (π/4; 0,707), með námunduðum fallgildum. — **Mynd 3.** Graf $y = \cos θ$

Fyrir öll horn $θ$ getum við sett fram eftirfarandi um sínus og kósínus:

Samsemdin $\sin (- θ) = - \sin θ$ sýnir að sínus sé oddstætt fall.
Samsemdin $\cos (- θ) = \cos θ$ sýnir að kósínus sé jafnstætt fall.

Hinar samsemdir jafnstæðra og oddstæðra falla leiða af jafnstæði og oddstæði sínus- og kósínusfallsins. Skoðum til dæmis tangenssamsemdina $\tan (- θ) = −tan θ$ . Með því að rita tangens sem hlutfall sínuss og kósínuss fæst $\tan (- θ) = \frac{\sin (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- \sin θ}{\cos θ} = - \tan θ$ . Tangens er því oddstætt fall og uppfyllir $\tan (- θ) = - \tan (θ)$ fyrir öll $θ$ í skilgreiningarmengi sínu.

Samsemdin $\cot (- θ) = - \cot θ$ leiðir einnig af sínus- og kósínussamsemdunum. Með því að rita kótangens sem hlutfall kósínuss og sínuss fæst $\cot (- θ) = \frac{\cos (- θ)}{\sin (- θ)} = \frac{\cos θ}{- \sin θ} = - \cot θ$ . Kótangens er því oddstætt fall og uppfyllir $\cot (- θ) = - \cot (θ)$ fyrir öll $θ$ í skilgreiningarmengi sínu.

Gildi kósekans er margföldunarandhverfa gildis sínuss þar sem sínus er ekki núll. Því fæst $\csc (- θ) = \frac{1}{\sin (- θ)} = \frac{1}{- \sin θ} = - \csc θ$ . Kósekansfallið er því oddstætt.

Gildi sekans er margföldunarandhverfa gildis kósínuss þar sem kósínus er ekki núll. Því fæst $\sec (- θ) = \frac{1}{\cos (- θ)} = \frac{1}{\cos θ} = \sec θ$ . Sekansfallið er því jafnstætt.

Af sex grunnhornaföllunum eru kósínus og sekans jafnstæð. Hin fjögur eru oddstæð, eins og samsemdirnar sýna.

Samsemdir um margföldunarandhverfur tengja saman hornaföll þar sem gildi annars er margföldunarandhverfa gildis hins. Þær gilda þar sem báðar hliðar eru skilgreindar. Sjá töflu 3.

		Samsemdir um margföldunarandhverfur
	$\sin θ = \frac{1}{\csc θ}$		$\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$
	$\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$		$\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$
	$\tan θ = \frac{1}{\cot θ}$		$\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$

Síðasti flokkurinn er kvótasamsemdir. Þær lýsa tengslum tiltekinna hornafalla og geta nýst vel við sannprófun annarra samsemda. Sjá töflu 4.

		Kvótasamsemdir
	$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$		$\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$

Samsemdirnar um margföldunarandhverfur og kvótasamsemdirnar eru leiddar af skilgreiningum grunnhornafallanna.

Dæmi 1

Teikning grafa stæðna í samsemd

Teiknið graf beggja hliða samsemdarinnar $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ . Teiknið með öðrum orðum á grafreikni gröfin $y = \cot θ$ og $y = \frac{1}{\tan θ}$ . Berið gröfin saman þar sem báðar stæðurnar eru skilgreindar.

Lausn

Sjá mynd 4.

Greining

Gröfin liggja hvort yfir öðru þar sem báðar stæðurnar eru skilgreindar. Skilgreiningarmengin eru þó ekki þau sömu: kótangens er skilgreindur þar sem sínus er ekki núll, en til að reikna margföldunarandhverfu tangens þarf bæði sínus og kósínus að vera frábrugðin núlli. Því vantar punkta á seinna grafið við oddatölumargfeldi af π/2, þótt það sjáist ekki á myndinni. Samsvörun grafa getur stutt niðurstöðu en er ekki sönnun á samsemd; til þess þarf gildar algebruumritanir á sameiginlegu skilgreiningarmengi.

Dæmi 2

Sannprófun hornafallasamsemdar

Sannprófið $\tan θ \cos θ = \sin θ$ .

Lausn

Við byrjum á vinstri hliðinni þar sem hún er flóknari:

\begin{array}{l} \tan θ \cos θ = (\frac{\sin θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = (\frac{\sin θ}{\cos θ}) \cos θ \\ = \sin θ \end{array}

Greining

Þessa samsemd var tiltölulega einfalt að sannprófa þar sem aðeins þurfti að rita $\tan θ$ með $\sin θ$ og $\cos θ$ .

Dæmi 3

Sannprófun jafngildis með samsemdum jafnstæðra og oddstæðra falla

Sannprófið eftirfarandi jafngildi með samsemdum jafnstæðra og oddstæðra falla:

(1 + \sin x) [1 + \sin (- x)] = \cos^{2} x

Lausn

Með því að vinna með vinstri hlið jöfnunnar fæst

\begin{array}{l} (1 + \sin x) [1 + \sin (- x)] = (1 + \sin x) (1 - \sin x) & Þar sem sin(− x)= - \sin x \\ = 1 - \sin^{2} x & Mismunur ferninga \\ = \cos^{2} x & {cos}^{2} x = 1 - \sin^{2} x \end{array}

Dæmi 4

Sannprófun samsemdar með sekans í öðru veldi

Sannprófið samsemdina $\frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \sin^{2} θ$

Lausn

Þar sem vinstri hliðin er flóknari byrjum við á henni.

\begin{array}{l} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \frac{(\tan^{2} θ + 1) - 1}{\sec^{2} θ} & {sec}^{2} θ = \tan^{2} θ + 1 \\ = \frac{\tan^{2} θ}{\sec^{2} θ} \\ = \tan^{2} θ (\frac{1}{\sec^{2} θ}) \\ = \tan^{2} θ (\cos^{2} θ) & \cos^{2} θ = \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) & \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} & {tan}^{2} θ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\cos^{2} θ) \\ = \sin^{2} θ \end{array}

Sannprófa má samsemd á fleiri en einn veg. Hér er önnur leið. Við getum aftur byrjað á vinstri hliðinni.

\begin{array}{l} \frac{\sec^{2} θ - 1}{\sec^{2} θ} = \frac{\sec^{2} θ}{\sec^{2} θ} - \frac{1}{\sec^{2} θ} \\ = 1 - \cos^{2} θ \\ = \sin^{2} θ \end{array}

Greining

Í fyrri aðferðinni notuðum við samsemdina $\sec^{2} θ = \tan^{2} θ + 1$ og héldum áfram að einfalda. Í seinni aðferðinni skiptum við brotinu í tvö brot með sama nefnara, eitt fyrir hvorn lið teljarans. Dæmið sýnir að sannprófa má samsemd á marga vegu. Hugkvæmni getur stundum einfaldað aðferðina. Svo lengi sem umbreytingarnar eru gildar á sameiginlega skilgreiningarmenginu verður niðurstaðan sú sama.

Dæmi 5

Myndun og sannprófun samsemdar

Myndið samsemd fyrir stæðuna $2 \tan θ \sec θ$ með því að umrita hana eingöngu með sínus.

Lausn

Byrja má á marga vegu en hér notum við kvótasamsemdir og samsemdir um margföldunarandhverfur til að umrita stæðuna:

\begin{array}{l} 2 \tan θ \sec θ = 2 (\frac{\sin θ}{\cos θ}) (\frac{1}{\cos θ}) \\ = \frac{2 \sin θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{2 \sin θ}{1 - \sin^{2} θ} & Setjum 1 - \sin^{2} θ í stað \cos^{2} θ \end{array}

Því er

2 \tan θ \sec θ = \frac{2 \sin θ}{1 - \sin^{2} θ}

Dæmi 6

Sannprófun samsemdar með algebru og samsemdum jafnstæðra og oddstæðra falla

Sannprófið samsemdina:

\frac{\sin^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} = \cos θ - \sin θ

Lausn

Byrjum á vinstri hliðinni og einföldum:

\begin{array}{l} \frac{\sin^{2} (- θ) - \cos^{2} (- θ)}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} = \frac{{[\sin (- θ)]}^{2} - {[\cos (- θ)]}^{2}}{\sin (- θ) - \cos (- θ)} \\ = \frac{{(- \sin θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- \sin θ - \cos θ} & \sin (- x) = - \sin x og \cos (- x) = \cos x \\ = \frac{{(\sin θ)}^{2} - {(\cos θ)}^{2}}{- \sin θ - \cos θ} & Mismunur ferninga \\ = \frac{(\sin θ - \cos θ) (\sin θ + \cos θ)}{- (\sin θ + \cos θ)} \\ = \frac{(\sin θ - \cos θ) (\sin θ + \cos θ)}{- (\sin θ + \cos θ)} \\ = \cos θ - \sin θ \end{array}

Dæmi 7

Sannprófun samsemdar með kósínus og kótangens

Sannprófið samsemdina $(1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = 1.$

Lausn

Við vinnum með vinstri hlið jöfnunnar.

\begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) (1 + \cot^{2} x) = (1 - \cos^{2} x) (1 + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}) \\ = (1 - \cos^{2} x) (\frac{\sin^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}) & Finnum samnefnara . \\ = (1 - \cos^{2} x) (\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x}) \\ = (\sin^{2} x) (\frac{1}{\sin^{2} x}) \\ = 1 \end{array}

Notkun algebru til að einfalda hornafallastæður

Við höfum séð að algebra er mjög mikilvæg við sannprófun hornafallasamsemda en hún er ekki síður mikilvæg við einföldun hornafallastæðna áður en jöfnur eru leystar. Þekking á grundvallareiginleikum og formúlum algebrunnar, svo sem reglunni um mismun ferninga, reglunni um ferning tvíliðu og innsetningu, einfaldar vinnu með hornafallastæður og -jöfnur.

Jafnan $(\sin x + 1) (\sin x - 1) = 0$ líkist til dæmis jöfnunni $(x + 1) (x - 1) = 0$ sem notar þáttað form mismunar ferninga. Með algebru má leysa jöfnuna á kunnuglegan hátt: setjum hvorn þátt jafnan núlli og leysum hvora jöfnu fyrir sig. Þetta er dæmi um að bera kennsl á algebrumynstur í hornafallastæðum eða -jöfnum.

Annað dæmi er reglan um mismun ferninga, $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ sem er mikið notuð í verkfræði, byggingarlist og eðlisfræði. Við getum einnig myndað eigin samsemdir með því að margfalda upp úr svigum og gera viðeigandi innsetningar. Algebrueiginleikar og -formúlur gera margar hornafallajöfnur auðskiljanlegri og auðveldari úrlausnar.

Dæmi 8

Hornafallastæða rituð sem algebrustæða

Ritið eftirfarandi hornafallastæðu sem algebrustæðu: $2 \cos^{2} θ + \cos θ - 1.$

Lausn

Stæðan er af sama formi og almenn annars stigs stæða, $a x^{2} + b x + c$ . Setjum $\cos θ = x$ og umritum stæðuna á eftirfarandi hátt:

2 x^{2} + x - 1

Þátta má stæðuna sem $(2 x - 1) (x + 1)$ . Ef hún væri sett jöfn núlli myndum við nota núllþáttaregluna: setja hvorn þátt jafnan núlli og leysa jöfnurnar fyrir $x$ . Síðan kæmi $\cos θ$ aftur í stað breytunnar $x$ og við myndum leysa fyrir hornið $θ$ .

Dæmi 9

Umritun hornafallastæðu með mismun ferninga

Umritið hornafallastæðuna: $4 \cos^{2} θ - 1.$

Lausn

Fyrri liðurinn er ferningur tvöfalds kósínusgildis og síðari liðurinn er ferningur tölunnar 1. Stæðan er því mismunur ferninga. Þá fæst

\begin{array}{l} 4 \cos^{2} θ - 1 = {(2 \cos θ)}^{2} - 1 \\ = (2 \cos θ - 1) (2 \cos θ + 1) \end{array}

Greining

Ef stæðan væri sett jöfn núlli gætum við sett hvorn þátt jafnan núlli og leyst með núllþáttareglunni. Einnig mætti setja $\cos θ = x$ eins og í fyrra dæminu, umrita stæðuna sem $4 x^{2} - 1$ og þátta hana sem $(2 x - 1) (2 x + 1)$ . Síðan kæmi $\cos θ$ aftur í stað breytunnar $x$ og við leystum fyrir hornið.

Dæmi 10

Einföldun með umritun og innsetningu

Einfaldið stæðuna með umritun og samsemdum:

\csc^{2} θ - \cot^{2} θ

Lausn

Við getum byrjað á Pýþagórasarsamsemdinni.

1 + \cot^{2} θ = \csc^{2} θ

Nú getum við einfaldað með því að setja $1 + \cot^{2} θ$ í stað $\csc^{2} θ$ . Þá fæst

\begin{array}{l} \csc^{2} θ - \cot^{2} θ = 1 + \cot^{2} θ - \cot^{2} θ \\ = 1 \end{array}

7.1 Verkefni hlutans

Orðleg verkefni

Við vitum að $g (x) = \cos x$ er jafnstætt fall en $f (x) = \sin x$ og $h (x) = \tan x$ eru oddstæð föll. Hvað með $G (x) = \cos^{2} x, F (x) = \sin^{2} x$ og $H (x) = \tan^{2} x$ ? Eru þau jafnstæð, oddstæð eða hvorugt? Hvers vegna?

Skoðið graf $f (x) = \sec x$ á bilinu $[- π, π]$ . Hvernig má sjá hvort fallið er jafnstætt eða oddstætt með því einu að skoða graf $f (x) = \sec x$ ?

Skoðið samsemdina um margföldunarandhverfu fyrir $\sec t$ og útskýrið hvers vegna fallið er óskilgreint í tilteknum punktum.

Allar Pýþagórasarsamsemdirnar tengjast. Lýsið hvernig umrita má jöfnuna $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ til að fá hinar myndirnar.

Algebruverkefni

Notið grundvallarsamsemdirnar til að einfalda stæðuna í hverju verkefni eins og hægt er.

$\sin x \cos x \sec x$

$\sin (- x) \cos (- x) \csc (- x)$

$\tan x \sin x + \sec x \cos^{2} x$

$\csc x + \cos x \cot (- x)$

$\frac{\cot t + \tan t}{\sec (- t)}$

10.

$3 \sin^{3} t \csc t + \cos^{2} t + 2 \cos (- t) \cos t$

11.

$- \tan (- x) \cot (- x)$

12.

$\frac{- \sin (- x) \cos x \sec x \csc x \tan x}{\cot x}$

13.

$\frac{1 + \tan^{2} θ}{\csc^{2} θ} + \sin^{2} θ + \frac{1}{\sec^{2} θ}$

14.

$(\frac{\tan x}{\csc^{2} x} + \frac{\tan x}{\sec^{2} x}) (\frac{1 + \tan x}{1 + \cot x}) - \frac{1}{\cos^{2} x}$

15.

$\frac{1 - \cos^{2} x}{\tan^{2} x} + 2 \sin^{2} x$

Einfaldið fyrri hornafallastæðuna í hverju verkefni og ritið niðurstöðuna með seinni stæðunni. Ef velja þarf formerki við kvaðratrót skal tilgreina á hvaða hornabili hvert formerki gildir.

16.

$\frac{\tan x + \cot x}{\csc x}; \cos x$

17.

$\frac{\sec x + \csc x}{1 + \tan x}; \sin x$

18.

$\frac{\cos x}{1 + \sin x} + \tan x; \cos x$

19.

$\frac{1}{\sin x \cos x} - \cot x; \cot x$

20.

$\frac{1}{1 - \cos x} - \frac{\cos x}{1 + \cos x}; \csc x$

21.

$(\sec x + \csc x) (\sin x + \cos x) - 2 - \cot x; \tan x$

22.

$\frac{1}{\csc x - \sin x}; \sec x og \tan x$

23.

$\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} - \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}; \sec x og \tan x$

24.

$\tan x; \sec x$

25.

$\sec x; \cot x$

26.

$\sec x; \sin x$

27.

$\cot x; \sin x$

28.

$\cot x; \csc x$

Sannprófið samsemdina í eftirfarandi verkefnum.

29.

$\cos x - \cos^{3} x = \cos x \sin^{2} x$

30.

$\cos x (\tan x - \sec (- x)) = \sin x - 1$

31.

$\frac{1 + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + 2 \tan^{2} x$

32.

${(\sin x + \cos x)}^{2} = 1 + 2 \sin x \cos x$

33.

$\cos^{2} x - \tan^{2} x = 2 - \sin^{2} x - \sec^{2} x$

Viðbótarverkefni

Sannið eða hrekjið samsemdina í eftirfarandi verkefnum.

34.

$\frac{1}{1 + \cos x} - \frac{1}{1 - \cos (- x)} = - 2 \cot x \csc x$

35.

$\csc^{2} x (1 + \sin^{2} x) = \cot^{2} x$

36.

$(\frac{\sec^{2} (- x) - \tan^{2} x}{\tan x}) (\frac{2 + 2 \tan x}{2 + 2 \cot x}) - 2 \sin^{2} x = \cos 2 x$

37.

$\frac{\tan x}{\sec x} \sin (- x) = \cos^{2} x$

38.

$\frac{\sec (- x)}{\tan x + \cot x} = - \sin (- x)$

39.

$\frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 + \sin (- x)}$

Ákvarðið hvort samsemdin sé sönn eða ósönn í eftirfarandi verkefnum. Ef hún er ósönn skuluð þið finna viðeigandi jafngilda stæðu.

40.

$\frac{\cos^{2} θ - \sin^{2} θ}{1 - \tan^{2} θ} = \sin^{2} θ$

41.

$3 \sin^{2} θ + 4 \cos^{2} θ = 3 + \cos^{2} θ$

42.

$\frac{\sec θ + \tan θ}{\cot θ + \cos θ} = \sec^{2} θ$