77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

7.3 Tvöföldunar-, helmingunar- og lækkunarformúlur

7.3 Tvöföldunar-, helmingunar- og veldislækkunarformúlur

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Nota tvöföldunarformúlur til að finna nákvæm gildi.
Nota tvöföldunarformúlur til að sannprófa samsemdir.
Nota veldislækkunarformúlur til að einfalda stæðu.
Nota helmingunarformúlur til að finna nákvæm gildi.

Teikning af hjólarömpum úr tré með bognum akstursfleti, séðum frá mismunandi hliðum. — **Mynd 1.** Teikning af hjólarömpum. Í reiknidæminu er rampurinn einfaldaður sem beinn flötur með föstum halla.

Hæð hjólarampa sem ætlaðir eru til keppni (sjá mynd 1) verður að ráðast af færni keppenda. Fyrir vana keppendur á hornið $θ$ milli rampsins og jarðarinnar að vera þannig að $\tan θ = \frac{5}{3} .$ Hornið er helmingað fyrir byrjendur. Hver er bratti rampsins fyrir byrjendur? Í þessum hluta skoðum við þrjá flokka samsemda til viðbótar sem nota má til að svara spurningum af þessu tagi.

Nákvæm gildi fundin með tvöföldunarformúlum

Í síðasta hluta notuðum við samlagningar- og frádráttarformúlur hornafalla. Nú skoðum við sömu formúlur aftur. Tvöföldunarformúlurnar eru sértilvik summuformúlanna þar sem $α = β .$ Útleiðsla tvöföldunarformúlu sínuss hefst á summuformúlunni

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

Ef við setjum $α = β = θ,$ fæst eftirfarandi:

\begin{array}{l} \sin (θ + θ) = \sin θ \cos θ + \cos θ \sin θ \\ \sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ \end{array}

Tvöföldunarformúlu kósínuss má rita á þrjá jafngilda vegu. Við byrjum á summuformúlunni $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β,$ og setjum $α = β = θ,$ þá fæst:

\begin{array}{l} \cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ \\ \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \end{array}

Með Pýþagórasarsamsemdunum getum við umritað þessa tvöföldunarformúlu kósínuss á tvo vegu til viðbótar. Fyrri umritunin er:

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = (1 - \sin^{2} θ) - \sin^{2} θ \\ = 1 - 2 \sin^{2} θ \end{array}

Síðari umritunin er:

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ) \\ = 2 \cos^{2} θ - 1 \end{array}

Á sama hátt fæst tvöföldunarformúla tangens með því að setja $α = β = θ$ í summuformúluna:

\begin{matrix} \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (θ + θ) = \frac{\tan θ + \tan θ}{1 - \tan θ \tan θ} \\ \tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}

Dæmi 1

Nákvæm hornafallagildi fundin með tvöföldunarformúlum

Gefið er að $\tan θ = - \frac{3}{4}$ og $θ$ sé í öðrum fjórðungi. Finnið eftirfarandi:

ⓐ $\sin (2 θ)$
ⓑ $\cos (2 θ)$
ⓒ $\tan (2 θ)$

Lausn

Teiknum rétthyrndan þríhyrning út frá gefnu upplýsingunum. Gefið er að $\tan θ = - \frac{3}{4},$ og að $θ$ sé í öðrum fjórðungi. Veljum punktinn (−4, 3) á lokaarmi hornsins. Tangens er hlutfall y-hnits og x-hnits punktsins. Þar sem $θ$ er í öðrum fjórðungi er x-hnitið neikvætt, en hliðarlengdir þríhyrningsins eru jákvæðar. Notið setningu Pýþagórasar til að finna lengd langhliðarinnar:

\begin{array}{r} {(-4)}^{2} + {(3)}^{2} = c^{2} \\ 16 + 9 = c^{2} \\ 25 = c^{2} \\ c = 5 \end{array}

Nú getum við teiknað þríhyrning svipaðan þeim sem sýndur er á mynd 2.

Rétthyrndur þríhyrningur í hnitakerfi með hornpunkta (0, 0), (−4, 0) og (−4, 3). Langhliðin er 5 einingar. Hornið θ í textanum er mælt rangsælis frá jákvæða x-ásnum að lokaarminum í öðrum fjórðungi. Litla hornið sem myndin merkir θ er í raun viðmiðunarhornið 180° − θ. — Mynd 2. Athugið að litla hornið sem merkt er θ á myndinni er viðmiðunarhornið 180° − θ. Hornið θ í textanum liggur í öðrum fjórðungi.

ⓐByrjum á að rita tvöföldunarformúlu sínuss.
$\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$
Við sjáum að finna þarf $\sin θ$ og $\cos θ .$ Á mynd 2 sést að langhliðin er 5. Því er $\sin θ = \frac{3}{5},$ og $\cos θ = - \frac{4}{5} .$ Setjið þessi gildi inn í jöfnuna og einfaldið.
Þá fæst:

$\begin{array}{l} \sin (2 θ) = 2 (\frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) \\ = - \frac{24}{25} \end{array}$
ⓑ Ritið tvöföldunarformúlu kósínuss.
$\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

Setjið aftur gildi sínuss og kósínuss inn í jöfnuna og einfaldið.

$\begin{array}{l} \cos (2 θ) = {(- \frac{4}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} \\ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ = \frac{7}{25} \end{array}$
ⓒ Ritið tvöföldunarformúlu tangens.
$\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

Í þessari formúlu þurfum við tangensgildið, en gefið er að $\tan θ = - \frac{3}{4} .$ Setjið þetta gildi inn í jöfnuna og einfaldið.

$\begin{array}{l} \tan (2 θ) = \frac{2 (- \frac{3}{4})}{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} \\ = \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} \\ = - \frac{3}{2} (\frac{16}{7}) \\ = - \frac{24}{7} \end{array}$

Dæmi 2

Tvöföldunarformúla kósínuss notuð án nákvæmra gilda

Notið tvöföldunarformúlu kósínuss til að rita $\cos (6 x)$ með $\cos (3 x) .$

Lausn

\begin{array}{l} \cos (6 x) = \cos (2 (3 x)) \\ = \cos^{2} (3 x) - {sin}^{2} (3 x) \\ = 2 \cos^{2} (3 x) - 1 \end{array}

Greining

Dæmið sýnir að nota má tvöföldunarformúluna án þess að þekkja tölugildi hornafallanna. Það er formgerð samsemdarinnar sem skiptir máli. Samsemd gildir fyrir öll horn þar sem báðar hliðar hennar eru skilgreindar.

Notkun tvöföldunarformúlna til að sannprófa samsemdir

Samsemdir eru staðfestar með tvöföldunarformúlum í sömu skrefum og við notuðum til að leiða út formúlurnar fyrir summu og mismun. Veljið flóknari hlið jöfnunnar og umritið hana þar til hún samsvarar hinni hliðinni.

Dæmi 3

Samsemd staðfest með tvöföldunarformúlum

Staðfestið eftirfarandi samsemd með tvöföldunarformúlum:

1 + \sin (2 θ) = {(\sin θ + \cos θ)}^{2}

Lausn

Við vinnum með hægri hlið jafnaðarmerkisins og umritum stæðuna þar til hún samsvarar vinstri hliðinni.

\begin{array}{l} {(\sin θ + \cos θ)}^{2} = \sin^{2} θ + 2 \sin θ \cos θ + \cos^{2} θ \\ = (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) + 2 \sin θ \cos θ \\ = 1 + 2 \sin θ \cos θ \\ = 1 + \sin (2 θ) \end{array}

Greining

Þessi aðferð er ekki flókin svo framarlega sem við munum formúluna fyrir ferning tvíliðu úr algebru:

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

þar sem $a = \sin θ$ og $b = \cos θ .$ Hæfni til að þekkja mynstur er mikilvægur þáttur í árangri í stærðfræði. Þótt liðir eða tákn kunni að breytast gilda sömu algebrureglur.

Dæmi 4

Tvöföldunarsamsemd tangens sannprófuð

Sannprófið samsemdina: Miðið við sameiginlegt skilgreiningarmengi beggja hliða; hvorki tangens né kótangens má vera óskilgreindur og nefnarar mega ekki vera 0.

\tan (2 θ) = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Lausn

Í þessu tilviki vinnum við með vinstri hlið jöfnunnar og einföldum eða umritum þar til hún er jöfn hægri hliðinni.

\begin{array}{l} \tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} & Tvöföldunarformúla \\ = \frac{2 \tan θ (\frac{1}{\tan θ})}{(1 - \tan^{2} θ) (\frac{1}{\tan θ})} \begin{matrix}  \end{matrix} & Stækkum brotið . \\ = \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \frac{\tan^{2} θ}{\tan θ}} \\ = \frac{2}{\cot θ - \tan θ} & Notum umhverfusamsemdina fyrir \frac{1}{\tan θ} . \end{array}

Greining

Þótt hægri hlið upphaflegu jöfnunnar virðist flóknari völdum við að umrita þá vinstri. Einnig má fara í hina áttina og byrja hægra megin. Við sýnum það með eftirfarandi jafngildi:

\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Vinnum með hægri hliðina.

\begin{array}{l} \frac{2}{\cot θ - \tan θ} = \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \tan θ} (\frac{\tan θ}{\tan θ}) \\ = \frac{2 \tan θ}{\frac{1}{\tan θ} (\tan θ) - \tan θ (\tan θ)} \\ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{array}

Þegar samsemdir eru notaðar til að einfalda hornafallastæðu eða leysa hornafallajöfnu eru yfirleitt margar leiðir að tilætluðum árangri. Engin föst regla segir til um hvorri hliðinni skuli breyta. Við ættum þó að byrja á leiðbeiningunum sem settar voru fram fyrr.

Veldislækkunarformúlur notaðar til að einfalda stæðu

Með tvöföldunarformúlunum má leiða út veldislækkunarformúlur. Með þeim má lækka veldi sínuss og kósínuss og, með endurtekinni beitingu, rita jöfn veldi þeirra með fyrsta veldi kósínuss af margföldum hornum. Formúlurnar nýtast einkum í stærðfræðigreiningu. Hér leiðum við út þrjár slíkar formúlur.

Við getum notað tvær af þremur tvöföldunarformúlum kósínuss til að leiða út lækkunarformúlur sínuss og kósínuss. Byrjum á $\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ .$ Einangrið $\sin^{2} θ :$

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ \\ 2 \sin^{2} θ = 1 - \cos (2 θ) \\ \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \end{array}

Næst notum við formúluna $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1.$ Einangrið $\cos^{2} θ :$

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1 \\ 1 + \cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ \\ \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} = \cos^{2} θ \end{array}

Síðasta veldislækkunarformúlan er leidd út með því að rita tangens með sínus og kósínus:

\begin{array}{l} \tan^{2} θ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}}{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} & Setjum inn veldislækkunarformúlurnar. \\ = (\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}) (\frac{2}{1 + \cos (2 θ)}) \begin{matrix}  \end{matrix} \\ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \end{array}

Dæmi 5

Jafngild stæða án velda hærri en 1 rituð

Ritið jafngilda stæðu fyrir $\cos^{4} x$ sem inniheldur engin veldi sínuss eða kósínuss hærri en 1.

Lausn

Við beitum veldislækkunarformúlu kósínuss tvisvar.

\begin{array}{l} \cos^{4} x = {(\cos^{2} x)}^{2} \\ = {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} & Veldislækkun. \\ = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1 + \cos 2 (2 x)}{2}) \begin{matrix}  \end{matrix} & Veldislækkun aftur. \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos (4 x) \\ = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} \cos (4 x) \end{array}

Greining

Lausnin fæst með því að nota lækkunarformúluna tvisvar, eins og fram hefur komið, og formúluna fyrir ferning tvíliðu úr algebru.

Dæmi 6

Veldislækkunarformúlur notaðar til að sanna samsemd

Notið veldislækkunarformúlurnar til að sanna

\sin^{3} (2 x) = [\frac{1}{2} \sin (2 x)] [1 - \cos (4 x)]

Lausn

Við einföldum vinstri hlið jöfnunnar:

\begin{array}{l} \sin^{3} (2 x) = [\sin (2 x)] [\sin^{2} (2 x)] \\ = \sin (2 x) [\frac{1 - \cos (4 x)}{2}] & Notum veldislækkunarformúluna . \\ = \sin (2 x) (\frac{1}{2}) [1 - \cos (4 x)] \\ = \frac{1}{2} [\sin (2 x)] [1 - \cos (4 x)] \end{array}

Greining

Takið eftir að í þessu dæmi settum við

\frac{1 - \cos (4 x)}{2}

í stað $\sin^{2} (2 x) .$ Formúlan segir

\sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

Setjum $θ = 2 x,$ þá er $2 θ = 4 x .$

Nákvæm gildi fundin með helmingunarformúlum

Næsti flokkur samsemda er helmingunarformúlurnar. Þær má leiða út frá lækkunarformúlunum og nota þegar horn er helmingur sérhorns. Ef við skiptum $θ$ út fyrir $\frac{α}{2},$ fæst helmingunarformúla sínuss með því að einfalda jöfnuna og einangra $\sin (\frac{α}{2}) .$ Takið eftir að $\pm$ stendur framan við helmingunarformúlurnar. Það merkir ekki að bæði jákvæða og neikvæða stæðan gildi. Rétt formerki ræðst af fjórðungnum þar sem lokaarmur $\frac{α}{2}$ liggur.

Helmingunarformúla sínuss er leidd út þannig:

\begin{array}{l} \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \\ \sin^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = \frac{1 - \cos α}{2} \\ \sin (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \end{array}

Til að leiða út helmingunarformúlu kósínuss höfum við

\begin{array}{l} \cos^{2} θ = \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} \\ \cos^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = \frac{1 + \cos α}{2} \\ \cos (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \end{array}

Fyrir tangenssamsemdina höfum við

\begin{array}{l} \tan^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \\ \tan^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})} \\ = \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α} \\ \tan (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \end{array}

Dæmi 7

Nákvæmt sínusgildi fundið með helmingunarformúlu

Finnið $\sin (15^{\circ})$ með helmingunarformúlu.

Lausn

Þar sem $15^{\circ} = \frac{30^{\circ}}{2},$ notum við helmingunarformúlu sínuss:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin \frac{30^{\circ}}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^{\circ}}{2}} \end{array} \\ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \\ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \end{array}

Greining

Takið eftir að við notuðum aðeins jákvæðu rótina því $\sin (15^{o})$ er jákvætt.

Dæmi 8

Nákvæm gildi fundin með helmingunarsamsemdum

Gefið er að $\tan α = \frac{8}{15}$ og að $α$ liggi í þriðja fjórðungi. Finnið nákvæmt gildi eftirfarandi: Hér er miðað við 180° < α < 270°, ekki aðeins horn með sama lokaarm.

ⓐ $\sin (\frac{α}{2})$
ⓑ $\cos (\frac{α}{2})$
ⓒ $\tan (\frac{α}{2})$

Lausn

Með gefnu upplýsingunum getum við teiknað þríhyrninginn á mynd 3. Með setningu Pýþagórasar finnum við að langhliðin er 17. Því getum við reiknað $\sin α = - \frac{8}{17}$ og $\cos α = - \frac{15}{17} .$

Rétthyrndur þríhyrningur í hnitakerfi með hornpunkta (0, 0), (−15, 0) og (−15, −8). Langhliðin er 17 einingar. Hornið α í textanum er mælt rangsælis frá jákvæða x-ásnum að lokaarminum í þriðja fjórðungi. Litla hornið sem myndin merkir α er í raun viðmiðunarhornið α − 180°. — Mynd 3. Athugið að litla hornið sem merkt er α á myndinni er viðmiðunarhornið α − 180°. Hornið α í textanum liggur í þriðja fjórðungi.

ⓐÁður en við byrjum þurfum við að muna að ef $α$ er í þriðja fjórðungi, þá er $180° < α < 270°,$ og því $\frac{180°}{2} < \frac{α}{2} < \frac{270°}{2} .$ Þetta merkir að lokaarmur $\frac{α}{2}$ er í öðrum fjórðungi, því $90° < \frac{α}{2} < 135° .$
Til að finna $\sin \frac{α}{2},$ byrjum við á helmingunarformúlu sínuss. Setjum síðan inn kósínusgildið sem fæst úr þríhyrningnum á mynd 3 og einföldum.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{32}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{16}{17}} \\ = \pm \frac{4}{\sqrt{17}} \\ = \frac{4 \sqrt{17}}{17} \end{array}$
Við veljum jákvæða gildið á $\sin \frac{α}{2}$ því lokaarmur hornsins liggur í öðrum fjórðungi og sínus er jákvæður þar.
ⓑ Til að finna $\cos \frac{α}{2},$ ritum við helmingunarformúlu kósínuss, setjum inn kósínusgildið sem við fundum með þríhyrningnum á mynd 3 og einföldum.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 + (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{2}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{1}{17}} \\ = - \frac{\sqrt{17}}{17} \end{array}$
Við veljum neikvæða gildið á $\cos \frac{α}{2}$ því lokaarmur hornsins liggur í öðrum fjórðungi og kósínus er neikvæður þar.
ⓒ Til að finna $\tan \frac{α}{2},$ ritum við helmingunarformúlu tangens. Aftur setjum við inn kósínusgildið sem við fundum með þríhyrningnum á mynd 3 og einföldum.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \tan \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{1 + (- \frac{15}{17})}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{\frac{2}{17}}} \\ = \pm \sqrt{\frac{32}{2}} \\ = - \sqrt{16} \\ = - 4 \end{array}$
Við veljum neikvæða gildið á $\tan \frac{α}{2}$ því $\frac{α}{2}$ liggur í öðrum fjórðungi og tangens er neikvæður þar.

Dæmi 9

Stærð hálfs horns fundin

Nú snúum við aftur að verkefninu sem sett var fram í upphafi hlutans. Hjólarampur fyrir keppni reyndra hjólreiðamanna myndar hornið $θ$ við jörðina. Byggja á annan ramp fyrir byrjendur sem myndar helmingi minna horn við jörðina. Hér er hornið helmingað, ekki hlutfall hæðar og láréttrar lengdar. Ef $\tan θ = \frac{5}{3}$ fyrir keppni reyndra, hvert er þá hornið á rampinum fyrir byrjendur?

Lausn

Þar sem hornið á rampinum fyrir byrjendur er helmingur hornsins á rampinum fyrir keppni reyndra og $\tan θ = \frac{5}{3}$ fyrir keppni reyndra, getum við fundið $\cos θ$ með rétthyrnda þríhyrningnum og setningu Pýþagórasar og síðan notað helmingunarsamsemdirnar. Sjá mynd 4.

\begin{array}{l} 3^{2} + 5^{2} = 34 \\ c = \sqrt{34} \end{array}

Mynd af rétthyrndum þríhyrningi með hliðarlengdirnar 3, 5 og √34. Hliðin √ 34 er langhliðin og 3 er grunnlínan. Hornið milli langhliðarinnar og grunnlínunnar er þeta. Hornið milli hliðarinnar með lengdina 3 og hliðarinnar með lengdina 5 er rétt horn. — Mynd 4

Af þríhyrningnum fæst $\cos θ = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34} .$ Við notum helmingunarformúlu tangens: $\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} .$ Bæði hornið θ og hálfa hornið θ/2 liggja á milli 0° og 90°. Því er tangens beggja hornanna jákvæður. Þetta á bæði við um $\tan θ$ og $\tan \frac{θ}{2} .$ Þá fæst:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3 \sqrt{34}}{34}}{1 + \frac{3 \sqrt{34}}{34}}} \end{array} \\ = \sqrt{\frac{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34}}{\frac{34 + 3 \sqrt{34}}{34}}} \\ = \sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34 + 3 \sqrt{34}}} \\ \approx 0.57 \end{array}

Við finnum hornið með andhverfu tangensfalli. Notum óafrúnnað tangensgildi í reiknivélinni; til samanburðar er það um 0,566190379. Þá fæst $\tan^{- 1} (0,566190379) \approx {29,5}^{\circ} .$ Hornið á rampinum fyrir byrjendur er því $\approx {29,5}^{\circ} .$

7.3 Verkefni hlutans

Orðleg verkefni

Útskýrið hvernig leiða má veldislækkunarsamsemdirnar út frá tvöföldunarsamsemdinni $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x .$

Útskýrið hvernig leiða má tvöföldunarformúlu $\tan (2 x)$ út með tvöföldunarformúlunum fyrir $\cos (2 x)$ og $\sin (2 x) .$

Helmingunarformúlu $\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{\sqrt{1 + \cos x}}$ má leiða út með því að deila formúlunni fyrir $\sin (\frac{x}{2})$ með $\cos (\frac{x}{2}) .$ Útskýrið hvernig leiða má út tvær formúlur fyrir $\tan (\frac{x}{2})$ sem innihalda engar kvaðratrætur. Kvaðratrótarformúlan hér er rituð fyrir óneikvætt tangensgildi. Almennt þarf að velja rétt formerki eftir staðsetningu hálfa hornsins. Takið jafnframt fram skilgreiningarmengi hvorrar formúlu.

Skoðið skilgreiningarmengi helmingunarformúlunnar fyrir $\tan (\frac{x}{2}),$ í fyrra verkefni. Hvaða gildi $\cos x$ gerir nefnarann 0 og hvers vegna er tangens hálfa hornsins þá einnig óskilgreindur? Ef notuð er formúla með sínus í nefnara þarf að athuga sérstaklega hvar sá nefnari er 0.

Algebruverkefni

Finnið nákvæm gildi a) $\sin (2 x),$ b) $\cos (2 x),$ og c) $\tan (2 x)$ í eftirfarandi verkefnum án þess að finna hornið $x .$ heldur með tvöföldunarformúlunum.

Gefið er að $\sin x = \frac{1}{8},$ og að $x$ sé í fyrsta fjórðungi.

Gefið er að $\cos x = \frac{2}{3},$ og að $x$ sé í fyrsta fjórðungi.

Gefið er að $\cos x = - \frac{1}{2},$ og að $x$ sé í þriðja fjórðungi.

Gefið er að $\tan x = - 8,$ og að $x$ sé í fjórða fjórðungi.

Finnið gildi hornafallanna sex í eftirfarandi verkefnum ef gefnu skilyrðin gilda.

$\cos (2 θ) = \frac{3}{5}$ og $90^{\circ} \leq θ \leq 180^{\circ}$

10.

$\cos (2 θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ og $180^{\circ} \leq θ \leq 270^{\circ}$

Einfaldið í eina hornafallastæðu í eftirfarandi verkefnum.

11.

$2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

12.

$4 \sin (\frac{π}{8}) \cos (\frac{π}{8})$

Finnið nákvæmt gildi með helmingunarformúlum í eftirfarandi verkefnum.

13.

$\sin (\frac{π}{8})$

14.

$\cos (- \frac{11 π}{12})$

15.

$\sin (\frac{11 π}{12})$

16.

$\cos (\frac{7 π}{8})$

17.

$\tan (\frac{5 π}{12})$

18.

$\tan (- \frac{3 π}{12})$

19.

$\tan (- \frac{3 π}{8})$

Í eftirfarandi verkefnum er $0 \leq x < 2 π$ . Finnið nákvæm gildi a) $\sin (\frac{x}{2}),$ b) $\cos (\frac{x}{2}),$ og c) $\tan (\frac{x}{2})$ án þess að finna hornið $x,$ heldur með helmingunarformúlunum.

20.

Gefið er að $\tan x = - \frac{4}{3},$ og að $x$ sé í fjórða fjórðungi.

21.

Gefið er að $\sin x = - \frac{12}{13},$ og að $x$ sé í þriðja fjórðungi.

22.

Gefið er að $\csc x = 7,$ og að $x$ sé í öðrum fjórðungi.

23.

Gefið er að $\sec x = - 4,$ og að $x$ sé í öðrum fjórðungi.

Notið mynd 5 til að finna umbeðin hornafallagildi fyrir hálf og tvöföld horn í eftirfarandi verkefnum.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar af lengd 5 og 12. Hornið θ er á milli langhliðarinnar og skammhliðarinnar af lengd 12; hornið α er á milli langhliðarinnar og skammhliðarinnar af lengd 5. — **Mynd 5.** Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar af lengd 5 og 12.

24.

Finnið $\sin (2 θ), \cos (2 θ),$ og $\tan (2 θ).$

25.

Finnið $\sin (2 α), \cos (2 α),$ og $\tan (2 α).$

26.

Finnið $\sin (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2}),$ og $\tan (\frac{θ}{2}) .$

27.

Finnið $\sin (\frac{α}{2}), \cos (\frac{α}{2}),$ og $\tan (\frac{α}{2}) .$

Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum. Reiknið ekki gildið.

28.

$\cos^{2} (28^{\circ}) - \sin^{2} (28^{\circ})$

29.

$2 \cos^{2} (37^{\circ}) - 1$

30.

$1 - 2 \sin^{2} (17^{\circ})$

31.

$\cos^{2} (9 x) - \sin^{2} (9 x)$

32.

$4 \sin (8 x) \cos (8 x)$

33.

$6 \sin (5 x) \cos (5 x)$

Sannið gefnu samsemdina í eftirfarandi verkefnum. Samsemdirnar eiga að gilda á sameiginlegu skilgreiningarmengi beggja hliða.

34.

${(\sin t - \cos t)}^{2} = 1 - \sin (2 t)$

35.

$\sin (2 x) = - 2 \sin (- x) \cos (- x)$

36.

$\cot x - \tan x = 2 \cot (2 x)$

37.

$\frac{1 + \cos (2 θ)}{\sin (2 θ)} \tan^{2} θ = \tan θ$

Umritið stæðuna þannig að ekkert veldi sínuss eða kósínuss sé hærra en 1 í eftirfarandi verkefnum.

38.

$\cos^{2} (5 x)$

39.

$\cos^{2} (6 x)$

40.

$\sin^{4} (8 x)$

41.

$\sin^{4} (3 x)$

42.

$\cos^{2} x \sin^{4} x$

43.

$\cos^{4} x \sin^{2} x$

44.

$\tan^{2} x \sin^{2} x$

Tækniverkefni

Umritið föllin þannig að ekkert veldi sínuss eða kósínuss sé hærra en 1 í eftirfarandi verkefnum og staðfestið síðan svörin með gröfum.

45.

$\tan^{4} x$

46.

$\sin^{2} (2 x)$

47.

$\sin^{2} x \cos^{2} x$

48.

$\tan^{2} x \sin x$

49.

$\tan^{4} x \cos^{2} x$

50.

$\cos^{2} x \sin (2 x)$

51.

$\cos^{2} (2 x) \sin x$

52.

$\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sin x$

Finnið jafngilt fall með algebru í eftirfarandi verkefnum, aðeins með $\sin x$ og/eða $\cos x,$ og staðfestið síðan svarið með því að teikna gröf beggja jafna.

53.

$\sin (4 x)$

54.

$\cos (4 x)$

Viðbótarverkefni

Sannið samsemdirnar í eftirfarandi verkefnum. Miðið við sameiginlegt skilgreiningarmengi beggja hliða.

55.

$\sin (2 x) = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x}$

56.

$\cos (2 α) = \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α}$

57.

$\tan (2 x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^{2} x - 1}$

58.

${(\sin^{2} x - 1)}^{2} = \cos (2 x) + \sin^{4} x$

59.

$\sin (3 x) = 3 \sin x \cos^{2} x - \sin^{3} x$

60.

$\cos (3 x) = \cos^{3} x - 3 \sin^{2} x \cos x$

61.

$\frac{1 + \cos (2 t)}{\sin (2 t) - \cos t} = \frac{2 \cos t}{2 \sin t - 1}$

62.

$\sin (16 x) = 16 \sin x \cos x \cos (2 x) \cos (4 x) \cos (8 x)$

63.

$\cos (16 x) = (\cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) - \sin (8 x)) (\cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) + \sin (8 x))$