77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

7.4 Formúlur sem breyta summu í margfeldi og margfeldi í summu

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Rita margfeldi sem summur.
Rita summur sem margfeldi.

Ljósmynd af lúðrasveit UCLA-háskóla. — **Mynd 1.** Lúðrasveit UCLA-háskóla (mynd: Eric Chan, Flickr).

Lúðrasveit gengur eftir vellinum og skapar tilkomumikinn hljóm sem eflir áhorfendaskarann. Hljóðið berst sem bylgja sem túlka má með hornaföllum. Mynd 2 sýnir til dæmis hljóðbylgju tónsins A. Í þessum hluta skoðum við hornafallasamsemdir sem liggja að baki hversdagslegum fyrirbærum á borð við hljóðbylgjur.

Graf hljóðbylgju tónsins A. Hún er lotubundið fall líkt og sínus og kósínus, frá 0 til .01

Margfeldi rituð sem summur

Við höfum þegar lært ýmsar formúlur sem nýtast við að liða eða einfalda hornafallastæður, en stundum þarf að rita margfeldi kósínuss og sínuss sem summu. Til þess má nota formúlurnar sem breyta margfeldi í summu. Skoðum fyrst kósínussamsemdina og síðan sínussamsemdina.

Margfeldi kósínusa rituð sem summur

Við getum leitt formúluna sem breytir margfeldi í summu út frá summu- og mismunarsamsemdum kósínuss. Ef jöfnurnar tvær eru lagðar saman fæst:

\begin{array}{l} \underset{________________________________}{\begin{matrix} \cos α \cos β + \sin α \sin β = \cos (α - β) \\ + \cos α \cos β - \sin α \sin β = \cos (α + β) \end{matrix}} \\ 2 \cos α \cos β = \cos (α - β) + \cos (α + β) \end{array}

Síðan deilum við með $2$ til að einangra margfeldi kósínusanna:

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

Dæmi 1

Margfeldi ritað sem summa með formúlu fyrir margfeldi kósínusa

Ritið eftirfarandi margfeldi kósínusa sem summu: $2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos \frac{3 x}{2} .$

Lausn

Við byrjum á að rita formúluna fyrir margfeldi kósínusa:

\cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)]

Síðan getum við sett gefnu hornin inn í formúluna og einfaldað.

\begin{array}{l} 2 \cos (\frac{7 x}{2}) \cos (\frac{3 x}{2}) = (2) (\frac{1}{2}) [\cos (\frac{7 x}{2} - \frac{3 x}{2}) + \cos (\frac{7 x}{2} + \frac{3 x}{2})] \\ = [\cos (\frac{4 x}{2}) + \cos (\frac{10 x}{2})] \\ = \cos 2 x + \cos 5 x \end{array}

Margfeldi sínuss og kósínuss ritað sem summa

Næst leiðum við formúluna sem breytir margfeldi sínuss og kósínuss í summu út frá summu- og mismunarformúlum sínuss. Ef summu- og mismunarsamsemdirnar eru lagðar saman fæst:

\begin{array}{l} \underset{_________________________________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β \end{array} \\ + \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{array}} \\ \sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β \end{array}

Síðan deilum við með 2 til að einangra margfeldi kósínuss og sínuss:

\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]

Dæmi 2

Margfeldi ritað sem summa sem inniheldur aðeins sínus eða kósínus

Ritið eftirfarandi margfeldi sem summu sem inniheldur aðeins sínus eða kósínus en engin margfeldi: $\sin (4 θ) \cos (2 θ) .$

Lausn

Ritið formúluna fyrir margfeldi sínuss og kósínuss. Setjið síðan gefnu gildin inn í formúluna og einfaldið.

\begin{array}{l} \sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \sin (4 θ) \cos (2 θ) = \frac{1}{2} [\sin (4 θ + 2 θ) + \sin (4 θ - 2 θ)] \\ = \frac{1}{2} [\sin (6 θ) + \sin (2 θ)] \end{array}

Margfeldi sínusa rituð með kósínus

Formúla sem ritar margfeldi sínusa með kósínus er einnig leidd út frá summu- og mismunarsamsemdum kósínuss. Í þessu tilviki drögum við fyrst aðra kósínusformúluna frá hinni:

\begin{array}{l} \underset{____________________________________________________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{array} \\ - \cos (α + β) = - (\cos α \cos β - \sin α \sin β) \end{array}} \\ \cos (α - β) - \cos (α + β) = 2 \sin α \sin β \end{array}

Síðan deilum við með 2 til að einangra margfeldi sínusanna:

\sin α \sin β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) - \cos (α + β)]

Á sama hátt mætti rita margfeldi kósínusa með sínus eða leiða út aðrar formúlur sem breyta margfeldi í summu.

Dæmi 3

Margfeldi ritað sem summa eða mismunur

Ritið $\cos (3 θ) \cos (5 θ)$ sem summu eða mismun.

Lausn

Við höfum margfeldi kósínusa og byrjum því á að rita viðeigandi formúlu. Síðan setjum við gefnu hornin inn og einföldum.

\begin{array}{l} \cos α \cos β = \frac{1}{2} [\cos (α - β) + \cos (α + β)] \\ \cos (3 θ) \cos (5 θ) = \frac{1}{2} [\cos (3 θ - 5 θ) + \cos (3 θ + 5 θ)] \\ = \frac{1}{2} [\cos (2 θ) + \cos (8 θ)] & Use even-odd identity . \end{array}

Summur ritaðar sem margfeldi

Í sumum verkefnum þarf að snúa ferlinu sem við notuðum við. Formúlurnar sem breyta summu í margfeldi gera okkur kleift að rita summur sínusa eða kósínusa sem margfeldi. Þær má leiða út frá samsemdunum sem breyta margfeldi í summu. Með nokkrum innsetningum getum við til dæmis leitt út samsemd sem breytir summu sínusa í margfeldi. Látum $\frac{u + v}{2} = α$ og $\frac{u - v}{2} = β .$

Þá er

\begin{array}{l} α + β = \frac{u + v}{2} + \frac{u - v}{2} \\ = \frac{2 u}{2} \\ = u \\ α - β = \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2} \\ = \frac{2 v}{2} \\ = v \end{array}

Ef $α$ og $β$ eru síðan leyst af hólmi með innsettu stæðunum í formúlunni sem breytir margfeldi í summu fæst

\begin{array}{l} \sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} [\sin u + \sin v] & Substitute for (α + β) and (α - β) \\ 2 \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \sin u + \sin v \end{array}

Hinar samsemdirnar sem breyta summu í margfeldi eru leiddar út á sama hátt.

Dæmi 4

Mismunur sínusa ritaður sem margfeldi

Ritið eftirfarandi mismun sínusa sem margfeldi: $\sin (4 θ) - \sin (2 θ) .$

Lausn

Við byrjum á að rita formúluna fyrir mismun sínusa.

\sin α - \sin β = 2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})

Setjið gildin inn í formúluna og einfaldið.

\begin{array}{l} \sin (4 θ) - \sin (2 θ) = 2 \sin (\frac{4 θ - 2 θ}{2}) \cos (\frac{4 θ + 2 θ}{2}) \\ = 2 \sin (\frac{2 θ}{2}) \cos (\frac{6 θ}{2}) \\ = 2 \sin θ \cos (3 θ) \end{array}

Dæmi 5

Gildi reiknað með formúlu sem breytir summu í margfeldi

Reiknið $\cos (15^{\circ}) - \cos (75^{\circ}) .$

Lausn

Við byrjum á að rita formúluna fyrir mismun kósínusa.

\cos α - \cos β = - 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \sin (\frac{α - β}{2})

Síðan setjum við gefnu hornin inn og einföldum.

\begin{array}{l} \cos (15^{\circ}) - \cos (75^{\circ}) = - 2 \sin (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2}) \sin (\frac{15^{\circ} - 75^{\circ}}{2}) \\ = - 2 \sin (45^{\circ}) \sin (- 30^{\circ}) \\ = - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (- \frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

Dæmi 6

Samsemd sönnuð

Sannið samsemdina:

\frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{\sin (4 t) + \sin (2 t)} = - \tan t

Lausn

Við byrjum vinstra megin, á flóknari hlið jöfnunnar, og umritum stæðuna þar til hún samsvarar hægri hliðinni.

\begin{array}{l} \frac{\cos (4 t) - \cos (2 t)}{\sin (4 t) + \sin (2 t)} = \frac{- 2 \sin (\frac{4 t + 2 t}{2}) \sin (\frac{4 t - 2 t}{2})}{2 \sin (\frac{4 t + 2 t}{2}) \cos (\frac{4 t - 2 t}{2})} \\ = \frac{- 2 \sin (3 t) \sin t}{2 \sin (3 t) \cos t} \\ = \frac{- 2 \sin (3 t) \sin t}{2 \sin (3 t) \cos t} \\ = - \frac{\sin t}{\cos t} \\ = - \tan t \end{array}

Greining

Rifjið upp að sérstakar reglur gilda um sannprófun hornafallasamsemda. Aðferðir við að leysa jöfnu eru ekki þær sömu og aðferðir við að sannprófa samsemd. Þegar við sönnum samsemd veljum við aðra hliðina og gerum innsetningar þar til henni hefur verið breytt í hina hliðina.

Dæmi 7

Samsemd sannprófuð með tvöföldunar- og umhverfusamsemdum

Sannprófið samsemdina $\csc^{2} θ - 2 = \frac{\cos (2 θ)}{\sin^{2} θ} .$

Lausn

Við sannprófun þessarar jöfnu notum við nokkrar samsemdir saman. Við notum tvöföldunarformúluna og umhverfusamsemdirnar. Við vinnum með hægri hlið jöfnunnar og umritum hana þar til hún samsvarar vinstri hliðinni.

\begin{array}{l} \frac{\cos (2 θ)}{\sin^{2} θ} = \frac{1 - 2 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = \frac{1}{\sin^{2} θ} - \frac{2 \sin^{2} θ}{\sin^{2} θ} \\ = \csc^{2} θ - 2 \end{array}

7.4 Verkefni hlutans

Orðleg verkefni

Byrjið á formúlunni s i n ⁡ 𝛼 ⁢ c o s ⁡ 𝛽 = 1 2 ⁢ [ s i n ⁡ ( 𝛼 + 𝛽 ) + s i n ⁡ ( 𝛼 − 𝛽 ) ] $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)],$ sem breytir margfeldi í summu og útskýrið hvernig leiða má út formúluna fyrir $\cos α \sin β .$

Útskýrið tvær ólíkar aðferðir til að reikna c o s ⁡ ( 1 9 5 ° ) ⁢ c o s ⁡ ( 1 0 5 ° ) $\cos (195°) \cos (105°),$ þar sem önnur notar formúlu sem breytir margfeldi í summu. Hvor aðferðin er auðveldari?

Lýsið aðstæðum þar sem breyta þarf jöfnu úr summu í margfeldi og gefið dæmi.

Lýsið aðstæðum þar sem breyta þarf jöfnu úr margfeldi í summu og gefið dæmi.

Algebruverkefni

Umritið margfeldið sem summu eða mismun í eftirfarandi verkefnum.

16sin⁡(16⁢𝑥)⁢sin⁡(11⁢𝑥) $16 \sin (16 x) \sin (11 x)$

20cos⁡(36⁢𝑡)⁢cos⁡(6⁢𝑡) $20 \cos (36 t) \cos (6 t)$

2sin⁡(5⁢𝑥)⁢cos⁡(3⁢𝑥) $2 \sin (5 x) \cos (3 x)$

10cos⁡(5⁢𝑥)⁢sin⁡(10⁢𝑥) $10 \cos (5 x) \sin (10 x)$

sin⁡(−𝑥)⁢sin⁡(5⁢𝑥) $\sin (- x) \sin (5 x)$

10.

sin⁡(3⁢𝑥)⁢cos⁡(5⁢𝑥) $\sin (3 x) \cos (5 x)$

Umritið summuna eða mismuninn sem margfeldi í eftirfarandi verkefnum.

11.

cos⁡(6⁢𝑡)+cos⁡(4⁢𝑡) $\cos (6 t) + \cos (4 t)$

12.

sin⁡(3⁢𝑥)+sin⁡(7⁢𝑥) $\sin (3 x) + \sin (7 x)$

13.

cos⁡(7⁢𝑥)+cos⁡(−7⁢𝑥) $\cos (7 x) + \cos (- 7 x)$

14.

sin⁡(3⁢𝑥)−sin⁡(−3⁢𝑥) $\sin (3 x) - \sin (- 3 x)$

15.

cos⁡(3⁢𝑥)+cos⁡(9⁢𝑥) $\cos (3 x) + \cos (9 x)$

16.

sin⁡ℎ−sin⁡(3⁢ℎ) $\sin h - \sin (3 h)$

Reiknið margfeldið með summu eða mismun tveggja falla í eftirfarandi verkefnum.

17.

cos⁡(45°)⁢cos⁡(15°) $\cos (45°) \cos (15°)$

18.

cos⁡(45°)⁢sin⁡(15°) $\cos (45°) \sin (15°)$

19.

sin⁡(−345°)⁢sin⁡(−15°) $\sin (−345°) \sin (−15°)$

20.

sin⁡(195°)⁢cos⁡(15°) $\sin (195°) \cos (15°)$

21.

sin⁡(−45°)⁢sin⁡(−15°) $\sin (−45°) \sin (−15°)$

Reiknið margfeldið með summu eða mismun tveggja falla í eftirfarandi verkefnum. Látið svarið vera sett fram með sínus og kósínus.

22.

cos⁡(23°)⁢sin⁡(17°) $\cos (23°) \sin (17°)$

23.

2sin⁡(100°)⁢sin⁡(20°) $2 \sin (100°) \sin (20°)$

24.

2sin⁡(−100°)⁢sin⁡(−20°) $2 \sin (−100°) \sin (−20°)$

25.

sin⁡(213°)⁢cos⁡(8°) $\sin (213°) \cos (8°)$

26.

2cos⁡(56°)⁢cos⁡(47°) $2 \cos (56°) \cos (47°)$

Umritið summuna sem margfeldi tveggja falla í eftirfarandi verkefnum. Látið svarið vera sett fram með sínus og kósínus.

27.

sin⁡(76°)+sin⁡(14°) $\sin (76°) + \sin (14°)$

28.

cos⁡(58°)−cos⁡(12°) $\cos (58°) - \cos (12°)$

29.

sin⁡(101°)−sin⁡(32°) $\sin (101°) - \sin (32°)$

30.

cos⁡(100°)+cos⁡(200°) $\cos (100°) + \cos (200°)$

31.

sin⁡(−1°)+sin⁡(−2°) $\sin (−1°) + \sin (−2°)$

Sannið samsemdina í eftirfarandi verkefnum.

32.

cos⁡(𝑎+𝑏)cos⁡(𝑎−𝑏)=1−tan⁡𝑎⁢tan⁡𝑏1+tan⁡𝑎⁢tan⁡𝑏 $\frac{\cos (a + b)}{\cos (a - b)} = \frac{1 - \tan a \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

33.

4sin⁡(3⁢𝑥)⁢cos⁡(4⁢𝑥)=2sin⁡(7⁢𝑥)−2sin⁡𝑥 $4 \sin (3 x) \cos (4 x) = 2 \sin (7 x) - 2 \sin x$

34.

6cos⁡(8⁢𝑥)⁢sin⁡(2⁢𝑥)sin⁡(−6⁢𝑥)=−3sin⁡(10⁢𝑥)⁢csc⁡(6⁢𝑥)+3 $\frac{6 \cos (8 x) \sin (2 x)}{\sin (- 6 x)} = −3 \sin (10 x) \csc (6 x) + 3$

35.

sin⁡𝑥+sin⁡(3⁢𝑥)=4sin⁡𝑥cos2⁡𝑥 $\sin x + \sin (3 x) = 4 \sin x \cos^{2} x$

36.

2⁢(cos3⁡𝑥−cos⁡𝑥sin2⁡𝑥)=cos⁡(3⁢𝑥)+cos⁡𝑥 $2 (\cos^{3} x - \cos x \sin^{2} x) = \cos (3 x) + \cos x$

37.

2⁢tan⁡𝑥⁢cos⁡(3⁢𝑥)=sec⁡𝑥⁢(sin⁡(4⁢𝑥)−sin⁡(2⁢𝑥)) $2 \tan x \cos (3 x) = \sec x (\sin (4 x) - \sin (2 x))$

38.

cos⁡(𝑎+𝑏)+cos⁡(𝑎−𝑏)=2cos⁡𝑎⁢cos⁡𝑏 $\cos (a + b) + \cos (a - b) = 2 \cos a \cos b$

Töluleg verkefni

Umritið summuna sem margfeldi tveggja falla eða margfeldið sem summu tveggja falla í eftirfarandi verkefnum. Setjið svarið fram með sínus og kósínus. Reiknið síðan lokasvarið tölulega og námundið að fjórum aukastöfum.

39.

cos⁡(58∘)+cos⁡(12∘) $\cos (58^{\circ}) + \cos (12^{\circ})$

40.

sin⁡(2∘)−sin⁡(3∘) $\sin (2^{\circ}) - \sin (3^{\circ})$

41.

cos⁡(44∘)−cos⁡(22∘) $\cos (44^{\circ}) - \cos (22^{\circ})$

42.

cos⁡(176∘)⁢sin⁡(9∘) $\cos (176^{\circ}) \sin (9^{\circ})$

43.

sin⁡(−14∘)⁢sin⁡(85∘) $\sin (- 14^{\circ}) \sin (85^{\circ})$

Tækniverkefni

Ákvarðið með algebru í eftirfarandi verkefnum hvort hver gefin jafna sé sönn samsemd. Ef hún er ekki samsemd skuluð þið skipta hægri hliðinni út fyrir stæðu sem er jafngild vinstri hliðinni. Staðfestið niðurstöðurnar með því að teikna gröf beggja stæðna í reiknivél.

44.

2⁢sin⁡(2⁢𝑥)⁢sin⁡(3⁢𝑥)=cos⁡𝑥−cos⁡(5⁢𝑥) $2 \sin (2 x) \sin (3 x) = \cos x - \cos (5 x)$

45.

cos⁡(10⁢𝜃)+cos⁡(6⁢𝜃)cos⁡(6⁢𝜃)−cos⁡(10⁢𝜃)=cot⁡(2⁢𝜃)⁢cot⁡(8⁢𝜃) $\frac{\cos (10 θ) + \cos (6 θ)}{\cos (6 θ) - \cos (10 θ)} = \cot (2 θ) \cot (8 θ)$

46.

sin⁡(3⁢𝑥)−sin⁡(5⁢𝑥)cos⁡(3⁢𝑥)+cos⁡(5⁢𝑥)=tan⁡𝑥 $\frac{\sin (3 x) - \sin (5 x)}{\cos (3 x) + \cos (5 x)} = \tan x$

47.

2⁢cos⁡(2⁢𝑥)⁢cos⁡𝑥+sin⁡(2⁢𝑥)⁢sin⁡𝑥=2sin⁡𝑥 $2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x = 2 \sin x$

48.

sin⁡(2⁢𝑥)+sin⁡(4⁢𝑥)sin⁡(2⁢𝑥)−sin⁡(4⁢𝑥)=−tan⁡(3⁢𝑥)⁢cot⁡𝑥 $\frac{\sin (2 x) + \sin (4 x)}{\sin (2 x) - \sin (4 x)} = - \tan (3 x) \cot x$

Einfaldið stæðuna í einn lið í eftirfarandi verkefnum. Teiknið síðan graf upphaflega fallsins og einfaldaða formsins til að staðfesta að þau séu eins.

49.

sin⁡(9⁢𝑡)−sin⁡(3⁢𝑡)cos⁡(9⁢𝑡)+cos⁡(3⁢𝑡) $\frac{\sin (9 t) - \sin (3 t)}{\cos (9 t) + \cos (3 t)}$

50.

2⁢sin⁡(8⁢𝑥)⁢cos⁡(6⁢𝑥)−sin⁡(2⁢𝑥) $2 \sin (8 x) \cos (6 x) - \sin (2 x)$

51.

sin⁡(3⁢𝑥)−sin⁡𝑥sin⁡𝑥 $\frac{\sin (3 x) - \sin x}{\sin x}$

52.

cos⁡(5⁢𝑥)+cos⁡(3⁢𝑥)sin⁡(5⁢𝑥)+sin⁡(3⁢𝑥) $\frac{\cos (5 x) + \cos (3 x)}{\sin (5 x) + \sin (3 x)}$

53.

sin⁡𝑥⁢cos⁡(15⁢𝑥)−cos⁡𝑥⁢sin⁡(15⁢𝑥) $\sin x \cos (15 x) - \cos x \sin (15 x)$

Viðbótarverkefni

Sannið eftirfarandi formúlur sem breyta summu í margfeldi.

54.

sin⁡𝑥−sin⁡𝑦=2sin⁡(𝑥−𝑦2)⁢cos⁡(𝑥+𝑦2) $\sin x - \sin y = 2 \sin (\frac{x - y}{2}) \cos (\frac{x + y}{2})$

55.

cos⁡𝑥+cos⁡𝑦=2cos⁡(𝑥+𝑦2)⁢cos⁡(𝑥−𝑦2) $\cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})$

Sannið samsemdina í eftirfarandi verkefnum.

56.

sin⁡(6⁢𝑥)+sin⁡(4⁢𝑥)sin⁡(6⁢𝑥)−sin⁡(4⁢𝑥)=tan(5⁢𝑥)⁢cot⁡𝑥 $\frac{\sin (6 x) + \sin (4 x)}{\sin (6 x) - \sin (4 x)} = \tan (5 x) \cot x$

57.

cos⁡(3⁢𝑥)+cos⁡𝑥cos⁡(3⁢𝑥)−cos⁡𝑥=−cot(2⁢𝑥)⁢cot⁡𝑥 $\frac{\cos (3 x) + \cos x}{\cos (3 x) - \cos x} = - \cot (2 x) \cot x$

58.

cos⁡(6⁢𝑦)+cos⁡(8⁢𝑦)sin⁡(6⁢𝑦)−sin⁡(4⁢𝑦)=cot⁡𝑦cos(7⁢𝑦)⁢sec(5⁢𝑦) $\frac{\cos (6 y) + \cos (8 y)}{\sin (6 y) - \sin (4 y)} = \cot y \cos (7 y) \sec (5 y)$

59.

cos⁡(2⁢𝑦)−cos⁡(4⁢𝑦)sin⁡(2⁢𝑦)+sin⁡(4⁢𝑦)=tan⁡𝑦 $\frac{\cos (2 y) - \cos (4 y)}{\sin (2 y) + \sin (4 y)} = \tan y$

60.

sin⁡(10⁢𝑥)−sin⁡(2⁢𝑥)cos⁡(10⁢𝑥)+cos⁡(2⁢𝑥)=tan⁡(4⁢𝑥) $\frac{\sin (10 x) - \sin (2 x)}{\cos (10 x) + \cos (2 x)} = \tan (4 x)$

61.

cos⁡𝑥−cos⁡(3⁢𝑥)=4sin2⁡𝑥⁢cos⁡𝑥 $\cos x - \cos (3 x) = 4 \sin^{2} x \cos x$

62.

(cos⁡(2⁢𝑥)−cos⁡(4⁢𝑥))₂+(sin⁡(4⁢𝑥)+sin⁡(2⁢𝑥))₂=4sin2⁡(3⁢𝑥) ${(\cos (2 x) - \cos (4 x))}^{2} + {(\sin (4 x) + \sin (2 x))}^{2} = 4 \sin^{2} (3 x)$

63.

tan⁡(𝜋4−𝑡)=1−tan⁡𝑡1+tan⁡𝑡 $\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}$