77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur

7.2 Samsemdir fyrir summu og mismun

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

notað summu- og mismunarsamsemdir kósínuss.
notað summu- og mismunarsamsemdir sínuss.
notað summu- og mismunarsamsemdir tangens.
notað samsemdir sem tengja hornaföll við fyllihorn.
notað summu- og mismunarsamsemdir til að sannprófa aðrar samsemdir.

Snævi þakið fjallið Denali, einnig nefnt Mount McKinley, rís yfir gróið landslag í Alaska. — **Mynd 1.** Denali, einnig nefnt Mount McKinley, í Denali-þjóðgarðinum í Alaska er hæsti tindur Norður-Ameríku. Samkvæmt mælingu USGS frá 2015 er hæðin 20.310 fet (6.190 m). (Mynd: Daniel A. Leifheit, Flickr)

Hvernig má mæla hæð fjalls? Hvað með fjarlægðina frá jörðinni til sólarinnar? Við leysum mörg verkefni sem virðast óleysanleg með stærðfræðiformúlum. Hornafallasamsemdir eru algengar í stærðfræðilegum sönnunum og hafa um aldir haft hagnýtt gildi, meðal annars við útreikninga á miklum fjarlægðum.

Hornafallasamsemdirnar sem við skoðum í þessum hluta má rekja til persnesks stjörnufræðings sem var uppi um 950 e.Kr. Forn-Grikkir þekktu samsvarandi tengsl miklu fyrr og settu þau fram með strengjum hrings. Samsemdir eru jöfnur sem gilda fyrir öll gildi þar sem báðar hliðar eru skilgreindar og þær hafa margvísleg not.

Í þessum hluta lærum við aðferðir sem gera okkur kleift að leysa verkefni á borð við þau sem nefnd voru hér að framan. Formúlurnar sem fylgja einfalda margar hornafallastæður og -jöfnur. Hafið í huga að í öllum þessum hluta er orðið formúla notað í sömu merkingu og orðið samsemd.

Notkun summu- og mismunarsamsemda kósínuss

Oft er auðveldara að finna nákvæmt gildi sínuss, kósínuss eða tangens horns ef rita má hornið sem summu eða mismun tveggja horna með þekkt hornafallagildi. Við getum notað sérhornin, sem sjá má á einingarhringnum á mynd 2.

Einingarhringur með sérhornum í gráðum og radíönum og hnitum samsvarandi punkta. Hornin eru mæld rangsælis frá jákvæða x-ásnum. — **Mynd 2.** Sérhorn á einingarhringnum.

Við byrjum á summu- og mismunarformúlunum fyrir kósínus. Með þeim má finna kósínus tiltekins horns ef rita má hornið sem summu eða mismun tveggja sérhorna. Sjá töflu 1.

	Summusamsemd		$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
	Mismunarsamsemd		$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

Fyrst sönnum við mismunarsamsemd kósínuss. Skoðum tvo punkta á einingarhringnum, sjá mynd 3. Geislinn frá upphafspunktinum til punktsins $P$ myndar hornið $α$ við jákvæða x-ásinn; punkturinn hefur hnitin $(\cos α; \sin α)$ . Geislinn frá upphafspunktinum til punktsins $Q$ myndar hornið $β$ við jákvæða x-ásinn; punkturinn hefur hnitin $(\cos β; \sin β)$ . Hornið $P O Q$ er því $α - β$ .

Merkjum tvo punkta til viðbótar. Punkturinn $A$ hefur hornið $(α - β)$ í pólhnitum og hnitin $(\cos (α - β); \sin (α - β))$ . Punkturinn $B$ hefur hnitin $(1; 0)$ . Þríhyrningurinn $P O Q$ fæst með snúningi þríhyrningsins $A O B$ . Því er fjarlægðin frá $P$ til $Q$ jöfn fjarlægðinni frá $A$ til $B$ .

Punktarnir P, Q, A og B liggja á einingarhring. Geislarnir OP og OQ mynda hornin α og β við jákvæða x-ásinn. Geislinn OA myndar hornið α−β og B er í (1; 0). Strengirnir PQ og AB eru jafnlangir, því þríhyrningarnir POQ og AOB fást hvor af öðrum með snúningi. — **Mynd 3.** Jafnlangir strengir á einingarhringnum.

Notum fjarlægðarformúluna til að finna fjarlægðina frá $P$ til $Q$ .

\begin{array}{l} d_{P Q} = \sqrt{{(\cos α - \cos β)}^{2} + {(\sin α - \sin β)}^{2}} \\ = \sqrt{\cos^{2} α - 2 \cos α \cos β + \cos^{2} β + \sin^{2} α - 2 \sin α \sin β + \sin^{2} β} \end{array}

Síðan beitum við Pýþagórasarsamsemdinni og einföldum.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} = \sqrt{(\cos^{2} α + \sin^{2} α) + (\cos^{2} β + \sin^{2} β) - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \end{array} \\ = \sqrt{1 + 1 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \\ = \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} \end{array}

Á sama hátt finnum við fjarlægðina frá $A$ til $B$ .

\begin{array}{l} d_{A B} = \sqrt{{(\cos (α - β) - 1)}^{2} + {(\sin (α - β) - 0)}^{2}} \\ = \sqrt{\cos^{2} (α - β) - 2 \cos (α - β) + 1 + \sin^{2} (α - β)} \end{array}

Með því að beita Pýþagórasarsamsemdinni og einfalda fæst:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} = \sqrt{(\cos^{2} (α - β) + \sin^{2} (α - β)) - 2 \cos (α - β) + 1} \end{array} \\ = \sqrt{1 - 2 \cos (α - β) + 1} \\ = \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \end{array}

Þar sem fjarlægðirnar tvær eru jafnar setjum við þær jafnar hvor annarri og einföldum.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt{2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β} = \sqrt{2 - 2 \cos (α - β)} \end{array} \\ 2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β = 2 - 2 \cos (α - β) \end{array}

Að lokum drögum við $2$ frá báðum hliðum og deilum í þær með $−2$ .

\begin{matrix} \cos α \cos β + \sin α \sin β = \cos (α - β) \end{matrix}

Þannig höfum við fengið mismunarformúlu kósínuss. Með svipuðum aðferðum má leiða út formúlu fyrir kósínus summu tveggja horna.

Dæmi 1

Nákvæmt gildi fundið með mismunarformúlu kósínuss

Notið mismunarsamsemd kósínuss til að finna nákvæmt gildi $\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6})$ .

Lausn

Notum mismunarformúlu kósínuss. Við fáum

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β \\ \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) \\ = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{1}{2}) \\ = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array} \end{array}

Dæmi 2

Nákvæmt gildi fundið með summuformúlu kósínuss

Finnið nákvæmt gildi $\cos (75^{\circ})$ .

Lausn

Þar sem $75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}$ , getum við reiknað $\cos (75^{\circ})$ með því að rita $\cos (45^{\circ} + 30^{\circ})$ . Þá fæst

\begin{array}{l} \cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - \sin (45^{\circ}) \sin (30^{\circ}) \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}

Notkun summu- og mismunarsamsemda sínuss

Summu- og mismunarformúlurnar fyrir sínus má leiða út á sama hátt og formúlurnar fyrir kósínus og þær eru svipaðar þeim.

Dæmi 3

Sínus mismunar tveggja horna reiknaður

Notið samsemdirnar fyrir summu og mismun til að reikna sínus mismunar hornanna og sýnið að a-liður sé jafn b-lið.

ⓐ $\sin (45^{\circ} - 30^{\circ})$
ⓑ $\sin (135^{\circ} - 120^{\circ})$

Lausn

ⓐ Ritum mismunarsamsemd sínuss og setjum hornin inn.
$\begin{array}{l} \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - \cos (45^{\circ}) \sin (30^{\circ}) \end{array}$
- Næst þurfum við að finna gildi hornafallastæðnanna. $\sin (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (30^{\circ}) = \frac{1}{2}$
- Nú getum við sett þessi gildi inn í jöfnuna og einfaldað. $\begin{array}{l} \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}$
ⓑ Ritum aftur mismunarsamsemd sínuss og setjum hornin inn.
$\begin{array}{l} \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (135^{\circ} - 120^{\circ}) = \sin (135^{\circ}) \cos (120^{\circ}) - \cos (135^{\circ}) \sin (120^{\circ}) \end{array}$
- Næst finnum við gildi hornafallastæðnanna. $\sin (135^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (120^{\circ}) = - \frac{1}{2}, \cos (135^{\circ}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- Nú getum við sett þessi gildi inn í jöfnuna og einfaldað. $\begin{array}{l} \sin (135^{\circ} - 120^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}$

Dæmi 4

Nákvæmt gildi stæðu með andhverfu hornafalli fundið

Finnið nákvæmt gildi $\sin (\cos^{−1} \frac{1}{2} + \sin^{−1} \frac{3}{5})$ .

Lausn

Hér reiknum við $\sin (α + β)$ . Látum $α = \cos^{−1} \frac{1}{2}$ og $β = \sin^{−1} \frac{3}{5}$ . Þá má rita

\begin{array}{l} \cos α = \frac{1}{2}, 0 \leq α \leq π \\ \sin β = \frac{3}{5}, - \frac{π}{2} \leq β \leq \frac{π}{2} \end{array}

Notum reglu Pýþagórasar fyrir hornaföll til að finna $\sin α$ og $\cos β$ . Bæði hornin eru í fyrsta fjórðungi og því veljum við jákvæðu kvaðratræturnar.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} \\ = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} \\ = \sqrt{\frac{3}{4}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos β = \sqrt{1 - \sin^{2} β} \\ = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \\ = \sqrt{\frac{16}{25}} \\ = \frac{4}{5} \end{array} \end{array}

Með summuformúlu sínuss fæst

\begin{array}{l} \sin (\cos^{−1} \frac{1}{2} + \sin^{−1} \frac{3}{5}) = \sin (α + β) \\ = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ = \frac{4 \sqrt{3} + 3}{10} \end{array}

Notkun summu- og mismunarsamsemda tangens

Nokkuð flóknara er að finna nákvæm gildi tangens af summu eða mismun tveggja horna, en aftur snýst það um að þekkja mynstrið.

Til að leiða út summusamsemd tangens deilum við summusamsemd sínuss með summusamsemd kósínuss og einföldum. Munið að $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \cos x \neq 0$ .

Við þessar umritanir verða cos α og cos β að vera frábrugðin núlli. Summu- og mismunarsamsemdir tangens gilda aðeins þar sem allir tangensliðirnir eru skilgreindir og nefnararnir 1−tan α tan β og 1+tan α tan β eru frábrugðnir núlli, eftir því hvor formúlan er notuð.

Leiðum summuformúlu tangens út.

\begin{array}{l} \tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} \\ = \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β} \\ = \frac{\frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β - \sin α \sin β}{\cos α \cos β}} & Deilum í teljara og nefnara með cos α cos β \\ = \frac{\frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} + \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{\frac{\cos α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\sin β}{\cos β}}{1 - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{array}

Á svipaðan hátt má leiða mismunarformúlu tangens út.

Dæmi 5

Nákvæmt gildi stæðu með tangens fundið

Finnið nákvæmt gildi $\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$ .

Lausn

Ritum fyrst summuformúlu tangens og setjum gefnu hornin inn í formúluna.

\begin{array}{l} \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) = \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - (\tan (\frac{π}{6})) (\tan (\frac{π}{4}))} \end{array}

Næst finnum við einstök tangensgildi í formúlunni:

\tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}, \tan (\frac{π}{4}) = 1

Þá fæst

\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}}) (1)} \\ = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}) \\ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{array}

Dæmi 6

Hornafallagildi summu og mismunar horna

Gefið er að $\sin α = \frac{3}{5}, 0 < α < \frac{π}{2}, \cos β = - \frac{5}{13}, π < β < \frac{3 π}{2}$ . Finnið eftirfarandi gildi:

ⓐ $\sin (α + β)$
ⓑ $\cos (α + β)$
ⓒ $\tan (α + β)$
ⓓ $\tan (α - β)$

Lausn

Við getum notað formúlurnar fyrir summu og mismun til að finna hornafallagildi summu eða mismunar horna þegar hornafallahlutfall er gefið fyrir hvort horn um sig. Til þess teiknum við svokallaðan viðmiðunarþríhyrning sem hjálpar okkur að finna hvern lið í formúlunum fyrir summu og mismun.

ⓐ Reiknum sínus summunnar. Gefið er að sin⁡α=35 og 0<α<π2. Því er α í fyrsta fjórðungi, mótlæg skammhlið er 3 og langhlið 5. Sjá mynd 4. Notum reglu Pýþagórasar til að finna aðlægu skammhliðina a.
$\begin{array}{l} a^{2} + 3^{2} = 5^{2} \\ a^{2} = 16 \\ a = 4 \end{array}$

Mynd 4. Viðmiðunarþríhyrningur fyrir hornið α.
- Þar sem $\cos β = - \frac{5}{13}$ og $π < β < \frac{3 π}{2}$ hefur punktur á endaarmi hornsins $β$ x-hnitið $−5$ og fjarlægðina 13 frá upphafspunktinum. Endaarmur $β$ liggur í þriðja fjórðungi. Sjá mynd 5. Látum a tákna y-hnit punktsins og notum reglu Pýþagórasar: $\begin{array}{l} {(- 5)}^{2} + a^{2} = 13^{2} \\ 25 + a^{2} = 169 \\ a^{2} = 144 \\ a = \pm 12 \end{array}$
- Þar sem endaarmur $β$ liggur í þriðja fjórðungi fæst $a = –12$ .
  Mynd 5. Hnit á endaarmi hornsins β í þriðja fjórðungi.
- Næst finnum við kósínus hornsins $α$ og sínus hornsins $β$ . Kósínus $α$ fæst með því að deila aðlægri skammhlið með langhlið í þríhyrningnum á mynd 4: $\cos α = \frac{4}{5}$ . Sínus $β$ fæst úr y-hniti og fjarlægð frá upphafspunktinum á mynd 5: $\sin β = - \frac{12}{13}$ . Nú getum við reiknað $\sin (α + β)$ . $\begin{array}{l} \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ = (\frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + (\frac{4}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = - \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \\ = - \frac{63}{65} \end{array}$
ⓑ Reiknum kósínus summunnar á sama hátt með því að setja gildin inn í summusamsemd kósínuss. $\begin{array}{l} \cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ = (\frac{4}{5}) (- \frac{5}{13}) - (\frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) \\ = - \frac{20}{65} + \frac{36}{65} \\ = \frac{16}{65} \end{array}$
ⓒ Til að reikna tangens summunnar notum við sin α = 3/5 og cos α = 4/5. Þá fæst
$\tan α = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$
- Þar sem $\sin β = - \frac{12}{13}$ og $\cos β = - \frac{5}{13}$ fæst $\tan β = \frac{\frac{- 12}{13}}{\frac{- 5}{13}} = \frac{12}{5}$
- Þá fæst $\begin{array}{l} \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ = \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = \frac{\frac{63}{20}}{- \frac{16}{20}} \\ = - \frac{63}{16} \end{array}$
ⓓ Nú þekkjum við öll gildin sem þarf til að reikna tangens mismunarins. Setjum þau inn í mismunarsamsemd tangens. $\begin{array}{l} \tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ = \frac{\frac{3}{4} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{4} (\frac{12}{5})} \\ = \frac{- \frac{33}{20}}{\frac{56}{20}} \\ = - \frac{33}{56} \end{array}$

Greining

Í verkefnum af þessu tagi er auðvelt að ætla að $α$ og $β$ séu horn í sama þríhyrningi. Svo er ekki hér. Takið einnig eftir að

\tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)}

Hornaföll og fyllihorn

Nú getum við notað summu- og mismunarsamsemdir til að tengja hornaföll við fyllihorn. Eins og kom fram í kaflanum Hornaföll í rétthyrndum þríhyrningum eru tvö jákvæð horn fyllihorn hvort annars ef summa þeirra er $\frac{π}{2}$ . Summa hvössu hornanna í rétthyrndum þríhyrningi er $\frac{π}{2}$ . Ef annað þeirra er $θ$ er hitt því $(\frac{π}{2} - θ)$ . Sjá mynd 6.

Í þríhyrningnum fæst $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ : sama hlutfall skammhliðar og langhliðar er sínus annars hvassa hornsins og kósínus hins. Því er sínus $θ$ jafn kósínus fyllihorns $θ$ . Á sama hátt tengjast tangens og kótangens annars vegar og sekans og kósekans hins vegar.

Rétthyrndur þríhyrningur með hvössu hornin θ og π/2−θ. — **Mynd 6.** Hvössu hornin í rétthyrndum þríhyrningi eru fyllihorn hvort annars.

Af þessum tengslum fást samsemdir samsvarandi hornafalla.

Takið eftir að einnig má rökstyðja formúlurnar í töflunni með algebru og formúlunum fyrir summu og mismun. Með því að nota til dæmis

\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β,

getum við ritað

\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} - θ) = \cos \frac{π}{2} \cos θ + \sin \frac{π}{2} \sin θ \\ = (0) \cos θ + (1) \sin θ \\ = \sin θ \end{array}

Dæmi 7

Samsvarandi hornafall með sama gildi og gefin stæða fundið

Ritið $\tan \frac{π}{9}$ sem kótangens fyllihornsins.

Lausn

Notum samsemdina $\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)$ . Þá fæst

\begin{array}{l} \tan (\frac{π}{9}) = \cot (\frac{π}{2} - \frac{π}{9}) \\ = \cot (\frac{9 π}{18} - \frac{2 π}{18}) \\ = \cot (\frac{7 π}{18}) \end{array}

Notkun formúlna fyrir summu og mismun til að sannprófa samsemdir

Summu- og mismunarsamsemdir má nota til að sannprófa aðrar hornafallasamsemdir. Umritum aðra hlið jöfnunnar þar til hún verður eins og hin og höldum öllum skilyrðum um að stæðurnar séu skilgreindar. Samsemdin gildir á sameiginlegu skilgreiningarmengi beggja hliða.

Gott er að hafa lista yfir samsemdir við höndina. Rifjið einnig upp almennu aðferðirnar í Einföldun og sannprófun hornafallasamsemda.

Dæmi 8

Samsemd með sínus sannprófuð

Sannprófið samsemdina $\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β$ .

Lausn

Við sjáum að vinstra megin í jöfnunni eru sínus af summu horna og sínus af mismun þeirra.

\begin{array}{l} \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{array}

Við getum umritað hvort tveggja með formúlunum fyrir summu og mismun.

\begin{array}{l} \sin (α + β) + \sin (α - β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β + \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ = 2 \sin α \cos β \end{array}

Við sjáum að samsemdin hefur verið sannprófuð.

Dæmi 9

Samsemd með tangens sannprófuð

Sannprófið eftirfarandi samsemd.

\frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β} = \tan α - \tan β

Lausn

Við getum byrjað á að umrita teljarann vinstra megin í jöfnunni.

\begin{array}{l} \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β} = \frac{\sin α \cos β - \cos α \sin β}{\cos α \cos β} \\ = \frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β} \begin{matrix}  \end{matrix} & Ritum sem tvö brot með sama nefnara . \\ = \frac{\sin α}{\cos α} - \frac{\sin β}{\cos β} & Styttum . \\ = \tan α - \tan β & Ritum með tangens . \end{array}

Við sjáum að samsemdin hefur verið sannprófuð. Oft má sannprófa tangenssamsemdir með því að rita tangens með sínus og kósínus.

Dæmi 10

Hagnýtt verkefni leyst með formúlum fyrir summu og mismun

Látum $L_{1}$ og $L_{2}$ vera tvær línur sem skerast og eru hvorki lóðréttar né hornréttar hvor á aðra. Látum $θ$ vera hvassa hornið milli $L_{1}$ og $L_{2}$ . Sjá mynd 7. Sýnið að

\tan θ = | \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}} |

þar sem $m_{1}$ og $m_{2}$ eru hallatölur $L_{1}$ og $L_{2}$ . Vísbending: Notið $\tan θ_{1} = m_{1}$ og $\tan θ_{2} = m_{2}$ .

Tvær línur, L₁ og L₂, skerast. Rauða línan L₁ er brattari og myndar hornið θ₁ við jákvæða x-ásinn. Bláa línan L₂ myndar hornið θ₂. Hvassa hornið milli línanna er θ=θ₁−θ₂. — Mynd 7. Hvassa hornið milli tveggja lína.

Lausn

Með mismunarformúlu tangens er verkefnið ekki eins óárennilegt og það kann að virðast.

\begin{array}{l} \tan θ = \tan (θ_{1} - θ_{2}) \\ = \frac{\tan θ_{1} - \tan θ_{2}}{1 + \tan θ_{1} \tan θ_{2}} \\ = \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} \end{array}

Á myndinni er θ1 stærra en θ2 og því gildir útreikningurinn hér að ofan. Almennt tökum við algildi kvótans til að fá tangens hvassa hornsins milli línanna. Ef hallatölurnar hafa margfeldið −1 eru línurnar hornréttar og tangens hornsins er óskilgreindur.

Dæmi 11

Verkefni um stagvíra kannað

Stagvír $R$ fyrir klifurvegg er festur í lóðréttan staur í 47 feta hæð. Annar stagvír, $S$ , er festur í sama staur í 40 feta hæð. Vírarnir eru festir við jörðina 50 fetum frá staurnum. Finnið hornið $α$ milli þeirra. Sjá mynd 8.

Stagvírarnir R og S eru festir í lóðréttan staur í 47 og 40 feta hæð og í sameiginlegan punkt á jörðinni, 50 fetum frá staurnum. Hornið milli R og jarðar er β og hornið milli víranna er α. — Mynd 8. Stagvírar sem mynda hornið α.

Lausn

Tökum fyrst saman upplýsingarnar á myndinni. Þar sem við þekkjum skammhliðar rétthyrndu þríhyrninganna notum við tangens: $\tan β = \frac{47}{50}$ og $\tan (β - α) = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ . Síðan notum við mismunarsamsemd tangens.

\tan (β - α) = \frac{\tan β - \tan α}{1 + \tan β \tan α}

Þegar þekktu gildin eru sett inn í formúluna fæst

\begin{array}{l} \frac{4}{5} = \frac{\frac{47}{50} - \tan α}{1 + \frac{47}{50} \tan α} \\ 4 (1 + \frac{47}{50} \tan α) = 5 (\frac{47}{50} - \tan α) \end{array}

Notum dreifiregluna og einföldum síðan stæðurnar.

\begin{array}{l} 4 (1) + 4 (\frac{47}{50}) \tan α = 5 (\frac{47}{50}) - 5 \tan α \\ 4 + 3,76 \tan α = 4,7 - 5 \tan α \\ 5 \tan α + 3,76 \tan α = 0,7 \\ 8,76 \tan α = 0,7 \\ \tan α \approx 0,07991 \\ \tan^{- 1} (0,07991) \approx 0,079741 \end{array}

Nú getum við reiknað hornið í gráðum.

α \approx 0,079741 (\frac{180}{π}) \approx {4,57}^{\circ}

Greining

Þegar hagnýtt verkefni inniheldur rétthyrndan þríhyrning kann okkur að detta í hug að leysa það með setningu Pýþagórasar. Það getur að hluta til átt við, en fer eftir því hvers verkefnið krefst og hvaða upplýsingar eru gefnar.

7.2 Verkefni hlutans

Orðleg verkefni

Útskýrið á hverju samsemdir samsvarandi hornafalla byggjast og hvenær þær eiga við.

Er aðeins ein leið til að reikna $\cos (\frac{5 π}{4})$ ? Lýsið tveimur ólíkum leiðum og reiknið gildið með báðum aðferðum til að staðfesta að þær gefi sömu niðurstöðu.

Útskýrið hvernig summu- og mismunarsamsemdir sýna hvort föllin $f (x) = \sin (x)$ og $g (x) = \cos (x)$ séu jafnstæð eða oddstæð. Vísbending: $0 - x = - x$ .

Algebruverkefni

Finnið nákvæmt gildi í eftirfarandi verkefnum.

$\cos (\frac{7 π}{12})$

$\cos (\frac{π}{12})$

$\sin (\frac{5 π}{12})$

$\sin (\frac{11 π}{12})$

$\tan (- \frac{π}{12})$

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Umritið stæðurnar í eftirfarandi verkefnum með $\sin x$ og $\cos x$ .

10.

$\sin (x + \frac{11 π}{6})$

11.

$\sin (x - \frac{3 π}{4})$

12.

$\cos (x - \frac{5 π}{6})$

13.

$\cos (x + \frac{2 π}{3})$

Einfaldið gefnu stæðuna í eftirfarandi verkefnum.

14.

$\csc (\frac{π}{2} - t)$

15.

$\sec (\frac{π}{2} - θ)$

16.

$\cot (\frac{π}{2} - x)$

17.

$\tan (\frac{π}{2} - x)$

18.

$\sin (2 x) \cos (5 x) - \sin (5 x) \cos (2 x)$

19.

$\frac{\tan (\frac{3}{2} x) - \tan (\frac{7}{5} x)}{1 + \tan (\frac{3}{2} x) \tan (\frac{7}{5} x)}$

Finnið umbeðnar upplýsingar í eftirfarandi verkefnum.

20.

Gefið er að $\sin a = \frac{2}{3}$ og $\cos b = - \frac{1}{4}$ , þar sem bæði $a$ og $b$ liggja á bilinu $[\frac{π}{2}; π)$ . Finnið $\sin (a + b)$ og $\cos (a - b)$ .

21.

Gefið er að $\sin a = \frac{4}{5}$ og $\cos b = \frac{1}{3}$ , þar sem bæði $a$ og $b$ liggja á bilinu $[0; \frac{π}{2})$ . Finnið $\sin (a - b)$ og $\cos (a + b)$ .

Finnið nákvæmt gildi hverrar stæðu í eftirfarandi verkefnum.

22.

$\sin (\cos^{- 1} (0) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

23.

$\cos (\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

24.

$\tan (\sin^{- 1} (\frac{1}{2}) - \cos^{- 1} (\frac{1}{2}))$

Myndræn verkefni

Einfaldið stæðuna í hverju verkefni með algebru og tilgreinið takmarkanir á skilgreiningarmengi. Teiknið síðan gröf upprunalegu og einfölduðu stæðunnar til að kanna hvort þau falli saman þar sem báðar stæður eru skilgreindar.

25.

$\cos (\frac{π}{2} - x)$

26.

$\sin (π - x)$

27.

$\tan (\frac{π}{3} + x)$

28.

$\sin (\frac{π}{3} + x)$

29.

$\tan (\frac{π}{4} - x)$

30.

$\cos (\frac{7 π}{6} + x)$

31.

$\sin (\frac{π}{4} + x)$

32.

$\cos (\frac{5 π}{4} + x)$

Notið gröf til að kanna hvort föllin í hverju verkefni séu jöfn þar sem bæði eru skilgreind. Ef svo er skal sýna það með algebru. Annars skal skipta seinna fallinu út fyrir stæðu sem er jöfn því fyrra á sameiginlegu skilgreiningarmengi. Tilgreinið takmarkanir á skilgreiningarmengi. Vísbending: $2 x = x + x$ .

33.

$f (x) = \sin (4 x) - \sin (3 x) \cos x$ , $g (x) = \sin x \cos (3 x)$

34.

$f (x) = \cos (4 x) + \sin x \sin (3 x), g (x) = - \cos x \cos (3 x)$

35.

$f (x) = \sin (3 x) \cos (6 x)$ , $g (x) = - \sin (3 x) \cos (6 x)$

36.

$f (x) = \sin (4 x)$ , $g (x) = \sin (5 x) \cos x - \cos (5 x) \sin x$

37.

$f (x) = \sin (2 x)$ , $g (x) = 2 \sin x \cos x$

38.

$f (θ) = \cos (2 θ)$ , $g (θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ$

39.

$f (θ) = \tan (2 θ)$ , $g (θ) = \frac{\tan θ}{1 + \tan^{2} θ}$

40.

$f (x) = \sin (3 x) \sin x$ , $g (x) = \sin^{2} (2 x) \cos^{2} x - \cos^{2} (2 x) \sin^{2} x$

41.

$f (x) = \tan (- x)$ , $g (x) = \frac{\tan x - \tan (2 x)}{1 - \tan x \tan (2 x)}$

Tækniverkefni

Finnið nákvæma gildið með algebru í eftirfarandi verkefnum og staðfestið síðan svarið með reiknivél með fjórum aukastöfum.

42.

$\sin (75^{\circ})$

43.

$\sin (195^{\circ})$

44.

$\cos (165^{\circ})$

45.

$\cos (345^{\circ})$

46.

$\tan (- 15^{\circ})$

Viðbótarverkefni

Sannið gefnu samsemdirnar í eftirfarandi verkefnum.

47.

$\tan (x + \frac{π}{4}) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}$

48.

$\frac{\tan (a + b)}{\tan (a - b)} = \frac{\sin a \cos a + \sin b \cos b}{\sin a \cos a - \sin b \cos b}$

49.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos a \cos b} = 1 - \tan a \tan b$

50.

$\cos (x + y) \cos (x - y) = \cos^{2} x - \sin^{2} y$

51.

$\frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} = \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \frac{\sin h}{h}$

Sannið eða hrekjið staðhæfingarnar í eftirfarandi verkefnum.

52.

$\tan (u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

53.

$\tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v}$

54.

$\frac{\tan (x + y)}{1 + \tan x \tan x} = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan^{2} x \tan^{2} y}$

55.

Ef $α, β$ og $γ$ eru horn í sama þríhyrningi, sannið eða afsannið að $\sin (α + β) = \sin γ$ .

56.

Ef $α, β$ og $γ$ eru horn í sama þríhyrningi og ekkert horna hans er rétt, sannið eða afsannið að $\tan α + \tan β + \tan γ = \tan α \tan β \tan γ$ .

$\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$	$\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)$
$\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)$	$\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)$
$\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)$	$\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)$