5.4 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga

Við höfum áður skilgreint sínus og kósínus horns með hnitum punktsins á einingarhringnum þar sem lokaarmur hornsins sker hringinn:

Í þessum hluta kynnumst við annarri leið til að skilgreina hornaföll með eiginleikum rétthyrndra þríhyrninga.

Í fyrri hlutum notuðum við einingarhring til að skilgreina hornaföllin. Nú víkkum við skilgreiningarnar svo að nota megi þær á rétthyrnda þríhyrninga. Gildi sínus- eða kósínusfallsins við $t$ er gildi þess fyrir horn sem er $t$ radíanar. Fyrst myndum við rétthyrndan þríhyrning. Mynd 1 sýnir punkt á einingarhring með geislann 1. Ef við drögum lóðrétt línustrik frá punktinum $(x,y)$ að x-ásnum myndast rétthyrndur þríhyrningur með lóðrétta skammhlið af lengd $y$ og lárétta skammhlið af lengd $x$. Hér er hornið hvasst og punkturinn í fyrsta fjórðungi. Við getum notað þríhyrninginn til að skilgreina sínus, kósínus og hin hornaföllin sem hlutföll hliðarlengda rétthyrnds þríhyrnings.

Við vitum að

Á sama hátt vitum við að

Þessi hlutföll gilda einnig um hliðar rétthyrnds þríhyrnings þótt enginn einingarhringur komi við sögu, þríhyrningurinn sé ekki í staðalstöðu og hann sé ekki teiknaður í hnitakerfi með hnitunum $(x,y)$. Til að geta notað hlutföllin almennt gefum við hliðunum almennari heiti. Í stað $x$ köllum við hliðina milli gefna hornsins og rétta hornsins aðlæga skammhlið við hornið $t$. Aðlæg merkir hér að hliðin liggi að horninu. Í stað $y$ köllum við hliðina á móti gefna horninu mótlæga skammhlið við hornið $t$. Í stað tölunnar $1$ notum við heitið langhlið um hliðina á móti rétta horninu. Hliðarnar eru merktar á mynd 2.

Fyrir rétthyrndan þríhyrning með hvassa hornið $t$ gildir:

Algeng minnisregla fyrir þessi tengsl er SOH–CAH–TOA, mynduð af upphafsstöfum ensku orðanna. Á íslensku segir hún: sínus er mótlæg skammhlið deilt með langhlið, kósínus er aðlæg skammhlið deilt með langhlið og tangens er mótlæg skammhlið deilt með aðlægri skammhlið.

Sömu reglur gilda um rétthyrnda þríhyrninga óháð stefnu þeirra. Við getum í raun reiknað hornaföllin sex fyrir hvort hvassa hornið sem er í þríhyrningnum á mynd 5. Mótlæg skammhlið við annað hvassa hornið er aðlæg skammhlið við hitt og öfugt.

Okkur verður falið að finna hornaföllin sex fyrir gefið horn í þríhyrningi. Fyrst finnum við sínus, kósínus og tangens hornsins. Síðan er auðvelt að finna hin hornaföllin þar sem við vitum að margföldunarandhverfa sínuss er kósekans, margföldunarandhverfa kósínuss er sekans og margföldunarandhverfa tangens er kótangens.

Við höfum þegar fjallað um tengsl hornafalla við sérhornin á einingarhringnum. Nú getum við notað tengslin til að reikna hliðarlengdir í þríhyrningum sem hafa þessi horn. Hornaföll sérhornanna hafa tiltölulega einföld gildi: hlutföll sem innihalda enga eða aðeins eina kvaðratrót. Þessi horn eru því oft notuð í verkefnum í stærðfræði og raunvísindum. Við notum margfeldi af $\mathrm{30°}$, $\mathrm{60°}$ og $\mathrm{45°}$. Þegar við vinnum með hvöss horn rétthyrndra þríhyrninga eru hornin þó alltaf stærri en 0° og minni en 90°; þau liggja því stranglega á milli $\mathrm{0°}\text{ og 90° }$.

Gerum ráð fyrir þríhyrningi með hornin $\mathrm{30°},\mathrm{60°},\mathrm{90°}$, sem eru $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$ í radíönum. Hliðarlengdirnar má þá rita $s,\sqrt{3}s,2s$. Í þríhyrningi með hornin $\mathrm{45°},\mathrm{45°},\mathrm{90°}$, eða $\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}$ í radíönum, má rita hliðarlengdirnar $s,s,\sqrt{2}s$. Þessi tengsl eru sýnd á mynd 8.

Síðan getum við notað hlutföll hliðarlengdanna til að reikna gildi hornafalla sérhornanna.

Ef við skoðum nánar tengsl sínuss og kósínuss sérhorna á einingarhringnum kemur ákveðið mynstur í ljós. Í rétthyrndum þríhyrningi með hvössu hornin $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{\pi }{3}$ er sínus $\frac{\pi }{3}$, það er $\frac{\sqrt{3}}{2}$, jafn kósínus $\frac{\pi }{6}$. Sínus $\frac{\pi }{6}$, það er $\frac{1}{2}$, er á sama hátt jafn kósínus $\frac{\pi }{3}$.

Sjá mynd 9

Þessi niðurstaða ætti ekki að koma á óvart. Eins og sést á mynd 9 er mótlæga skammhliðin við hornið $\frac{\pi }{3}$ jafnframt aðlæga skammhliðin við hornið $\frac{\pi }{6}$. Því eru $\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$ og $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$ nákvæmlega sama hlutfall sömu tveggja hliðarlengda, $\sqrt{3}s$ og $2s$. Á sama hátt eru $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$ og $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$ sama hlutfall hliðarlengdanna $s$ og $2s$.

Tengsl sínuss og kósínuss $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{\pi }{3}$ gilda einnig um hvössu hornin tvö í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi. Í öllum tilvikum er hlutfall sömu tveggja hliðarlengda sínus annars hornsins og kósínus hins. Þar sem hornasumma þríhyrnings er $\pi$ og rétta hornið er $\frac{\pi }{2}$ verður summa hinna hornanna tveggja $\frac{\pi }{2}$. Rétthyrndan þríhyrning má því mynda með hvaða tveimur jákvæðum hornum sem er ef summa þeirra er $\frac{\pi }{2}$, það er með tveimur hvössum fyllihornum. Við getum sett fram samsemd hornafalla fyllihorna: Ef tvö horn eru fyllihorn er sínus annars þeirra jafn kósínus hins og öfugt. Samsemdin er sýnd á mynd 10.

Með þessari samsemd getum við til dæmis sagt án útreikninga að sínus $\frac{\pi }{12}$ sé jafn kósínus $\frac{5\pi }{12}$ og að sínus $\frac{5\pi }{12}$ sé jafn kósínus $\frac{\pi }{12}$. Ef fyrir tiltekið horn $t$ gildir $\cos t=\frac{5}{13}$, þá gildir einnig $\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\frac{5}{13}$.

Í fyrri dæmum reiknuðum við sínus og kósínus í þríhyrningum þar sem allar þrjár hliðarnar voru þekktar. Raunverulegur styrkur hornareiknings rétthyrndra þríhyrninga kemur hins vegar í ljós þegar við skoðum þríhyrninga þar sem eitt horn er þekkt en ekki allar hliðarnar.

Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga hefur margvíslega hagnýta notkun. Með því að reikna hliðarlengdir þríhyrnings má til dæmis finna hæð á háum hlut án þess að klifra upp á hann eða leggja málband eftir allri hæðinni. Þá mælum við lárétta fjarlægð frá undirstöðu hlutarins að stað á jörðinni þaðan sem sést upp á topp hans undir ákveðnu horni. Háhorn hlutar sem er ofan við áhorfanda er hornið milli láréttu línunnar og sjónlínunnar frá auga áhorfandans að hlutnum. Við þessar aðstæður myndast rétthyrndur þríhyrningur þar sem hliðarnar tákna óþekktu hæðina, mældu fjarlægðina frá undirstöðunni og hallandi sjónlínuna frá jörðu að toppi hlutarins. Þegar fjarlægðin að undirstöðunni og horn sjónlínunnar eru þekkt má nota hornaföll til að reikna óþekktu hæðina. Á svipaðan hátt má mynda þríhyrning með því að horfa niður frá toppi hás hlutar. Lághorn hlutar sem er neðan við áhorfanda er hornið milli láréttu línunnar og sjónlínunnar frá auga áhorfandans að hlutnum. Sjá mynd 12.

Notið mynd 14 í eftirfarandi verkefnum til að finna gildi hvers hornafalls fyrir hornið $A$.

Notið mynd 15 í eftirfarandi verkefnum til að finna gildi hvers hornafalls fyrir hornið $A$.