5.3 Önnur hornaföll

Hjólastólarampur sem uppfyllir hallaviðmið bandarísku laganna um réttindi fatlaðs fólks myndar horn við jörðu með tangensgildið $\frac{1}{12}$ eða minna, óháð lengd rampsins. Tangens táknar hlutfall. Fyrir hverja 1 tommu sem rampurinn hækkar verður hann því að ná að minnsta kosti 12 tommur lárétt. Með hornaföllum getum við tilgreint lögun og hlutföll hluta án tillits til nákvæmra stærða þeirra. Við höfum þegar skilgreint sínus- og kósínusfall horns. Þótt sínus og kósínus séu mest notuðu hornaföllin eru fjögur önnur hornaföll til. Saman mynda þau hornaföllin sex. Í þessum hluta könnum við föllin sem eftir eru.

Til að skilgreina föllin sem eftir eru teiknum við aftur einingarhring með punktinum $\left(x,y\right)$ sem samsvarar horninu $t$, eins og á mynd 1. Eins og fyrir sínus og kósínus getum við notað hnitin $\left(x,y\right)$ til að finna gildi hinna fallanna.

Fyrsta fallið sem við skilgreinum er tangens. Tangens horns er hlutfall y-hnits og x-hnits samsvarandi punkts á einingarhringnum. Á mynd 1 er tangens hornsins $t$ jafn $\frac{y}{x},x\ne 0$. Þar sem y-hnitið er sínus hornsins $t$ og x-hnitið kósínus hornsins $t$ má einnig skilgreina tangens hornsins $t$ með $\frac{\sin t}{\cos t},\cos t\ne 0$. Tangensfallið er skammstafað $\text{tan}$. Gildi hinna þriggja fallanna má setja fram sem margföldunarandhverfur gilda falla sem við höfum þegar skilgreint, þar sem viðkomandi gildi eru skilgreind og frábrugðin núlli.

Þar sem við þekkjum sínus- og kósínusgildi algengra horna í fyrsta fjórðungi getum við einnig fundið hin fallgildin fyrir þau með því að láta $x$ vera jafnt kósínus og $y$ jafnt sínus og nota síðan skilgreiningar tangens, sekans, kósekans og kótangens. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 1.

Við getum reiknað gildi hornafalla fyrir horn utan fyrsta fjórðungs með viðmiðunarhornum, rétt eins og við höfum þegar gert fyrir sínus- og kósínusföllin. Aðferðin er sú sama: Finnið viðmiðunarhornið sem lokaarmur gefna hornsins myndar við lárétta ásinn. Hornafallsgildi upphaflega hornsins hafa sömu algildi og gildi viðmiðunarhornsins, en formerkið, jákvætt eða neikvætt, ræðst af x- og y-gildunum í upphaflega fjórðungnum. Mynd 4 sýnir hvaða föll eru jákvæð í hverjum fjórðungi.

Til að muna hvaða hornafallsgildi eru jákvæð í hverjum fjórðungi má nota röðina „allt – sínus – tangens – kósínus“. Orðin fjögur samsvara fjórðungunum í röð rangsælis frá fyrsta fjórðungi. Í fyrsta fjórðungi eru gildi allra hornafallanna sex jákvæð. Í öðrum fjórðungi eru aðeins sínus- og kósekansgildi jákvæð. Í þriðja fjórðungi eru aðeins tangens- og kótangensgildi jákvæð. Í fjórða fjórðungi eru aðeins kósínus- og sekansgildi jákvæð.

Til að geta notað hornaföllin sex óhindrað með bæði jákvæðum og neikvæðum hornum sem inntök þurfum við að kanna hvernig hvert fall meðhöndlar neikvætt inntak. Í ljós kemur að föllin eru verulega ólík að þessu leyti.

Skoðum fallið $f(x)=x^2$ á mynd 5. Graf fallsins er samhverft um y-ásinn. Tveir punktar á grafinu með gagnstæð x-hnit hafa alltaf sama fallgildi. Þetta samræmist útreikningunum: ${(4)}^2={(\mathrm{-4})}^2$, ${(\mathrm{-5})}^2={(5)}^2$ og svo framvegis. Fallið $f(x)=x^2$ er því jafnstætt fall, það er fall þar sem gagnstæð inntök gefa sama úttak. Það merkir að $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Skoðum nú fallið $f(x)=x^3$ á mynd 6. Grafið er ekki samhverft um y-ásinn. Tveir punktar á grafinu með gagnstæð x-hnit hafa alltaf gagnstæð y-hnit. Fallið $f(x)=x^3$ er því oddstætt fall, það er fall þar sem gagnstæð inntök gefa gagnstæð úttök. Það merkir að $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

Við getum kannað hvort hornafall er jafnstætt eða oddstætt með því að teikna einingarhring með jákvæðu og neikvæðu horni, eins og á mynd 7. Sínus jákvæða hornsins er $y.$ Sínus neikvæða hornsins er −y. Sínusfallið er því oddstætt fall. Á sama hátt getum við kannað hvert hornafallanna sex. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 2.

Við höfum kannað ýmsa eiginleika hornafalla. Nú skoðum við tengsl þeirra nánar og leiðum út nokkrar grundvallarsamsemdir. Samsemdir eru jöfnur sem gilda fyrir öll inntaksgildi þar sem báðar hliðar eru skilgreindar. Yfirleitt má leiða þær út frá skilgreiningum og tengslum sem við þekkjum. Pýþagórasarsamsemdin sem við lærðum fyrr var til dæmis leidd út frá reglu Pýþagórasar og skilgreiningum sínuss og kósínuss.

Við getum notað grundvallarsamsemdirnar til að leiða út önnur form Pýþagórasarsamsemdarinnar, ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$. Eitt form fæst með því að deila báðum hliðum með ${\cos }^{2}t$, að því gefnu að kósínus hornsins sé frábrugðinn núlli:

Hitt formið fæst með því að deila báðum hliðum með ${\sin }^{2}t$, að því gefnu að sínus hornsins sé frábrugðinn núlli:

Eins og rætt var í upphafi kaflans kallast fall sem endurtekur gildi sín með reglulegu millibili lotubundið fall. Hornaföllin eru lotubundin. Fyrir hornaföllin fjögur sínus, kósínus, kósekans og sekans gefur einn heill snúningur, eða $2\pi ,$ sömu fallgildi. Fyrir tangens og kótangens nægir hálfur snúningur til að fá sömu fallgildi.

Önnur föll geta einnig verið lotubundin. Skoðum einfaldað líkan þar sem hlaupár kemur á fjögurra ára fresti. Ef $x$ táknar ártal og $f(x)$ fjölda daga í febrúar gildir í þessu líkani að $f(x+4)=f(x)$. Talan 4 er minnsta jákvæða talan sem uppfyllir skilyrðið og nefnist lota. Lota er stysta bilið sem þarf til að fall ljúki einni heilli umferð. Hér er lotan 4 ár. Raunverulegt gregorískt tímatal hefur þó undantekningar: ár sem eru deilanleg með 100 eru ekki hlaupár nema þau séu líka deilanleg með 400. Fjögurra ára líkanið tekur ekki tillit til þeirra undantekninga.

Við höfum lært að reikna gildi hornafallanna sex fyrir algeng horn í fyrsta fjórðungi og nota þau sem viðmiðunarhorn fyrir horn í öðrum fjórðungum. Til að reikna gildi hornafalla fyrir önnur horn notum við vísindareiknivél, grafíska reiknivél eða tölvuhugbúnað. Ef reiknivélin hefur bæði gráðuham og radíanaham skal ganga úr skugga um að réttur hamur sé valinn áður en reiknað er.

Á sumum vísindareiknivélum er tangens reiknaður á sama hátt og sínus og kósínus: Sláið inn hornamálið og ýtið á TAN-hnappinn. Á grafískum reiknivélum og í tölvuforritum er fallið oft valið á undan hornamálinu. Ekki eru alltaf sérstakir hnappar merktir CSC, SEC eða COT. Þá er viðkomandi gildi reiknað með því að deila 1 með sínus-, kósínus- eða tangensgildinu, eftir því sem við á.

Ef við vinnum með gráður en reiknivélin eða hugbúnaðurinn hefur ekki gráðuham margföldum við hornamálið með umreikningsstuðlinum $\frac{\pi }{180}$ til að fá hornamálið í radíönum. Til að finna sekans hornsins $\mathrm{30°}$ má nota eftirfarandi takkröð eða inntak, eftir gerð reiknivélar:

eða