5.2 Einingarhringurinn: sínus- og kósínusföll

Langar þig í spennu? Þá skaltu íhuga ferð með Ain Dubai, hæsta parísarhjóli heims. Hjólið er í Dúbaí, fjölmennustu borg og fjármála- og ferðamannamiðstöð Sameinuðu arabísku furstadæmanna, og rís 820 fet, eða um einn og hálfan tíunda hluta úr mílu, í loft upp. Hjólið er kynnt sem útsýnishjól og farþegar njóta stórbrotins útsýnis yfir Burj Khalifa (hæstu byggingu heims) og Palm Jumeirah (manngerðan eyjaklasa þar sem búa yfir 10.000 manns og eru 20 hótel) á meðan þeir fara frá jörðu upp á hæsta punkt og aftur niður eftir endurtekinni braut. Í þessum hluta skoðum við slíka snúningshreyfingu eftir hring. Til þess þurfum við fyrst að skilgreina gerð hringsins og setja hann síðan í hnitakerfi. Þá getum við fjallað um hringhreyfingu með hnitapörum.

Til að skilgreina hornaföllin byrjum við á að teikna einingarhring, hring með miðju í upphafspunkti og geislann 1, eins og á mynd 2. Hornið $t$, mælt í radíönum, spannar boga af lengd $s$. Af formúlunni $s=rt$ og því að $r=1$ sést að fyrir einingarhring gildir $s=t$.

Munum að x- og y-ásarnir skipta hnitafletinum í fjóra hluta sem kallast fjórðungar. Fjórðungarnir eru merktir í sömu röð og jákvætt horn sveipar yfir þá. Fjórðungarnir fjórir eru merktir I, II, III og IV.

Fyrir sérhvert horn $t$ getum við táknað skurðpunkt lokaarmsins og einingarhringsins með hnitunum $\left(x,y\right)$. Hnitin $x$ og $y$ eru fallgildi hornafallanna $f(t)=\cos t$ og $f(t)=\sin t$ í sömu röð. Það merkir að $x=\cos t$ og $y=\sin t$.

Nú getum við skoðað tengsl hnitanna $\left(x,y\right)$ við bogalengdina og hornið. Sínusfallið varpar rauntölunni $t$ á y-hnit punktsins þar sem lokaarmur samsvarandi horns sker einingarhringinn. Nánar tiltekið er sínus hornsins $t$ jafn y-hniti endapunkts bogans sem hornamálið $t$ spannar á einingarhringnum. Á mynd 2 er sínusinn jafn $y$. Eins og önnur föll hefur sínusfallið inntak og úttak. Inntakið er hornamálið og úttakið er y-hnit samsvarandi punkts á einingarhringnum.

Kósínusfallið varpar hornamálinu $t$ á x-hnit endapunkts bogans sem hornið $t$ spannar á einingarhringnum. Á mynd 3 er kósínusinn jafn $x$.

Þar sem ljóst er að sínus og kósínus eru föll þurfum við ekki alltaf að nota sviga: $\sin t$ merkir það sama og $\sin (t)$ og $\cos t$ merkir það sama og $\cos (t)$. Á sama hátt er ${\cos }^{2}t$ algeng stytting á ${(\cos (t))}^2$. Athugið að margar reiknivélar og tölvuforrit þekkja ekki styttu rithættina. Notið svigana þegar útreikningar eru slegnir inn ef vafi leikur á því.

Fyrir áshorn liggur samsvarandi punktur á einingarhringnum á x- eða y-ásnum. Þá getum við auðveldlega reiknað kósínus og sínus út frá gildum $x$ og $y.$

Nú þegar við höfum skilgreint sínus og kósínus skoðum við tengsl þeirra við hvort annað og einingarhringinn. Munið að jafna einingarhringsins er $x^2+y^2=1$. Þar sem $x=\cos t$ og $y=\sin t$ getum við sett þau gildi í stað $x$ og $y$ og fengið ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$. Jafnan ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ nefnist Pýþagórasarsamsemdin. Sjá mynd 7.

Við getum notað Pýþagórasarsamsemdina til að finna kósínus horns ef sínus þess er þekktur, eða öfugt. Jafnan getur þó gefið tvær lausnir og því þurfum við frekari upplýsingar um hornið til að velja lausnina með réttu formerki. Ef við vitum í hvaða fjórðungi hornið liggur er auðvelt að velja rétta lausn.

Við höfum þegar kynnst nokkrum eiginleikum algengra horna, til dæmis umbreytingu úr radíönum í gráður. Við getum einnig reiknað sínus og kósínus þessara horna með Pýþagórasarsamsemdinni og þekkingu okkar á þríhyrningum.

Fyrst skoðum við hornin $\mathrm{45°}$ eða $\frac{\pi }{4},$ eins og sýnt er á mynd 9. Þríhyrningur með hornin $\mathrm{45°}–\mathrm{45°}–\mathrm{90°}$ er jafnarma og því eru x- og y-hnit samsvarandi punkts á hringnum jöfn. Þar sem x- og y-gildin eru jöfn eru sínus- og kósínusgildin einnig jöfn.

Við hornið $t=\frac{\pi }{4}$, eða 45°, helmingar geisli einingarhringsins fyrsta áshornið. Geislinn liggur því eftir línunni $y=x$. Geisli einingarhringsins er 1. Rétthyrndi þríhyrningurinn neðan við línuna $y=x$ hefur því skammhliðarnar $x$ og $y(y=x)$ og langhliðina 1. Sjá mynd 10.

Af reglu Pýþagórasar fæst

Setjum $y=x$ inn í jöfnuna og fáum:

Ef samstofna liðir eru teknir saman fæst

Leyst fyrir $x$ fæst:

Í fyrsta fjórðungi er $x=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Þegar $t=\frac{\pi }{4}$ eða 45 gráður gildir

Ef við eyðum síðan rótum úr nefnurunum fæst

Hnit punktsins $(x,y)$ á hring með geislann $1$ við hornið $\mathrm{45°}$ eru því $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Næst finnum við kósínus og sínus hornsins $\mathrm{30°}$, eða $\frac{\pi }{6}$. Byrjum á að teikna þríhyrning í hringnum með aðra hliðina við hornið $\mathrm{30°}$ og hina við hornið $\mathrm{-30°}$, eins og á mynd 11. Ef rétthyrndu þríhyrningarnir tveir eru sameinaðir í einn stóran þríhyrning verða öll þrjú horn hans $\mathrm{60°}$, eins og á mynd 12.

Þar sem öll hornin eru jafn stór eru hliðarnar líka jafn langar. Lóðrétta hliðin hefur lengdina $2y$ og því gildir $r=2y$, eða $y=\frac{1}{2}r$. Þar sem $\sin t=y$ fæst:

Og þar sem $r=1$ á einingarhringnum okkar gildir

Með Pýþagórasarsamsemdinni getum við fundið kósínusgildið.

Hnitin $(x,y)$ á hring með geislann $1$ við hornið $\mathrm{30°}$ eru $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$. Við hornið $t=\frac{\pi }{3}$ (60°) er geisli einingarhringsins, 1, langhlið rétthyrnda þríhyrningsins $BAD$, en horn hans eru 30°, 60° og 90°. Sjá mynd 13. Hornið $A$ er $\mathrm{60°}$. Við punktinn $B$ teiknum við hornið $ABC$ með stærðina $\mathrm{60°}$. Þar sem hornasumma þríhyrnings er $\mathrm{180°}$ er hornið $C$ líka $\mathrm{60°}$. Þríhyrningurinn er því jafnhliða. Allar hliðar þríhyrningsins $ABC$ eru jafn langar og ein þeirra er geisli einingarhringsins. Því eru þær allar 1 að lengd.

Hornið $ABD$ er 30° og tvöfalt það horn, $ABC$, er 60°. Strikið $BD$ er miðþverill striksins $AC$ og skiptir því $AC$ í tvennt. Því er $AD$ jafnt $\frac{1}{2}$ af geislanum, eða $\frac{1}{2}$. Athugið að $AD$ er x-hnit punktsins $B$, þar sem lokaarmur 60° hornsins sker einingarhringinn. Við fáum því þríhyrninginn $BAD$ með langhliðina 1 og skammhliðina $x$ af lengd $\frac{1}{2}$.

Af reglu Pýþagórasar fæst

Setjum $x=\frac{1}{2}$ inn í jöfnuna og fáum:

Leyst fyrir $y$ fæst:

Lokaarmur hornsins $t=\frac{\pi }{3}$ liggur í fyrsta fjórðungi, þar sem y-hnitið er jákvætt. Því veljum við jákvæða gildið $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Við hornið $t=\frac{\pi }{3}$ (60°) eru hnitin $(x,y)$ á hring með geislann $1$ við hornið $\mathrm{60°}$ jöfn $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Við getum því fundið sínus og kósínus hornsins.

Við höfum nú fundið kósínus- og sínusgildi allra algengustu hornanna í fyrsta fjórðungi einingarhringsins. Tafla 1 tekur gildin saman.

Mynd 14 sýnir algeng horn í fyrsta fjórðungi einingarhringsins.

Til að finna kósínus og sínus annarra horna en algengra horna notum við tölvu eða reiknivél. Athugið: Á flestum reiknivélum má velja „gráðuham“ eða „radíanaham“, sem segir reiknivélinni í hvaða einingu inntaksgildið er. Þegar við reiknum $\cos (30)$ á reiknivél túlkar hún það sem kósínus 30 gráða ef hún er í gráðuham, en sem kósínus 30 radíana ef hún er í radíanaham.

Nú þurfum við að skoða skilgreiningarmengi og myndmengi sínus- og kósínusfallanna. Hver eru skilgreiningarmengi þeirra? Eru einhver minnstu eða stærstu hornamál sem má setja inn í föllin? Horn minni en 0 eða stærri en $2\pi$ má einnig teikna á einingarhringnum og þau gefa raungildi fyrir $x,y$ og $r$. Því eru engin neðri eða efri mörk á hornamálunum sem má setja inn í sínus- og kósínusföllin. Inntakið lýsir snúningi frá jákvæða hluta x-ássins og getur verið hvaða rauntala sem er.

Hver eru myndmengi sínus- og kósínusfallanna? Hver eru minnstu og stærstu mögulegu fallgildi þeirra? Svörin sjást með því að skoða einingarhringinn á mynd 15. x-hnitið er á bilinu $[\mathrm{-1},1]$. y-hnitið er einnig á bilinu $[\mathrm{-1},1]$. Myndmengi beggja fallanna er því $[\mathrm{-1},1]$.

Við höfum fjallað um hvernig finna má sínus og kósínus horna í fyrsta fjórðungi, en hvað ef hornið liggur í öðrum fjórðungi? Fyrir sérhvert gefið horn í fyrsta fjórðungi er til horn í öðrum fjórðungi með sama sínusgildi. Þar sem sínusgildið er y-hnitið á einingarhringnum hefur hitt hornið sama y-gildi en gagnstætt x-gildi. Kósínusgildi þess er því andstæða kósínusgildis fyrra hornsins.

Á sama hátt er til horn í fjórða fjórðungi með sama kósínus og upphaflega hornið. Hornið með sama kósínus hefur sama x-gildi en gagnstætt y-gildi. Sínusgildi þess er því andstæða sínusgildis upphaflega hornsins.

Eins og sést á mynd 16 hefur hornið $\alpha$ sama sínusgildi og hornið $t$; kósínusgildin eru hins vegar gagnstæðar tölur. Hornið $\beta$ hefur sama kósínusgildi og hornið $t$; sínusgildin eru hins vegar gagnstæðar tölur.

Munið að viðmiðunarhorn horns er stærð minnsta hvassa hornsins $\mathrm{t\prime }$ sem lokaarmur hornsins $t$ myndar við lárétta ásinn. Viðmiðunarhorn er milli $0$ og $\mathrm{90°}$, eða milli $0$ og $\frac{\pi }{2}$ radíana. Þegar það er teiknað í staðalstöðu liggur lokaarmur þess í fyrsta fjórðungi. Því má nota það við útreikninga fyrir horn í öðrum, þriðja og fjórða fjórðungi, eins og á mynd 17.

Lítum aftur á parísarhjólið sem kynnt var í upphafi hlutans. Gerum ráð fyrir að farþegi taki ljósmynd þegar hann er kyrr tuttugu fetum yfir jörðu. Síðan færist hann þrjá fjórðu hluta úr hring. Hver er ný hæð hans yfir jörðu? Til að svara slíkum spurningum þurfum við að reikna sínus- eða kósínusgildi horna sem eru stærri en 90 gráður eða neikvæðra horna. Viðmiðunarhorn gera okkur kleift að reikna hornaföll fyrir horn utan fyrsta fjórðungs. Þau má einnig nota til að finna hnitin $\left(x,y\right)$ fyrir slík horn. Við notum viðmiðunarhorn snúningshornsins ásamt fjórðungnum þar sem lokaarmur hornsins liggur.

Við getum fundið kósínus og sínus sérhvers horns í hvaða fjórðungi sem er ef kósínus eða sínus viðmiðunarhornsins er þekktur. Algildi kósínuss og sínuss hornsins eru þau sömu og fyrir viðmiðunarhornið. Formerkið ræðst af fjórðungi upphaflega hornsins. Kósínusinn er jákvæður eða neikvæður eftir formerki x-gildanna í þeim fjórðungi. Sínusinn er jákvæður eða neikvæður eftir formerki y-gildanna þar.

Nú þegar við höfum lært að finna kósínus- og sínusgildi algengra horna í fyrsta fjórðungi getum við notað samhverfu og viðmiðunarhorn til að fylla inn kósínus- og sínusgildi annarra algengra horna á einingarhringnum. Þau eru sýnd á mynd 19. Gefið ykkur tíma til að læra hnitin $(x,y)$ fyrir öll helstu hornin í fyrsta fjórðungi.

Auk þess að læra gildi algengra hornanna getum við notað viðmiðunarhorn til að finna hnitin $\left(x,y\right)$ fyrir sérhvern punkt á einingarhringnum með því að nýta þekkingu okkar á viðmiðunarhornum ásamt samsemdunum

Fyrst finnum við viðmiðunarhornið sem samsvarar gefna horninu. Síðan finnum við sínus- og kósínusgildi viðmiðunarhornsins og gefum þeim formerki sem samsvara y- og x-gildunum í fjórðungnum.