66 Lotubundin föll

6.1 Gröf sínus- og kósínusfalla

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Teikna gröf afbrigða fallanna y = sin(x) og y = cos(x).
Nota fasahliðranir sínus- og kósínusferla.

Ljósmynd af regnbogalitum ljósgeisla sem liggur yfir gólfið. — **Mynd 1.** Greina má ljós í liti vegna bylgjueiginleika þess. (Mynd: „wonderferret“/Flickr)

Hvítt ljós, til dæmis sólarljós, er samsett úr mörgum bylgjulengdum sýnilegs ljóss. Þegar það fer í gegnum ljósfræðilegt prisma brotna bylgjurnar mismikið eftir bylgjulengd. Þannig má greina ljósið í liti litrófsins.

Tákna má ljósbylgjur myndrænt með sínusfallinu. Í kaflanum um hornaföll kynntumst við meðal annars sínusfallinu. Í þessum hluta túlkum við og teiknum gröf sínus- og kósínusfalla.

Gröf sínus- og kósínusfalla teiknuð

Munið að sínus- og kósínusföllin tengja rauntölugildi við x- og y-hnit punkts á einingarhringnum. Hvernig líta þau þá út á grafi í hnitakerfi? Byrjum á sínusfallinu. Við getum gert gildatöflu og notað hana til að skissa graf. Tafla 1 sýnir nokkur gildi sínusfallsins á einingarhring.

$x$

0

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

\frac{2 π}{3}

\frac{3 π}{4}

\frac{5 π}{6}

π

$\sin (x)$

0

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{1}{2}

0

Þegar punktarnir úr töflunni eru teiknaðir og haldið áfram eftir x-ásnum kemur lögun sínusfallsins í ljós. Sjá mynd 2.

Graf af sin(x). Staðbundið hágildi er í (π/2, 1). Staðbundið lággildi er í (3π/2, −1). Lotan er 2π. — **Mynd 2.** Sínusfallið

Takið eftir að sínusgildin eru jákvæð milli 0 og $π,$ sem samsvarar gildum sínusfallsins í I. og II. fjórðungi einingarhringsins, en neikvæð milli $π$ og $2 π,$ sem samsvarar gildum þess í III. og IV. fjórðungi. Sjá mynd 3.

Einingarhringur og graf af sin(x) hlið við hlið. Gröfin tvö sýna samsvörun hnitanna. — **Mynd 3.** Gildi sínusfallsins teiknuð

Skoðum nú kósínusfallið á svipaðan hátt. Aftur getum við gert gildatöflu og notað hana til að skissa graf. Tafla 2 sýnir nokkur gildi kósínusfallsins á einingarhring.

x

0

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

\frac{2 π}{3}

\frac{3 π}{4}

\frac{5 π}{6}

π

\cos (x)

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{1}{2}

0

- \frac{1}{2}

- \frac{\sqrt{2}}{2}

- \frac{\sqrt{3}}{2}

- 1

Líkt og fyrir sínusfallið getum við teiknað punkta og myndað graf kósínusfallsins, eins og sýnt er á mynd 4.

Graf af cos(x). Staðbundin hágildi eru í (0,1) og (2π, 1). Staðbundið lággildi er í (π, −1). Lotan er 2π. — **Mynd 4.** Kósínusfallið

Þar sem reikna má sínus og kósínus sérhverrar rauntölu eru bæði föllin skilgreind fyrir allar rauntölur. Þegar litið er á sínus- og kósínusgildin sem hnit punkta á einingarhring sést að myndmengi beggja falla verður að vera bilið $[- 1, 1] .$

Í báðum gröfum endurtekur lögunin sig eftir $2 π,$ sem þýðir að föllin eru lotubundin með lotuna $2 π .$ Lotubundið fall er fall þar sem tiltekin lárétt hliðrun, P, gefur fall sem er jafnt upphaflega fallinu: $f (x + P) = f (x)$ fyrir öll gildi $x$ í skilgreiningarmengi $f .$ Þegar þetta gildir köllum við minnstu slíku láréttu hliðrunina með $P > 0$ lotu fallsins. Mynd 5 sýnir nokkrar lotur sínus- og kósínusfallanna.

Gröf sínus- og kósínusfallsins, hvort fyrir ofan annað. Á báðum gröfum er ein lota merkt frá 0 til 2π. — **Mynd 5.** Lotan 2π á gröfum sínus- og kósínusfallsins.

Þegar sínus- og kósínusföllin eru aftur skoðuð á skilgreiningarmengi með miðju á y-ásnum koma samhverfur þeirra í ljós. Eins og sést á mynd 6 er sínusfallið punktsamhverft um upphafspunktinn. Í hlutanum um önnur hornaföll kom fram út frá einingarhringnum að sínusfallið er oddstætt, því $\sin (- x) = - \sin x .$ Nú sést þessi eiginleiki skýrt á grafinu.

Graf af sin(x) sem sýnir að sin(x) er oddstætt fall vegna punktsamhverfu grafsins. — **Mynd 6.** Oddstæð samhverfa sínusfallsins

Mynd 7 sýnir að kósínusfallið er samhverft um y-ásinn. Áður kom fram að kósínusfallið er jafnstætt. Nú sést á grafinu að $\cos (- x) = \cos x .$

Graf af cos(x) sem sýnir að cos(x) er jafnstætt fall vegna ássamhverfu grafsins. — **Mynd 7.** Jafnstæð samhverfa kósínusfallsins

Sínuslaga föll rannsökuð

Sínus- og kósínusföllin eru lotubundin og hafa ákveðið myndmengi. Bylgjur á hafi eða gárur á tjörn geta líkst gröfum þessara falla en eru þó ekki allar eins. Sumar eru hærri eða lengri en aðrar. Fall með sömu almennu lögun og sínus- eða kósínusfall kallast sínuslaga fall. Almenn form slíkra falla eru:

\begin{array}{l} y = A \sin (B x - C) + D \\ og \\ y = A \cos (B x - C) + D \end{array}

Lota sínuslaga falla ákvörðuð

Af formum sínuslaga falla sést að þau eru ummyndanir sínus- og kósínusfallanna. Nota má þekkingu okkar á ummyndunum til að ákvarða lotuna.

Stuðullinn $B$ tengist lotunni samkvæmt formúlunni $P = \frac{2 π}{| B |}$ . Hér gerum við ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Ef $| B | > 1$ er lotan styttri en $2 π$ og grafið þjappast saman lárétt. Ef $| B | < 1$ , þar sem B er ekki núll, er lotan lengri en $2 π$ og grafið teygist lárétt. Fyrir $f (x) = \sin (x)$ er $B = 1$ og lotan því $2 π$ . Ef $f (x) = \sin (2 x)$ er $B = 2$ , lotan $π$ og grafið samþjappað. Ef $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ er $B = \frac{1}{2}$ , lotan $4 π$ og grafið teygt. Mynd 8 sýnir að lotan er í öfugu hlutfalli við $| B |$ .

Graf með þremur ferlum. x-ásinn nær frá 0 til 2π og y-ásinn frá −1 til 1. Fyrsti ferillinn er graf af sin(x) yfir eina heila lotu. Annar er graf af sin(2x) yfir tvær lotur. Þriðji er graf af sin(x/2) yfir hálfa lotu. — **Mynd 8.** Samanburður á lotum fallanna sin(x), sin(2x) og sin(x/2).

Dæmi 1

Lota sínus- eða kósínusfalls fundin

Ákvarðið lotu fallsins $f (x) = \sin (\frac{π}{6} x) .$

Lausn

Byrjum á að bera jöfnuna saman við almenna formið $y = A \sin (B x) .$

Í gefinni jöfnu er $B = \frac{π}{6}$ og því er lotan:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} P = \frac{2 π}{| B |} \end{array} \\ = \frac{2 π}{\frac{π}{6}} \\ = 2 π \cdot \frac{6}{π} \\ = 12 \end{array}

Útslag ákvarðað

Við höfum skoðað hvernig stuðullinn $B$ tengist lotunni. Skoðum nú $A$ og tengsl hans við útslagið, það er mestu fjarlægð frá miðlínu grafsins. Stuðullinn $A$ stýrir lóðréttri teygju eða samþjöppun og algildi hans, $| A |$ , er útslagið. Hágildispunktarnir eru í fjarlægðinni $| A |$ ofan við miðlínuna $y = D$ . Hér er $D = 0$ og miðlínan því x-ásinn. Lággildispunktarnir eru jafn langt neðan við miðlínuna. Ef $| A | > 1$ teygist grafið lóðrétt. Útslag fallsins $f (x) = 4 \sin x$ er til dæmis tvöfalt útslag fallsins $f (x) = 2 \sin x$ . Ef $| A | < 1$ þjappast grafið saman lóðrétt. Mynd 9 ber saman sínusföll með mismunandi útslag.

Graf með fjórum ferlum. x-ásinn nær frá −6π til 6π og y-ásinn frá −4 til 4. Fyrsti ferillinn er graf af sin(x) með útslagið 1. Annar er graf af 2sin(x) með útslagið 2. Þriðji er graf af 3sin(x) með útslagið 3. Fjórði er graf af 4 sin(x) með útslagið 4. — **Mynd 9.** Sínusferlar með útslögin 1, 2, 3 og 4.

Dæmi 2

Útslag sínus- eða kósínusfalls fundið

Hvert er útslag sínuslaga fallsins $f (x) = −4 \sin (x) ?$ Er fallið teygt eða samþjappað lóðrétt?

Lausn

Byrjum á að bera fallið saman við einfaldaða formið $y = A \sin (B x) .$

Í gefna fallinu er $A = −4,$ svo útslagið er $| A | = | −4 | = 4.$ Fallið er teygt.

Greining

Neikvætt gildi $A$ speglar sínusfallið um x-ásinn, eins og sýnt er á mynd 10.

Graf af −4sin(x). Fallið hefur útslagið 4. Staðbundin lággildi eru í (−3π/2, −4) og (π/2, −4). Staðbundin hágildi eru í (−π/2, 4) og (3π/2, 4). Lotan er 2π. — Mynd 10. Graf fallsins −4sin(x).

Gröf afbrigða y = sin x og y = cos x greind

Nú þegar við skiljum hvernig $A$ og $B$ tengjast almennum jöfnum sínus- og kósínusfallanna skoðum við breyturnar $C$ og $D .$ Rifjum upp almenna formið:

\begin{matrix} y = A \sin (B x - C) + D og y = A \cos (B x - C) + D \\ eða \\ y = A \sin (B (x - \frac{C}{B})) + D og y = A \cos (B (x - \frac{C}{B})) + D \end{matrix}

Gildið $\frac{C}{B}$ kallast fasahliðrun sínuslaga falls og lýsir láréttri tilfærslu frá grunnfallinu. Ef B er jákvætt hliðrast grafið til hægri þegar $C > 0$ og til vinstri þegar $C < 0$ . Fyrir fast, jákvætt B verður hliðrunin meiri eftir því sem $| C |$ er stærra. Almennt ræður formerki kvótans C/B stefnunni. Mynd 11 sýnir að graf fallsins $f (x) = \sin (x - π)$ hliðrast til hægri um $π$ einingar. Það er meiri hliðrun en hjá $f (x) = \sin (x - \frac{π}{4})$ , þar sem hliðrunin er $\frac{π}{4}$ einingar til hægri.

Graf með þremur ferlum. Fyrsti ferillinn er graf af sin(x). Annar er graf af sin(x−π/4), sem er eins og sin(x) hliðrað til hægri um π/4. Þriðji er graf af sin(x−π), sem er eins og sin(x) hliðrað til hægri um π. — **Mynd 11.** Samanburður á sínusfalli og tveimur fasahliðrunum þess.

Stærðin $C$ tengist láréttri hliðrun en $D$ táknar lóðrétta hliðrun grafsins frá grunnfallinu. Sjá mynd 12. Miðlína fallsins $y = \cos (x) + D$ er $y = D$ .

Graf af y=Asin(x)+D. Miðlína fallsins er y=D. — **Mynd 12.** Miðlína sínuslaga falls er línan y=D.

Sérhvert gildi $D$ annað en núll hliðrar grafinu upp eða niður. Mynd 13 ber saman $f (x) = \sin (x)$ og $f (x) = \sin (x) + 2,$ sem er hliðrað 2 einingar upp.

Graf með tveimur ferlum. Fyrsti ferillinn er graf af sin(x). Annar er graf af sin(x)+2, sem er eins og sin(x) hliðrað upp um 2. — **Mynd 13.** Graf sínusfalls hliðrað upp um 2 einingar.

Dæmi 3

Fasahliðrun falls fundin

Ákvarðið stefnu og stærð fasahliðrunar fallsins $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) - 2.$

Lausn

Byrjum á að bera jöfnuna saman við almenna formið $y = A \sin (B x - C) + D .$

Í gefinni jöfnu sést að $B = 1$ og $C = - \frac{π}{6} .$ Fasahliðrunin er því

\begin{array}{r} \frac{C}{B} = - \frac{\frac{π}{6}}{1} \\ = - \frac{π}{6} \end{array}

eða $\frac{π}{6}$ einingar til vinstri.

Greining

Gæta þarf að formerkinu í almenna formi sínuslaga falls. Mínusmerki stendur fyrir framan $C$ . Því má umrita $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) - 2$ sem $f (x) = \sin (x - (- \frac{π}{6})) - 2$ . Hér er B = 1 og því veldur neikvætt gildi $C$ hliðrun til vinstri.

Dæmi 4

Lóðrétt hliðrun falls fundin

Ákvarðið stefnu og stærð lóðréttrar hliðrunar fallsins $f (x) = \cos (x) - 3.$

Lausn

Byrjum á að bera jöfnuna saman við almenna formið $y = A \cos (B x - C) + D .$

Í gefinni jöfnu er $D = −3$ svo hliðrunin er 3 einingar niður.

Dæmi 5

Afbrigði sínuslaga falls fundin út frá jöfnu

Ákvarðið miðlínu, útslag, lotu og fasahliðrun fallsins $y = 3 \sin (2 x) + 1.$

Lausn

Byrjum á að bera jöfnuna saman við almenna formið $y = A \sin (B x - C) + D .$

$A = 3,$ svo útslagið er $| A | = 3.$

Næst er $B = 2,$ svo lotan er $P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{2} = π .$

Enginn fasti er lagður við inni í sviganum, svo $C = 0$ og fasahliðrunin er $\frac{C}{B} = \frac{0}{2} = 0.$

Að lokum er $D = 1,$ svo miðlínan er $y = 1.$

Greining

Af grafinu sést að lotan er $π$ , miðlínan er $y = 1$ og útslagið er 3. Sjá mynd 14.

Graf af y=3sin(2x)+1. Grafið hefur útslagið 3, miðlínuna y=1 og lotuna π. Staðbundið hágildi er í (π/4, 4) og staðbundið lággildi í (3π/4, −2). — Mynd 14. Útslag, miðlína og lota fallsins 3sin(2x)+1.

Dæmi 6

Jafna sínuslaga falls fundin út frá grafi

Ákvarðið formúlu kósínusfallsins á mynd 15.

Graf af −0,5cos(x)+0,5 með útslagið 0,5, lotuna 2π og myndmengið [0, 1]. Grunnfallið cos(x) hefur verið speglað um x-ásinn, þjappað saman lóðrétt með stuðlinum 0,5 og hliðrað upp um 0,5. — Mynd 15. Kósínuslaga graf með merktum ásum.

Lausn

Til að ákvarða jöfnuna þurfum við að finna hvert gildi í almennu formi sínuslaga falls.

\begin{array}{l} y = A \sin (B x - C) + D \\ y = A \cos (B x - C) + D \end{array}

Grafið gæti táknað hliðrað eða speglað sínus- eða kósínusfall. Við $x = 0$ er lággildispunkturinn $(0, 0)$ . Þar sem kósínusfallið hefur útgildi við $x = 0$ veljum við að rita jöfnuna með kósínusfalli.

Byrjum á miðlínunni. Grafið nær jafn langt ofan og neðan við línuna $y = 0,5$ . Stærðin $D$ táknar hæð miðlínunnar og því er $D = 0,5$ .

Mesta fjarlægð yfir og undir miðlínunni er útslagið. Hágildin eru 0,5 einingar yfir miðlínunni og lággildin 0,5 einingar undir henni. Því er $| A | = 0,5.$ Einnig hefði mátt ákvarða útslagið með því að sjá að hæðarmunur staðbundinna hágilda og lággilda er 1, svo $| A | = \frac{1}{2} = 0,5.$ Grafið er jafnframt speglað um x-ásinn, svo $A = - 0,5.$

Grafið er hvorki teygt né samþjappað lárétt og því veljum við $B = 1$ . Það er heldur ekki hliðrað lárétt og því er $C = 0$ .

Þegar þetta er tekið saman fæst

g (x) = - 0,5 \cos (x) + 0,5

Dæmi 7

Jafna sínuslaga falls fundin út frá grafi

Ákvarðið jöfnu sínuslaga fallsins á mynd 17.

Graf af 3cos(π/3x−π/3)−2. Grafið hefur útslagið 3, lotuna 6 og myndmengið [−5,1]. — Mynd 17. Sínuslaga graf til að ákvarða jöfnu falls.

Lausn

Hæsta gildið er 1 og lægsta gildið $−5,$ svo miðlínan liggur mitt á milli þeirra við $−2.$ Því er $D = −2.$

Fjarlægðin frá miðlínunni að hæsta eða lægsta gildinu gefur útslagið $| A | = 3.$

Lotan er 6, sem sést af fjarlægðinni frá hágildispunktinum við $x = 1$ að þeim næsta við $x = 7$ . Sama fjarlægð er milli samliggjandi lággildispunkta. Því er $P = \frac{2 π}{| B |} = 6$ . Við veljum jákvætt gildi fyrir $B$ og fáum:

B = \frac{2 π}{P} = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}

Hingað til er jafnan annaðhvort $y = 3 \sin (\frac{π}{3} x - C) - 2$ eða $y = 3 \cos (\frac{π}{3} x - C) - 2.$ Fyrir lögunina og hliðrunina höfum við fleiri en einn kost. Rita mætti fallið á hvern eftirfarandi hátta:

kósínusfall hliðrað til hægri
neikvætt kósínusfall hliðrað til vinstri
sínusfall hliðrað til vinstri
neikvætt sínusfall hliðrað til hægri

Við veljum kósínusfallið. Hágildispunkturinn, sem annars væri við $x = 0$ , er við $x = 1$ . Þar sem stuðullinn B er $\frac{π}{3}$ og hliðrunin er 1 fæst $C = 1 \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{3}$ .

Þótt allar þessar framsetningar séu réttar er auðveldara að vinna með kósínushliðranirnar í þessu tilviki, því þar koma fyrir heiltölugildi. Fallið verður því

y = 3 \cos (\frac{π}{3} x - \frac{π}{3}) - 2 eða y = - 3 \cos (\frac{π}{3} x + \frac{2 π}{3}) - 2

Föllin eru jafngild og gefa því sama graf.

Gröf afbrigða y = sin x og y = cos x teiknuð

Í þessum hluta höfum við kynnst afbrigðum sínus- og kósínusfalla og notað þá þekkingu til að rita jöfnur út frá gröfum. Nú getum við notað sömu upplýsingar til að teikna gröf út frá jöfnum.

Í stað þess að einblína á almennu jöfnurnar

y = A \sin (B x - C) + D og y = A \cos (B x - C) + D

setjum við $C = 0$ og $D = 0$ og vinnum með einfölduð form jafnanna í eftirfarandi dæmum.

Dæmi 8

Graf falls teiknað og útslag og lota fundin

Skissið graf af $f (x) = - 2 \sin (\frac{π x}{2}) .$

Lausn

Byrjum á að bera jöfnuna saman við formið $y = A \sin (B x) .$

Skref 1. Af jöfnunni sést að $A = - 2,$ svo útslagið er 2. $| A | = 2$
Skref 2. Jafnan sýnir að $B = \frac{π}{2},$ svo lotan er $\begin{array}{l} P = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} \\ = 2 π \cdot \frac{2}{π} \\ = 4 \end{array}$
Skref 3. Þar sem $A$ er neikvætt lækkar grafið þegar farið er til hægri frá upphafspunktinum.
Skref 4–7. Grafið sker x-ásinn við upphaf lotunnar, $x = 0$ , við miðja lotuna, $x = 2$ , og við lok hennar, $x = 4$ .

Fjórðungspunktarnir fela í sér lággildið við $x = 1$ og hágildið við $x = 3.$ Staðbundið lággildi er 2 einingar undir miðlínunni við $x = 1,$ og staðbundið hágildi 2 einingar yfir miðlínunni við $x = 3.$ Mynd 19 sýnir graf fallsins.

Graf af −2sin((π/2)x). Grafið hefur myndmengið [−2,2], lotuna 4 og útslagið 2. — Mynd 19. Graf fallsins −2sin((π/2)x) með fimm lykilpunktum einnar lotu.

Dæmi 9

Graf ummyndaðs sínuslaga falls teiknað

Skissið graf af $f (x) = 3 \sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4}) .$

Lausn

Skref 1. Fallið er þegar ritað á almennu formi: $f (x) = 3 \sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4}) .$ Grafið hefur lögun sínusfalls, byrjar á miðlínunni og vex til hægri.
Skref 2. $| A | = | 3 | = 3.$ Útslagið er 3.
Skref 3.
- Þar sem $| B | = | \frac{π}{4} | = \frac{π}{4},$ ákvörðum við lotuna á eftirfarandi hátt. $P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{\frac{π}{4}} = 2 π \cdot \frac{4}{π} = 8$
- Lotan er 8.
Skref 4.
- Þar sem $C = \frac{π}{4},$ er fasahliðrunin $\frac{C}{B} = \frac{\frac{π}{4}}{\frac{π}{4}} = 1.$
- Fasahliðrunin er 1 eining.
Skref 5. Mynd 20 sýnir graf fallsins.
Mynd 20. Sínuslaga fall sem hefur verið teygt bæði lárétt og lóðrétt og hliðrað til hægri.

Dæmi 10

Eiginleikar sínuslaga falls fundnir

Fyrir $y = - 2 \cos (\frac{π}{2} x + π) + 3,$ ákvarðið útslag, lotu, fasahliðrun og lóðrétta hliðrun. Teiknið síðan graf fallsins.

Lausn

Byrjið á að bera jöfnuna saman við almenna formið og fylgið skrefunum í dæmi 9.

y = A \cos (B x - C) + D

Skref 1. Fallið er þegar ritað á almennu formi.
Skref 2. Þar sem $A = - 2,$ er útslagið $| A | = 2.$
Skref 3. $| B | = \frac{π}{2},$ svo lotan er $P = \frac{2 π}{| B |} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 2 π \cdot \frac{2}{π} = 4.$ Lotan er 4.
Skref 4. $C = - π,$ svo fasahliðrunin er $\frac{C}{B} = \frac{- π}{\frac{π}{2}} = - π \cdot \frac{2}{π} = - 2.$ Fasahliðrunin er $- 2.$
Skref 5. Þar sem $D = 3$ er miðlínan $y = 3$ og grafið hefur hliðrast upp um 3 einingar.

Þar sem $A$ er neikvætt hefur graf kósínusfallsins verið speglað um x-ásinn.

Mynd 21 sýnir graf fallsins og lengd einnar lotu.

Graf af −2cos((π/2)x+π)+3. Grafið hefur útslagið 2, miðlínuna y=3 og lotuna 4. — Mynd 21. Útslag, miðlína og lota ummyndaðs kósínusfalls.

Ummyndanir sínus- og kósínusfalla notaðar

Nota má ummyndanir sínus- og kósínusfalla í fjölmörgum hagnýtum verkefnum. Eins og nefnt var í upphafi kaflans má lýsa hringhreyfingu með annaðhvort sínus- eða kósínusfalli.

Dæmi 11

Lóðréttur þáttur hringhreyfingar fundinn

Punktur hreyfist eftir hring með geislann 3 og miðju í upphafspunkti. Snúningshornið er mælt frá jákvæða x-ásnum, jákvætt rangsælis. Skissið graf af y-hniti punktsins sem falli af snúningshorninu.

Lausn

Munið að fyrir punkt á hring með geislann r er y-hnit punktsins $y = r \sin (x),$ svo hér fæst jafnan $y (x) = 3 \sin (x) .$ Fastinn 3 teygir y-gildi fallsins lóðrétt með stuðlinum 3, eins og sést á grafinu á mynd 22.

Graf af 3sin(x). Grafið hefur lotuna 2π, útslagið 3 og myndmengið [−3,3]. — Mynd 22. Graf y-hnits punkts á hring með geislann 3.

Greining

Lota fallsins er enn $2 π$ . Við komum aftur að punktinum $(3, 0)$ þegar $x = 2 π, 4 π, 6 π, ..$ . Fallgildin sveiflast milli $- 3$ og $3$ og útslagið er því $3$ .

Dæmi 12

Lóðréttur þáttur hringhreyfingar fundinn

Hringur með geislann 3 fet er festur þannig að miðja hans er 4 fet yfir jörðu. Punkturinn næst jörðu er merktur P, eins og sýnt er á mynd 23. Skissið graf af hæð punktsins $P$ yfir jörðu þegar hringnum er snúið og finnið síðan fall sem gefur hæðina sem fall af snúningshorninu.

Hringur með geislann 3 fet. Miðja hans er 4 fet yfir jörðu og punkturinn P er merktur neðst á hringferlinum. — Mynd 23. Hringur með geislann 3 fet og miðju 4 fet yfir jörðu.

Lausn

Hæð punktsins er fyrst 1 fet yfir jörðu og hækkar síðan í 7 fet. Hún sveiflast 3 fet upp og niður frá miðlínunni í 4 feta hæð, eins og sýnt er á mynd 24.

Graf af −3cos(x)+4 með miðlínuna y=4, útslagið 3 og lotuna 2π. — Mynd 24. Hæð punktsins P sem fall af snúningshorni.

Þótt nota mætti ummyndun annaðhvort sínus- eða kósínusfalls leitum við fyrst að einkennum sem gera annað fallið auðveldara í notkun. Við veljum kósínusfall því það byrjar í hæsta eða lægsta gildinu, en sínusfall byrjar á miðlínunni. Hefðbundið kósínusfall byrjar í hæsta gildinu en þetta graf í því lægsta, svo spegla þarf grafið lóðrétt.

Næst sjáum við að grafið sveiflast 3 yfir og undir miðjuna, en grunnkósínusfall hefur útslagið 1. Grafið hefur því verið teygt lóðrétt með stuðlinum 3, eins og í síðasta dæmi.

Að lokum þarf að færa miðju hringsins upp í hæðina 4 og því hefur grafinu verið hliðrað 4 upp. Þegar þessar ummyndanir eru teknar saman fæst

y = - 3 \cos (x) + 4

Dæmi 13

Hæð farþega í parísarhjóli ákvörðuð

Í þessu líkani af parísarhjólinu London Eye er þvermálið 135 metrar (um 443 fet). Hjólið snýst með jöfnum hraða og fer einn hring á 30 mínútum. Farþegi stígur um borð í lægsta punkti af palli 2 metra yfir jörðu. Setjið hæð hans yfir jörðu fram sem fall af tíma í mínútum frá því ferðin hefst.

Lausn

Þar sem þvermál hjólsins er 135 m er geisli þess 67,5 m. Hæðin sveiflast með útslagið 67,5 m yfir og undir miðjuna.

Farþegar stíga um borð 2 m yfir jörðu, svo miðja hjólsins hlýtur að vera $67,5 + 2 = 69,5$ m yfir jörðu. Miðlína sveiflunnar er því í 69,5 m hæð.

Hjólið er 30 mínútur að fara 1 hring, svo hæðin sveiflast með lotuna 30 mínútur.

Þar sem farþeginn stígur um borð í lægsta punktinum byrjar hæðin í minnsta gildinu og vex síðan samkvæmt lögun lóðrétt speglaðs kósínusferils.

Útslagið er $67,5$ . Stærð stuðulsins er því $A = 67,5$ ; speglunin er tekin með í neikvæða kósínusnum hér að neðan.
Miðlína: $69,5,$ svo $D = 69,5$
Lota: $30,$ svo $B = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}$
Lögun: $−cos (t)$

Jafna fyrir hæð farþegans er

y = - 67,5 \cos (\frac{π}{15} t) + 69,5

þar sem $t$ er mælt í mínútum og $y$ í metrum.

6.1 Verkefni kaflahlutans

Munnleg verkefni

Hvers vegna kallast sínus- og kósínusföllin lotubundin föll?

Hvernig er grafið af $y = \sin x$ samanborið við grafið af $y = \cos x ?$ Útskýrið hvernig hliðra mætti grafinu af $y = \sin x$ lárétt til að fá $y = \cos x .$

Hvaða fastar hafa áhrif á myndmengi fallsins $A \cos (B x + C) + D$ og hvernig breyta þeir því?

Hvernig tengist myndmengi hliðraðs sínusfalls jöfnunni $y = A \sin (B x + C) + D ?$

Hvernig má nota einingarhringinn til að teikna graf af $f (t) = \sin t ?$

Myndræn verkefni

Teiknið tvær heilar lotur hvers falls í eftirfarandi verkefnum og tilgreinið útslag, lotu og miðlínu. Tilgreinið hæsta og lægsta y-gildi og samsvarandi x-gildi þeirra á einni lotu fyrir $x > 0.$ Námundið svör að tveimur aukastöfum ef þörf krefur.

$f (x) = 2 \sin x$

$f (x) = \frac{2}{3} \cos x$

$f (x) = - 3 \sin x$

$f (x) = 4 \sin x$

10.

$f (x) = 2 \cos x$

11.

$f (x) = \cos (2 x)$

12.

$f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x)$

13.

$f (x) = 4 \cos (π x)$

14.

$f (x) = 3 \cos (\frac{6}{5} x)$

15.

$y = 3 \sin (8 (x + 4)) + 5$

16.

$y = 2 \sin (3 x - 21) + 4$

17.

$y = 5 \sin (5 x + 20) - 2$

Teiknið eina heila lotu hvers falls í eftirfarandi verkefnum og byrjið við $x = 0.$ Tilgreinið útslag, lotu og miðlínu hvers falls. Tilgreinið hæsta og lægsta y-gildi og samsvarandi x-gildi þeirra á einni lotu fyrir $x > 0.$ Tilgreinið fasahliðrun og lóðrétta hliðrun ef við á. Námundið svör að tveimur aukastöfum ef þörf krefur.

18.

$f (t) = 2 \sin (t - \frac{5 π}{6})$

19.

$f (t) = - \cos (t + \frac{π}{3}) + 1$

20.

$f (t) = 4 \cos (2 (t + \frac{π}{4})) - 3$

21.

$f (t) = - \sin (\frac{1}{2} t + \frac{5 π}{3})$

22.

$f (x) = 4 \sin (\frac{π}{2} (x - 3)) + 7$

23.

Ákvarðið útslag, miðlínu, lotu og jöfnu með sínusfalli fyrir grafið á mynd 26.

Sínuslaga graf með útslagið 2, myndmengið [−5, −1], lotuna 4 og miðlínuna y=−3. — Mynd 26. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

24.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með kósínusfalli fyrir grafið á mynd 27.

Graf með kósínusgrunnfalli, útslagið 3, lotuna π, miðlínuna y=−1 og myndmengið [−4,2]. — Mynd 27. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

25.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með kósínusfalli fyrir grafið á mynd 28.

Graf með kósínusgrunnfalli, útslagið 2, lotuna 5, miðlínuna y=3 og myndmengið [1,5]. — Mynd 28. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

26.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með sínusfalli fyrir grafið á mynd 29.

Sínuslaga graf með útslagið 4, lotuna 10, miðlínuna y=0 og myndmengið [−4,4]. — Mynd 29. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

27.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með kósínusfalli fyrir grafið á mynd 30.

Graf með kósínusgrunnfalli, myndmengið [−4,4], útslagið 4 og lotuna 2. — Mynd 30. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

28.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með sínusfalli fyrir grafið á mynd 31.

Graf með sínusgrunnfalli. Útslagið er 2, lotan 2 og miðlínan y=0. — Mynd 31. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

29.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með kósínusfalli fyrir grafið á mynd 32.

Graf með kósínusgrunnfalli. Útslagið er 2, lotan 2 og miðlínan y=1. — Mynd 32. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

30.

Ákvarðið útslag, lotu, miðlínu og jöfnu með sínusfalli fyrir grafið á mynd 33.

Graf með sínusgrunnfalli. Útslagið er 1, lotan 4 og miðlínan y=0. — Mynd 33. Sínuslaga graf til greiningar í verkefni.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi verkefnum er $f (x) = \sin x$ .

31.

Leysið jöfnuna $f (x) = 0$ á bilinu $[0, 2 π)$ .

32.

Leysið jöfnuna $f (x) = \frac{1}{2}$ á bilinu $[0, 2 π)$ .

33.

Reiknið $f (\frac{π}{2}) .$

34.

Finnið öll gildi $x$ sem uppfylla jöfnuna á tilgreindu bili: $[0, 2 π), f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

35.

Við hvaða x-gildi tekur fallið hæsta gildi sitt á bilinu $[0, 2 π)$ ?

36.

Við hvaða x-gildi tekur fallið lægsta gildi sitt á bilinu $[0, 2 π)$ ?

37.

Sýnið að $f (- x) = - f (x) .$ Þetta merkir að $f (x) = \sin x$ er oddstætt fall og er samhverft um ________________.

Í eftirfarandi verkefnum er $f (x) = \cos x$ .

38.

Leysið jöfnuna $f (x) = \cos x = 0$ á bilinu $[0, 2 π)$ .

39.

Leysið jöfnuna $f (x) = \frac{1}{2}$ á bilinu $[0, 2 π)$ .

40.

Finnið skurðpunkta grafs fallsins $f (x) = \cos x$ við x-ásinn fyrir x á bilinu $[0, 2 π)$ .

41.

Finnið x-gildin þar sem fallið tekur hæsta eða lægsta gildi sitt á bilinu $[0, 2 π)$ .

42.

Leysið jöfnuna $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ á bilinu $[0, 2 π)$ .

Tækni

43.

Teiknið graf $h (x) = x + \sin x$ á $[0, 2 π] .$ Útskýrið lögun grafsins.

44.

Teiknið graf $h (x) = x + \sin x$ á $[- 100, 100] .$ Var grafið eins og spáð var í fyrra verkefni?

45.

Teiknið graf $f (x) = x \sin x$ á $[0, 2 π]$ og lýsið með orðum hvernig það er frábrugðið grafi $f (x) = \sin x .$

46.

Teiknið graf $f (x) = x \sin x$ í glugganum $[−10, 10]$ og útskýrið hvað grafið sýnir.

47.

Teiknið graf $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ í glugganum $[−5 π, 5 π]$ og útskýrið hvað grafið sýnir.

Hagnýt verkefni

48.

Parísarhjól er 25 metrar í þvermál. Farþegi stígur um borð í lægsta punkti hjólsins af palli sem er 1 metra yfir jörðu. Hjólið snýst með jöfnum hraða og fer einn heilan hring á 10 mínútum. Fallið $h (t)$ gefur hæð farþegans í metrum yfir jörðu t mínútum eftir að ferðin hefst.

ⓐ Finnið útslag, miðlínu og lotu $h (t) .$
ⓑ Finnið formúlu fyrir hæðarfallið $h (t) .$