66 Lotubundin föll

Kaflapróf

Í eftirfarandi verkefnum skal skissa graf hvers falls yfir tvær heilar lotur. Ákvarðið útslag eða lóðréttan teygjustuðul, eftir því sem við á, lotu og jöfnu miðlínu. Tangens-, sekans- og kósekansföll eru ótakmörkuð og hafa ekki útslag.

$f (x) = 0,5 \sin x$

$f (x) = 5 \cos x$

$f (x) = 5 \sin x$

$f (x) = \sin (3 x)$

$f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$

$f (x) = 5 \sin (3 (x - \frac{π}{6})) + 4$

$f (x) = 3 \cos (\frac{1}{3} x - \frac{5 π}{6})$

$f (x) = \tan (4 x)$

$f (x) = - 2 \tan (x - \frac{7 π}{6}) + 2$

10.

$f (x) = π \cos (3 x + π)$

11.

$f (x) = 5 \csc (3 x)$

12.

$f (x) = π \sec (\frac{π}{2} x)$

13.

$f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 3$

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða útslag eða lóðréttan teygjustuðul, eftir því sem við á, lotu og miðlínu grafsins. Finnið síðan formúlu fyrir fallið.

14.

Ritið formúluna með sínusfalli.

Sínuslaga ferill á bilinu frá −2 til 2 á x-ás. Hann sveiflast milli y=−6 og y=−2 og fer hækkandi í gegnum (0;−4).

15.

Ritið formúluna með sínusfalli.

Sínuslaga ferill á bilinu frá −2 til 2 á x-ás. Hann sveiflast milli y=−2 og y=2 og fer lækkandi í gegnum upphafspunktinn.

16.

Ritið formúluna með tangensfalli.

Graf tangensfalls með vaxandi greinum. Strikaðar lóðréttar línur sýna lóðfellur við x=−π/4 og x=3π/4.

Finnið útslag, lotu, fasahliðrun og miðlínu í eftirfarandi verkefnum.

17.

$y = \sin (\frac{π}{6} x + π) - 3$

18.

$y = 8 \sin (\frac{7 π}{6} x + \frac{7 π}{2}) + 6$

19.

Lýsa má útihita yfir sólarhring með sínuslaga falli með 24 klukkustunda lotu. Gerið ráð fyrir að hitinn sé 68 °F á miðnætti og að hæsti og lægsti hiti dagsins séu 80 °F og 56 °F. Látum $t$ tákna fjölda klukkustunda frá miðnætti. Finnið eitt mögulegt fall fyrir hitastigið $D$ sem fall af $t$ . Takið fram hvort hitinn fari hækkandi eða lækkandi á miðnætti í líkaninu ykkar.

20.

Vatni er dælt í geymslutank og það tæmt úr honum þannig að vatnsdýptin breytist lotubundið. Hún er minnst 3 fet klukkan 02:00 og mest 71 fet. Hámarkið endurtekur sig á 5 klukkustunda fresti. Ritið kósínusfall sem lýsir vatnsdýptinni sem falli af tíma í klukkustundum frá miðnætti. Teiknið síðan graf þess yfir eina lotu.

Finnið lotu og lárétta hliðrun hvers falls í eftirfarandi verkefnum.

21.

$g (x) = 3 \tan (6 x + 42)$

22.

$n (x) = 4 \csc (\frac{5 π}{3} x - \frac{20 π}{3})$

23.

Ritið jöfnu grafsins á mynd 1 með sekansfalli og gefið upp lotu og fasahliðrun.

Graf sekansfalls. Miðgreinin hefur lægsta punkt í (0;1). Greinarnar sitt hvorum megin hafa hæstu punkta í (−1;−1) og (1;−1). Strikaðar línur sýna lóðfellurnar. — Mynd 1. Graf sekansfalls.

24.

Ef $\tan x = 3$ finnið þá $\tan (- x)$ .

25.

Ef $\sec x = 4$ finnið þá $\sec (- x)$ .

Teiknið gröf fallanna innan tilgreindra marka í eftirfarandi verkefnum og svarið spurningunum.

26.

Teiknið graf $m (x) = \sin (2 x) + \cos (3 x)$ með x-ás á bilinu $[- 10; 10]$ og y-ás á bilinu $[- 3; 3]$ . Metið lotu fallsins út frá grafinu.

27.

Teiknið graf $n (x) = 0,02 \sin (50 π x)$ á eftirfarandi bilum fyrir $x$ : $[0; 1]$ og $[0; 3]$ . Gerið ráð fyrir að fallið lýsi hljóðbylgjum. Hvers vegna getur framsetningin litið ólíkt út á þessum tveimur bilum? Takið mið af fjölda sveiflna og upplausn grafsins.

28.

Teiknið graf $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ á bilinu $[- 0,5; 0,5]$ og lýsið því sem þið sjáið. Takið sérstaklega eftir skilgreiningarmengi fallsins.

Í eftirfarandi verkefnum er $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x)$ .

29.

Hvert er stærsta mögulega gildi $f (x)$ ?

30.

Hvert er minnsta mögulega gildi $f (x)$ ?

31.

Hvar er fallið vaxandi á bilinu $[0; 2 π]$ ?

Í eftirfarandi verkefnum skal finna formúlu fyrir sínuslaga fall með gefnu útslagi, lotu og hliðrun og teikna eina lotu þess. Hliðrunin (h; k) táknar lárétta hliðrun h og lóðrétta hliðrun k.

32.

Sínusferill með útslag 3, lotu $\frac{π}{3}$ og hliðrun $(h; k) = (\frac{π}{4}; 2)$

33.

Kósínusferill með útslag 2, lotu $\frac{π}{6}$ og hliðrun $(h; k) = (- \frac{π}{4}; 3)$

Teiknið graf fallsins í eftirfarandi verkefnum. Lýsið grafinu og, eftir því sem við á, lotubundinni hegðun, útslagi, aðfellum og gildum óháðu breytunnar þar sem fallið er óskilgreint.

34.

$f (x) = 5 \cos (3 x) + 4 \sin (2 x)$

35.

$f (t) = e^{\sin t}$

Finnið nákvæmt gildi í eftirfarandi verkefnum. Ef niðurstaðan er háð x skal einfalda stæðuna og tilgreina fyrir hvaða raungildi x hún er skilgreind.

36.

$\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

37.

$\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

38.

$\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

39.

$\cos^{- 1} (\sin (π))$

40.

$\cos^{- 1} (\tan (\frac{7 π}{4}))$

41.

$\cos (\sin^{- 1} (1 - 2 x))$

42.

$\cos^{- 1} (- 0,4)$

43.

$\cos (\tan^{- 1} (x^{2}))$

Í eftirfarandi verkefnum er $\sin t = \frac{x}{x + 1}$ . Veljið hornið t á aðalbilinu [−π/2; π/2]. Finnið stæður fyrir eftirfarandi stærðir sem föll af x og tilgreinið hvar þær eru skilgreindar.

44.

$\tan t$

45.

$\csc t$

46.

Finnið stærð hornsins $θ$ á mynd 2 með þremur aukastöfum. Svarið í radíönum.

Rétthyrndur þríhyrningur. Hornið θ er við vinstri enda láréttu skammhliðarinnar. Aðlæg skammhlið er 19 og mótlæg skammhlið er 12. — Mynd 2. Rétthyrndur þríhyrningur með gefnum skammhliðum.

Ákvarðið hvort jafnan sé sönn eða ósönn í eftirfarandi verkefnum.

47.

$\arcsin (\sin (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

48.

$\arccos (\cos (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

49.

Halli vegar er 7%. Það þýðir að fyrir hver 100 fet í lárétta stefnu hækkar vegurinn um 7 fet. Finnið hornið sem vegurinn myndar við lárétta stefnu og gefið svarið í radíönum.

66 Lotubundin föll

Kaflapróf

$f (x) = 0,5 \sin x$

$f (x) = 5 \cos x$

$f (x) = 5 \sin x$

$f (x) = \sin (3 x)$

$f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$

$f (x) = 5 \sin (3 (x - \frac{π}{6})) + 4$

$f (x) = 3 \cos (\frac{1}{3} x - \frac{5 π}{6})$

$f (x) = \tan (4 x)$

$f (x) = - 2 \tan (x - \frac{7 π}{6}) + 2$

10.

$f (x) = π \cos (3 x + π)$

11.

$f (x) = 5 \csc (3 x)$

12.

$f (x) = π \sec (\frac{π}{2} x)$

13.

$f (x) = 2 \csc (x + \frac{π}{4}) - 3$

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða útslag eða lóðréttan teygjustuðul, eftir því sem við á, lotu og miðlínu grafsins. Finnið síðan formúlu fyrir fallið.

14.

Ritið formúluna með sínusfalli.

15.

Ritið formúluna með sínusfalli.

16.

Ritið formúluna með tangensfalli.

Finnið útslag, lotu, fasahliðrun og miðlínu í eftirfarandi verkefnum.

17.

$y = \sin (\frac{π}{6} x + π) - 3$

18.

$y = 8 \sin (\frac{7 π}{6} x + \frac{7 π}{2}) + 6$

19.

20.

Finnið lotu og lárétta hliðrun hvers falls í eftirfarandi verkefnum.

21.

$g (x) = 3 \tan (6 x + 42)$

22.

$n (x) = 4 \csc (\frac{5 π}{3} x - \frac{20 π}{3})$

23.

Ritið jöfnu grafsins á mynd 1 með sekansfalli og gefið upp lotu og fasahliðrun.

24.

Ef $\tan x = 3$ finnið þá $\tan (- x)$ .

25.

Ef $\sec x = 4$ finnið þá $\sec (- x)$ .

Teiknið gröf fallanna innan tilgreindra marka í eftirfarandi verkefnum og svarið spurningunum.

26.

Teiknið graf $m (x) = \sin (2 x) + \cos (3 x)$ með x-ás á bilinu $[- 10; 10]$ og y-ás á bilinu $[- 3; 3]$ . Metið lotu fallsins út frá grafinu.

27.

28.

Teiknið graf $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ á bilinu $[- 0,5; 0,5]$ og lýsið því sem þið sjáið. Takið sérstaklega eftir skilgreiningarmengi fallsins.

Í eftirfarandi verkefnum er $f (x) = \frac{3}{5} \cos (6 x)$ .

29.

Hvert er stærsta mögulega gildi $f (x)$ ?

30.

Hvert er minnsta mögulega gildi $f (x)$ ?

31.

Hvar er fallið vaxandi á bilinu $[0; 2 π]$ ?

32.

Sínusferill með útslag 3, lotu $\frac{π}{3}$ og hliðrun $(h; k) = (\frac{π}{4}; 2)$

33.

Kósínusferill með útslag 2, lotu $\frac{π}{6}$ og hliðrun $(h; k) = (- \frac{π}{4}; 3)$

34.

$f (x) = 5 \cos (3 x) + 4 \sin (2 x)$

35.

$f (t) = e^{\sin t}$

Finnið nákvæmt gildi í eftirfarandi verkefnum. Ef niðurstaðan er háð x skal einfalda stæðuna og tilgreina fyrir hvaða raungildi x hún er skilgreind.

36.

$\sin^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

37.

$\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

38.

$\cos^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

39.

$\cos^{- 1} (\sin (π))$

40.

$\cos^{- 1} (\tan (\frac{7 π}{4}))$

41.

$\cos (\sin^{- 1} (1 - 2 x))$

42.

$\cos^{- 1} (- 0,4)$

43.

$\cos (\tan^{- 1} (x^{2}))$

44.

$\tan t$

45.

$\csc t$

46.

Finnið stærð hornsins $θ$ á mynd 2 með þremur aukastöfum. Svarið í radíönum.

Ákvarðið hvort jafnan sé sönn eða ósönn í eftirfarandi verkefnum.

47.

$\arcsin (\sin (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

48.

$\arccos (\cos (\frac{5 π}{6})) = \frac{5 π}{6}$

49.

Halli vegar er 7%. Það þýðir að fyrir hver 100 fet í lárétta stefnu hækkar vegurinn um 7 fet. Finnið hornið sem vegurinn myndar við lárétta stefnu og gefið svarið í radíönum.