6.2 Gröf annarra hornafalla

Tangensfallið má nota til að finna fjarlægðir, til dæmis hæð byggingar, fjalls eða fánastangar. Það getur einnig lýst staðsetningu sem breytist lotubundið. Ímyndið ykkur slökkviliðsbíl sem stendur við vöruhús. Snúningsljós á bílnum varpar ljósbletti á vegginn. Í einföldu líkani látum við tímann vera inntak og formerkta staðsetningu ljósblettsins eftir veggnum vera úttak, mælt frá punktinum beint á móti ljósinu. Tangensfall getur lýst þessari stöðu þegar ljósið snýst með jöfnum hornhraða. Í líkaninu er veggurinn óendanlega langur og stefna geislans framlengd sem bein lína. Lóðfellur samsvara því að línan verði samsíða veggnum. Raunverulegur veggur er endanlegur og einátta geisli lýsir aðeins á hann hluta úr snúningi. Hér skoðum við gröf tangensfallsins og annarra hornafalla.

Við byrjum á grafi tangensfallsins og merkjum inn punkta eins og við gerðum fyrir sínus- og kósínusföllin. Rifjum upp að

Lota tangensfallsins er $\pi$. Grafið endurtekur sig við hliðrun um $k\pi$, þar sem $k$ er heiltala. Ein heil lota sést á opna bilinu frá $-\frac{\pi }{2}$ til $\frac{\pi }{2}$. Endapunktarnir tilheyra ekki skilgreiningarmenginu. Með því að endurtaka þessa grein má teikna grafið á stærra bili.

Við getum ákvarðað hvort tangens sé oddstætt eða jafnstætt fall með því að nota skilgreiningu tangens.

Tangens er því oddstætt fall. Við getum greint hegðun grafs tangensfallsins nánar með því að skoða gildi nokkurra sérhorna, eins og sýnt er í töflu 1.

Þessir punktar hjálpa okkur að teikna grafið. Við þurfum einnig að skoða hegðun þess nærri gildum þar sem fallið er óskilgreint. Tafla getur sýnt hvernig fallgildin breytast þegar $\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2}$. Þar sem $\frac{\pi }{3}\approx \mathrm{1,05}$ og $\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1,57}$ veljum við gildi á $x$ sem uppfylla $\mathrm{1,05}<x<\mathrm{1,57}$. Hornin eru mæld í radíönum. Sjá töflu 2.

Þegar $x$ nálgast $\frac{\pi }{2}$ frá vinstri verða fallgildin sífellt stærri. Þar sem $y=\tan x$ er oddstætt fall fást samsvarandi neikvæð gildi í töflu 3.

Þegar $x$ nálgast $-\frac{\pi }{2}$ frá hægri verða fallgildin sífellt minni. Til eru gildi á $x$ sem uppfylla $\cos x=0$. Til dæmis er $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ og $\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=0$. Þar er tangensfallið óskilgreint. Graf fallsins $y=\tan x$ hefur því lóðfellur við $x=\frac{\pi }{2}\text{ og }\frac{3\pi }{2}$. Mynd 1 sýnir graf $y=\tan x$. Tangens er jákvæður á opna bilinu frá 0 til $\frac{\pi }{2}$ og frá $\pi$ til $\frac{3\pi }{2}$. Þessi bil samsvara fyrsta og þriðja fjórðungi einingarhringsins.

Lýsa má tangensfallinu með almennri jöfnu, líkt og sínus- og kósínusföllunum.

Við getum greint láréttar og lóðréttar teygjur og samþjöppun út frá gildum $A$ og $B.$ Yfirleitt má ákvarða láréttu teygjuna út frá lotu grafsins. Fyrir gröf tangensfalla þarf oft að ákvarða lóðrétta teygju með punkti á grafinu.

Tangensfallið hefur hvorki stærsta né minnsta gildi og því er útslag ekki skilgreint á sama hátt og fyrir sínus og kósínus. Fastinn $A$ stýrir lóðréttri teygju eða samþjöppun; algildi hans kallast teygju- eða samþjöppunarstuðull. Í umfjölluninni hér á eftir gerum við ráð fyrir að A og B séu ekki núll.

Við getum nýtt eiginleika tangensfallsins til að skissa graf falls af gerðinni $f(x)=A\tan (Bx)$. Hér gerum við fyrst ráð fyrir að B sé jákvætt og A sé ekki núll. Við skoðum greinina sem fer um upphafspunktinn; lotubundnin gerir okkur síðan kleift að framlengja grafið yfir allt skilgreiningarmengið. Ein lota liggur á bilinu $\left(-\frac{P}{2},\frac{P}{2}\right)$ og lóðfellurnar eru við $\pm \frac{P}{2}$, þar sem $P=\frac{\pi }{B}$. Grunnfallið tan(x) er vaxandi á $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$: grafið rís frá vinstri lóðfellunni við $x=-\frac{\pi }{2}$, fer um upphafspunktinn og nálgast hægri lóðfelluna við $x=\frac{\pi }{2}$. Stuðlarnir A og B breyta kvarðanum og neikvætt A snýr stefnunni við. Til að ákvarða lóðrétta kvarðann reiknum við fallgildi í viðmiðunarpunkti. Til dæmis fæst:

því $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$.

Nú þegar við getum teiknað graf tangensfalls sem hefur verið teygt eða samþjappað bætum við við lóðréttri eða láréttri hliðrun (fasahliðrun). Í þessu tilviki bætum við $C$ og $D$ við almenna form tangensfallsins.

Graf ummyndaðs tangensfalls er frábrugðið grafi grunnfallsins $\tan x$ á nokkra vegu:

Sekans er margföldunarandhverfa kósínus. Samband margföldunarandhverfa gefur: $\sec x=\frac{1}{\cos x}$. Sekansfallið er óskilgreint þar sem kósínus er 0 og hefur því lóðfellur við $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$ og samsvarandi gildi í öðrum lotum. Algildi kósínus er aldrei meira en 1. Þar sem sekans er skilgreindur er algildi hans því aldrei minna en 1.

Við getum teiknað graf $y=\sec x$ með hjálp grafs kósínusfallsins, því fallgildin eru margföldunarandhverfur hvort annars. Sjá mynd 6. Appelsínuguli strikaferillinn sýnir kósínusfallið. Á bili þar sem kósínus er ekki núll lækkar sekans þegar kósínus hækkar og hækkar þegar kósínus lækkar. Þar sem kósínus er núll er sekans óskilgreindur.

Graf sekans hefur lóðfellu við hvert gildi á $x$ þar sem graf kósínus sker x-ásinn. Við sýnum þær á grafinu hér fyrir neðan með lóðréttum strikalínum en sýnum ekki allar aðfellurnar sérstaklega á öllum síðari gröfum með sekans og kósekans.

Takið eftir að þar sem kósínus er jafnstætt fall er sekans einnig jafnstætt fall. Það er, $\sec \left(-x\right)=\sec x.$

Eins og fyrir tangensfallið köllum við fastann $\left|A\right|$ aftur teygjustuðul en ekki útslag.

Kósekans er á sama hátt margföldunarandhverfa sínus: $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. Fallið er óskilgreint þar sem sínus er 0 og hefur því lóðfellur við $0$, $\pi$ og önnur heiltölumargfeldi af π. Algildi sínus er aldrei meira en 1. Þar sem kósekans er skilgreindur er algildi hans því aldrei minna en 1.

Við getum teiknað graf $y=\csc x$ með hjálp grafs sínusfallsins, því fallgildin eru margföldunarandhverfur hvort annars. Sjá mynd 7. Appelsínuguli strikaferillinn sýnir sínusfallið. Á bili þar sem sínus er ekki núll lækkar kósekans þegar sínus hækkar og hækkar þegar sínus lækkar.

Graf kósekans hefur lóðfellu við hvert gildi á $x$ þar sem graf sínus sker x-ásinn. Við sýnum þær á grafinu hér fyrir neðan með lóðréttum strikalínum.

Takið eftir að þar sem sínus er oddstætt fall er kósekansfallið einnig oddstætt fall. Það er, $\csc \left(-x\right)=\mathrm{-csc}x.$

Graf kósekans, sem sýnt er á mynd 7, er svipað grafi sekans.

Við teiknum hliðruð, samþjöppuð eða teygð gröf sekans- og kósekansfalla með svipuðum aðferðum og gröf tangensfallsins. Fyrst finnum við lóðfellurnar og síðan nokkra viðmiðunarpunkta, einkum staðbundna hágildis- og lággildispunkta. Velja má bil sem nær yfir eina lotu á fleiri en einn hátt. Aðferðirnar fyrir sekans og kósekans eru svipaðar: graf sekans fæst með því að hliðra grafi kósekans um fjórðung lotu til vinstri, því sec(x) = csc(x + π/2). Lóðrétt hliðrun og fasahliðrun virka eins og hjá öðrum hornaföllum. Almenna formið er:

Síðasta hornafallið sem við skoðum er kótangens. Það er skilgreint sem cos(x)/sin(x), þar sem sin(x) er ekki núll. Samband margföldunarandhverfa, $\cot x=\frac{1}{\tan x}$, gildir þegar tangens er skilgreindur og ekki núll. Kótangens er óskilgreindur við $0,\pi$ og önnur heiltölumargfeldi af π; þar eru lóðfellur. Myndmengið er allar rauntölur, þar á meðal 0, sem fæst þegar kósínus er núll.

Graf tangensfallsins hjálpar okkur að teikna graf $y=\cot x$. Þar sem bæði föllin eru skilgreind og ekki núll eru gildi þeirra margföldunarandhverfur. Tangens er vaxandi og kótangens minnkandi á hverju sameiginlegu samfelldu bili. Sjá mynd 13.

Graf kótangens hefur lóðfellu við hvert gildi á $x$ þar sem $\tan x=0;$ þær eru sýndar á grafinu hér fyrir neðan með strikalínum. Samkvæmt sambandinu milli tangens og kótangens hefur $\cot x$ lóðfellur við öll gildi á $x$ þar sem $\tan x=0,$ og $\cot x=0$ við öll gildi á $x$ þar sem $\tan x$ hefur lóðfellur.

Við getum ummyndað graf kótangens á mjög svipaðan hátt og graf tangens. Jafnan verður eftirfarandi.

Hornaföll geta lýst ýmsum lotubundnum fyrirbærum. Snúum aftur að snúningsljósinu í upphafi kaflans. Við getum notað tangensfall til að setja fram einfalt líkan af formerktri staðsetningu ljósbletts á vegg. Líkanið lýsir skurðpunkti veggsins og línunnar í stefnu geislans; það tekur ekki tillit til endanlegrar stærðar veggsins eða þess að geislinn geti snúið frá honum.

Parið hvert hornafall í eftirfarandi verkefnum við eitt grafanna hér fyrir neðan.