66 Lotubundin föll

Meginatriði

6.1 Gröf sínus- og kósínusfalla

Lotubundið fall endurtekur gildi sín þegar inntakið er aukið um tiltekna jákvæða stærð. Minnsta slíka stærðin, ef hún er til, er grunnlota fallsins. Grunnföll sínuss og kósínuss hafa lotuna $2 π .$
Fallið $\sin x$ er oddstætt og graf þess er því samhverft um upphafspunktinn. Fallið $\cos x$ er jafnstætt og graf þess er því samhverft um y-ásinn.
Graf sínuslaga falls hefur sömu almennu lögun og graf sínus- eða kósínusfalls.
Í almennu formi sínuslaga falls, þar sem A og B eru ekki núll, er lotan $P = \frac{2 π}{| B |} .$ Sjá dæmi 1.
Í almennu formi sínuslaga falls táknar $| A |$ útslagið. Ef $| A | > 1$ teygist grafið lóðrétt en ef A er ekki núll og $| A | < 1$ þjappast það saman lóðrétt. Sé A núll verður fallið fastafall. Sjá dæmi 2.
Gildið $\frac{C}{B}$ í almennu formi sínuslaga falls gefur fasahliðrunina, að því gefnu að B sé ekki núll. Sjá dæmi 3.
Gildið $D$ í almennu formi sínuslaga falls gefur lóðréttu hliðrunina frá x-ásnum. Miðlína grafsins er því y=D. Sjá dæmi 4.
Greina má samsettar umbreytingar sínuslaga falla út frá jöfnu. Sjá dæmi 5.
Ákvarða má jöfnu sínuslaga falls út frá grafi. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Útslag og lota nýtast við að teikna graf sínuslaga falls; einnig þarf að taka mið af fasahliðrun og miðlínu. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
Teikna má graf sínuslaga falls með því að ákvarða útslag þess, lotu, fasahliðrun og lóðrétta hliðrun. Sjá dæmi 10.
Nota má sínuslaga föll til að leysa verkefni úr raunveruleikanum. Sjá dæmi 11, dæmi 12 og dæmi 13.

6.2 Gröf annarra hornafalla

Tangensfallið hefur lotuna $π .$
Fallið $f (x) = A \tan (B x - C) + D$ fæst með því að hliðra tangensfallinu og teygja graf þess eða þjappa því saman lóðrétt og/eða lárétt. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 1, dæmi 2 og dæmi 3.
Sekansfallið og kósekansfallið eru lotubundin föll með lotuna $2 π .$ Fallið $f (x) = A \sec (B x - C) + D$ lýsir hliðruðu, samþjöppuðu og/eða teygðu sekansfalli. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 4 og dæmi 5.
Fallið $f (x) = A \csc (B x - C) + D$ lýsir hliðruðu, samþjöppuðu og/eða teygðu kósekansfalli. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Kótangensfallið hefur lotuna $π$ og lóðfellur við $0, \pm π, \pm 2 π, ...$
Myndmengi kótangensfallsins er $(- \infty, \infty)$ og fallið er strangt minnkandi á hverju bili milli tveggja samliggjandi lóðfella.
Kótangensfallið hefur núllstöðvar við $\pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3 π}{2}, ...$
Fallið $f (x) = A \cot (B x - C) + D$ fæst með því að hliðra kótangensfallinu og teygja graf þess eða þjappa því saman lóðrétt og/eða lárétt. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
Leysa má verkefni úr raunveruleikanum með gröfum hornafalla. Sjá dæmi 10.

6.3 Andhverf hornaföll

Andhverft fall snýr vörpun upphaflega fallsins við. Skilgreiningarmengi andhverfa fallsins er myndmengi upphaflega fallsins og myndmengi andhverfa fallsins er skilgreiningarmengi upphaflega fallsins.
Hornaföllin eru ekki eintæk á skilgreiningarmengjum sínum. Til að skilgreina andhverf hornaföll er því skilgreiningarmengi upphaflega hornafallsins takmarkað við bil þar sem það er eintækt.
Fyrir hornafall $f (x)$ gildir að ef $x = f^{- 1} (y)$ þá er $f (x) = y .$ Hins vegar leiðir $f (x) = y$ aðeins til $x = f^{- 1} (y)$ ef $x$ er í því takmarkaða skilgreiningarmengi sem notað er til að skilgreina andhverfu $f .$ Sjá dæmi 1.
Fyrir tiltekin inntaksgildi skila andhverf hornaföll þekktum hornum með nákvæmum gildum. Til dæmis gildir $\frac{π}{4} = \tan^{- 1} (1) og \frac{π}{6} = \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) .$ Sjá dæmi 2.
Þegar andhverft hornafall er reiknað á reiknivél fæst horn innan þess takmarkaða skilgreiningarmengis sem valið var fyrir upphaflega hornafallið. Sjá dæmi 3.
Með andhverfum hornaföllum má finna stærð hvass horns þegar lengdir tveggja hliða rétthyrnds þríhyrnings eru þekktar. Sjá dæmi 4.
Þegar innra fallið í samsetningu falla er andhverft hornafall má oft finna nákvæma stæðu fyrir niðurstöðuna. Til dæmis gildir $\sin (\cos^{- 1} (x)) = \sqrt{1 - x^{2}} .$ Hér þarf x að vera á bilinu [−1,1]. Sjá dæmi 5.
Þegar innra fallið er hornafall gilda meðal annars samböndin $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - x$ ef $0 \leq x \leq π$ og $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - x$ ef $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} .$ Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Þegar gildi samsetningar hornafalls og andhverfs hornafalls er reiknað getur viðmiðunarþríhyrningur hjálpað til við að finna hlutfall hliðarlengda sem gefur niðurstöðuna. Sjá dæmi 8.
Við útreikning á gildi samsetningar hornafalls og andhverfs hornafalls má nota hornafallasamsemdir til að finna hlutfall hliðarlengda. Sjá dæmi 9.

66 Lotubundin föll

Meginatriði

6.1 Gröf sínus- og kósínusfalla

Lotubundið fall endurtekur gildi sín þegar inntakið er aukið um tiltekna jákvæða stærð. Minnsta slíka stærðin, ef hún er til, er grunnlota fallsins. Grunnföll sínuss og kósínuss hafa lotuna $2 π .$
Fallið $\sin x$ er oddstætt og graf þess er því samhverft um upphafspunktinn. Fallið $\cos x$ er jafnstætt og graf þess er því samhverft um y-ásinn.
Graf sínuslaga falls hefur sömu almennu lögun og graf sínus- eða kósínusfalls.
Í almennu formi sínuslaga falls, þar sem A og B eru ekki núll, er lotan $P = \frac{2 π}{| B |} .$ Sjá dæmi 1.
Í almennu formi sínuslaga falls táknar $| A |$ útslagið. Ef $| A | > 1$ teygist grafið lóðrétt en ef A er ekki núll og $| A | < 1$ þjappast það saman lóðrétt. Sé A núll verður fallið fastafall. Sjá dæmi 2.
Gildið $\frac{C}{B}$ í almennu formi sínuslaga falls gefur fasahliðrunina, að því gefnu að B sé ekki núll. Sjá dæmi 3.
Gildið $D$ í almennu formi sínuslaga falls gefur lóðréttu hliðrunina frá x-ásnum. Miðlína grafsins er því y=D. Sjá dæmi 4.
Greina má samsettar umbreytingar sínuslaga falla út frá jöfnu. Sjá dæmi 5.
Ákvarða má jöfnu sínuslaga falls út frá grafi. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Útslag og lota nýtast við að teikna graf sínuslaga falls; einnig þarf að taka mið af fasahliðrun og miðlínu. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
Teikna má graf sínuslaga falls með því að ákvarða útslag þess, lotu, fasahliðrun og lóðrétta hliðrun. Sjá dæmi 10.
Nota má sínuslaga föll til að leysa verkefni úr raunveruleikanum. Sjá dæmi 11, dæmi 12 og dæmi 13.

6.2 Gröf annarra hornafalla

Tangensfallið hefur lotuna $π .$
Fallið $f (x) = A \tan (B x - C) + D$ fæst með því að hliðra tangensfallinu og teygja graf þess eða þjappa því saman lóðrétt og/eða lárétt. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 1, dæmi 2 og dæmi 3.
Sekansfallið og kósekansfallið eru lotubundin föll með lotuna $2 π .$ Fallið $f (x) = A \sec (B x - C) + D$ lýsir hliðruðu, samþjöppuðu og/eða teygðu sekansfalli. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 4 og dæmi 5.
Fallið $f (x) = A \csc (B x - C) + D$ lýsir hliðruðu, samþjöppuðu og/eða teygðu kósekansfalli. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Kótangensfallið hefur lotuna $π$ og lóðfellur við $0, \pm π, \pm 2 π, ...$
Myndmengi kótangensfallsins er $(- \infty, \infty)$ og fallið er strangt minnkandi á hverju bili milli tveggja samliggjandi lóðfella.
Kótangensfallið hefur núllstöðvar við $\pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3 π}{2}, ...$
Fallið $f (x) = A \cot (B x - C) + D$ fæst með því að hliðra kótangensfallinu og teygja graf þess eða þjappa því saman lóðrétt og/eða lárétt. Hér er gert ráð fyrir að A og B séu ekki núll. Sjá dæmi 8 og dæmi 9.
Leysa má verkefni úr raunveruleikanum með gröfum hornafalla. Sjá dæmi 10.

6.3 Andhverf hornaföll

Andhverft fall snýr vörpun upphaflega fallsins við. Skilgreiningarmengi andhverfa fallsins er myndmengi upphaflega fallsins og myndmengi andhverfa fallsins er skilgreiningarmengi upphaflega fallsins.
Hornaföllin eru ekki eintæk á skilgreiningarmengjum sínum. Til að skilgreina andhverf hornaföll er því skilgreiningarmengi upphaflega hornafallsins takmarkað við bil þar sem það er eintækt.
Fyrir hornafall $f (x)$ gildir að ef $x = f^{- 1} (y)$ þá er $f (x) = y .$ Hins vegar leiðir $f (x) = y$ aðeins til $x = f^{- 1} (y)$ ef $x$ er í því takmarkaða skilgreiningarmengi sem notað er til að skilgreina andhverfu $f .$ Sjá dæmi 1.
Fyrir tiltekin inntaksgildi skila andhverf hornaföll þekktum hornum með nákvæmum gildum. Til dæmis gildir $\frac{π}{4} = \tan^{- 1} (1) og \frac{π}{6} = \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) .$ Sjá dæmi 2.
Þegar andhverft hornafall er reiknað á reiknivél fæst horn innan þess takmarkaða skilgreiningarmengis sem valið var fyrir upphaflega hornafallið. Sjá dæmi 3.
Með andhverfum hornaföllum má finna stærð hvass horns þegar lengdir tveggja hliða rétthyrnds þríhyrnings eru þekktar. Sjá dæmi 4.
Þegar innra fallið í samsetningu falla er andhverft hornafall má oft finna nákvæma stæðu fyrir niðurstöðuna. Til dæmis gildir $\sin (\cos^{- 1} (x)) = \sqrt{1 - x^{2}} .$ Hér þarf x að vera á bilinu [−1,1]. Sjá dæmi 5.
Þegar innra fallið er hornafall gilda meðal annars samböndin $\sin^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - x$ ef $0 \leq x \leq π$ og $\cos^{- 1} (\sin x) = \frac{π}{2} - x$ ef $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} .$ Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Þegar gildi samsetningar hornafalls og andhverfs hornafalls er reiknað getur viðmiðunarþríhyrningur hjálpað til við að finna hlutfall hliðarlengda sem gefur niðurstöðuna. Sjá dæmi 8.
Við útreikning á gildi samsetningar hornafalls og andhverfs hornafalls má nota hornafallasamsemdir til að finna hlutfall hliðarlengda. Sjá dæmi 9.