1010 Rúmfræði með hnitum

10.3 Fleygboginn

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

teikna gröf fleygboga með hvirfilpunkt í upphafspunkti.
rita jöfnur fleygboga á staðalformi.
teikna gröf fleygboga með hvirfilpunkt utan upphafspunkts.
leysa hagnýt verkefni um fleygboga.

Ljósmynd af stærðfræðingnum Katherine Johnson sitjandi við skrifborð. Þar eru tæki sem virðist vera handvirk reiknivél og nokkur blöð með töflum. — **Mynd 1.** Brautryðjendastarf Katherine Johnson við útreikninga á fleygbogaferlum og öðrum brautum gegndi mikilvægu hlutverki í þróun geimferða Bandaríkjanna. (mynd: NASA)

Katherine Johnson var brautryðjandi í hópi stærðfræðinga NASA og gegndi lykilhlutverki í öruggum og árangursríkum ferðum og heimkomu fjölmargra manna- og gervihnattaferða. Áður en hún vann verkið sem kvikmyndin Hidden Figures fjallar um hafði hún þegar lagt mikið af mörkum til geimáætlunarinnar. Hún greindi feril Mercury-geimferðarinnar, þar sem Alan Shepard varð fyrsti Bandaríkjamaðurinn til að komast út í geim, og hún og verkfræðingurinn Ted Sopinski skrifuðu tímamótagrein um að koma fyrirbæri á nákvæma braut og tryggja örugga endurkomu þess til jarðar. Margar brautanna sem hún ákvarðaði voru settar saman úr fleygbogum og hæfni hennar til að sameina ólíkar greinar stærðfræðinnar gerði áður óþekkta nákvæmni mögulega. Johnson sagði: „Segið mér hvenær þið viljið fá það og hvar það á að lenda, þá reikna ég aftur á bak og segi ykkur hvenær á að leggja af stað.“

Vinna Johnson að fleygbogabrautum og annarri flókinni stærðfræði stuðlaði að árangursríkum brautarferðum, tungllendingum og þróun geimskutluáætlunarinnar. Notkun fleygboga er einnig mikilvæg á öðrum sviðum vísinda. Fleygbogaspeglar, eða -endurkastarar, geta safnað orku og beint henni í einn punkt. Kostir þessa eiginleika sjást í hinum fjölmörgu fleygbogalaga hlutum sem við notum daglega, svo sem gervihnattadiskum, hengibrúm, stjörnusjónaukum, hljóðnemum, kastljósum og bílljósum. Fleygbogaendurskastarar eru einnig notaðir í búnaði fyrir endurnýjanlega orku, svo sem sólareldavélum og vatnshiturum, því framleiðsla þeirra er ódýr og viðhaldsþörfin lítil. Í þessum hluta könnum við fleygbogann og notkun hans, þar á meðal ódýra og orkusparandi sólarorkuhönnun.

Gröf fleygboga með hvirfilpunkt í upphafspunkti teiknuð

Í hlutanum Sporbaugurinn sáum við að sporbaugur myndast þegar plan sker réttan hringkeiluflöt. Ef planið er samsíða hlið keilunnar myndast ótakmarkaður ferill. Sá ferill er fleygbogi. Sjá mynd 2.

Teikning af tvöföldum keilufleti sem lóðrétt plan sker og myndar breiðboga. Planið sker báða hluta tvöfalda keiluflatarins og myndar tvo aðskilda opna ferla sem saman mynda breiðboga. Sá hluti breiðbogans sem sést framan á er sýndur með heilli appelsínugulri línu en faldi hlutinn með strikalínu í sama lit. — **Mynd 2.** Fleygbogi

Líkt og sporbaug og breiðboga má einnig skilgreina fleygboga sem punktamengi í hnitafleti. Fleygbogi er mengi allra punkta $(x, y)$ í plani sem eru jafnlangt frá fastri línu, sem nefnist stýrilína, og föstum punkti utan stýrilínunnar, sem nefnist brennipunktur.

Í hlutanum Annars stigs föll lærðum við um hvirfilpunkt og samhverfuás fleygboga. Nú bætum við öðrum helstu einkennum fleygbogans við umfjöllunina. Sjá mynd 3. Athugið að samhverfuásinn liggur um brennipunktinn og hvirfilpunktinn og er hornréttur á stýrilínuna. Hvirfilpunkturinn er miðpunktur milli stýrilínunnar og brennipunktsins.

Línustrikið sem liggur um brennipunktinn og er samsíða stýrilínunni nefnist þverbrennistrengur. Endapunktar þverbrennistrengsins liggja á ferlinum. Samkvæmt skilgreiningu er fjarlægðin $d$ frá brennipunktinum að sérhverjum punkti $P$ á fleygboganum jöfn fjarlægðinni frá $P$ að stýrilínunni.

Myndin sýnir fleygboga í kartesísku hnitakerfi og merkir helstu rúmfræðilegu einkenni hans. Blái ferillinn táknar fleygbogann sjálfan. „Hvirfilpunktur“ er merktur þar sem fleygboginn snýr við. Innan ferilsins er „brennipunktur“ merktur, en hann gegnir lykilhlutverki í skilgreiningu fleygbogans. Appelsínugul strikalína merkt „samhverfuás“ liggur lóðrétt um bæði hvirfilpunktinn og brennipunktinn. Neðan hvirfilpunktsins er lárétt rauð strikalína sem sýnir „stýrilínuna“. Að lokum er lárétt blátt línustrik sem liggur um brennipunktinn og nær út að fleygboganum merkt „þverbrennistrengur“. — **Mynd 3.** Helstu einkenni fleygbogans

Þegar unnið er með fleygboga í hnitafleti skoðum við tvö tilvik: fleygboga með hvirfilpunkt í upphafspunkti og fleygboga með hvirfilpunkt annars staðar. Við byrjum á fyrra tilvikinu.

Lóðréttur fleygbogi sem opnast upp, með hvirfilpunkt í (0, 0), brennipunkt í (0, p) og stýrilínu y = mínus p. Línur af lengd d tengja punkt (x, y) á fleygboganum við brennipunktinn og stýrilínuna. Línan að stýrilínunni er hornrétt á hana.

Látum $(x, y)$ vera punkt á fleygboga með hvirfilpunkt í $(0, 0),$ brennipunkt í ( 0, 𝑝 ) $(0, p),$ og stýrilínu 𝑦 = − 𝑝, $y = - p$ eins og sýnt er á mynd 4. Fjarlægðin $d$ frá punktinum $(x, y)$ að punktinum $(x, - p)$ á stýrilínunni er mismunur y-gildanna: $d = y + p .$ Fjarlægðin frá brennipunktinum $(0, p)$ að punktinum $(x, y)$ er einnig jöfn $d$ og hana má setja fram með fjarlægðarformúlunni.

\begin{array}{l} d = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(y - p)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + {(y - p)}^{2}} \end{array}

Setjið stæðurnar tvær fyrir $d$ jafnar og leysið fyrir $y$ til að leiða út jöfnu fleygbogans. Þetta gerum við vegna þess að fjarlægðin frá $(x, y)$ að $(0, p)$ er jöfn fjarlægðinni frá $(x, y)$ að $(x, - p) .$

\sqrt{x^{2} + {(y - p)}^{2}} = y + p

Síðan hefjum við báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi, margföldum upp úr ferningsliðunum og einföldum með því að sameina líka liði.

\begin{matrix} x^{2} + {(y - p)}^{2} = {(y + p)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} - 2 p y + p^{2} = y^{2} + 2 p y + p^{2} \\ x^{2} - 2 p y = 2 p y \\ x^{2} = 4 p y \end{matrix}

Jöfnur fleygboga með hvirfilpunkt í $(0, 0)$ eru $y^{2} = 4 p x$ þegar x-ásinn er samhverfuás og $x^{2} = 4 p y$ þegar y-ásinn er samhverfuás. Þessi staðalform eru sýnd hér á eftir ásamt almennum gröfum og helstu einkennum.

Helstu einkenni fleygboga eru hvirfilpunktur, samhverfuás, brennipunktur, stýrilína og þverbrennistrengur. Sjá mynd 5. Þegar staðaljafna fleygboga með hvirfilpunkt í upphafspunkti er gefin getum við auðveldlega fundið helstu einkennin og teiknað grafið.

Lína nefnist snertill ferils ef hún sker ferilinn í nákvæmlega einum punkti. Ef við teiknum snertla fleygbogans í endapunktum þverbrennistrengsins skerast línurnar á samhverfuásnum, eins og sýnt er á mynd 6.

Graf merkt y í öðru veldi = 24 x sýnir láréttan fleygboga sem opnast til hægri, með hvirfilpunkt í (0, 0), brennipunkt í (6, 0) og stýrilínu x = mínus 6. Tvær línur liggja frá punktinum (mínus 6, 0) að fleygboganum og snerta hann í (6, 12) og (6, mínus 12).

Aðferð

Teiknið graf út frá staðaljöfnu fleygboga með hvirfilpunkt í (0, 0).

Ákvarðið hvaða staðalform á við um gefnu jöfnuna: $y^{2} = 4 p x$ eða $x^{2} = 4 p y .$
Notið staðalformið sem var valið í skrefi 1 til að ákvarða samhverfuás, brennipunkt, jöfnu stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengs. Ef
1. jafnan er á forminu y2=4⁢p⁢x, þá
  - er x-ásinn samhverfuás, 𝑦 = 0; $y = 0$
  - setjið $4 p$ jafnt stuðli x í gefnu jöfnunni og leysið fyrir $p .$ Ef 𝑝 > 0 $p > 0,$ opnast fleygboginn til hægri. Ef 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn til vinstri.
  - Notið $p$ til að finna hnit brennipunktsins, ( 𝑝, 0 ); $(p, 0)$
  - notið $p$ til að finna jöfnu stýrilínunnar, 𝑥 = − 𝑝; $x = - p$
  - notið $p$ til að finna endapunkta þverbrennistrengsins, $(p, \pm 2 p) .$ Einnig má setja $x = p$ inn í upphaflegu jöfnuna.
2. Ef jafnan er á forminu x2=4⁢p⁢y, þá
  - er y-ásinn samhverfuás, 𝑥 = 0; $x = 0$
  - setjið $4 p$ jafnt stuðli y í gefnu jöfnunni og leysið fyrir $p .$ Ef 𝑝 > 0 $p > 0,$ opnast fleygboginn upp. Ef 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn niður. Notið
  - $p$ til að finna hnit brennipunktsins, ( 0, 𝑝 ); $(0, p)$
  - notið $p$ til að finna jöfnu stýrilínunnar, 𝑦 = − 𝑝; $y = - p$
  - notið $p$ til að finna endapunkta þverbrennistrengsins, ( ± 2 ⁢ 𝑝, 𝑝 ). $(\pm 2 p, p)$
Merkið brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknið mjúkan feril sem myndar fleygbogann.

Dæmi 1

Graf fleygboga með hvirfilpunkt í (0, 0) og x-ás sem samhverfuás teiknað

Teiknið graf $y^{2} = 24 x .$ Finnið og merkið brennipunkt, stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengsins.

Lausn

Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er $y^{2} = 4 p x .$ x-ásinn er því samhverfuás. Af því leiðir að

$24 = 4 p,$ svo að $p = 6.$ Þar sem 𝑝 > 0 $p > 0,$ opnast fleygboginn til hægri.
hnit brennipunktsins eru $(p, 0) = (6, 0)$
jafna stýrilínunnar er $x = - p = - 6$
endapunktar þverbrennistrengsins hafa sama x-hnit og brennipunkturinn. Til að finna endapunktana setjum við $x = 6$ inn í upphaflegu jöfnuna: $(6, \pm 12)$

Næst merkjum við brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknum mjúkan feril sem myndar fleygbogann. Sjá mynd 7.

Láréttur fleygbogi sem opnast til hægri, með hvirfilpunkt í (0, 0), brennipunkt í (6, 0) og stýrilínu x = mínus 6. Þverbrennistrengurinn er sýndur sem lóðrétt lína sem liggur um brennipunktinn og endar á fleygboganum í (6, 12) og (6, mínus 12). — Mynd 7

Dæmi 2

Graf fleygboga með hvirfilpunkt í (0, 0) og y-ás sem samhverfuás teiknað

Teiknið graf $x^{2} = −6 y .$ Finnið og merkið brennipunkt, stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengsins.

Lausn

Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er $x^{2} = 4 p y .$ y-ásinn er því samhverfuás. Af því leiðir að

$- 6 = 4 p,$ svo að $p = - \frac{3}{2} .$ Þar sem 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn niður.
hnit brennipunktsins eru $(0, p) = (0, - \frac{3}{2})$
jafna stýrilínunnar er $y = - p = \frac{3}{2}$
endapunkta þverbrennistrengsins má finna með því að setja $y = \frac{3}{2}$ inn í upphaflegu jöfnuna, $(\pm 3, - \frac{3}{2})$

Næst merkjum við brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknum mjúkan feril sem myndar fleygbogann.

Grafið er merkt x í öðru veldi = mínus 6 y og sýnir lóðréttan fleygboga sem opnast niður, með hvirfilpunkt í (0, 0), brennipunkt í (0, mínus 3/2) og stýrilínu y = 3/2. Þverbrennistrengurinn er sýndur sem lárétt lína sem liggur um brennipunktinn og endar á fleygboganum í (mínus 3, mínus 3/2) og (3, mínus 3/2). — Mynd 8

Jöfnur fleygboga ritaðar á staðalformi

Í fyrri dæmunum notuðum við staðaljöfnu fleygboga til að reikna staðsetningu helstu einkenna hans. Við getum einnig snúið útreikningunum við og ritað jöfnu fleygboga þegar helstu einkenni hans eru gefin.

Dæmi 3

Jafna fleygboga rituð á staðalformi út frá brennipunkti og stýrilínu

Hver er jafna fleygbogans með brennipunkt í $(- \frac{1}{2}, 0)$ og stýrilínu $x = \frac{1}{2} ?$

Lausn

Brennipunkturinn er á forminu $(p, 0),$ svo jafnan verður á forminu $y^{2} = 4 p x .$

Með því að margfalda 4 ⁢ 𝑝 $4 p,$ fæst $4 p = 4 (- \frac{1}{2}) = −2.$
Þegar sett er inn fyrir 4 ⁢ 𝑝 $4 p,$ fæst $y^{2} = 4 p x = −2 x .$

Jafna fleygbogans er því $y^{2} = −2 x .$

Gröf fleygboga með hvirfilpunkt utan upphafspunkts teiknuð

Líkt og öðrum gröfum sem við höfum unnið með má hliðra grafi fleygboga. Ef fleygboga er hliðrað um $h$ einingar lárétt og $k$ einingar lóðrétt verður hvirfilpunkturinn $(h, k) .$ Við þessa hliðrun fæst staðalform jöfnunnar sem við sáum áður, þar sem $x$ er skipt út fyrir $(x - h)$ og $y$ fyrir $(y - k) .$

Til að teikna fleygboga með hvirfilpunkt $(h, k)$ utan upphafspunkts notum við staðalformið ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$ fyrir fleygboga með samhverfuás samsíða x-ásnum og ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)$ fyrir fleygboga með samhverfuás samsíða y-ásnum. Þessi staðalform eru sýnd hér á eftir ásamt almennum gröfum og helstu einkennum.

Staðalform fleygboga með hvirfilpunkt í (h, k)

Tafla 2 og mynd 9 draga saman helstu einkenni fleygboga með hvirfilpunkt í $(h, k) .$

Samhverfuás	Jafna	Brennipunktur	Stýrilína	Endapunktar þverbrennistrengs
𝑦 = 𝑘 y = k	( 𝑦 − 𝑘 ) 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ ( 𝑥 − ℎ ) ( y − k ) 2 = 4 ⁢ p ⁢ ( x − h )	( ℎ + 𝑝 , 𝑘 ) ( h + p , k )	𝑥 = ℎ − 𝑝 x = h − p	( ℎ + 𝑝 , 𝑘 ± 2 ⁢ 𝑝 ) ( h + p , k ± 2 ⁢ p )
𝑥 = ℎ x = h	( 𝑥 − ℎ ) 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ ( 𝑦 − 𝑘 ) ( x − h ) 2 = 4 ⁢ p ⁢ ( y − k )	( ℎ , 𝑘 + 𝑝 ) ( h , k + p )	𝑦 = 𝑘 − 𝑝 y = k − p	( ℎ ± 2 ⁢ 𝑝 , 𝑘 + 𝑝 ) ( h ± 2 ⁢ p , k + p )

Mynd 9. (a) Þegar 𝑝 > 0 p > 0 , opnast fleygboginn til hægri. (b) Þegar 𝑝 < 0 p < 0 , opnast fleygboginn til vinstri. (c) Þegar 𝑝 > 0 p > 0 , opnast fleygboginn upp. (d) Þegar 𝑝 < 0 p < 0 , opnast fleygboginn niður.

Aðferð

Teiknið graf út frá staðaljöfnu fleygboga með hvirfilpunkt í (h, k).

Ákvarðið hvaða staðalform á við um gefnu jöfnuna: ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$ eða ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$
Notið staðalformið sem var valið í skrefi 1 til að ákvarða hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, jöfnu stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengs. Ef
1. jafnan er á forminu (y−k)2=4⁢p⁢(x−h), þá
  - skal nota gefnu jöfnuna til að finna $h$ og $k$ fyrir hvirfilpunktinn ( ℎ, 𝑘 ); $(h, k)$
  - nota gildið á $k$ til að ákvarða samhverfuásinn, 𝑦 = 𝑘; $y = k$
  - setja $4 p$ jafnt stuðli $(x - h)$ í gefnu jöfnunni og leysa fyrir $p .$ Ef 𝑝 > 0 $p > 0,$ opnast fleygboginn til hægri. Ef 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn til vinstri. Notið ℎ,
  - 𝑘 $h, k,$ og $p$ til að finna hnit brennipunktsins, ( ℎ + 𝑝, 𝑘 ); $(h + p, k)$
  - notið $h$ og $p$ til að finna jöfnu stýrilínunnar, 𝑥 = ℎ − 𝑝; $x = h - p$
  - notið ℎ, 𝑘 $h, k,$ og $p$ til að finna endapunkta þverbrennistrengsins, ( ℎ + 𝑝, 𝑘 ± 2 ⁢ 𝑝 ). $(h + p, k \pm 2 p)$
2. Ef jafnan er á forminu (x−h)2=4⁢p⁢(y−k), þá
  - skal nota gefnu jöfnuna til að finna $h$ og $k$ fyrir hvirfilpunktinn ( ℎ, 𝑘 ); $(h, k)$
  - nota gildið á $h$ til að ákvarða samhverfuásinn, 𝑥 = ℎ; $x = h$
  - setja $4 p$ jafnt stuðli $(y - k)$ í gefnu jöfnunni og leysa fyrir $p .$ Ef 𝑝 > 0 $p > 0,$ opnast fleygboginn upp. Ef 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn niður. Notið ℎ,
  - 𝑘 $h, k,$ og $p$ til að finna hnit brennipunktsins, ( ℎ, 𝑘 + 𝑝 ); $(h, k + p)$
  - notið $k$ og $p$ til að finna jöfnu stýrilínunnar, 𝑦 = 𝑘 − 𝑝; $y = k - p$
  - notið ℎ, 𝑘 $h, k,$ og $p$ til að finna endapunkta þverbrennistrengsins, ( ℎ ± 2 ⁢ 𝑝, 𝑘 + 𝑝 ). $(h \pm 2 p, k + p)$
Merkið hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknið mjúkan feril sem myndar fleygbogann.

Dæmi 4

Graf fleygboga með hvirfilpunkt í (h, k) og samhverfuás samsíða x-ásnum teiknað

Teiknið graf ${(y - 1)}^{2} = −16 (x + 3) .$ Finnið og merkið hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengsins.

Lausn

Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) .$ Samhverfuásinn er því samsíða x-ásnum. Af því leiðir að

hvirfilpunkturinn er $(h, k) = (- 3, 1)$
samhverfuásinn er $y = k = 1$
$−16 = 4 p,$ svo að $p = −4.$ Þar sem 𝑝 < 0 $p < 0,$ opnast fleygboginn til vinstri.
hnit brennipunktsins eru $(h + p, k) = (−3 + (−4), 1) = (−7, 1)$
jafna stýrilínunnar er $x = h - p = −3 - (−4) = 1$
endapunktar þverbrennistrengsins eru $(h + p, k \pm 2 p) = (−3 + (−4), 1 \pm 2 (−4)),$ það er $(−7, −7)$ og $(−7, 9)$

Næst merkjum við hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknum mjúkan feril sem myndar fleygbogann. Sjá mynd 10.

Grafið er merkt (y mínus 1) í öðru veldi = mínus 16(x + 3) og sýnir láréttan fleygboga sem opnast til vinstri, með hvirfilpunkt í (mínus 3, 1), brennipunkt í (mínus 7, 1) og stýrilínu x = 1. Þverbrennistrengurinn er sýndur sem lóðrétt lína sem liggur um brennipunktinn og endar á fleygboganum í (mínus 7, mínus 7) og (mínus 7, 9). Samhverfuásinn, lárétta línan y = 1, er einnig sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn. — Mynd 10

Dæmi 5

Graf fleygboga teiknað út frá jöfnu á almennu formi

Teiknið graf $x^{2} - 8 x - 28 y - 208 = 0.$ Finnið og merkið hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, stýrilínu og endapunkta þverbrennistrengsins.

Lausn

Byrjið á að rita jöfnu fleygbogans á staðalformi. Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$ Samhverfuásinn er því samsíða y-ásnum. Til að setja jöfnu fleygbogans fram á þessu formi byrjum við á að einangra liðina sem innihalda breytuna $x$ svo hægt sé að fylla í ferninginn.

\begin{array}{l} x^{2} - 8 x - 28 y - 208 = 0 \\ x^{2} - 8 x = 28 y + 208 \\ x^{2} - 8 x + 16 = 28 y + 208 + 16 \\ {(x - 4)}^{2} = 28 y + 224 \\ {(x - 4)}^{2} = 28 (y + 8) \\ {(x - 4)}^{2} = 4 \cdot 7 \cdot (y + 8) \end{array}

Af því leiðir að

hvirfilpunkturinn er $(h, k) = (4, −8)$
samhverfuásinn er $x = h = 4$
þar sem $p = 7, p > 0$ og því opnast fleygboginn upp
hnit brennipunktsins eru $(h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, −1)$
jafna stýrilínunnar er $y = k - p = −8 - 7 = −15$
endapunktar þverbrennistrengsins eru $(h \pm 2 p, k + p) = (4 \pm 2 (7), −8 + 7),$ það er $(−10, −1)$ og $(18, −1)$

Næst merkjum við hvirfilpunkt, samhverfuás, brennipunkt, stýrilínu og þverbrennistreng inn og teiknum mjúkan feril sem myndar fleygbogann. Sjá mynd 11.

Grafið er merkt (x mínus 4) í öðru veldi = 28 sinnum (y + 8) og sýnir lóðréttan fleygboga sem opnast upp, með hvirfilpunkt í (4, mínus 8), brennipunkt í (4, mínus 1) og stýrilínu y = mínus 15. Þverbrennistrengurinn er sýndur sem lárétt lína sem liggur um brennipunktinn og endar á fleygboganum í (mínus 10, mínus 1) og (18, mínus 1). Samhverfuásinn, lóðrétta línan x = 4, er einnig sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn. — Mynd 11

Hagnýt verkefni um fleygboga leyst

Eins og nefnt var í upphafi hlutans eru fleygbogar notaðir við hönnun margra hluta sem við notum daglega, svo sem stjörnusjónauka, hengibrúa, hljóðnema og ratsjárbúnaðar. Fleygbogaspeglar, eins og sá sem notaður er til að kveikja á ólympíueldinum, hafa sérstæðan endurkastseiginleika. Þegar ljósgeislar samsíða samhverfuás fleygbogans falla á yfirborð spegilsins endurkastast ljósið beint að brennipunktinum. Sjá mynd 12. Þess vegna kviknar á ólympíueldinum þegar kyndlinum er haldið í brennipunkti fleygbogaspegilsins.

Fleygbogaendurskastari er sýndur með merktum brennipunkti. Sólargeislar sem eru samsíða samhverfuásnum endurkastast allir af endurkastaranum og fara um brennipunktinn. — **Mynd 12.** Endurkastseiginleiki fleygboga

Fleygbogaspeglar geta beint orku sólarinnar í einn punkt og hækkað hitann um hundruð gráða á fáeinum sekúndum. Því eru fleygbogaspeglar notaðir í mörgum ódýrum og orkusparandi sólartækjum, svo sem sólareldavélum, sólarhitunarbúnaði og jafnvel handhægum ferðakveikjum.

Dæmi 6

Hagnýt verkefni um fleygboga leyst

Þversnið hönnunar á handhægri ferðakveikju með sólspegli er sýnt á mynd 13. Sólargeislar endurkastast af fleygbogaspeglinum að hlut sem er festur við kveikibúnaðinn. Kveikibúnaðurinn er í brennipunkti fleygbogans og því kveikja endurköstuðu geislarnir í hlutnum á fáeinum sekúndum.

ⓐ Finnið jöfnu fleygbogans sem lýsir eldkveikjunni. Gerið ráð fyrir að hvirfilpunktur fleygbogaspegilsins sé upphafspunktur hnitakerfisins.
ⓑ Notið jöfnuna úr lið ⓐ til að finna dýpt eldkveikjunnar.

Teikning af fleygbogalaga búnaði með kveikibúnað í brennipunktinum, 1.7 tommum ofan við hvirfilpunktinn. Fleygboginn er 4.5 tommur á breidd og „dýpt“ sýnir hæð hans. — **Mynd 13.** Þversnið handhægrar ferðakveikju með sólspegli

Lausn

ⓐ Hvirfilpunktur disksins er upphafspunktur hnitakerfisins og því verður fleygboginn á staðalforminu 𝑥 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑦, x 2 = 4 ⁢ p ⁢ y , þar sem 𝑝 > 0. p > 0. Kveikibúnaðurinn, sem er brennipunkturinn, er 1.7 tommur ofan við hvirfilpunkt disksins. Því er 𝑝 = 1. 7. p = 1.7. 𝑥 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑦 Staðalform fleygboga sem opnast upp d - f og hefur hvirfilpunkt x ( 0 $x^{2} = 4 p y,$ , 0 ) 𝑥 $p > 0.$ 2 = 4 ⁢ ( 1. 7 ) ⁢ 𝑦 Setja 1. 7 inn fyrir 𝑝. 𝑥 2 = 6. 8 ⁢ 𝑦 ⁢ Margfalda. x 2 = 4 ⁢ p ⁢ y Staðalform fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í (0,0) x 2 = 4 ⁢ ( 1.7 ) ⁢ y Setja inn 1 .7 fyrir p . x 2 = 6.8 ⁢ y ⁢ Margfalda . $p = 1.7.$
$\begin{array}{l} x^{2} = 4 p y & \begin{matrix} \end{matrix} Staðalform fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í (0,0) \\ x^{2} = 4 (1.7) y & \begin{matrix} \end{matrix} Setja inn 1 .7 fyrir p . \\ x^{2} = 6.8 y & \begin{matrix} \end{matrix} Margfalda . \end{array}$
ⓑ Diskurinn nær $\frac{4.5}{2} = 2.25$ tommur út frá upphafspunktinum í hvora átt. Við getum sett 2.25 inn fyrir $x$ í jöfnunni úr lið (a) til að finna dýpt disksins. 𝑥 2 = 6. 8 ⁢ 𝑦 Jafnan sem fannst í lið t ( a ). ( 2. 2 5 ) 2 = 6. 8 ⁢ 𝑦 Setja 2. 2 5 inn fyrir 𝑥. 𝑦 ≈ 0. 7 4 Leysa fyrir 𝑦.
$\begin{array}{l} x^{2} = 6.8 y & Jafnan sem fannst í lið (a) . \\ {(2.25)}^{2} = 6.8 y & Setja inn 2 .25 fyrir x . \\ y \approx 0.74 & Leysa fyrir y . \end{array}$
Diskurinn er um 0.74 tommur á dýpt.

10.3 Æfingar kaflahlutans

Hugtakaspurningar

Skilgreinið fleygboga út frá brennipunkti hans og stýrilínu.

Hvað má álykta um graf fleygboga ef jafna hans er á staðalformi, $p$ er jákvætt og stýrilínan er lóðrétt?

Hvað má álykta um graf fleygboga ef jafna hans er á staðalformi, $p$ er neikvætt og stýrilínan er lárétt?

Hvaða áhrif hafa hækkandi gildi 𝑝 p ? á graf fleygboga með jöfnu á staðalformi? $p ?$

Hvað verður um fjarlægðina milli brennipunkts og stýrilínu þegar graf fleygboga breikkar?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvort gefna jafnan lýsi fleygboga. Ef svo er skal umrita hana á staðalform.

𝑦2=4−𝑥2 $y^{2} = 4 - x^{2}$

𝑦=4⁢𝑥2 $y = 4 x^{2}$

3⁢𝑥2−6⁢𝑦2=12 $3 x^{2} - 6 y^{2} = 12$

(𝑦−3)₂=8⁢(𝑥−2) ${(y - 3)}^{2} = 8 (x - 2)$

10.

𝑦2+12⁢𝑥−6⁢𝑦−51=0 $y^{2} + 12 x - 6 y - 51 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal umrita gefnu jöfnuna á staðalform og finna síðan hvirfilpunkt $(V),$ brennipunkt ( 𝐹 ) $(F),$ og stýrilínu $(d)$ fleygbogans.

11.

𝑥=8⁢𝑦2 $x = 8 y^{2}$

12.

𝑦=14⁢𝑥2 $y = \frac{1}{4} x^{2}$

13.

𝑦=−4⁢𝑥2 $y = −4 x^{2}$

14.

𝑥=18⁢𝑦2 $x = \frac{1}{8} y^{2}$

15.

𝑥=36⁢𝑦2 $x = 36 y^{2}$

16.

𝑥=136⁢𝑦2 $x = \frac{1}{36} y^{2}$

17.

(𝑥−1)₂=4⁢(𝑦−1) ${(x - 1)}^{2} = 4 (y - 1)$

18.

(𝑦−2)₂=45⁢(𝑥+4) ${(y - 2)}^{2} = \frac{4}{5} (x + 4)$

19.

(𝑦−4)₂=2⁢(𝑥+3) ${(y - 4)}^{2} = 2 (x + 3)$

20.

(𝑥+1)₂=2⁢(𝑦+4) ${(x + 1)}^{2} = 2 (y + 4)$

21.

(𝑥+4)₂=24⁢(𝑦+1) ${(x + 4)}^{2} = 24 (y + 1)$

22.

(𝑦+4)₂=16⁢(𝑥+4) ${(y + 4)}^{2} = 16 (x + 4)$

23.

𝑦2+12⁢𝑥−6⁢𝑦+21=0 $y^{2} + 12 x - 6 y + 21 = 0$

24.

𝑥2−4⁢𝑥−24⁢𝑦+28=0 $x^{2} - 4 x - 24 y + 28 = 0$

25.

5⁢𝑥2−50⁢𝑥−4⁢𝑦+113=0 $5 x^{2} - 50 x - 4 y + 113 = 0$

26.

𝑦2−24⁢𝑥+4⁢𝑦−68=0 $y^{2} - 24 x + 4 y - 68 = 0$

27.

𝑥2−4⁢𝑥+2⁢𝑦−6=0 $x^{2} - 4 x + 2 y - 6 = 0$

28.

𝑦2−6⁢𝑦+12⁢𝑥−3=0 $y^{2} - 6 y + 12 x - 3 = 0$

29.

3⁢𝑦2−4⁢𝑥−6⁢𝑦+23=0 $3 y^{2} - 4 x - 6 y + 23 = 0$

30.

𝑥2+4⁢𝑥+8⁢𝑦−4=0 $x^{2} + 4 x + 8 y - 4 = 0$

Myndræn verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna graf fleygbogans og merkja brennipunkt og stýrilínu.

31.

𝑥=18⁢𝑦2 $x = \frac{1}{8} y^{2}$

32.

𝑦=36⁢𝑥2 $y = 36 x^{2}$

33.

𝑦=136⁢𝑥2 $y = \frac{1}{36} x^{2}$

34.

𝑦=−9⁢𝑥2 $y = −9 x^{2}$

35.

(𝑦−2)₂=−43⁢(𝑥+2) ${(y - 2)}^{2} = - \frac{4}{3} (x + 2)$

36.

−5⁢(𝑥+5)₂=4⁢(𝑦+5) $−5 {(x + 5)}^{2} = 4 (y + 5)$

37.

−6⁢(𝑦+5)₂=4⁢(𝑥−4) $−6 {(y + 5)}^{2} = 4 (x - 4)$

38.

𝑦2−6⁢𝑦−8⁢𝑥+1=0 $y^{2} - 6 y - 8 x + 1 = 0$

39.

𝑥2+8⁢𝑥+4⁢𝑦+20=0 $x^{2} + 8 x + 4 y + 20 = 0$

40.

3⁢𝑥2+30⁢𝑥−4⁢𝑦+95=0 $3 x^{2} + 30 x - 4 y + 95 = 0$

41.

𝑦2−8⁢𝑥+10⁢𝑦+9=0 $y^{2} - 8 x + 10 y + 9 = 0$

42.

𝑥2+4⁢𝑥+2⁢𝑦+2=0 $x^{2} + 4 x + 2 y + 2 = 0$

43.

𝑦2+2⁢𝑦−12⁢𝑥+61=0 $y^{2} + 2 y - 12 x + 61 = 0$

44.

−2⁢𝑥2+8⁢𝑥−4⁢𝑦−24=0 $- 2 x^{2} + 8 x - 4 y - 24 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu fleygbogans út frá gefnum upplýsingum um graf hans.

45.

Hvirfilpunktur er $(0, 0);$ stýrilína er 𝑦 = 4; $y = 4,$ brennipunktur er $(0, −4) .$

46.

Hvirfilpunktur er $(0, 0);$ stýrilína er 𝑥 = 4; $x = 4,$ brennipunktur er $(−4, 0) .$

47.

Hvirfilpunktur er $(2, 2);$ stýrilína er 𝑥 = 2 − √ 2; $x = 2 - \sqrt{2},$ brennipunktur er $(2 + \sqrt{2}, 2) .$

48.

Hvirfilpunktur er $(−2, 3);$ stýrilína er 𝑥 = − 7 2; $x = - \frac{7}{2},$ brennipunktur er $(- \frac{1}{2}, 3) .$

49.

Hvirfilpunktur er $(\sqrt{2}, - \sqrt{3});$ stýrilína er 𝑥 = 2 ⁢ √ 2; $x = 2 \sqrt{2},$ brennipunktur er $(0, - \sqrt{3}) .$

50.

Hvirfilpunktur er $(1, 2);$ stýrilína er 𝑦 = 1 1 3; $y = \frac{11}{3},$ brennipunktur er $(1, \frac{1}{3}) .$

Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu fleygbogans út frá grafi hans.

51.

Myndin sýnir tvo teiknibólur í pappírsblaði og slakan spotta á milli þeirra. Blýantur strekkir spottann og teiknar sporbaug þegar honum er hreyft í kring.

52.

Láréttur fleygbogi í xy-fleti sem opnast til vinstri, með hvirfilpunkt í (3, 2) og brennipunkt í (mínus 1, 2). Láréttur samhverfuás er sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn.

53.

Láréttur fleygbogi í xy-fleti sem opnast til hægri, með hvirfilpunkt í (mínus 2, 2) og brennipunkt í (mínus 31/16, 2). Láréttur samhverfuás er sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn.

54.

Lóðréttur fleygbogi í xy-fleti sem opnast niður, með hvirfilpunkt í (mínus 3, 5) og brennipunkt í (mínus 3, 319/64). Lóðréttur samhverfuás er sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn.

55.

Láréttur fleygbogi í xy-fleti sem opnast til hægri, með hvirfilpunkt í (mínus kvaðratrótin af 2, kvaðratrótin af 3) og brennipunkt í (mínus kvaðratrótin af 2 + square sinnum rótin af 5, kvaðratrótin af 3). Láréttur samhverfuás er sýndur og liggur um hvirfilpunktinn og brennipunktinn.

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi verkefnum eru hvirfilpunktur og endapunktar þverbrennistrengs fleygboga gefnir. Finnið jöfnuna.

56.

$V (0, 0)$ , endapunktar $(2, 1)$ , $(−2, 1)$

57.

$V (0, 0)$ , endapunktar $(−2, 4)$ , $(−2, −4)$

58.

$V (1, 2)$ , endapunktar $(−5, 5)$ , $(7, 5)$

59.

$V (−3, −1)$ , endapunktar $(0, 5)$ , $(0, −7)$

60.

$V (4, −3)$ , endapunktar $(5, - \frac{7}{2})$ , $(3, - \frac{7}{2})$

Hagnýt verkefni

61.

Spegill í bílframljósi hefur fleygbogalaga þversnið og ljósaperan er í brennipunktinum. Á skýringarmynd er jafna fleygbogans gefin sem $x^{2} = 4 y .$ Í hvaða hnitum á að koma ljósaperunni fyrir?

62.

Ef við viljum smíða spegilinn úr fyrra verkefni þannig að brennipunkturinn sé í $(0, 0.25),$ hver á jafna fleygbogans þá að vera?

63.

Gervihnattadiskur hefur lögun snúðfleygboga. Það merkir að mynda má hann með því að snúa fleygboga um samhverfuás hans. Móttakaranum á að koma fyrir í brennipunktinum. Ef op disksins er 12 fet á breidd og diskurinn er 4 fet á dýpt í miðju, hvar á þá að koma móttakaranum fyrir?

64.

Skoðið gervihnattadiskinn úr fyrra verkefni. Ef op disksins er 8 fet á breidd og diskurinn er 2 fet á dýpt, hvar á þá að koma móttakaranum fyrir?

65.

Endurkastarinn í leitarljósi hefur lögun snúðfleygboga. Ljósgjafi er 1 fet frá botninum eftir samhverfuásnum. Finnið dýptina ef op leitarljóssins er 3 fet á breidd.

66.

Finnið dýpt endurkastarans í leitarljósinu úr fyrra verkefni ef ljósgjafinn er 6 tommur frá botninum eftir samhverfuásnum og opið er 4 fet á breidd.

67.

Bogi er í laginu eins og fleygbogi. Hann hefur 100 feta haf og mesta hæð hans er 20 fet. Finnið jöfnu fleygbogans og hæð bogans í 40 feta fjarlægð frá miðju.

68.

Ef haf bogans úr fyrra verkefni er 160 fet og mesta hæð hans er 40 fet skal finna jöfnu fleygbogans og fjarlægðina frá miðju þar sem hæðin er 20 fet.

69.

Hlut er skotið eftir fleygbogaferli sem gefinn er með $y = - x^{2} + 96 x,$ þar sem $x$ er lárétt vegalengd í fetum og $y$ er hæðin. Finnið mestu hæð sem hluturinn nær.

70.

Gerið ráð fyrir að ferill hlutarins úr fyrra verkefni sé gefinn með $y = −0.5 x^{2} + 80 x .$ Finnið láréttu vegalengdina sem hluturinn fer þar til hann nær mestri hæð.

Samhverfuás	Jafna	Brennipunktur	Stýrilína	Endapunktar þverbrennistrengs
x-ás	𝑦 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑥 y² = 4 ⁢ p ⁢ x	( 𝑝 , 0 ) ( p , 0 )	𝑥 = − 𝑝 x = − p	( 𝑝 , ± 2 ⁢ 𝑝 ) ( p , ± 2 ⁢ p )
y-ás	𝑥 2 = 4 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑦 x² = 4 ⁢ p ⁢ y	( 0 , 𝑝 ) ( 0 , p )	𝑦 = − 𝑝 y = − p	( ± 2 ⁢ 𝑝 , 𝑝 ) ( ± 2 ⁢ p , p )