teikna gröf breiðboga með miðju utan upphafspunkts.
leysa hagnýt verkefni um breiðboga.
Hvað eiga ferlar halastjarna, hljóðhvellir, forngrískar súlur og kæliturnar með náttúrulegu loftstreymi sameiginlegt? Lýsa má þeim öllum með sömu gerð keilusniðs. Þegar hlutur hreyfist til dæmis hraðar en hljóðið myndast keilulaga höggbylgja. Þegar bylgjan sker jörðina myndast hluti keilusniðs og hljóðhvellur heyrist. Sjá mynd 1.
Mynd 1. Höggbylgja sem sker jörðina myndar hluta keilusniðs og veldur hljóðhvelli.
Flestir þekkja hljóðhvell sem yfirhljóðsflugvél myndar, en menn voru farnir að rjúfa hljóðmúrinn löngu fyrir fyrsta yfirhljóðsflugið. Svipuhvellur myndast vegna þess að oddur svipunnar fer hraðar en hljóðið. Kúlur úr mörgum skotvopnum rjúfa einnig hljóðmúrinn, þótt skothvellurinn yfirgnæfi yfirleitt hljóðhvellinn.
Hvirfilpunktar og brennipunktar breiðboga fundnir
Í hnitarúmfræði er breiðbogi keilusnið sem myndast þegar plan sker réttan hringkeiluflöt undir horni þannig að báðir helmingar keiluflatarins skerast. Við skurðinn myndast tveir aðskildir, ótakmarkaðir ferlar sem eru spegilmyndir hvor annars. Sjá mynd 2.
Mynd 2. Breiðbogi
Líkt og sporbaug má skilgreina breiðboga sem punktamengi í hnitafleti. Breiðbogi er mengi allra punkta í plani þannig að mismunur fjarlægðanna frá að brennipunktunum er jákvæður fasti.
Athugið að skilgreining breiðboga er mjög lík skilgreiningu sporbaugs. Munurinn er sá að breiðbogi er skilgreindur út frá mismuni tveggja fjarlægða en sporbaugur út frá summu tveggja fjarlægða.
Líkt og sporbaugur hefur sérhver breiðbogi tvo samhverfuása. Meginásinn er línustrik sem liggur um miðju breiðbogans og hefur hvirfilpunktana sem endapunkta. Brennipunktarnir liggja á línunni sem meginásinn er hluti af. Þverásinn er hornréttur á meginásinn og hefur aukahvirfilpunktana sem endapunkta. Miðja breiðboga er skurðpunktur og miðpunktur bæði megináss og þveráss. Sérhver breiðbogi hefur einnig tvær aðfellur sem liggja um miðjuna. Þegar greinar breiðbogans fjarlægjast miðjuna nálgast þær aðfellurnar. Miðrétthyrningur breiðbogans hefur miðju í upphafspunkti og hliðar sem liggja um hvern hvirfilpunkt og aukahvirfilpunkt; hann er gagnlegt hjálpartæki við að teikna breiðbogann og aðfellur hans. Aðfellurnar eru teiknaðar með því að draga og framlengja hornalínur miðrétthyrningsins. Sjá mynd 3.
Mynd 3. Lykileinkenni breiðboga
Í þessum hluta takmörkum við umfjöllunina við breiðboga sem liggja lóðrétt eða lárétt í hnitafletinum; ásar þeirra liggja annaðhvort á x- og y-ásunum eða samsíða þeim. Við skoðum tvö tilvik: breiðboga með miðju í upphafspunkti og breiðboga með miðju í öðrum punkti.
Jafna breiðboga með miðju í upphafspunkti leidd út
Látum og vera brennipunkta breiðboga með miðju í upphafspunkti. Breiðboginn er mengi allra punkta þannig að mismunur fjarlægðanna frá að brennipunktunum er fasti. Sjá mynd 4.
Ef er hvirfilpunktur breiðbogans er fjarlægðin frá að jöfn Fjarlægðin frá að er Mismunur fjarlægðanna frá brennipunktunum að hvirfilpunktinum er
Ef er punktur á breiðboganum getum við skilgreint eftirfarandi breytur:
Samkvæmt skilgreiningu breiðboga er fasti fyrir sérhvern punkt á breiðboganum. Við vitum að mismunur þessara fjarlægða er fyrir hvirfilpunktinn Því gildir fyrir sérhvern punkt á breiðboganum. Líkt og við útleiðslu jöfnu sporbaugs byrjum við á að beita fjarlægðarformúlunni. Afgangurinn af útleiðslunni er algebrulegur. Berið þessa útleiðslu saman við útleiðsluna fyrir sporbauga í fyrri hlutanum.
Þessi jafna skilgreinir breiðboga með miðju í upphafspunkti, hvirfilpunkta í og aukahvirfilpunkta í
Mynd 5. (a) Láréttur breiðbogi með miðju í (b) Lóðréttur breiðbogi með miðju í
Dæmi 1
Hvirfilpunktar og brennipunktar breiðboga fundnir
Finnið hvirfilpunkta og brennipunkta breiðbogans með jöfnuna
Lausn
Jafnan er á forminu svo meginásinn liggur á y-ásnum. Miðja breiðbogans er í upphafspunkti og því eru hvirfilpunktarnir y-skurðpunktar grafsins. Til að finna hvirfilpunktana setjum við 𝑥 = 0 og leysum fyrir
Brennipunktarnir eru í Þegar leyst er fyrir 𝑐
Hvirfilpunktarnir eru því í ( 0 , ± 7 ) og brennipunktarnir í
Jöfnur breiðboga ritaðar á staðalformi
Líkt og með sporbauga gerir staðalform jöfnu breiðboga okkur kleift að reikna lykileinkenni hans: miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur, ásamt lengd og legu megináss og þveráss. Á hinn bóginn má finna jöfnu breiðboga þegar lykileinkenni hans eru gefin. Við byrjum á staðaljöfnum breiðboga með miðju í upphafspunkti og snúum okkur síðan að staðaljöfnum breiðboga með miðju í öðrum punkti.
Breiðbogar með miðju í upphafspunkti
Þegar staðalform breiðboga með miðju í ( 0 , 0 ) eru rifjuð upp sést að hvirfilpunktar, aukahvirfilpunktar og brennipunktar tengjast með jöfnunni Einnig má rita þessa jöfnu sem Þessi tengsl eru notuð til að rita jöfnu breiðboga þegar hnit brennipunkta hans og hvirfilpunkta eru gefin.
Dæmi 2
Jafna breiðboga með miðju í (0,0) fundin út frá brennipunktum og hvirfilpunktum hans
Hver er jafna breiðbogans á staðalformi ef hvirfilpunktar hans eru og brennipunktar hans eru
Lausn
Hvirfilpunktarnir og brennipunktarnir liggja á x-ásnum. Jafna breiðbogans verður því á forminu
Hvirfilpunktarnir eru svo og
Brennipunktarnir eru svo og
Þegar leyst er fyrir 𝑏 2 fæst
Að lokum setjum við og inn í staðalform jöfnunnar, Jafna breiðbogans er eins og sýnt er á mynd 6.
Mynd 6
Breiðbogar með miðju utan upphafspunkts
Líkt og gröfum annarra jafna má hliðra grafi breiðboga. Ef breiðboga er hliðrað um einingar lárétt og einingar lóðrétt verður miðja breiðbogans Við þessa hliðrun fæst staðalform jöfnunnar sem við sáum áður, þar sem er skipt út fyrir og er skipt út fyrir
Mynd 7. (a) Láréttur breiðbogi með miðju í (b) Lóðréttur breiðbogi með miðju í
Líkt og breiðbogar með miðju í upphafspunkti hafa breiðbogar með miðju í punkti hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta sem tengjast með jöfnunni Þegar hvirfilpunktar og brennipunktar eru gefnir getum við notað þessi tengsl ásamt miðpunkts- og fjarlægðarformúlunum til að finna staðaljöfnu breiðbogans.
Dæmi 3
Jafna breiðboga með miðju í (h, k) fundin út frá brennipunktum og hvirfilpunktum
Hver er staðaljafna breiðbogans sem hefur hvirfilpunkta í og og brennipunkta í og
Lausn
y-hnit hvirfilpunktanna og brennipunktanna eru jöfn og því er meginásinn samsíða x-ásnum. Jafna breiðbogans verður því á forminu
Fyrst finnum við miðjuna Miðjan er mitt á milli hvirfilpunktanna og Með miðpunktsformúlunni fæst
Næst finnum við Meginásinn, sem hefur lengdina liggur milli hvirfilpunktanna. Við getum því fundið með því að reikna fjarlægðina milli x-hnita hvirfilpunktanna.
Nú þurfum við að finna Hnit brennipunktanna eru Því er og Við getum notað x-hnit annars hvors þessara punkta til að leysa fyrir Við notum punktinn ( 8, − 2 ) og setjum ℎ = 3 inn:
Næst leysum við fyrir með jöfnunni
Að lokum setjum við fundin gildi á og inn í staðalform jöfnunnar.
Teikning breiðboga með miðju í upphafspunkti
Þegar jafna breiðboga með miðju í upphafspunkti er á staðalformi getum við túlkað einstaka hluta hennar til að finna helstu einkenni grafsins: miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, aðfellur, brennipunkta og lengdir og legu megináss og þveráss. Til að teikna breiðboga með miðju í upphafspunkti notum við staðalformið fyrir lárétta breiðboga og staðalformið fyrir lóðrétta breiðboga.
Dæmi 4
Graf breiðboga með miðju í (0, 0) teiknað út frá jöfnu á staðalformi
Teiknið breiðbogann sem gefinn er með jöfnunni Finnið og merkið hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur.
Lausn
Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er Meginásinn liggur því á y-ásnum.
Merkið hvirfilpunkta og aukahvirfilpunkta inn og teiknið síðan miðrétthyrninginn. Hliðar rétthyrningsins eru samsíða ásunum og liggja um hvirfilpunktana og aukahvirfilpunktana. Teiknið hornalínur miðrétthyrningsins og framlengið þær til að sýna aðfellurnar. Miðrétthyrningurinn og aðfellurnar mynda stoðgrindina sem þarf til að teikna nákvæmt graf breiðbogans. Merkið brennipunktana og aðfellurnar og teiknið mjúkan feril sem myndar breiðbogann, eins og sýnt er á mynd 8.
Mynd 8
Teikning breiðboga sem hafa ekki miðju í upphafspunkti
Teikning breiðboga með miðju í punkti öðrum en upphafspunkti er svipuð teikningu sporbauga með miðju utan upphafspunkts. Við notum staðalformin fyrir lárétta breiðboga og fyrir lóðrétta breiðboga. Út frá þessum staðaljöfnum getum við auðveldlega reiknað og merkt inn helstu einkenni grafsins: hnit miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta og brennipunkta, jöfnur aðfella og legu megináss og þveráss.
Dæmi 5
Graf breiðboga með miðju í (h, k) teiknað út frá jöfnu á almennu formi
Teiknið breiðbogann sem gefinn er með jöfnunni Finnið og merkið miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur.
Lausn
Byrjið á að rita jöfnuna á staðalformi. Flokkið saman liði sem innihalda sömu breytu og færið fastann yfir jafnaðarmerkið.
Takið fremsta stuðul hvorrar stæðu út fyrir sviga.
Fyllið tvisvar í ferninginn. Gætið þess að halda jöfnunni í jafnvægi með því að leggja sömu fasta við báðar hliðar.
Umritið sem fullkomna ferninga.
Deilið báðum hliðum með fastaliðnum til að færa jöfnuna á staðalform.
Staðalformið sem á við um gefnu jöfnuna er þar sem og eða og Meginásinn er því samsíða x-ásnum. Af því leiðir að
miðja breiðbogans er
hnit hvirfilpunktanna eru það er og
hnit aukahvirfilpunktanna eru það er og
hnit brennipunktanna eru þar sem Þegar leyst er fyrir 𝑐 fæst
Hnit brennipunktanna eru því og
Jöfnur aðfellanna eru
Næst merkjum við miðju, hvirfilpunkta, aukahvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur inn og teiknum mjúka ferla sem mynda breiðbogann, eins og sýnt er á mynd 9.
Mynd 9
Hagnýt verkefni um breiðboga leyst
Eins og rætt var í upphafi kaflahlutans koma breiðbogar við sögu í raunverulegum verkefnum á mörgum sviðum, svo sem stjörnufræði, eðlisfræði, verkfræði og byggingarlist. Skilvirk hönnun breiðbogalaga kæliturna er sérstaklega áhugaverð. Kæliturnar flytja afgangsvarma út í andrúmsloftið og oft er lögð áhersla á þátt þeirra í skilvirkri orkuframleiðslu. Breiðbogalagið gerir þessum mannvirkjum kleift að standast afar hvassa vinda þótt minna efni þurfi í þau en önnur mannvirki af sambærilegri stærð og styrk. Sjá mynd 10. Til dæmis má gera 500 feta háan turn úr járnbentri steinsteypuskel sem er aðeins 6 eða 8 tommur á þykkt!
Mynd 10. Kæliturnar við Drax-orkuverið í Norður-Yorkshire á Bretlandi (mynd: Les Haines, Flickr)
Fyrstu breiðbogalaga turnarnir voru hannaðir árið 1914 og voru 35 metrar á hæð. Nú eru hæstu kæliturnarnir í Frakklandi og ná hvorki meira né minna en 170 metra hæð. Í dæmi 6 notum við hönnun kæliturns til að finna breiðbogajöfnu sem lýsir hliðum hans.
Dæmi 6
Hagnýt verkefni um breiðboga leyst
Hönnun kæliturns er sýnd á mynd 11. Turninn er 179.6 metra hár. Þvermál turnsins efst er 72 metrar. Þar sem hliðar turnsins liggja næst hvor annarri eru 60 metrar á milli þeirra.
Mynd 11. Hönnun náttúrulegs kæliturns
Finnið jöfnu breiðbogans sem lýsir hliðum kæliturnsins. Gerið ráð fyrir að miðja breiðbogans — merkt með skurðpunkti strikalínanna sem eru hornréttar hvor á aðra á myndinni — sé upphafspunktur hnitakerfisins. Námundið lokagildi að fjórum aukastöfum.
Lausn
Við gerum ráð fyrir að miðja turnsins sé í upphafspunkti og getum því notað staðalform lárétts breiðboga með miðju í upphafspunkti: þar sem greinar breiðbogans mynda hliðar kæliturnsins. Við þurfum að finna gildin á og til að fullgera líkanið.
Fyrst finnum við Munið að lengd megináss breiðboga er Þessi lengd samsvarar fjarlægðinni þar sem hliðar turnsins eru næst hvor annarri, en hún er gefin sem metrar. Því er Þar af leiðandi er og
Til að leysa fyrir 𝑏 2 þurfum við að setja inn gildi fyrir og í jöfnuna með þekktum punkti. Til þess getum við notað stærðir turnsins til að finna punkt sem liggur á breiðboganum. Við látum efra hægra horn turnsins tákna þann punkt. Þar sem y-ásinn helmingar turninn má tákna x-gildið með geisla turnsins efst, eða 36 metrum. y-gildið táknar fjarlægðina frá upphafspunkti að toppi turnsins, sem er gefin sem 79.6 metrar. Því fæst
Lýsa má hliðum turnsins með breiðbogajöfnunni
10.2 Æfingar kaflahlutans
Munnleg verkefni
1.
Skilgreinið breiðboga út frá brennipunktum hans.
2.
Hvað má álykta um breiðboga ef aðfellur hans skerast í upphafspunkti?
3.
Hvað verður að gilda um brennipunkta breiðboga?
4.
Hvað vitum við um grafið ef meginás breiðboga er lóðréttur?
5.
Hvar verður miðja breiðboga að liggja miðað við brennipunkta hans?
Algebruverkefni
Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvort jöfnurnar lýsi breiðbogum. Ef svo er skal rita þær á staðalformi.
6.
3𝑦2+2𝑥=6
7.
𝑥236−𝑦29=1
8.
5𝑦2+4𝑥2=6𝑥
9.
25𝑥2−16𝑦2=400
10.
−9𝑥2+18𝑥+𝑦2+4𝑦−14=0
Í eftirfarandi verkefnum skal rita jöfnu breiðbogans á staðalformi ef hún er ekki þegar á því formi, finna hvirfilpunkta og brennipunkta og rita jöfnur aðfellanna.
11.
𝑥225−𝑦236=1
12.
𝑥2100−𝑦29=1
13.
𝑦24−𝑥281=1
14.
9𝑦2−4𝑥2=1
15.
(𝑥−1)29−(𝑦−2)216=1
16.
(𝑦−6)236−(𝑥+1)216=1
17.
(𝑥−2)249−(𝑦+7)249=1
18.
4𝑥2−8𝑥−9𝑦2−72𝑦+112=0
19.
−9𝑥2−54𝑥+9𝑦2−54𝑦+81=0
20.
4𝑥2−24𝑥−36𝑦2−360𝑦+864=0
21.
−4𝑥2+24𝑥+16𝑦2−128𝑦+156=0
22.
−4𝑥2+40𝑥+25𝑦2−100𝑦+100=0
23.
𝑥2+2𝑥−100𝑦2−1000𝑦+2401=0
24.
−9𝑥2+72𝑥+16𝑦2+16𝑦+4=0
25.
4𝑥2+24𝑥−25𝑦2+200𝑦−464=0
Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnur aðfellna hvers breiðboga.
26.
𝑦232−𝑥232=1
27.
(𝑥−3)252−(𝑦+4)222=1
28.
(𝑦−3)232−(𝑥+5)262=1
29.
9𝑥2−18𝑥−16𝑦2+32𝑦−151=0
30.
16𝑦2+96𝑦−4𝑥2+16𝑥+112=0
Myndræn verkefni
Í eftirfarandi verkefnum skal skissa graf breiðbogans og merkja hvirfilpunkta og brennipunkta.
31.
𝑥249−𝑦216=1
32.
𝑥264−𝑦24=1
33.
𝑦29−𝑥225=1
34.
81𝑥2−9𝑦2=1
35.
(𝑦+5)29−(𝑥−4)225=1
36.
(𝑥−2)28−(𝑦+3)227=1
37.
(𝑦−3)29−(𝑥−3)29=1
38.
−4𝑥2−8𝑥+16𝑦2−32𝑦−52=0
39.
𝑥2−8𝑥−25𝑦2−100𝑦−109=0
40.
−𝑥2+8𝑥+4𝑦2−40𝑦+88=0
41.
64𝑥2+128𝑥−9𝑦2−72𝑦−656=0
42.
16𝑥2+64𝑥−4𝑦2−8𝑦−4=0
43.
−100𝑥2+1000𝑥+𝑦2−10𝑦−2575=0
44.
4𝑥2+16𝑥−4𝑦2+16𝑦+16=0
Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu breiðbogans út frá gefnum upplýsingum um graf hans.
45.
Hvirfilpunktar í og og annar brennipunkturinn í
46.
Hvirfilpunktar í og og annar brennipunkturinn í
47.
Hvirfilpunktar í og og annar brennipunkturinn í
48.
Miðja: hvirfilpunktur: annar brennipunkturinn:
49.
Miðja: hvirfilpunktur: annar brennipunkturinn:
50.
Miðja: hvirfilpunktur: annar brennipunkturinn:
Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu breiðbogans út frá gefnu grafi hans.
51.
52.
53.
54.
55.
Viðbótarverkefni
Í eftirfarandi verkefnum skal setja jöfnu breiðbogans fram sem tvö föll þar sem er fall af Einfaldið eins og unnt er. Notið grafreikni til að skissa gröf beggja falla í sama hnitakerfi.
56.
𝑥24−𝑦29=1
57.
𝑦29−𝑥21=1
58.
(𝑥−2)216−(𝑦+3)225=1
59.
−4𝑥2−16𝑥+𝑦2−2𝑦−19=0
60.
4𝑥2−24𝑥−𝑦2−4𝑦+16=0
Hagnýt verkefni
Í eftirfarandi verkefnum á að gera limgerði í laginu eins og breiðbogi við gosbrunn í miðjum garði. Finnið jöfnu breiðbogans og skissið grafið.
61.
Limgerðið fylgir aðfellunum 𝑦 = 𝑥 og 𝑦 = − 𝑥, og minnsta fjarlægð þess frá gosbrunninum í miðjunni er 5 yardar.
62.
Limgerðið fylgir aðfellunum 𝑦 = 2 𝑥 og 𝑦 = − 2 𝑥, og minnsta fjarlægð þess frá gosbrunninum í miðjunni er 6 yardar.
63.
Limgerðið fylgir aðfellunum og og minnsta fjarlægð þess frá gosbrunninum í miðjunni er 10 yardar.
64.
Limgerðið fylgir aðfellunum og og minnsta fjarlægð þess frá gosbrunninum í miðjunni er 12 yardar.
65.
Limgerðið fylgir aðfellunum og og minnsta fjarlægð þess frá gosbrunninum í miðjunni er 20 yardar.
Í eftirfarandi verkefnum skal gera ráð fyrir að fyrirbæri komi inn í sólkerfið og að við viljum teikna feril þess í hnitakerfi þar sem sólin er í upphafspunkti og x-ásinn er samhverfuás ferilsins. Finnið jöfnu ferils hvers fyrirbæris út frá gefnum upplýsingum.
66.
Fyrirbærið kemur inn eftir ferli sem má nálga með línunni og kemst næst sólu í 1 stjörnufræðieininga fjarlægð, þannig að sólin er annar brennipunktur breiðbogans. Síðan yfirgefur það sólkerfið eftir ferli sem má nálga með línunni
67.
Fyrirbærið kemur inn eftir ferli sem má nálga með línunni og kemst næst sólu í 0.5 stjörnufræðieininga fjarlægð, þannig að sólin er annar brennipunktur breiðbogans. Síðan yfirgefur það sólkerfið eftir ferli sem má nálga með línunni
68.
Fyrirbærið kemur inn eftir ferli sem má nálga með línunni og kemst næst sólu í 1 stjörnufræðieininga fjarlægð, þannig að sólin er annar brennipunktur breiðbogans. Síðan yfirgefur það sólkerfið eftir ferli sem má nálga með línunni
69.
Fyrirbærið kemur inn eftir ferli sem má nálga með línunni og kemst næst sólu í 1 stjörnufræðieininga fjarlægð, þannig að sólin er annar brennipunktur breiðbogans. Síðan yfirgefur það sólkerfið eftir ferli sem má nálga með línunni
70.
Fyrirbærið kemur inn eftir ferli sem má nálga með línunni og kemst næst sólu í 1 stjörnufræðieininga fjarlægð, þannig að sólin er annar brennipunktur breiðbogans. Síðan yfirgefur það sólkerfið eftir ferli sem má nálga með línunni
