10.4 Snúningur hnitása

Eins og við höfum séð myndast keilusnið þegar plan sker tvær réttar hringkeilur sem liggja odd við odd og ná óendanlega langt í gagnstæðar áttir; slíkt form köllum við einnig tvíkeilu. Hvernig tvíkeilan er skorin ræður því hvaða keilusnið myndast í skurðinum. Hringur myndast þegar keila er skorin með plani sem er hornrétt á samhverfuás keilunnar. Sporbaugur myndast þegar annar keiluhelmingurinn er skorinn með skáhallandi plani sem er ekki hornrétt á samhverfuásinn. Fleygbogi myndast þegar planið sker gegnum efri eða neðri hluta tvíkeilunnar, en breiðbogi myndast þegar planið sker bæði efri og neðri hluta hennar. Sjá mynd 1.

Sporbaugar, hringir, breiðbogar og fleygbogar eru stundum kölluð óúrkynjuð keilusnið, til aðgreiningar frá úrkynjuðu keilusniðunum sem sýnd eru á mynd 2. Úrkynjað keilusnið myndast þegar plan sker tvíkeiluna og fer í gegnum oddpunkt hennar. Þrjár gerðir úrkynjaðra keilusniða eru mögulegar, eftir horni plansins: punktur, lína eða tvær línur sem skerast.

þar sem $A,B,$ og $C$ eru ekki öll núll. Við getum notað gildi stuðlanna til að ákvarða hvaða keilusnið tiltekin jafna táknar.

Þú tekur ef til vill eftir að jafnan á almennu formi inniheldur liðinn $xy$ , sem við höfum ekki séð í neinni jöfnunni á staðalformi. Eins og síðar verður fjallað um veldur liðurinn $xy$ snúningi keilusniðsins þegar $B$ er ekki núll.

Hingað til höfum við skoðað jöfnur keilusniða án $xy$ -liðar, þannig að gröfin liggja samsíða x- og y-ásunum. Þegar $xy$ -lið er bætt við er keilusniðinu snúið um upphafspunktinn. Ef x- og y-ásunum er snúið um horn, til dæmis $\theta ,$ má líta svo á að sérhver punktur í planinu hafi tvær framsetningar: $\left(x,y\right)$ í kartesíska planinu með upphaflegu x- og y-ásunum og $\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ í nýja planinu sem nýju, snúnu ásarnir skilgreina. Þeir nefnast x′-ás og y′-ás. Sjá mynd 3.

Við finnum sambandið milli $x$ og $y$ í kartesíska planinu annars vegar og $x^{\prime }$ og $y^{\prime }$ í nýja snúna planinu hins vegar. Sjá mynd 4.

Upphaflegu x- og y-hnitásarnir hafa einingarvigrana $i$ og $j.$ Snúnu hnitásarnir hafa einingarvigrana $i^{\prime }$ og $j^{\prime }.$ Hornið $\theta$ nefnist snúningshorn. Sjá mynd 5. Við getum ritað nýju einingarvigrana með þeim upphaflegu.

Lítum á vigur $u$ í nýja hnitaplaninu. Hann má setja fram með hnitásum þess.

Þar sem $u=x^{\prime }{i}^{\prime }+y^{\prime }{j}^{\prime },$ fáum við framsetningar á $x$ og $y$ með nýja hnitakerfinu.

Nú þegar við getum fundið staðalform keilusniðs þegar snúningshorn er gefið lærum við að ummynda jöfnu keilusniðs á forminu $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ yfir á staðalform með því að snúa hnitásunum. Til þess ritum við almenna formið sem jöfnu í hnitakerfinu með $x^{\prime }$ og $y^{\prime }$ , án $x^{\prime }{y}^{\prime }$ -liðar, með því að snúa ásunum um horn $\theta$ sem uppfyllir

þar sem $A,B,$ og $C$ eru ekki öll núll. Ef $B\ne 0,$ kemur hins vegar fyrir $xy$ -liður sem kemur í veg fyrir að jafnan verði rituð á staðalformi. Til að eyða honum getum við snúið ásunum um hvasst horn $\theta$ þar sem $\cot \left(2\theta \right)=\frac{A-C}{B}.$

Sýna má að $B^2-4AC={B^{\prime }}^2-4A^{\prime }{C}^{\prime }.$ Segðin breytist ekki við snúning og nefnist því óbreyta. Aðgreinirinn $B^2-4AC,$ er óbreyta og helst óbreyttur við snúning. Þar sem aðgreinirinn breytist ekki getum við notað gildi hans til að þekkja keilusniðið.