1010 Rúmfræði með hnitum

Kaflapróf

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnuna á staðalformi og tilgreina miðju, hvirfilpunkta og brennipunkta.

𝑥29+𝑦24=1 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

9⁢𝑦2+16⁢𝑥2−36⁢𝑦+32⁢𝑥−92=0 $9 y^{2} + 16 x^{2} - 36 y + 32 x - 92 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal skissa grafið og merkja miðju þess, hvirfilpunkta og brennipunkta.

(𝑥−3)₂₆₄+(𝑦−2)₂₃₆=1 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{36} = 1$

2⁢𝑥2+𝑦2+8⁢𝑥−6⁢𝑦−7=0 $2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0$

Skrifið staðalform jöfnu sporbaugs með miðju í $(1, 2),$ hvirfilpunkt í ( 7 , 2 ) $(7, 2),$ og brennipunkt í $(4, 2).$

Byggja á 150 feta langan hvíslasal. Ef brennipunktarnir eiga að vera 20 fet frá veggnum, hver á lofthæðin þá að vera?

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu breiðbogans á staðalformi og tilgreina miðju hans, hvirfilpunkta, brennipunkta og aðfellur.

𝑥249−𝑦281=1 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

16⁢𝑦2−9⁢𝑥2+128⁢𝑦+112=0 $16 y^{2} - 9 x^{2} + 128 y + 112 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna breiðbogann og merkja miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta. Tilgreinið jöfnur aðfellanna.

(𝑥−3)₂₂₅−(𝑦+3)₂₁=1 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{1} = 1$

10.

𝑦2−𝑥2+4⁢𝑦−4⁢𝑥−18=0 $y^{2} - x^{2} + 4 y - 4 x - 18 = 0$

11.

Skrifið staðalform jöfnu breiðboga með brennipunkta í $(1, 0)$ og $(1, 6),$ og hvirfilpunkt í $(1, 2) .$

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu fleygbogans á staðalformi og tilgreina hvirfilpunkt hans, brennipunkt og jöfnu stýrilínunnar.

12.

𝑦2+10⁢𝑥=0 $y^{2} + 10 x = 0$

13.

3⁢𝑥2−12⁢𝑥−𝑦+11=0 $3 x^{2} - 12 x - y + 11 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna fleygbogann og merkja hvirfilpunkt hans, brennipunkt og stýrilínu.

14.

(𝑥−1)₂=−4⁢(𝑦+3) ${(x - 1)}^{2} = −4 (y + 3)$

15.

𝑦2+8⁢𝑥−8⁢𝑦+40=0 $y^{2} + 8 x - 8 y + 40 = 0$

16.

Skrifið jöfnu fleygboga með brennipunkt í $(2, 3)$ og stýrilínu $y = −1.$

17.

Leitarljós er í laginu eins og snúðfleygbogi. Ef ljósgjafinn er 1.5 fet frá botninum eftir samhverfuásnum og dýpt leitarljóssins er 3 fet, hver á breidd opsins þá að vera?

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvaða keilusnið gefna jafnan táknar og síðan finna hornið $θ$ sem eyðir $x y$ -liðnum.

18.

3⁢𝑥2−2⁢𝑥⁢𝑦+3⁢𝑦2=4 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 4$

19.

𝑥2+4⁢𝑥⁢𝑦+4⁢𝑦2+6⁢𝑥−8⁢𝑦=0 $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} + 6 x - 8 y = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal umrita jöfnuna í $x^{'} y^{'}$ -hnitakerfinu án $x^{'} y^{'}$ -liðar og teikna snúna grafið.

20.

11⁢𝑥2+10⁢√3⁢𝑥⁢𝑦+𝑦2=4 $11 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + y^{2} = 4$

21.

16⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦+9⁢𝑦2−125⁢𝑥=0 $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 125 x = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal greina keilusniðið sem hefur brennipunkt í upphafspunkti og tilgreina síðan stýrilínu þess og miðskekkju.

22.

𝑟=32−sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{2 - \sin θ}$

23.

𝑟=54+6cos⁡𝜃 $r = \frac{5}{4 + 6 \cos θ}$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna gefna keilusniðið. Ef það er fleygbogi skal merkja hvirfilpunkt, brennipunkt og stýrilínu. Ef það er sporbaugur eða breiðbogi skal merkja hvirfilpunkta og brennipunkta.

24.

𝑟=124−8sin⁡𝜃 $r = \frac{12}{4 - 8 \sin θ}$

25.

𝑟=24+4sin⁡𝜃 $r = \frac{2}{4 + 4 \sin θ}$

26.

Finnið póljöfnu keilusniðsins sem hefur brennipunkt í upphafspunkti, miðskekkjuna $e = 2,$ og stýrilínuna $x = 3.$