1010 Rúmfræði með hnitum

Yfirlitsverkefni

Sporbaugurinn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu sporbaugsins á staðalformi. Tilgreinið síðan miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

𝑥225+𝑦264=1 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

(𝑥−2)₂₁₀₀+(𝑦+3)₂₃₆=1 $\frac{{(x - 2)}^{2}}{100} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

9⁢𝑥2+𝑦2+54⁢𝑥−4⁢𝑦+76=0 $9 x^{2} + y^{2} + 54 x - 4 y + 76 = 0$

9⁢𝑥2+36⁢𝑦2−36⁢𝑥+72⁢𝑦+36=0 $9 x^{2} + 36 y^{2} - 36 x + 72 y + 36 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna sporbaugin og merkja miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

𝑥236+𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(𝑥−4)₂₂₅+(𝑦+3)₂₄₉=1 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{49} = 1$

4⁢𝑥2+𝑦2+16⁢𝑥+4⁢𝑦−44=0 $4 x^{2} + y^{2} + 16 x + 4 y - 44 = 0$

2⁢𝑥2+3⁢𝑦2−20⁢𝑥+12⁢𝑦+38=0 $2 x^{2} + 3 y^{2} - 20 x + 12 y + 38 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota gefnar upplýsingar til að finna jöfnu sporbaugsins.

Miðja í $(0, 0),$ brennipunktur í $(3, 0),$ hvirfilpunktur í $(−5, 0)$

10.

Miðja í $(2, −2),$ hvirfilpunktur í $(7, −2),$ brennipunktur í $(4, −2)$

11.

Byggja á hvíslasal þannig að brennipunktarnir séu 35 fet frá miðjunni. Ef lengd salarins á að vera 100 fet, hver á lofthæðin þá að vera?

Breiðboginn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu breiðbogans á staðalformi. Tilgreinið síðan miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

12.

𝑥281−𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13.

(𝑦+1)₂₁₆−(𝑥−4)₂₃₆=1 $\frac{{(y + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{36} = 1$

14.

9⁢𝑦2−4⁢𝑥2+54⁢𝑦−16⁢𝑥+29=0 $9 y^{2} - 4 x^{2} + 54 y - 16 x + 29 = 0$

15.

3⁢𝑥2−𝑦2−12⁢𝑥−6⁢𝑦−9=0 $3 x^{2} - y^{2} - 12 x - 6 y - 9 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna breiðbogann og merkja hvirfilpunkta hans og brennipunkta.

16.

𝑥29−𝑦216=1 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

17.

(𝑦−1)₂₄₉−(𝑥+1)₂₄=1 $\frac{{(y - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

18.

𝑥2−4⁢𝑦2+6⁢𝑥+32⁢𝑦−91=0 $x^{2} - 4 y^{2} + 6 x + 32 y - 91 = 0$

19.

2⁢𝑦2−𝑥2−12⁢𝑦−6=0 $2 y^{2} - x^{2} - 12 y - 6 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu breiðbogans.

20.

Miðja í $(0, 0),$ hvirfilpunktur í $(0, 4),$ brennipunktur í $(0, −6)$

21.

Brennipunktar í $(3, 7)$ og $(7, 7),$ hvirfilpunktur í $(6, 7)$

Fleygboginn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu fleygbogans á staðalformi. Tilgreinið síðan hvirfilpunkt hans, brennipunkt og stýrilínu.

22.

𝑦2=12⁢𝑥 $y^{2} = 12 x$

23.

(𝑥+2)₂=12⁢(𝑦−1) ${(x + 2)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1)$

24.

𝑦2−6⁢𝑦−6⁢𝑥−3=0 $y^{2} - 6 y - 6 x - 3 = 0$

25.

𝑥2+10⁢𝑥−𝑦+23=0 $x^{2} + 10 x - y + 23 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna fleygbogann og merkja hvirfilpunkt hans, brennipunkt og stýrilínu.

26.

𝑥2+4⁢𝑦=0 $x^{2} + 4 y = 0$

27.

(𝑦−1)₂=12⁢(𝑥+3) ${(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2} (x + 3)$

28.

𝑥2−8⁢𝑥−10⁢𝑦+46=0 $x^{2} - 8 x - 10 y + 46 = 0$

29.

2⁢𝑦2+12⁢𝑦+6⁢𝑥+15=0 $2 y^{2} + 12 y + 6 x + 15 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota gefnar upplýsingar til að skrifa jöfnu fleygbogans.

30.

Brennipunktur í $(−4, 0);$ stýrilínan er $x = 4$

31.

Brennipunktur í $(2, \frac{9}{8});$ stýrilínan er $y = \frac{7}{8}$

32.

Gervihnattadiskur er í laginu eins og snúðfleygbogi. Finnið staðsetningu móttakarans, sem er komið fyrir í brennipunktinum, ef op disksins er 5 fet á breidd og diskurinn er 1.5 fet á dýpt.

Snúningur ása

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvaða keilusnið jafnan táknar.

33.

16⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦+9⁢𝑦2+24⁢𝑥−60⁢𝑦−60=0 $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 24 x - 60 y - 60 = 0$

34.

4⁢𝑥2+14⁢𝑥⁢𝑦+5⁢𝑦2+18⁢𝑥−6⁢𝑦+30=0 $4 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2} + 18 x - 6 y + 30 = 0$

35.

4⁢𝑥2+𝑥⁢𝑦+2⁢𝑦2+8⁢𝑥−26⁢𝑦+9=0 $4 x^{2} + x y + 2 y^{2} + 8 x - 26 y + 9 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hornið $θ$ sem eyðir $x y$ -liðnum og skrifa samsvarandi jöfnu án $x y$ -liðar.

36.

𝑥2+4⁢𝑥⁢𝑦−2⁢𝑦2−6=0 $x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

37.

𝑥2−𝑥⁢𝑦+𝑦2−6=0 $x^{2} - x y + y^{2} - 6 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna graf jöfnunnar miðað við $x^{'} y^{'}$ -hnitakerfið þar sem jafnan hefur engan $x^{'} y^{'}$ -lið.

38.

9⁢𝑥2−24⁢𝑥⁢𝑦+16⁢𝑦2−80⁢𝑥−60⁢𝑦+100=0 $9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} - 80 x - 60 y + 100 = 0$

39.

𝑥2−𝑥⁢𝑦+𝑦2−2=0 $x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

40.

6⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦−𝑦2−12⁢𝑥+26⁢𝑦+11=0 $6 x^{2} + 24 x y - y^{2} - 12 x + 26 y + 11 = 0$

Keilusnið í pólhnitum

Í eftirfarandi verkefnum er póljafna keilusniðs með brennipunkt í upphafspunkti gefin. Finnið miðskekkju þess og stýrilínu.

41.

𝑟=101−5cos⁡𝜃 $r = \frac{10}{1 - 5 \cos θ}$

42.

𝑟=63+2cos⁡𝜃 $r = \frac{6}{3 + 2 \cos θ}$

43.

𝑟=14+3sin⁡𝜃 $r = \frac{1}{4 + 3 \sin θ}$

44.

𝑟=35−5sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{5 - 5 \sin θ}$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna keilusniðið sem gefið er á pólformi. Ef það er fleygbogi skal merkja hvirfilpunkt, brennipunkt og stýrilínu. Ef það er sporbaugur eða breiðbogi skal merkja hvirfilpunkta og brennipunkta.

45.

𝑟=31−sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{1 - \sin θ}$

46.

𝑟=84+3sin⁡𝜃 $r = \frac{8}{4 + 3 \sin θ}$

47.

𝑟=104+5cos⁡𝜃 $r = \frac{10}{4 + 5 \cos θ}$

48.

𝑟=93−6cos⁡𝜃 $r = \frac{9}{3 - 6 \cos θ}$

Í eftirfarandi verkefnum eru gefnar upplýsingar um graf keilusniðs með brennipunkt í upphafspunkti. Finnið jöfnu þess á pólformi.

49.

Stýrilínan er $x = 3$ og miðskekkjan $e = 1$

50.

Stýrilínan er $y = −2$ og miðskekkjan $e = 4$

1010 Rúmfræði með hnitum

Yfirlitsverkefni

Sporbaugurinn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu sporbaugsins á staðalformi. Tilgreinið síðan miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

𝑥225+𝑦264=1 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

(𝑥−2)₂₁₀₀+(𝑦+3)₂₃₆=1 $\frac{{(x - 2)}^{2}}{100} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

9⁢𝑥2+𝑦2+54⁢𝑥−4⁢𝑦+76=0 $9 x^{2} + y^{2} + 54 x - 4 y + 76 = 0$

9⁢𝑥2+36⁢𝑦2−36⁢𝑥+72⁢𝑦+36=0 $9 x^{2} + 36 y^{2} - 36 x + 72 y + 36 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna sporbaugin og merkja miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

𝑥236+𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(𝑥−4)₂₂₅+(𝑦+3)₂₄₉=1 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{49} = 1$

4⁢𝑥2+𝑦2+16⁢𝑥+4⁢𝑦−44=0 $4 x^{2} + y^{2} + 16 x + 4 y - 44 = 0$

2⁢𝑥2+3⁢𝑦2−20⁢𝑥+12⁢𝑦+38=0 $2 x^{2} + 3 y^{2} - 20 x + 12 y + 38 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota gefnar upplýsingar til að finna jöfnu sporbaugsins.

Miðja í $(0, 0),$ brennipunktur í $(3, 0),$ hvirfilpunktur í $(−5, 0)$

10.

Miðja í $(2, −2),$ hvirfilpunktur í $(7, −2),$ brennipunktur í $(4, −2)$

11.

Byggja á hvíslasal þannig að brennipunktarnir séu 35 fet frá miðjunni. Ef lengd salarins á að vera 100 fet, hver á lofthæðin þá að vera?

Breiðboginn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu breiðbogans á staðalformi. Tilgreinið síðan miðju hans, hvirfilpunkta og brennipunkta.

12.

𝑥281−𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13.

(𝑦+1)₂₁₆−(𝑥−4)₂₃₆=1 $\frac{{(y + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{36} = 1$

14.

9⁢𝑦2−4⁢𝑥2+54⁢𝑦−16⁢𝑥+29=0 $9 y^{2} - 4 x^{2} + 54 y - 16 x + 29 = 0$

15.

3⁢𝑥2−𝑦2−12⁢𝑥−6⁢𝑦−9=0 $3 x^{2} - y^{2} - 12 x - 6 y - 9 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna breiðbogann og merkja hvirfilpunkta hans og brennipunkta.

16.

𝑥29−𝑦216=1 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

17.

(𝑦−1)₂₄₉−(𝑥+1)₂₄=1 $\frac{{(y - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

18.

𝑥2−4⁢𝑦2+6⁢𝑥+32⁢𝑦−91=0 $x^{2} - 4 y^{2} + 6 x + 32 y - 91 = 0$

19.

2⁢𝑦2−𝑥2−12⁢𝑦−6=0 $2 y^{2} - x^{2} - 12 y - 6 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal finna jöfnu breiðbogans.

20.

Miðja í $(0, 0),$ hvirfilpunktur í $(0, 4),$ brennipunktur í $(0, −6)$

21.

Brennipunktar í $(3, 7)$ og $(7, 7),$ hvirfilpunktur í $(6, 7)$

Fleygboginn

Í eftirfarandi verkefnum skal skrifa jöfnu fleygbogans á staðalformi. Tilgreinið síðan hvirfilpunkt hans, brennipunkt og stýrilínu.

22.

𝑦2=12⁢𝑥 $y^{2} = 12 x$

23.

(𝑥+2)₂=12⁢(𝑦−1) ${(x + 2)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1)$

24.

𝑦2−6⁢𝑦−6⁢𝑥−3=0 $y^{2} - 6 y - 6 x - 3 = 0$

25.

𝑥2+10⁢𝑥−𝑦+23=0 $x^{2} + 10 x - y + 23 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna fleygbogann og merkja hvirfilpunkt hans, brennipunkt og stýrilínu.

26.

𝑥2+4⁢𝑦=0 $x^{2} + 4 y = 0$

27.

(𝑦−1)₂=12⁢(𝑥+3) ${(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2} (x + 3)$

28.

𝑥2−8⁢𝑥−10⁢𝑦+46=0 $x^{2} - 8 x - 10 y + 46 = 0$

29.

2⁢𝑦2+12⁢𝑦+6⁢𝑥+15=0 $2 y^{2} + 12 y + 6 x + 15 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota gefnar upplýsingar til að skrifa jöfnu fleygbogans.

30.

Brennipunktur í $(−4, 0);$ stýrilínan er $x = 4$

31.

Brennipunktur í $(2, \frac{9}{8});$ stýrilínan er $y = \frac{7}{8}$

32.

Gervihnattadiskur er í laginu eins og snúðfleygbogi. Finnið staðsetningu móttakarans, sem er komið fyrir í brennipunktinum, ef op disksins er 5 fet á breidd og diskurinn er 1.5 fet á dýpt.

Snúningur ása

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvaða keilusnið jafnan táknar.

33.

16⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦+9⁢𝑦2+24⁢𝑥−60⁢𝑦−60=0 $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 24 x - 60 y - 60 = 0$

34.

4⁢𝑥2+14⁢𝑥⁢𝑦+5⁢𝑦2+18⁢𝑥−6⁢𝑦+30=0 $4 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2} + 18 x - 6 y + 30 = 0$

35.

4⁢𝑥2+𝑥⁢𝑦+2⁢𝑦2+8⁢𝑥−26⁢𝑦+9=0 $4 x^{2} + x y + 2 y^{2} + 8 x - 26 y + 9 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hornið $θ$ sem eyðir $x y$ -liðnum og skrifa samsvarandi jöfnu án $x y$ -liðar.

36.

𝑥2+4⁢𝑥⁢𝑦−2⁢𝑦2−6=0 $x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

37.

𝑥2−𝑥⁢𝑦+𝑦2−6=0 $x^{2} - x y + y^{2} - 6 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna graf jöfnunnar miðað við $x^{'} y^{'}$ -hnitakerfið þar sem jafnan hefur engan $x^{'} y^{'}$ -lið.

38.

9⁢𝑥2−24⁢𝑥⁢𝑦+16⁢𝑦2−80⁢𝑥−60⁢𝑦+100=0 $9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} - 80 x - 60 y + 100 = 0$

39.

𝑥2−𝑥⁢𝑦+𝑦2−2=0 $x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

40.

6⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦−𝑦2−12⁢𝑥+26⁢𝑦+11=0 $6 x^{2} + 24 x y - y^{2} - 12 x + 26 y + 11 = 0$

Keilusnið í pólhnitum

Í eftirfarandi verkefnum er póljafna keilusniðs með brennipunkt í upphafspunkti gefin. Finnið miðskekkju þess og stýrilínu.

41.

𝑟=101−5cos⁡𝜃 $r = \frac{10}{1 - 5 \cos θ}$

42.

𝑟=63+2cos⁡𝜃 $r = \frac{6}{3 + 2 \cos θ}$

43.

𝑟=14+3sin⁡𝜃 $r = \frac{1}{4 + 3 \sin θ}$

44.

𝑟=35−5sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{5 - 5 \sin θ}$

45.

𝑟=31−sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{1 - \sin θ}$

46.

𝑟=84+3sin⁡𝜃 $r = \frac{8}{4 + 3 \sin θ}$

47.

𝑟=104+5cos⁡𝜃 $r = \frac{10}{4 + 5 \cos θ}$

48.

𝑟=93−6cos⁡𝜃 $r = \frac{9}{3 - 6 \cos θ}$

Í eftirfarandi verkefnum eru gefnar upplýsingar um graf keilusniðs með brennipunkt í upphafspunkti. Finnið jöfnu þess á pólformi.

49.

Stýrilínan er $x = 3$ og miðskekkjan $e = 1$

50.

Stýrilínan er $y = −2$ og miðskekkjan $e = 4$