1010 Rúmfræði með hnitum

10.5 Keilusnið í pólhnitum

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

þekkja keilusnið á pólformi.
teikna gröf póljafna keilusniða.
skilgreina keilusnið með brennipunkti og stýrilínu.

Skýringarmynd af sólkerfinu sýnir sólina og ýmsar reikistjörnur, þar á meðal jörðina, Júpíter og Satúrnus, á brautum sínum. — **Mynd 1.** Reikistjörnur á braut um sólina fylgja sporöskjulaga ferlum. (mynd: NASA Blueshift, Flickr)

Flest þekkjum við brautarhreyfingu, til dæmis hreyfingu reikistjörnu um sólina eða rafeindar um atómkjarna. Í reikistjörnukerfi eru brautir reikistjarna, smástirna og halastjarna um stærri himinhnött oft sporöskjulaga. Braut halastjörnu getur þó verið fleygboga- eða breiðbogalaga. Eiginleikar brauta reikistjarnanna geta auk þess breyst með tímanum. Sérhver braut tengist staðsetningu himinhnattarins sem farið er um og fjarlægð og stefnu reikistjörnunnar eða annars hlutar frá honum. Því eru pólhnit gjarnan notuð til að setja þessar brautir fram.

Á sporbaugsbraut er nándarpunktur sá punktur þar sem hlutirnir tveir eru næst hvor öðrum og firrðarpunktur sá þar sem þeir eru fjærst hvor öðrum. Hraði hlutar á braut eykst almennt þegar hann nálgast nándarpunktinn en minnkar þegar hann nálgast firrðarpunktinn. Sumir hlutir ná lausnarhraða og braut þeirra verður þá óendanleg. Slíkir hlutir fylgja fleygboga- eða breiðbogalaga braut um himinhnött; hluturinn losnar undan þyngdartogi hans og þýtur út í geiminn. Lýsa má hverri þessara brauta með keilusniði í pólhnitakerfinu.

Keilusnið þekkt á pólformi

Sérhvert keilusnið ræðst af þremur atriðum: einum brennipunkti, fastri línu sem nefnist stýrilína og hlutfalli fjarlægðanna frá hvoru þeirra að punkti á grafinu. Lítum á fleygbogann $x = 2 + y^{2}$ á mynd 2.

Láréttur fleygbogi, merktur x = 2 + y í öðru veldi, opnast til hægri. Brennipunkturinn er merktur „brennipunktur í skauti“ og liggur á lárétta pólhnitaásnum. Lóðrétta stýrilínan er sýnd. Punktur á efri grein fleygbogans er merktur P(r, þeta). Tvær jafnlangar línur með lengdina r liggja frá honum, önnur að brennipunktinum og hin hornrétt að stýrilínunni. Línan að brennipunktinum myndar hornið þeta við pólhnitaásinn.

Í hlutanum Fleygboginn lærðum við að fleygbogi er skilgreindur með brennipunkti (föstum punkti) og stýrilínu (fastri línu). Hér lærum við að skilgreina hvaða keilusnið sem er í pólhnitakerfinu með föstum punkti, brennipunktinum $P (r, θ)$ í skautinu, og línu, stýrilínunni, sem er hornrétt á pólhnitaásinn.

Látum $F$ vera fastan punkt, brennipunktinn, og $D$ fasta línu, stýrilínuna. Þá má láta $e$ vera fasta jákvæða tölu sem nefnist miðskekkja og er skilgreind sem hlutfall fjarlægðar punkts á grafinu frá brennipunktinum og fjarlægðar hans frá stýrilínunni. Mengi allra punkta $P$ sem uppfylla $e = \frac{P F}{P D}$ er þá keilusnið. Með öðrum orðum má skilgreina keilusnið sem mengi allra punkta $P$ þar sem hlutfall fjarlægðarinnar frá $P$ til $F$ og fjarlægðarinnar frá $P$ til $D$ er jafnt fastanum $e .$

Fyrir keilusnið með miðskekkjuna $e,$

ef $0 \leq e < 1,$ er keilusniðið sporbaugur
ef $e = 1,$ er keilusniðið fleygbogi
ef $e > 1,$ er keilusniðið breiðbogi

Með þessari skilgreiningu getum við nú skilgreint keilusnið með stýrilínunni $x = \pm p,$ miðskekkjunni 𝑒 $e,$ og horninu $θ .$ Því má rita sérhvert keilusnið sem póljöfnu, það er jöfnu með $r$ og $θ .$

Dæmi 1

Keilusnið þekkt út frá pólformi

Fyrir hverja eftirfarandi jöfnu skal þekkja keilusniðið með brennipunkt í upphafspunktinum, stýrilínuna og miðskekkjuna.

𝑟=63+2sin⁡𝜃 $r = \frac{6}{3 + 2 \sin θ}$
𝑟=124+5cos⁡𝜃 $r = \frac{12}{4 + 5 \cos θ}$
𝑟=72−2sin⁡𝜃 $r = \frac{7}{2 - 2 \sin θ}$

Lausn

Fyrir keilusniðin þrjú ritum við jöfnuna á staðalformi. Á staðalformi er fastinn í nefnaranum 1. Fyrsta skrefið í öllum þremur liðunum er því að margfalda teljara og nefnara með margföldunarandhverfu fastans í upphaflegu jöfnunni, $\frac{1}{c},$ þar sem $c$ er sá fasti.

Margfaldið teljara og nefnara með $\frac{1}{3} .$
$r = \frac{6}{3 + 2 \sin θ} \cdot \frac{(\frac{1}{3})}{(\frac{1}{3})} = \frac{6 (\frac{1}{3})}{3 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{3}) \sin θ} = \frac{2}{1 + \frac{2}{3} \sin θ}$

Þar sem $\sin θ$ er í nefnaranum er stýrilínan $y = p .$ Samanburður við staðalform sýnir að $e = \frac{2}{3} .$ Af teljaranum fæst því

$\begin{array}{l} 2 = e p \\ 2 = \frac{2}{3} p \\ (\frac{3}{2}) 2 = (\frac{3}{2}) \frac{2}{3} p \\ 3 = p \end{array}$
Þar sem $e < 1,$ er keilusniðið sporbaugur. Miðskekkjan er $e = \frac{2}{3}$ og stýrilínan er $y = 3.$
Margfaldið teljara og nefnara með $\frac{1}{4} .$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{12}{4 + 5 \cos θ} \cdot \frac{(\frac{1}{4})}{(\frac{1}{4})} \end{array} \\ r = \frac{12 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{4}) \cos θ} \\ r = \frac{3}{1 + \frac{5}{4} \cos θ} \end{array}$

Þar sem $cos θ$ er í nefnaranum er stýrilínan $x = p .$ Samanburður við staðalform sýnir að $e = \frac{5}{4} .$ Af teljaranum fæst því

$\begin{array}{l} 3 = e p \\ 3 = \frac{5}{4} p \\ (\frac{4}{5}) 3 = (\frac{4}{5}) \frac{5}{4} p \\ \frac{12}{5} = p \end{array}$

Þar sem $e > 1,$ er keilusniðið breiðbogi. Miðskekkjan er $e = \frac{5}{4}$ og stýrilínan er $x = \frac{12}{5} = 2.4.$
Margfaldið teljara og nefnara með $\frac{1}{2} .$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{7}{2 - 2 \sin θ} \cdot \frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})} \\ r = \frac{7 (\frac{1}{2})}{2 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) \sin θ} \\ r = \frac{\frac{7}{2}}{1 - \sin θ} \end{array} \end{array}$

Þar sem sínus er í nefnaranum er stýrilínan $y = - p .$ Samanburður við staðalform sýnir að $e = 1.$ Af teljaranum fæst því

$\begin{array}{l} \frac{7}{2} = e p \\ \frac{7}{2} = (1) p \\ \frac{7}{2} = p \end{array}$

Þar sem $e = 1,$ er keilusniðið fleygbogi. Miðskekkjan er $e = 1$ og stýrilínan er $y = - \frac{7}{2} = −3.5.$

Gröf póljafna keilusniða teiknuð

Þegar graf er teiknað í kartesískum hnitum hefur hvert keilusnið sína sérstöku jöfnu. Þetta á ekki við þegar graf er teiknað í pólhnitum. Nota þarf miðskekkju keilusniðsins til að ákvarða hvaða feril á að teikna og síðan tiltekna eiginleika hans. Fyrsta skrefið er að rita keilusniðið á staðalformi eins og í fyrra sýnidæmi. Með öðrum orðum þarf að rita jöfnuna þannig að nefnarinn byrji á 1. Þá getum við ákvarðað $e$ og þar með lögun ferilsins. Næst eru gildi sett inn fyrir $θ$ og leyst fyrir $r$ til að teikna nokkra lykilpunkta. Með því að setja $θ$ jafnt $0, \frac{π}{2}, π,$ og $\frac{3 π}{2}$ fást hvirfilpunktarnir og þá má teikna grófa mynd af grafinu.

Dæmi 2

Graf fleygboga á pólformi teiknað

Teiknið graf $r = \frac{5}{3 + 3 \cos θ} .$

Lausn

Fyrst ritum við keilusniðið á staðalformi með því að margfalda teljara og nefnara með margföldunarandhverfu 3, sem er $\frac{1}{3} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{5}{3 + 3 \cos θ} = \frac{5 (\frac{1}{3})}{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) \cos θ} \end{array} \\ r = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \cos θ} \end{array}

Þar sem $e = 1,$ teiknum við fleygboga með brennipunkt í upphafspunktinum. Fallið inniheldur c o s ⁡ 𝜃 $\cos θ,$ og samlagningarmerki er í nefnaranum, svo stýrilínan er $x = p .$

\begin{array}{l} \frac{5}{3} = e p \\ \frac{5}{3} = (1) p \\ \frac{5}{3} = p \end{array}

Stýrilínan er $x = \frac{5}{3} .$

Með því að teikna nokkra lykilpunkta eins og í töflu 1 sjáum við hvirfilpunktana. Sjá mynd 3.

	A	B	C	D
𝜃 θ	0 0	𝜋 2 π/2	𝜋 π	3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2
𝑟 = 5 3 + 3 c o s ⁡ 𝜃 r = $\frac{5}{3}$ + 3 cos ⁡ θ	5 6 ≈ 0 . 8 3 $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83	5 3 ≈ 1 . 6 7 $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67	óskilgreint	5 3 ≈ 1 . 6 7 $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

Láréttur fleygbogi sem opnast til vinstri er sýndur í pólhnitakerfi. Brennipunkturinn er í skautinu. Stýrilínan, lóðrétta línan x = 5/3, er sýnd. Hvirfilpunkturinn er merktur A. Skurðpunktar fleygbogans við lóðrétta ásinn í gegnum skautið eru merktir B að ofan og D að neðan. Merkingar á pólhnitaásnum eru 2, 3, 4, 5. — Mynd 3

Greining

Við getum sannreynt niðurstöðuna með grafteikniforriti. Sjá mynd 4.

Láréttur fleygbogi sem opnast til vinstri er sýndur í pólhnitakerfi. Hvirfilpunkturinn liggur á pólhnitaásnum við r = 1. Merkingar á pólhnitaásnum eru 2, 3, 4, 5. — Mynd 4

Dæmi 3

Graf breiðboga á pólformi teiknað

Teiknið graf $r = \frac{8}{2 - 3 \sin θ} .$

Lausn

Fyrst ritum við keilusniðið á staðalformi með því að margfalda teljara og nefnara með margföldunarandhverfu 2, sem er $\frac{1}{2} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{8}{2 - 3 \sin θ} = \frac{8 (\frac{1}{2})}{2 (\frac{1}{2}) - 3 (\frac{1}{2}) \sin θ} \end{array} \\ r = \frac{4}{1 - \frac{3}{2} \sin θ} \end{array}

Þar sem $e = \frac{3}{2}, e > 1,$ teiknum við breiðboga með brennipunkt í upphafspunktinum. Fallið inniheldur $\sin θ$ og frádráttarmerki er í nefnaranum, svo stýrilínan er $y = - p .$

\begin{array}{l} 4 = e p \\ 4 = (\frac{3}{2}) p \\ 4 (\frac{2}{3}) = p \\ \frac{8}{3} = p \end{array}

Stýrilínan er $y = - \frac{8}{3} .$

Með því að teikna nokkra lykilpunkta eins og í töflu 2 sjáum við hvirfilpunktana. Sjá mynd 5.

	A	B	C	D
𝜃 θ	0 0	𝜋 2 π/2	𝜋 π	3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2
𝑟 = 8 2 − 3 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 r = $\frac{8}{2}$ − 3 ⁢ sin ⁡ θ	4 4	− 8	4 4	8 5 = 1 . 6 $\frac{8}{5}$ = 1.6

Lóðréttur breiðbogi er sýndur í pólhnitakerfi með miðju neðan við skautið. Hvirfilpunktarnir liggja á lóðrétta ásnum í gegnum skautið. Efri hvirfilpunkturinn er merktur D og sá neðri B. Skurðpunktar efri greinar breiðbogans við pólhnitaásinn og lárétt framhald hans eru merktir A og C. Merkingar á pólhnitaásnum eru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. — Mynd 5

Dæmi 4

Graf sporbaugs á pólformi teiknað

Teiknið graf $r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ} .$

Lausn

Fyrst ritum við keilusniðið á staðalformi með því að margfalda teljara og nefnara með margföldunarandhverfu 5, sem er $\frac{1}{5} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ} = \frac{10 (\frac{1}{5})}{5 (\frac{1}{5}) - 4 (\frac{1}{5}) \cos θ} \\ r = \frac{2}{1 - \frac{4}{5} \cos θ} \end{array} \end{array}

Þar sem $e = \frac{4}{5}, e < 1,$ teiknum við sporbaug með brennipunkt í upphafspunktinum. Fallið inniheldur c o s 𝜃 $cos θ,$ og frádráttarmerki er í nefnaranum, svo stýrilínan er $x = - p .$

\begin{array}{l} 2 = e p \\ 2 = (\frac{4}{5}) p \\ 2 (\frac{5}{4}) = p \\ \frac{5}{2} = p \end{array}

Stýrilínan er $x = - \frac{5}{2} .$

Með því að teikna nokkra lykilpunkta eins og í töflu 3 sjáum við hvirfilpunktana. Sjá mynd 6.

	A	B	C	D
𝜃 θ	0 0	𝜋 2 π/2	𝜋 π	3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2
𝑟 = 1 0 5 − 4 c o s ⁡ 𝜃 r = $\frac{10}{5}$ − 4 cos ⁡ θ	1 0 10	2 2	1 0 9 ≈ 1 . 1 $\frac{10}{9}$ ≈ 1.1	2 2

Láréttur sporbaugur er sýndur í pólhnitakerfi með miðju á pólhnitaásnum hægra megin við skautið. Hvirfilpunktarnir liggja á pólhnitaásnum. Hægri hvirfilpunkturinn er merktur A og sá vinstri C og liggur vinstra megin við skautið. Punktur A liggur á pólhnitaásnum við r = 10. Merkingar á pólhnitaásnum eru 2, 4, 6, 8, 10, 12. Efri og neðri skurðpunktar sporbaugsins við lóðrétta ásinn í gegnum skautið eru merktir B og D. Stýrilínan, lóðrétta línan x = negative 5/2, er sýnd. — Mynd 6

Greining

Við getum sannreynt niðurstöðuna með grafteikniforriti. Sjá mynd 7.

Sporöskjulaga ferill er teiknaður í pólhnitakerfi með sammiðja hringjum og geislalínum. Ferillinn liggur láréttur, hefur miðju nærri upphafspunktinum og nær að mestu yfir hægri helming plansins. — **Mynd 7.** r = 10/5 − 4 cos ⁡ θ teiknað í sýniglugganum [−3, 1 2, 1] [ –3 , 12 , 1 ] sinnum [−4, 4, 1], 𝜃 m i n = 0 [ – 4 , 4 , 1 ] , θ lágm. = 0 og θ hám. = 2 ⁢ π .

Keilusnið skilgreind með brennipunkti og stýrilínu

Hingað til höfum við notað póljöfnur keilusniða til að lýsa ferlinum og teikna graf hans. Nú vinnum við í hina áttina og notum upplýsingar um upphafspunkt, miðskekkju og stýrilínu til að ákvarða póljöfnuna.

Dæmi 5

Pólform lóðrétts keilusniðs fundið út frá brennipunkti í upphafspunktinum, miðskekkju og stýrilínu

Finnið pólform keilusniðsins með brennipunkt í upphafspunktinum, $e = 3$ og stýrilínuna $y = - 2.$

Lausn

Stýrilínan er $y = - p,$ svo hornafallið í nefnaranum er sínus.

Þar sem $y = −2, –2 < 0,$ er frádráttarmerki í nefnaranum. Við notum staðalformið

r = \frac{e p}{1 - e \sin θ}

og $e = 3$ og $| −2 | = 2 = p .$

Því fæst

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{(3) (2)}{1 - 3 \sin θ} \\ r = \frac{6}{1 - 3 \sin θ} \end{array} \end{array}

Dæmi 6

Pólform lárétts keilusniðs fundið út frá brennipunkti í upphafspunktinum, miðskekkju og stýrilínu

Finnið pólform keilusniðs með brennipunkt í upphafspunktinum, $e = \frac{3}{5},$ og stýrilínuna $x = 4.$

Lausn

Þar sem stýrilínan er $x = p,$ er hornafallið í nefnaranum kósínus. Þar sem $x = 4, 4 > 0,$ er samlagningarmerki í nefnaranum. Við notum staðalformið

r = \frac{e p}{1 + e \cos θ}

og $e = \frac{3}{5}$ og $| 4 | = 4 = p .$

Því fæst

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{(\frac{3}{5}) (4)}{1 + \frac{3}{5} \cos θ} \end{array} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{1 (\frac{5}{5}) + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5 + 3 \cos θ} \\ r = \frac{12}{5 + 3 \cos θ} \end{array}

Dæmi 7

Keilusniði á pólformi breytt yfir á rétthyrnt form

Breytið keilusniðinu $r = \frac{1}{5 - 5 \sin θ}$ yfir á rétthyrnt form.

Lausn

Við umritum formúluna til að nota samsemdirnar $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x = r \cos θ, og y = r \sin θ .$

\begin{array}{l} r = \frac{1}{5 - 5 \sin θ} \\ r \cdot (5 - 5 \sin θ) = \frac{1}{5 - 5 \sin θ} \cdot (5 - 5 \sin θ) & Eyða brotinu . \\ 5 r - 5 r \sin θ = 1 & Margfalda inn í sviga . \\ 5 r = 1 + 5 r \sin θ & Einangra 5 r . \\ 25 r^{2} = {(1 + 5 r \sin θ)}^{2} & Setja báðar hliðar í annað veldi . \\ 25 (x^{2} + y^{2}) = {(1 + 5 y)}^{2} & Setja inn r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} og y = r \sin θ . \\ 25 x^{2} + 25 y^{2} = 1 + 10 y + 25 y^{2} & Margfalda inn í sviga og lið fyrir lið . \\ 25 x^{2} - 10 y = 1 & Endurraða liðum og setja jafnt og 1 . \end{array}

10.5 Æfingar

Orðleg verkefni

Útskýrið hvernig miðskekkja ákvarðar hvaða keilusnið er gefið.

Hvað þarf að gilda um nefnarann ef keilusnið er ritað sem póljafna?

Hvaða ályktun má draga um stýrilínuna ef keilusnið er ritað sem póljafna og nefnarinn inniheldur $\sin θ,$ s i n ⁡ 𝜃? sin ⁡ θ ,

Hvað vitum við um jöfnu grafsins ef stýrilína keilusniðs er hornrétt á pólhnitaásinn?

Hvað vitum við um brennipunkt eða brennipunkta keilusniðs ef það er ritað sem póljafna?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal þekkja keilusniðið með brennipunkt í upphafspunktinum og tilgreina síðan stýrilínu þess og miðskekkju.

𝑟=61−2cos⁡𝜃 $r = \frac{6}{1 - 2 \cos θ}$

𝑟=34−4sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{4 - 4 \sin θ}$

𝑟=84−3cos⁡𝜃 $r = \frac{8}{4 - 3 \cos θ}$

𝑟=51+2sin⁡𝜃 $r = \frac{5}{1 + 2 \sin θ}$

10.

𝑟=164+3cos⁡𝜃 $r = \frac{16}{4 + 3 \cos θ}$

11.

𝑟=310+10cos⁡𝜃 $r = \frac{3}{10 + 10 \cos θ}$

12.

𝑟=21−cos⁡𝜃 $r = \frac{2}{1 - \cos θ}$

13.

𝑟=47+2cos⁡𝜃 $r = \frac{4}{7 + 2 \cos θ}$

14.

𝑟⁢(1−cos⁡𝜃)=3 $r (1 - \cos θ) = 3$

15.

𝑟⁢(3+5⁢sin⁡𝜃)=11 $r (3 + 5 \sin θ) = 11$

16.

𝑟⁢(4−5⁢sin⁡𝜃)=1 $r (4 - 5 \sin θ) = 1$

17.

𝑟⁢(7+8⁢cos⁡𝜃)=7 $r (7 + 8 \cos θ) = 7$

Í eftirfarandi æfingum skal breyta póljöfnu keilusniðs yfir í rétthyrnda jöfnu.

18.

𝑟=41+3sin⁡𝜃 $r = \frac{4}{1 + 3 \sin θ}$

19.

𝑟=25−3sin⁡𝜃 $r = \frac{2}{5 - 3 \sin θ}$

20.

𝑟=83−2cos⁡𝜃 $r = \frac{8}{3 - 2 \cos θ}$

21.

𝑟=32+5cos⁡𝜃 $r = \frac{3}{2 + 5 \cos θ}$

22.

𝑟=42+2sin⁡𝜃 $r = \frac{4}{2 + 2 \sin θ}$

23.

𝑟=38−8cos⁡𝜃 $r = \frac{3}{8 - 8 \cos θ}$

24.

𝑟=26+7cos⁡𝜃 $r = \frac{2}{6 + 7 \cos θ}$

25.

𝑟=55−11sin⁡𝜃 $r = \frac{5}{5 - 11 \sin θ}$

26.

𝑟⁡(5+2cos⁡𝜃)=6 $r (5 + 2 \cos θ) = 6$

27.

𝑟⁢(2−cos⁡𝜃)=1 $r (2 - \cos θ) = 1$

28.

𝑟⁡(2.5−2.5sin⁡𝜃)=5 $r (2.5 - 2.5 \sin θ) = 5$

29.

𝑟=6⁢sec𝜃−2+3sec𝜃 $r = \frac{6 \sec θ}{- 2 + 3 \sec θ}$

30.

𝑟=6⁢csc𝜃3+2csc𝜃 $r = \frac{6 \csc θ}{3 + 2 \csc θ}$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna gefið keilusnið. Ef það er fleygbogi skal merkja hvirfilpunkt, brennipunkt og stýrilínu. Ef það er sporbaugur skal merkja hvirfilpunkta og brennipunkta. Ef það er breiðbogi skal merkja hvirfilpunkta og brennipunkta.

31.

𝑟=52+cos⁡𝜃 $r = \frac{5}{2 + \cos θ}$

32.

𝑟=23+3sin⁡𝜃 $r = \frac{2}{3 + 3 \sin θ}$

33.

𝑟=105−4sin⁡𝜃 $r = \frac{10}{5 - 4 \sin θ}$

34.

𝑟=31+2cos⁡𝜃 $r = \frac{3}{1 + 2 \cos θ}$

35.

𝑟=84−5cos⁡𝜃 $r = \frac{8}{4 - 5 \cos θ}$

36.

𝑟=34−4cos⁡𝜃 $r = \frac{3}{4 - 4 \cos θ}$

37.

𝑟=21−sin⁡𝜃 $r = \frac{2}{1 - \sin θ}$

38.

𝑟=63+2sin⁡𝜃 $r = \frac{6}{3 + 2 \sin θ}$

39.

𝑟⁢(1+cos⁡𝜃)=5 $r (1 + \cos θ) = 5$

40.

𝑟⁢(3−4⁢sin⁡𝜃)=9 $r (3 - 4 \sin θ) = 9$

41.

𝑟⁢(3−2⁢sin⁡𝜃)=6 $r (3 - 2 \sin θ) = 6$

42.

𝑟⁢(6−4⁢cos⁡𝜃)=5 $r (6 - 4 \cos θ) = 5$

Í eftirfarandi æfingum skal finna póljöfnu keilusniðsins með brennipunkt í upphafspunktinum og gefna miðskekkju og stýrilínu.

43.

Stýrilína: $x = 4; e = \frac{1}{5}$

44.

Stýrilína: $x = - 4; e = 5$

45.

Stýrilína: $y = 2; e = 2$

46.

Stýrilína: $y = - 2; e = \frac{1}{2}$

47.

Stýrilína: $x = 1; e = 1$

48.

Stýrilína: $x = - 1; e = 1$

49.

Stýrilína: $x = - \frac{1}{4}; e = \frac{7}{2}$

50.

Stýrilína: $y = \frac{2}{5}; e = \frac{7}{2}$

51.

Stýrilína: $y = 4; e = \frac{3}{2}$

52.

Stýrilína: $x = −2; e = \frac{8}{3}$

53.

Stýrilína: $x = −5; e = \frac{3}{4}$

54.

Stýrilína: $y = 2; e = 2.5$

55.

Stýrilína: $x = −3; e = \frac{1}{3}$

Viðbótarverkefni

Rifjið upp úr hlutanum Snúningur hnitása að gröf keilusniða með $x y$ -lið eru snúin. Í eftirfarandi æfingum skal setja hverja jöfnu fram á pólformi með $r$ sem fall af $θ .$

56.

𝑥⁢𝑦=2 $x y = 2$

57.

𝑥2+𝑥⁢𝑦+𝑦2=4 $x^{2} + x y + y^{2} = 4$

58.

2⁢𝑥2+4⁢𝑥⁢𝑦+2⁢𝑦2=9 $2 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 9$

59.

16⁢𝑥2+24⁢𝑥⁢𝑦+9⁢𝑦2=4 $16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} = 4$

60.

2⁢𝑥⁢𝑦+𝑦=1 $2 x y + y = 1$