11.1 Notið rétthyrnt hnitakerfi

Á mörgum kortum, svo sem kortinu af háskólasvæðinu á mynd 11.2 , er reitakerfi notað til að auðkenna staði. Sjáið þið tölurnar $1,2,3,$ og $4$ efst og neðst á kortinu og bókstafina A, B, C og D meðfram hliðunum? Hægt er að auðkenna hvern stað á kortinu með tölu og bókstaf.

Nemendamiðstöðin er til dæmis í reit 2B. Hún er í reitnum fyrir ofan töluna $2$ og við hlið bókstafsins B. Í hvaða reit er leikvangurinn? Leikvangurinn er í reit 4D.

Rétt eins og reitakerfi er notað á kortum til að auðkenna staði er reitakerfi notað í algebru til að sýna samband tveggja breyta í rétthyrndu hnitakerfi. Byrjið á láréttri talnalínu til að búa til rétthyrnt hnitakerfi. Sýnið bæði jákvæðar og neikvæðar tölur eins og áður og notið hentuga kvarðaeiningu. Þessi lárétta talnalína kallast x -ás .

Teiknið nú lóðrétta talnalínu sem sker $x\text{-ás}$ í $0.$ Setjið jákvæðu tölurnar fyrir ofan $0$ og neikvæðu tölurnar fyrir neðan $0.$ Sjá mynd 11.3. Þessi lóðrétta lína kallast y-ás.

Lóðréttar reitalínur liggja um heiltölurnar sem merktar eru á $x\text{-ás}.$ Láréttar reitalínur liggja um heiltölurnar sem merktar eru á $y\text{-ás}.$ Reitakerfið sem þannig myndast er rétthyrnt hnitakerfi.

Rétthyrnt hnitakerfi kallast einnig $x\text{-}y$ -hnitaplan, hnitaplan eða kartesískt hnitakerfi, því það var þróað af stærðfræðingnum René Descartes.

$x\text{-ás}$ og $y\text{-ás}$ mynda rétthyrnt hnitakerfi. Ásarnir skipta hnitaplaninu í fjögur svæði sem kallast fjórðungar. Fjórðungarnir eru merktir með rómverskum tölum, byrjað efst til hægri og haldið áfram rangsælis. Sjá mynd 11.4.

Í rétthyrndu hnitakerfi er sérhver punktur táknaður með raðaðri tvennd . Fyrri talan í röðuðu tvenndinni er x -hnit punktsins og síðari talan er y -hnit hans.

Hvernig hjálpa hnit punkts þá við að finna stað hans á $x\text{-}y$ -hnitaplaninu?

Finnum punktinn $\left(2,5\right)$ . Í þessari röðuðu tvennd er $x$ -hnitið $2$ og $y$ -hnitið $5$ .

Byrjum á að finna $x$-gildið, $2,$ á $x\text{-ás.}$ Teiknum síðan lauslega lóðrétta línu um $x=2,$ eins og sýnt er á mynd 11.5.

Nú finnum við $y$ -gildið, $5,$ á $y$ -ásnum og teiknum lárétta línu um $y=5$ . Punkturinn þar sem línurnar skerast hefur hnitin $\left(2,5\right).$ Við merkjum punktinn þar eins og sýnt er á mynd 11.6 .

Draga má saman formerkjamynstur fjórðunganna á eftirfarandi hátt. Sjá einnig mynd 11.7 .

Hvað ef annað hnitið er núll? Hvar er punkturinn $\left(0,4\right)$ ? Hvar er punkturinn $\left(\mathrm{-2},0\right)$ ? Punkturinn $\left(0,4\right)$ er á y -ásnum og punkturinn $\left(-2,0\right)$ er á x -ásnum.

Í algebru er jafn mikilvægt að geta fundið hnit punkts sem sýndur er á grafi og að geta merkt punkta. Til að finna x -hnit punkts á grafi skal lesa töluna á x -ásnum beint fyrir ofan eða neðan punktinn. Til að finna y -hnit punkts skal lesa töluna á y -ásnum beint til vinstri eða hægri við punktinn. Munið að rita röðuðu tvenndina í réttri röð $\left(x,y\right).$

Allar jöfnurnar sem við höfum leyst hingað til hafa verið með eina breytu. Í nær öllum tilvikum fengum við nákvæmlega eina lausn þegar við leystum jöfnuna. Lausnarferlinu lauk með fullyrðingu á borð við $x=4.$ Síðan sannreyndum við lausnina með því að setja hana aftur inn í jöfnuna.

Jöfnur geta þó haft fleiri en eina breytu. Jöfnur með tveimur breytum má rita á almenna forminu $Ax+By=C.$ Jafna af þessu formi kallast línuleg jafna með tveimur breytum.

Hér er dæmi um línulega jöfnu með breytunum $x$ og $y\text{:}$

Er $y=\mathrm{-5}x+1$ línuleg jafna? Hún virðist ekki vera á forminu $Ax+By=C.$ En við getum umritað hana á það form.

Með því að umrita $y=\mathrm{-5}x+1$ sem $5x+y=1,$ sjáum við að hún er línuleg jafna með tveimur breytum, því hana má rita á forminu $Ax+By=C.$

Línulegar jöfnur með tveimur breytum hafa óendanlega margar lausnir. Fyrir sérhverja tölu sem sett er í stað $x,$ er samsvarandi $y$ -gildi. Þetta gildapar er lausn línulegu jöfnunnar og er táknað með röðuðu tvenndinni $\left(x,y\right).$ Þegar þessi gildi $x$ og $y$ eru sett inn í jöfnuna fæst sönn fullyrðing, því gildið vinstra megin er jafnt gildinu hægra megin.

Í dæmunum hér á undan settum við $x\text{- og}y\text{-gildin}$ tiltekinnar raðaðrar tvenndar inn í jöfnuna til að ákvarða hvort hún væri lausn línulegrar jöfnu. En hvernig finnum við röðuðu tvenndirnar ef þær eru ekki gefnar? Ein leið er að velja gildi fyrir $x$ og leysa síðan jöfnuna með tilliti til $y.$ Einnig má velja gildi fyrir $y$ og leysa síðan með tilliti til $x.$

Við byrjum á að skoða lausnir jöfnunnar $y=5x-1$ sem við fundum í dæmi 11.9 . Við getum tekið þessar upplýsingar saman í lausnatöflu.

Til að finna þriðju lausnina látum við $x=2$ og leysum með tilliti til $y.$

Raðaða tvenndin er lausn jöfnunnar $y=5x-1$ . Við bætum henni við töfluna.

Við getum fundið fleiri lausnir jöfnunnar með því að setja hvaða gildi sem er í stað $x$ eða $y$ og leysa jöfnuna sem fæst til að fá aðra raðaða tvennd sem er lausn. Jafnan hefur óendanlega margar lausnir.

Til að finna lausn línulegrar jöfnu getum við valið hvaða tölu sem er og sett hana í stað annaðhvort $x$ eða $y.$ Við gætum valið $1,100,\mathrm{1,000},$ eða hvaða annað gildi sem er. Það er þó skynsamlegt að velja tölu sem auðvelt er að reikna með. Yfirleitt veljum við $0$ sem eitt gildanna.

Við sögðum að línulegar jöfnur með tveimur breytum hefðu óendanlega margar lausnir og nú höfum við fundið eina þeirra. Finnum fleiri lausnir jöfnunnar $3x+2y=6.$

Merkið punkta í rétthyrnt hnitakerfi