1111 Gröf

11.2 Teiknið gröf línulegra jafna

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Skilja samband lausna jöfnu og grafs hennar
Teiknað graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta
Teiknað gröf lóðréttra og láréttra lína

Skilja samband lausna jöfnu og grafs hennar

Í kaflanum Notkun rétthyrnds hnitakerfis fundum við nokkrar lausnir jöfnunnar $3 x + 2 y = 6$ . Þær eru skráðar í töflunni hér fyrir neðan. Röðuðu tvenndirnar $(0, 3)$ , $(2, 0)$ , $(1, \frac{3}{2})$ og $(4, - 3)$ eru því nokkrar lausnir jöfnunnar $3 x + 2 y = 6$ . Við getum merkt þessar lausnir inn á rétthyrnt hnitakerfi eins og sýnt er á grafinu til hægri.

Myndin sýnir töflu þar sem punktum er skipt eftir x-hnitum og y-hnitum. Punktarnir eru síðan merktir inn á graf. Meðal þeirra eru (0, 3), (2, 0), (1, 3/2) og (4, −3).

Takið eftir að punktarnir liggja nákvæmlega á sömu línu. Við tengjum punktana með beinni línu og fáum þannig graf jöfnunnar $3 x + 2 y = 6$ . Takið eftir örvunum á báðum endum línunnar. Þær gefa til kynna að línan haldi áfram.

Grafið sýnir línulegu jöfnuna 3x + 2y = 6. Línan liggur meðal annars um punktana (0, 3), (2, 0) og (3, −1,5) og hallar niður á við í kartesísku hnitakerfi.

Sérhver punktur á línunni er lausn jöfnunnar. Jafnframt er sérhver lausn jöfnunnar punktur á línunni. Punktar sem liggja ekki á línunni eru ekki lausnir!

Takið eftir að punkturinn með hnitin $(- 2, 6)$ liggur á línunni á mynd 11.8 . Ef þið setjið $x = - 2$ og $y = 6$ inn í jöfnuna sjáið þið að raðaða tvenndin er lausn hennar.

Myndin sýnir hvernig athugað er hvort punkturinn (−2, 6) sé lausn gefinnar jöfnu. Grafið sýnir að línan liggur um punktinn en ekki um punktinn (4, 1), sem var einnig prófaður en uppfyllti ekki jöfnuna.

Raðaða tvenndin $(4, 1)$ er því ekki lausn jöfnunnar $3 x + 2 y = 6$ . Punkturinn $(4, 1)$ liggur þar af leiðandi ekki á línunni.

Þetta er dæmi um máltækið „Mynd segir meira en þúsund orð.“ Línan sýnir allar lausnir jöfnunnar. Sérhver punktur á línunni er lausn jöfnunnar og sérhver lausn hennar liggur á línunni. Þessi lína kallast graf jöfnunnar $3 x + 2 y = 6$ .

Dæmi 11.15

Graf jöfnunnar $y = 2 x - 3$ er sýnt hér fyrir neðan.

Graf línulega fallsins y = 2x − 3 sýnir jákvæða hallatölu og skurðpunkt við y-ás í −3.

Ákvarðið fyrir hverja raðaða tvennd:

ⓐ Er raðaða tvenndin lausn jöfnunnar?
ⓑ Liggur punkturinn á línunni?

(a) (0,–3) $(0, –3)$
(b) (3,3) $(3, 3)$
(c) (2,−3) $(2, - 3)$
(d) (−1,−5) $(- 1, - 5)$

Lausn

Setjið $x$ - og $y$ -gildin inn í jöfnuna til að athuga hvort raðaða tvenndin sé lausn hennar.

ⓐ

Myndin sýnir röð reikninga þar sem röðuð tvennd er sett inn í jöfnuna til að ákvarða hvort hún sé lausn hennar.

ⓑ Merkið punktana A: $(0, - 3)$ B: $(3, 3)$ C: $(2, - 3)$ og D: $(- 1, - 5)$
. Punktarnir $(0, - 3)$ , $(3, 3)$ og $(- 1, - 5)$ liggja á línunni $y = 2 x - 3$ en punkturinn $(2, - 3)$ liggur ekki á henni.

Graf þar sem lína liggur um punktana (−1, −5), (0, −3) og (3, 3). Punkturinn (2, −3) er einnig merktur inn á grafið en liggur ekki á línunni.

Punktarnir sem eru lausnir jöfnunnar $y = 2 x - 3$ liggja á línunni en punkturinn sem er ekki lausn liggur ekki á henni.

Teiknið graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta

Nota má nokkrar aðferðir til að teikna graf línulegrar jöfnu. Aðferðin sem við notuðum í upphafi þessa kafla felst í að merkja punkta inn á hnitakerfi og kallast punktaaðferðin.

Teiknum graf jöfnunnar $y = 2 x + 1$ með punktaaðferðinni.

Við byrjum á að finna þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Við getum valið hvaða gildi sem er fyrir $x$ eða 𝑦 $y,$ og leyst síðan með tilliti til hinnar breytunnar.

Þar sem $y$ er einangrað vinstra megin í jöfnunni er auðveldara að velja gildi fyrir $x .$ Í þessu dæmi notum við $0, 1,$ og $-2$ sem gildi $x$ . Við setjum hvert gildi $x$ inn í jöfnuna og leysum með tilliti til $y .$

Myndin sýnir þrjár innsetningar í jöfnu. Fyrst er x = −2 og −2 sýnt með bláu. Næst stendur y = 2x + 1, síðan y = 2(−2) + 1 þar sem −2 er blátt, þá y = −4 + 1 og loks y = −3. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (−2, −3)“. Í annarri innsetningunni er x = 0 og 0 sýnt með bláu. Næst stendur y = 2x + 1, síðan y = 2(0) + 1 þar sem 0 er blátt, þá y = 0 + 1 og loks y = 1. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (0, 1)“. Í þriðju innsetningunni er x = 1 og 1 sýnt með bláu. Næst stendur y = 2x + 1, síðan y = 2(1) + 1 þar sem 1 er blátt, þá y = 2 + 1 og loks y = 3. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (1, 3)“.

Við getum sett lausnirnar skipulega fram í töflu. Sjá töflu 11.2 .

𝑦 = 2 ⁢ 𝑥 + 1 y = 2 ⁢ x + 1
0 0	1 1	( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
1 1	3 3	( 1 , 3 ) ( 1 , 3 )
− 2 −2	− 3 −3	( − 2 , − 3 ) ( −2 , −3 )
− 2 −2	− 3 −3	( − 2 , − 3 ) ( −2 , −3 )

Nú merkjum við punktana inn á rétthyrnt hnitakerfi. Athugið að þeir liggi á sömu línu. Ef þeir gerðu það ekki hefði okkur orðið á villa og við þyrftum að fara vandlega yfir útreikningana. Sjá mynd 11.9 .

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Þrír merktir punktar eru sýndir: „röðuð tvennd (−2, −3)“, „röðuð tvennd (0, 1)“ og „röðuð tvennd (1, 3)“.

Dragið línu gegnum punktana þrjá. Framlengið hana yfir allt hnitakerfið og setjið ör á báða enda hennar. Línan er graf jöfnunnar $y = 2 x + 1 .$

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−2, −3)“, „röðuð tvennd (0, 1)“ og „röðuð tvennd (1, 3)“.

Tveir punktar nægja vissulega til að ákvarða línu en gott er að venja sig á að nota þrjá. Ef þið merkið aðeins tvo punkta og annar þeirra er rangur getið þið samt dregið línu, en hún mun ekki tákna lausnir jöfnunnar. Þá verður línan röng. Ef þið notið þrjá punkta og einn þeirra er rangur munu punktarnir ekki liggja á sömu línu. Það sýnir að eitthvað er að og að fara þurfi yfir útreikningana. Sjá mynd 11.11 .

Tvær myndir eru sýndar. Á mynd a liggja þrír punktar allir á sömu beinu línunni og lína með örvum liggur gegnum þá. Á mynd b eru þrír punktar sem liggja ekki allir á sömu beinu línunni. — **Mynd 11.11.** Berið saman (a) og (b). Allir þrír punktarnir í (a) liggja á sömu línu og því getum við dregið eina línu gegnum þá. Punktarnir þrír í (b) liggja ekki á sömu línu og því getum við ekki dregið eina beina línu gegnum þá alla.

Dæmi 11.16

Teiknið graf jöfnunnar $y = −3 x .$

Lausn

Finnið þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Auðveldara er að velja gildi fyrir 𝑥 $x,$ og leysa með tilliti til $y .$ Sjáið þið hvers vegna?

Myndin sýnir þrjár innsetningar í jöfnu. Fyrst er x = 0 og 0 sýnt með bláu. Næst stendur y = −3x, síðan y = −3(0) þar sem 0 er blátt og loks y = 0. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (0, 0)“. Í annarri innsetningunni er x = 1 og 1 sýnt með bláu. Næst stendur y = −3x, síðan y = −3(1) þar sem 1 er blátt og loks y = −3. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (1, −3)“. Í þriðju innsetningunni er x = −2 og −2 sýnt með bláu. Næst stendur y = −3x, síðan y = −3(−2) þar sem −2 er blátt og loks y = 6. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (−2, 6)“.

Skráið punktana í töflu.

𝑦 = − 3 ⁢ 𝑥 y = −3 ⁢ x
0 0	0 0	( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
1 1	3 3	( 1 , − 3 ) ( 1 , −3 )
− 2 −2	6 6	( − 2 , 6 ) ( −2 , 6 )
− 2 −2	6 6	( − 2 , 6 ) ( −2 , 6 )

Merkið punktana inn, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna eins og sýnt er.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−2, 6)“, „röðuð tvennd (0, 0)“ og „röðuð tvennd (1, −3)“. Línan er merkt y = −3x.

Þegar stuðull 𝑥 $x,$ í jöfnu er brot getum við sett hvaða tölur sem er í stað $x .$ Reikningarnir verða þó auðveldari ef við veljum hentug gildi fyrir $x .$ Þannig komumst við hjá brotalausnum sem erfitt er að merkja nákvæmlega inn á graf.

Dæmi 11.17

Teiknið graf jöfnunnar $y = \frac{1}{2} x + 3 .$

Lausn

Finnið þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Þar sem brotið $\frac{1}{2}$ er stuðull $x,$ veljum við gildi $x$ af kostgæfni. Við veljum núll sem eitt gildið og margfeldi af $2$ sem hin gildin.

Myndin sýnir þrjár innsetningar í jöfnu. Fyrst er x = 0 og 0 sýnt með bláu. Næst stendur y = 1/2x + 3, síðan y = 1/2(0) + 3 þar sem 0 er blátt og loks y = 3. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (0, 3)“. Í annarri innsetningunni er x = 2 og 2 sýnt með bláu. Næst stendur y = 1/2x + 3, síðan y = 1/2(2) + 3 þar sem 2 er blátt og loks y = 4. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (2, 4)“. Í þriðju innsetningunni er x = 4 og 4 sýnt með bláu. Næst stendur y = 1/2x + 3, síðan y = 1/2(4) + 3 þar sem 4 er blátt og loks y = 5. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (4, 5)“.

Punktarnir eru sýndir í töflunni.

𝑦 = 1 2 ⁢ 𝑥 + 3 y = 1/2 ⁢ x + 3
0 0	3 3	( 0 , 3 ) ( 0 , 3 )
2 2	4 4	( 2 , 4 ) ( 2 , 4 )
4 4	5 5	( 4 , 5 ) ( 4 , 5 )
4 4	5 5	( 4 , 5 ) ( 4 , 5 )

Merkið punktana inn, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna eins og sýnt er.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (0, 3)“, „röðuð tvennd (2, 4)“ og „röðuð tvennd (4, 5)“. Línan er merkt y = 1/2x + 3.

Hingað til hafa allar jöfnurnar sem við höfum teiknað gröf fyrir haft $y$ gefið sem fall af $x .$ Nú teiknum við graf jöfnu þar sem $x$ og $y$ eru sömu megin við jafnaðarmerkið.

Dæmi 11.18

Teiknið graf jöfnunnar $x + y = 5 .$

Lausn

Finnið þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar. Munið að þið getið byrjað á hvaða gildi sem er fyrir $x$ eða $y .$

Myndin sýnir þrjár innsetningar í jöfnu. Fyrst er x = 0 og 0 sýnt með bláu. Næst stendur x + y = 5, síðan 0 + y = 5 þar sem 0 er blátt og loks y = 5. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (0, 5)“. Í annarri innsetningunni er x = 1 og 1 sýnt með bláu. Næst stendur x + y = 5, síðan 1 + y = 5 þar sem 1 er blátt og loks y = 4. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (1, 4)“. Í þriðju innsetningunni er x = 4 og 4 sýnt með bláu. Næst stendur x + y = 5, síðan 4 + y = 5 þar sem 4 er blátt og loks y = 1. Í síðustu línu stendur „röðuð tvennd (4, 1)“.

Við skráum punktana í töflu.

𝑥 + 𝑦 = 5 x + y = 5
0 0	5 5	( 0 , 5 ) ( 0 , 5 )
1 1	4 4	( 1 , 4 ) ( 1 , 4 )
4 4	1 1	( 4 , 1 ) ( 4 , 1 )
4 4	1 1	( 4 , 1 ) ( 4 , 1 )

Merkið síðan punktana inn, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (0, 5)“, „röðuð tvennd (1, 4)“ og „röðuð tvennd (4, 1)“. Línan er merkt x + y = 5.

Í dæminu á undan var auðvelt að merkja punktana þrjá sem við fundum inn á graf. Það á þó ekki alltaf við. Skoðum hvað gerist í jöfnunni $2 x + y = 3 .$ Ef $y$ er $0,$ hvert er þá gildi $x ?$

Myndin sýnir innsetningu í algebrujöfnu. Í fyrstu línu stendur 2x + y = 3. Í annarri línu stendur 2x + 0 og 0 er sýnt með rauðu. Í þriðju línu stendur 2x = 3 og í síðustu línu x = 3/2.

Lausnin er punkturinn $(\frac{3}{2}, 0) .$ Í punktinum er $x$ -hnitið brot. Þótt við gætum merkt punktinn inn er erfitt að staðsetja brot nákvæmlega á grafi. Munið að í dæminu $y = \frac{1}{2} x + 3,$ völdum við gildi fyrir $x$ af kostgæfni til að þurfa alls ekki að merkja brot inn. Ef við leysum jöfnuna $2 x + y = 3$ með tilliti til $y,$ verður auðveldara að finna þrjár lausnir hennar.

2 x + y = 3

y = −2 x + 3

Nú getum við valið gildi $x$ sem gefa heiltöluhnit. Lausnirnar fyrir $x = 0, x = 1,$ og $x = −1$ eru sýndar.

𝑦 = − 2 ⁢ 𝑥 + 3 y = −2 ⁢ x + 3
0 0	3 3	( 0 , 3 ) ( 0 , 3 )
1 1	1 1	( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )
− 1 −1	5 5	( − 1 , 5 ) ( - 1 , 5 )
− 1 −1	5 5	( − 1 , 5 ) ( - 1 , 5 )

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−1, 5)“, „röðuð tvennd (0, 3)“ og „röðuð tvennd (1, 1)“. Línan er merkt 2x + y = 3.

Dæmi 11.19

Teiknið graf jöfnunnar $3 x + y = −1 .$

Lausn

Finnið þrjá punkta sem eru lausnir jöfnunnar.

Leysið fyrst jöfnuna með tilliti til $y .$

3⁢𝑥+𝑦=−1𝑦=−3⁢𝑥−1 $\begin{matrix} 3 x + y & = & −1 \\ y & = & −3 x - 1 \end{matrix}$

Við látum $x$ vera $0, 1,$ og $−1$ til að finna þrjá punkta. Röðuðu tvenndirnar eru sýndar í töflunni. Merkið punktana inn, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna.

𝑦 = − 3 ⁢ 𝑥 − 1 y = −3 ⁢ x − 1
0 0	− 1 −1	( 0 , − 1 ) ( 0 , −1 )
1 1	− 4 −4	( 1 , − 4 ) ( 1 , −4 )
− 1 −1	2 2	( − 1 , 2 ) ( −1 , 2 )
− 1 −1	2 2	( − 1 , 2 ) ( −1 , 2 )

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−1, 2)“, „röðuð tvennd (0, −1)“ og „röðuð tvennd (1, −4)“. Línan er merkt 3x + y = −1.

Ef þið getið valið hvaða þrjá punkta sem er til að teikna línu, hvernig vitið þið þá hvort grafið ykkar samsvarar grafinu í svarhluta bókarinnar? Gröfin samsvara ef skurðpunktar þeirra við $x -$ og $y$ -ásana eru þeir sömu.

Teiknið gröf lóðréttra og láréttra lína

Getum við teiknað graf jöfnu með aðeins einni breytu? Aðeins $x$ og engu 𝑦 $y,$ eða aðeins $y$ og engu $x ?$ Hvernig búum við til gildistöflu fyrir punktana sem merkja á inn?

Skoðum jöfnuna $x = −3 .$ Jafnan segir að $x$ sé alltaf jafnt $−3,$ svo gildi þess er óháð $y .$ Hvert sem gildi $y$ er, er gildi $x$ alltaf $−3 .$

Til að búa til lausnatöflu ritum við $−3$ fyrir öll gildi $x$ og veljum síðan hvaða gildi sem er fyrir $y .$ Þar sem $x$ er óháð 𝑦 $y,$ getið þið valið hvaða tölur sem er. Til að punktarnir rúmist á hnitakerfinu notum við þó $1, 2,$ og $3$ sem $y$ -hnit, eins og sýnt er í töflunni.

𝑥 = − 3 x = −3
− 3 −3	1 1	( − 3 , 1 ) ( −3 , 1 )
− 3 −3	2 2	( − 3 , 2 ) ( −3 , 2 )
− 3 −3	3 3	( − 3 , 3 ) ( −3 , 3 )
− 3 −3	3 3	( − 3 , 3 ) ( −3 , 3 )

Merkið síðan punktana inn og tengið þá með beinni línu. Takið eftir á mynd 11.12 að grafið er lóðrétt lína.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lóðrétt lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−3, 3)“, „röðuð tvennd (−3, 2)“ og „röðuð tvennd (−3, 1)“. Línan er merkt x = −3.

Dæmi 11.20

Teiknið graf jöfnunnar $x = 2 .$ Hvers konar línu myndar það?

Lausn

Jafnan hefur aðeins eina breytu, $x,$ og $x$ er alltaf jafnt $2 .$ Við búum til töflu þar sem $x$ er alltaf $2$ og setjum inn hvaða gildi sem er fyrir $y .$

𝑥 = 2 x = 2
2 2	1 1	( 2 , 1 ) ( 2 , 1 )
2 2	2 2	( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )
2 2	3 3	( 2 , 3 ) ( 2 , 3 )
2 2	3 3	( 2 , 3 ) ( 2 , 3 )

Merkið punktana inn og tengið þá eins og sýnt er.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lóðrétt lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (2, 3)“, „röðuð tvennd (2, 2)“ og „röðuð tvennd (2, 1)“. Línan er merkt x = 2.

Grafið er lóðrétt lína sem sker $x$ -ásinn í $2 .$

Hvað ef jafnan inniheldur $y$ en ekkert $x$ ? Teiknum graf jöfnunnar $y = 4 .$ Nú er $y$ -gildið fasti og því er $y$ óháð $x .$

Til að búa til lausnatöflu ritum við $4$ fyrir öll gildi $y$ og veljum síðan hvaða gildi sem er fyrir $x .$

Við notum $0, 2,$ og $4$ sem $x$ -gildi.

𝑦 = 4 y = 4
0 0	4 4	( 0 , 4 ) ( 0 , 4 )
2 2	4 4	( 2 , 4 ) ( 2 , 4 )
4 4	4 4	( 4 , 4 ) ( 4 , 4 )
4 4	4 4	( 4 , 4 ) ( 4 , 4 )

Merkið punktana inn og tengið þá eins og sýnt er á mynd 11.13. Grafið er lárétt lína sem sker $y -ás$ við gildið $4 .$

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lárétt lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (0, 4)“, „röðuð tvennd (2, 4)“ og „röðuð tvennd (4, 4)“. Línan er merkt y = 4.

Dæmi 11.21

Teiknið graf jöfnunnar $y = −1 .$

Lausn

Jafnan $y = −1$ hefur aðeins eina breytu, $y .$ Gildi $y$ er fast. Allar röðuðu tvenndirnar í töflunni hafa sama $y$ -hnitið, $−1$ . Við veljum $0, 3,$ og $−3$ sem gildi fyrir $x .$

𝑦 = − 1 y = −1
− 3 −3	− 1 −1	( − 3 , − 1 ) ( −3 , −1 )
0 0	− 1 −1	( 0 , − 1 ) ( 0 , −1 )
3 3	− 1 −1	( 3 , − 1 ) ( 3 , −1 )
3 3	− 1 −1	( 3 , − 1 ) ( 3 , −1 )

Grafið er lárétt lína sem sker $y$ -ásinn í $–1$ eins og sýnt er.

Grafið sýnir xy-hnitaplan. Bæði x-ás og y-ás ná frá −7 til 7. Lárétt lína liggur um þrjá merkta punkta: „röðuð tvennd (−3, −1)“, „röðuð tvennd (0, −1)“ og „röðuð tvennd (3, −1)“. Línan er merkt y = −1.

Jöfnur lóðréttra og láréttra lína líkjast mjög jöfnum á borð við $y = 4 x .$ Hver er munurinn á jöfnunum $y = 4 x$ og $y = 4 ?$

Jafnan $y = 4 x$ inniheldur bæði $x$ og $y .$ Gildi $y$ ræðst af gildi $x .$ Þá breytist $y -hnitið$ eftir gildi $x .$

Jafnan $y = 4$ hefur aðeins eina breytu. Gildi $y$ er fast. $y -hnitið$ er alltaf $4 .$ Það er óháð gildi $x .$

Tvær töflur eru sýndar. Fyrri taflan ber heitið y = 4x, sýnt með bláu, og hefur fjórar raðir og þrjá dálka. Fyrsta röðin er hauslína með dálkunum „x“, „y“ og „röðuð tvennd (x, y)“. Undir x eru gildin 0, 1 og 2. Undir y eru gildin 0, 4 og 8. Undir röðuðum tvenndum eru (0, 0), (1, 4) og (2, 8). Seinni taflan ber heitið y = 4, sýnt með rauðu, og hefur fjórar raðir og þrjá dálka. Hauslínan er eins. Undir x eru gildin 0, 1 og 2, undir y eru gildin 4, 4 og 4 og röðuðu tvenndirnar eru (0, 4), (1, 4) og (2, 4).

Grafið sýnir báðar jöfnurnar.

Grafið sýnir xy-hnitaplan þar sem báðir ásar ná frá −7 til 7. Lárétt lína liggur um punktana (0, 4) og (1, 4) og er merkt y = 4. Önnur lína liggur um punktana (0, 0) og (1, 4) og er merkt y = 4x. Línurnar skerast í punktinum (1, 4).

Takið eftir að jafnan $y = 4 x$ gefur skálínu en $y = 4$ gefur lárétta línu.

Dæmi 11.22

Teiknið gröf $y = −3 x$ og $y = −3$ í sama rétthyrnda hnitakerfið.

Lausn

Finnið þrjár lausnir hvorrar jöfnu. Takið eftir að fyrri jafnan inniheldur breytuna 𝑥 $x,$ en sú síðari ekki. Lausnir beggja jafna eru skráðar.

Tvær töflur eru sýndar. Fyrri taflan ber heitið y = −3x, sýnt með rauðu, og hefur fjórar raðir og þrjá dálka. Hauslínan sýnir „x“, „y“ og „röðuð tvennd (x, y)“. Undir x eru gildin 0, 1 og 2, undir y gildin 0, −3 og −6 og röðuðu tvenndirnar eru (0, 0), (1, −3) og (2, −6). Seinni taflan ber heitið y = −3, sýnt með rauðu, og hefur sömu uppbyggingu. Undir x eru gildin 0, 1 og 2, undir y gildin −3, −3 og −3 og röðuðu tvenndirnar eru (0, −3), (1, −3) og (2, −3).

Grafið sýnir báðar jöfnurnar.

Grafið sýnir xy-hnitaplan þar sem báðir ásar ná frá −7 til 7. Lárétt lína liggur um punktana (0, −3) og (1, −3) og er merkt y = −3. Önnur lína liggur um punktana (0, 0) og (1, −3) og er merkt y = −3x. Línurnar skerast í punktinum (1, −3).

Æfingar úr kafla 11.2

Æfingin skapar meistarann

Skilja samband lausna jöfnu og grafs hennar

Í hverju eftirfarandi dæma eru sýnd jafna og graf hennar. Ákvarðið fyrir hverja raðaða tvennd:

ⓐ Er raðaða tvenndin lausn jöfnunnar?
ⓑ Liggur punkturinn á línunni?

39.

𝑦 =𝑥 +2 $y = x + 2$

Graf þar sem bæði x-ás og y-ás ná frá −8 til 8. Lína hækkar frá vinstri til hægri, sker x-ásinn í (−2, 0) og y-ásinn í (0, 2).

(0,2) $(0, 2)$
(1,2) $(1, 2)$
(−1,1) $(- 1, 1)$
(−3,1) $(- 3, 1)$

40.

𝑦 =𝑥 −4 $y = x - 4$

Graf þar sem bæði x-ás og y-ás ná frá −8 til 8. Lína sker y-ásinn í (0, −4) og x-ásinn í (4, 0).

(0,−4) $(0, - 4)$
(3,−1) $(3, - 1)$
(2,2) $(2, 2)$
(1,−5) $(1, - 5)$

41.

𝑦 =12⁢𝑥 −3 $y = \frac{1}{2} x - 3$

Graf þar sem bæði x-ás og y-ás ná frá −8 til 8. Lína sker y-ásinn í (0, −3) og x-ásinn í (6, 0).

(0,−3) $(0, - 3)$
(2,−2) $(2, - 2)$
(−2,−4) $(- 2, - 4)$
(4,1) $(4, 1)$

42.

𝑦 =13⁢𝑥 +2 $y = \frac{1}{3} x + 2$

Graf línulegrar jöfnu á hnitakerfi. Lína með jákvæða hallatölu liggur um skurðpunktinn (0, 2) við y-ás og skurðpunktinn (−7, 0) við x-ás. Báðir ásar ná frá −8 til 8.

(0,2) $(0, 2)$
(3,3) $(3, 3)$
(−3,2) $(- 3, 2)$
(−6,0) $(- 6, 0)$

Teiknið graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf hverrar jöfnu með því að merkja punkta.

43.

𝑦=3⁢𝑥−1 $y = 3 x - 1$

44.

𝑦=2⁢𝑥+3 $y = 2 x + 3$

45.

𝑦=−2⁢𝑥+2 $y = −2 x + 2$

46.

𝑦=−3⁢𝑥+1 $y = −3 x + 1$

47.

𝑦=𝑥+2 $y = x + 2$

48.

𝑦=𝑥−3 $y = x - 3$

49.

𝑦=−𝑥−3 $y = - x - 3$

50.

𝑦=−𝑥−2 $y = - x - 2$

51.

𝑦=2⁢𝑥 $y = 2 x$

52.

𝑦=3⁢𝑥 $y = 3 x$

53.

𝑦=−4⁢𝑥 $y = −4 x$

54.

𝑦=−2⁢𝑥 $y = −2 x$

55.

𝑦=12⁢𝑥+2 $y = \frac{1}{2} x + 2$

56.

𝑦=13⁢𝑥−1 $y = \frac{1}{3} x - 1$

57.

𝑦=43⁢𝑥−5 $y = \frac{4}{3} x - 5$

58.

𝑦=32⁢𝑥−3 $y = \frac{3}{2} x - 3$

59.

𝑦=−25⁢𝑥+1 $y = - \frac{2}{5} x + 1$

60.

𝑦=−45⁢𝑥−1 $y = - \frac{4}{5} x - 1$

61.

𝑦=−32⁢𝑥+2 $y = - \frac{3}{2} x + 2$

62.

𝑦=−53⁢𝑥+4 $y = - \frac{5}{3} x + 4$

63.

𝑥+𝑦=6 $x + y = 6$

64.

𝑥+𝑦=4 $x + y = 4$

65.

𝑥+𝑦=−3 $x + y = −3$

66.

𝑥+𝑦=−2 $x + y = −2$

67.

𝑥−𝑦=2 $x - y = 2$

68.

𝑥−𝑦=1 $x - y = 1$

69.

𝑥−𝑦=−1 $x - y = −1$

70.

𝑥−𝑦=−3 $x - y = −3$

71.

−𝑥+𝑦=4 $- x + y = 4$

72.

−𝑥+𝑦=3 $- x + y = 3$

73.

−𝑥−𝑦=5 $- x - y = 5$

74.

−𝑥−𝑦=1 $- x - y = 1$

75.

3⁢𝑥+𝑦=7 $3 x + y = 7$

76.

5⁢𝑥+𝑦=6 $5 x + y = 6$

77.

2⁢𝑥+𝑦=−3 $2 x + y = −3$

78.

4⁢𝑥+𝑦=−5 $4 x + y = −5$

79.

2⁢𝑥+3⁢𝑦=12 $2 x + 3 y = 12$

80.

3⁢𝑥−4⁢𝑦=12 $3 x - 4 y = 12$

81.

13⁢𝑥+𝑦=2 $\frac{1}{3} x + y = 2$

82.

12⁢𝑥+𝑦=3 $\frac{1}{2} x + y = 3$

Teikna lóðréttar og láréttar línur

Teiknið lóðréttu og láréttu línurnar í eftirfarandi dæmum.

83.

𝑥=4 $x = 4$

84.

𝑥=3 $x = 3$

85.

𝑥=−2 $x = −2$

86.

𝑥=−5 $x = −5$

87.

𝑦=3 $y = 3$

88.

𝑦=1 $y = 1$

89.

𝑦=−5 $y = −5$

90.

𝑦=−2 $y = −2$

91.

𝑥=73 $x = \frac{7}{3}$

92.

𝑥=54 $x = \frac{5}{4}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna gröf beggja jafna í hverju pari í sama rétthyrnda hnitakerfinu.

93.

$y = - \frac{1}{2} x$ og $y = - \frac{1}{2}$

94.

$y = - \frac{1}{3} x$ og $y = - \frac{1}{3}$

95.

$y = 2 x$ og $y = 2$

96.

$y = 5 x$ og $y = 5$

Blönduð verkefni

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf hverrar jöfnu.

97.

𝑦 =4⁢𝑥 $y = 4 x$

98.

𝑦 =2⁢𝑥 $y = 2 x$

99.

𝑦 =−12⁢𝑥 +3 $y = - \frac{1}{2} x + 3$

100.

𝑦 =14⁢𝑥 −2 $y = \frac{1}{4} x - 2$

101.

𝑦 =−𝑥 $y = - x$

102.

𝑦 =𝑥 $y = x$

103.

𝑥 −𝑦 =3 $x - y = 3$

104.

𝑥 +𝑦 =−5 $x + y = - 5$

105.

4⁢𝑥 +𝑦 =2 $4 x + y = 2$

106.

2⁢𝑥 +𝑦 =6 $2 x + y = 6$

107.

𝑦 =−1 $y = −1$

108.

𝑦 =5 $y = 5$

109.

2⁢𝑥 +6⁢𝑦 =12 $2 x + 6 y = 12$

110.

5⁢𝑥 +2⁢𝑦 =10 $5 x + 2 y = 10$

111.

𝑥 =3 $x = 3$

112.

𝑥 =−4 $x = −4$

Stærðfræði daglegs lífs

113.

Leiga húsbíls Robinson-fjölskyldan leigði húsbíl í eina viku til að fara í frí. Leigan kostaði $$594$ auk $$0.32$ fyrir hverja mílu. Línulega jafnan $y = 594 + 0.32 x$ gefur því kostnaðinn 𝑦 $y,$ við að aka $x$ mílur. Reiknið leigukostnaðinn við að aka $400, 800, og 1,200$ mílur og teiknið síðan línuna.

114.

Vikulaun Salvador fær greidda $$200$ á viku fyrir vinnu sína í listasafni auk $15%$ af sölu sinni. Jafnan $y = 200 + 0.15 x$ gefur því upphæðina $y$ sem hann fær þegar hann selur listaverk fyrir $x$ dali. Reiknið hvað Salvador fær greitt ef hann selur fyrir $$900, $1,600, og $2,000,$ og teiknið síðan línuna.

Ritunarverkefni

115.

Útskýrið hvernig þið mynduð velja þrjú $x -gildi$ til að búa til töflu og teikna línuna $y = \frac{1}{5} x - 2 .$

116.

Hver er munurinn á jöfnum lóðréttrar og láréttrar línu?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir að hafa farið yfir gátlistann til að öðlast öryggi í öllum námsmarkmiðunum?