8.3 Leysa jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum – Fornám í stærðfræði, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
88 Að leysa línulegar jöfnur
8.3 Leysa jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum
8.3 Leysa jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:
Leyst jöfnu með föstum á báðum hliðum
Leyst jöfnu með breytum á báðum hliðum
Leyst jöfnu með breytum og föstum á báðum hliðum
Leysa jöfnur með almennri aðferð
Leysa jöfnu með föstum á báðum hliðum
Þið hafið ef til vill tekið eftir því að í öllum jöfnunum sem við höfum leyst hingað til hafa allir breytuliðir verið öðrum megin við jafnaðarmerkið og föstu liðirnir hinum megin. Svo er þó ekki alltaf. Nú skoðum við hvernig leysa má jöfnur þar sem breytuliðir og/eða fastir liðir eru báðum megin við jafnaðarmerkið.
Aðferðin felst í því að velja aðra hlið jöfnunnar sem breytuhlið og hina sem fastahlið. Síðan beitum við samlagningar- og frádráttarreglu jafnaðar skref fyrir skref til að safna öllum breytuliðum á aðra hliðina og öllum föstum liðum á hina.
Þannig breytum við jöfnu sem hefur breytur og fasta á báðum hliðum í formið Við kunnum þegar að leysa jöfnur á þessu formi með deilingarreglu jafnaðar eða reglunni um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu tölu.
Dæmi 8.20
Leysið:
Lausn
Í þessari jöfnu er breytan aðeins vinstra megin. Því er eðlilegt að kalla vinstri hliðina breytuhlið. Hægri hliðin verður þá fastahlið. Við ritum heitin yfir jöfnuna til að minna okkur á hvað á að vera hvorum megin.
Þar sem vinstri hliðin er breytuhlið á talan 6 ekki heima þar. Við þurfum að eyða samlagningu við 6 með því að draga 6 frá. Til að jafnaðurinn haldist þurfum við að draga 6 frá báðum hliðum. Beitið frádráttarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Nú eru allir x -liðirnir vinstra megin og fastinn hægra megin.
Beitið deilingarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið x = −5 .
Dæmi 8.21
Leysið:
Lausn
Athugið að breytan er aðeins vinstra megin í jöfnunni. Vinstri hliðin verður því breytuhlið og sú hægri fastahlið. Þar sem vinstri hliðin er breytuhlið á talan ekki heima þar. Hún er dregin frá og því leggjum við við báðar hliðar til að eyða frádrættinum.
Leggið 7 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Breytuliðirnir eru nú öðrum megin og föstu liðirnir hinum megin.
Deilið báðum hliðum með 2.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið inn: y = 11 .
Leysa jöfnu með breytum á báðum hliðum
Hvað gerum við ef breytur eru báðum megin við jafnaðarmerkið? Við byrjum eins og áður á að velja breytuhlið og fastahlið. Síðan beitum við samlagningar- og frádráttarreglu jafnaðar til að safna öllum breytuliðum á aðra hliðina og öllum föstum liðum á hina. Munið að það sem þið gerið við vinstri hlið jöfnunnar verðið þið einnig að gera við þá hægri.
Dæmi 8.22
Leysið:
Lausn
Hér er breytan báðum megin en fastinn aðeins hægra megin. Við veljum því hægri hliðina sem fastahlið. Vinstri hliðin verður þá breytuhlið.
Við viljum enga breytuliði hægra megin og drögum því 4 x frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Nú eru allir breytuliðir öðrum megin og föstu liðirnir hinum megin. Jafnan er leyst.
Sannprófun:
Setjið 7 inn fyrir x .
Dæmi 8.23
Leysið:
Lausn
Eini fastinn, er vinstra megin í jöfnunni en breytan er báðum megin. Við látum fastann vera vinstra megin og söfnum breytuliðunum hægra megin.
Dragið 5 y frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Breytuliðirnir eru hægra megin og föstu liðirnir vinstra megin. Deilið báðum hliðum með 2.
Einfaldið.
Endurritið jöfnuna með breytuna vinstra megin.
Sannprófun: Setjið y = −4 .
Dæmi 8.24
Leysið:
Lausn
Eini fastinn, er hægra megin og því látum við vinstri hliðina vera breytuhlið.
Eyðið − x hægra megin með því að leggja x við báðar hliðar.
Einfaldið.
Allir breytuliðir eru vinstra megin og föstu liðirnir hægra megin. Deilið báðum hliðum með 8.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 3 .
Leysið jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum
Í næsta dæmi verða bæði breytuliðir og fastir liðir báðum megin við jafnaðarmerkið. Eins og áður söfnum við breytuliðunum á aðra hliðina og föstu liðunum á hina.
Dæmi 8.25
Leysið:
Lausn
Byrjið á að velja breytuhlið og fastahlið. Breytuliðirnir eru og Þar sem er stærra en veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið og þá hægri sem fastahlið.
Safnið breytuliðunum vinstra megin með því að draga 6 x frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Safnið nú föstu liðunum hægra megin með því að draga 5 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Lausnin er x = −3 .
Sannprófun: Setjið x = −3 .
Við tökum skrefin saman svo auðvelt sé að fletta þeim upp.
Gott er að velja þá hlið sem breytuhlið þar sem breytan hefur stærri stuðul. Það auðveldar yfirleitt reikninginn.
Dæmi 8.26
Leysið:
Lausn
Við höfum vinstra megin og hægra megin. Þar sem veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið.
Við viljum enga breytuliði hægra megin. Leggið 3 n við báðar hliðar svo aðeins fastir liðir verði eftir hægra megin.
Sameinið samkynja liði.
Við viljum enga fasta liði vinstra megin og leggjum því 2 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Breytuliðurinn er vinstra megin og fasti liðurinn hægra megin. Deilið báðum hliðum með 9 til að stuðull n verði einn.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið 1 inn fyrir n .
Dæmi 8.27
Leysið:
Lausn
Í þessari jöfnu er vinstra megin og hægra megin. Þar sem veljum við hægri hliðina sem breytuhlið og þá vinstri sem fastahlið.
Dragið 2 a frá báðum hliðum til að eyða breytuliðnum vinstra megin.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 8 frá báðum hliðum til að eyða fasta liðnum hægra megin.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með 3 svo stuðull a verði einn.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið a = −5 .
Athugið að við hefðum getað valið vinstri hliðina sem breytuhlið í stað þeirrar hægri, en þá hefði stuðull breytuliðarins orðið neikvæður. Þótt hægt sé að reikna með neikvæða stuðlinum er minni hætta á mistökum þegar unnið er með jákvæðar tölur. Aðferðin hér að framan hjálpar okkur að forðast neikvæða stuðla.
Þegar jafna með brotum er leyst fylgjum við áfram sömu skrefum til að finna lausnina.
Dæmi 8.28
Leysið:
Lausn
Þar sem veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið og þá hægri sem fastahlið.
Dragið x frá báðum hliðum.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 5 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = −8 .
Við fylgjum einnig sömu skrefum þegar jafnan inniheldur tugabrot.
Dæmi 8.29
Leysið:
Lausn
Þar sem veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið og þá hægri sem fastahlið.
Dragið 1.6 x frá báðum hliðum.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 4 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Beitið deilingarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = −5 .
Leysa jöfnur með almennri aðferð
Í fyrstu köflum þessa kafla höfum við leyst tiltekin form línulegra jafna. Nú er kominn tími til að setja fram heildstæða aðferð sem nota má til að leysa hvaða línulegu jöfnu sem er. Við köllum hana almenna aðferð. Ekki þarf öll skrefin við lausn allra jafna, en margar þeirra krefjast þeirra allra. Ef hvor hlið jöfnunnar er fyrst einfölduð eins mikið og unnt er verða skrefin á eftir auðveldari.
Dæmi 8.30
Solve: 3(𝑥+2)=18.
Lausn
Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er. Beitið dreifireglunni.
Safnið öllum breytuliðum öðrum megin í jöfnunni. Allir x -liðirnir eru þegar vinstra megin.
Safnið föstu liðunum hinum megin í jöfnunni. Dragið 6 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Gerið stuðul breytuliðarins að einum. Deilið báðum hliðum með 3.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 4 .
Dæmi 8.31
Solve: −(𝑥+5)=7.
Lausn
Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er með því að beita dreifireglunni. Eini x -liðurinn er vinstra megin og því eru allir breytuliðir vinstra megin í jöfnunni.
Leggið 5 við báðar hliðar til að safna öllum föstum liðum hægra megin í jöfnunni.
Einfaldið.
Gerið stuðul breytuliðarins að einum með því að margfalda báðar hliðar með −1.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = −12 .
Dæmi 8.32
Solve: 4(𝑥−2)+5=−3.
Lausn
Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er. Beitið dreifireglunni.
Sameinið samkynja liði.
Eini x -liðurinn er vinstra megin og því eru allir breytuliðir öðrum megin í jöfnunni.
Leggið 3 við báðar hliðar til að safna öllum föstum liðum hinum megin í jöfnunni.
Einfaldið.
Gerið stuðul breytuliðarins að einum með því að deila báðum hliðum með 4.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 0 .
Dæmi 8.33
Solve: 8−2(3𝑦+5)=0.
Lausn
Gætið þess að dreifa mínusmerkinu rétt.
Einfaldið með dreifireglunni.
Sameinið samkynja liði.
Leggið 2 við báðar hliðar til að safna föstu liðunum hægra megin.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með −6.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið y = − .
Dæmi 8.34
Solve: 3(𝑥−2)−5=4(2𝑥+1)+5.
Lausn
Beitið dreifireglunni.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 3 x frá báðum hliðum til að safna öllum breytuliðum hægra megin, þar sem 8 > 3 . 8 > 3 .
Einfaldið.
Dragið 9 frá báðum hliðum til að safna föstu liðunum vinstra megin.
Einfaldið.
Deilið með 5.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið inn: −4 = x .
Dæmi 8.35
Solve: 12(6𝑥−2)=5−𝑥.
Lausn
Beitið dreifireglunni.
Leggið x við báðar hliðar til að safna öllum breytuliðum vinstra megin.
Einfaldið.
Leggið 1 við báðar hliðar til að safna föstu liðunum hægra megin.
Einfaldið.
Deilið með 4.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = .
Í mörgum hagnýtum verkefnum þurfum við að leysa jöfnur með tugabrotum. Sama almenna aðferðin gildir um þær jöfnur.
Dæmi 8.36
Solve: 0.24(100𝑥+5)=0.4(30𝑥+15).
Lausn
Beitið dreifireglunni.
Dragið 12 x frá báðum hliðum til að safna öllum x -liðum vinstra megin.
Einfaldið.
Dragið 1,2 frá báðum hliðum til að safna föstu liðunum hægra megin.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.
Sannprófun: Setjið x = 0.4 .
Æfingar úr kafla 8.3
Æfingin skapar meistarann
Leysa jöfnu með föstum á báðum hliðum
Leysið jöfnuna með tilliti til breytunnar í eftirfarandi æfingum.
112.
6𝑥−2=40
113.
7𝑥−8=34
114.
11𝑤+6=93
115.
14𝑦+7=91
116.
3𝑎+8=−46
117.
4𝑚+9=−23
118.
−50=7𝑛−1
119.
−47=6𝑏+1
120.
25=−9𝑦+7
121.
29=−8𝑥−3
122.
−12𝑝−3=15
123.
−14q−15=13
Leysa jöfnu með breytum á báðum hliðum
Leysið jöfnuna með tilliti til breytunnar í eftirfarandi æfingum.
124.
8𝑧=7𝑧−7
125.
9𝑘=8𝑘−11
126.
4𝑥+36=10𝑥
127.
6𝑥+27=9𝑥
128.
𝑐=−3𝑐−20
129.
𝑏=−4𝑏−15
130.
5𝑞=44−6𝑞
131.
7𝑧=39−6𝑧
132.
3𝑦+12=2𝑦
133.
8𝑥+34=7𝑥
134.
−12𝑎−8=−16𝑎
135.
−15𝑟−8=−11𝑟
Leysa jöfnu með breytum og föstum á báðum hliðum
Leysið jöfnurnar með tilliti til breytunnar í eftirfarandi æfingum.
136.
6𝑥−15=5𝑥+3
137.
4𝑥−17=3𝑥+2
138.
26+8𝑑=9𝑑+11
139.
21+6𝑓=7𝑓+14
140.
3𝑝−1=5𝑝−33
141.
8𝑞−5=5𝑞−20
142.
4𝑎+5=−𝑎−40
143.
9𝑐+7=−2𝑐−37
144.
8𝑦−30=−2𝑦+30
145.
12𝑥−17=−3𝑥+13
146.
2z−4=23−z
147.
3𝑦−4=12−𝑦
148.
54𝑐−3=14𝑐−16
149.
43𝑚−7=13𝑚−13
150.
8−25𝑞=35𝑞+6
151.
11−14𝑎=34𝑎+4
152.
43𝑛+9=13𝑛−9
153.
54𝑎+15=34𝑎−5
154.
14𝑦+7=34𝑦−3
155.
35𝑝+2=45𝑝−1
156.
14𝑛+8.25=9𝑛+19.60
157.
13𝑧+6.45=8𝑧+23.75
158.
2.4𝑤−100=0.8𝑤+28
159.
2.7𝑤−80=1.2𝑤+10
160.
5.6𝑟+13.1=3.5𝑟+57.2
161.
6.6𝑥−18.9=3.4𝑥+54.7
Leysa jöfnu með almennri aðferð
Leysið línulegu jöfnuna með almennu aðferðinni í eftirfarandi æfingum.
162.
5(𝑥+3)=75
163.
4(𝑦+7)=64
164.
8=4(𝑥−3)
165.
9=3(𝑥−3)
166.
20(𝑦−8)=−60
167.
14(𝑦−6)=−42
168.
−4(2𝑛+1)=16
169.
−7(3𝑛+4)=14
170.
3(10+5𝑟)=0
171.
8(3+3p)=0
172.
23(9𝑐−3)=22
173.
35(10𝑥−5)=27
174.
5(1.2𝑢−4.8)=−12
175.
4(2.5𝑣−0.6)=7.6
176.
0.2(30𝑛+50)=28
177.
0.5(16𝑚+34)=−15
178.
−(𝑤−6)=24
179.
−(𝑡−8)=17
180.
9(3𝑎+5)+9=54
181.
8(6𝑏−7)+23=63
182.
10+3(𝑧+4)=19
183.
13+2(𝑚−4)=17
184.
7+5(4−𝑞)=12
185.
−9+6(5−𝑘)=12
186.
15−(3𝑟+8)=28
187.
18−(9𝑟+7)=−16
188.
11−4(𝑦−8)=43
189.
18−2(𝑦−3)=32
190.
9(𝑝−1)=6(2𝑝−1)
191.
3(4𝑛−1)−2=8𝑛+3
192.
9(2𝑚−3)−8=4𝑚+7
193.
5(𝑥−4)−4𝑥=14
194.
8(𝑥−4)−7𝑥=14
195.
5+6(3𝑠−5)=−3+2(8𝑠−1)
196.
−12+8(𝑥−5)=−4+3(5𝑥−2)
197.
4(𝑥−1)−8=6(3𝑥−2)−7
198.
7(2𝑥−5)=8(4𝑥−1)−9
Stærðfræði daglegs lífs
199.
Girðing Jovani er með girðingu umhverfis rétthyrndan garð í bakgarðinum. Ummál girðingarinnar er fet. Lengdin er fetum meiri en breiddin. Finnið breiddina, með því að leysa jöfnuna
200.
Tónleikamiðar Á skólatónleikum var heildarverð seldra miða $ 1 , 5 0 6 . $1,506. Nemendamiðar kostuðu $ 6 $6 og fullorðinsmiðar $ 9 . $9. Fjöldi seldra fullorðinsmiða var 5 5 færri en þrefaldur fjöldi nemendamiða. Finnið fjölda seldra nemendamiða, 𝑠 , s , með því að leysa jöfnuna 6 𝑠 + 9 ( 3 𝑠 − 5 ) = 1 5 0 6 . 6 s + 9 ( 3 s − 5 ) = 1506 .
201.
Mynt Rhonda á í fimm senta og tíu senta myntum. Tíu senta myntirnar eru einni færri en tvöfaldur fjöldi fimm senta mynta. Finnið fjölda fimm senta mynta, með því að leysa jöfnuna
202.
Girðing Micah hefur fet af girðingarefni til að útbúa rétthyrnt hundagerði í garðinum. Hann vill að lengdin sé fetum meiri en breiddin. Finnið lengdina, með því að leysa jöfnuna
Ritunarverkefni
203.
Þegar jafna hefur breytur á báðum hliðum, hvers vegna er yfirleitt betra að velja hliðina með stærri stuðlinum sem breytuhlið?
204.
Leysið jöfnuna og útskýrið öll skref lausnarinnar.
205.
Hvert er fyrsta skrefið þegar jafnan er leyst? Útskýrið hvers vegna þið byrjið á því skrefi.
206.
Leysið jöfnuna og útskýrið öll skref lausnarinnar eins og gert er í dæmunum í þessum kafla.
207.
Teljið með eigin orðum upp skrefin í almennu aðferðinni við lausn línulegra jafna.
208.
Útskýrið hvers vegna einfalda ætti báðar hliðar jöfnu eins mikið og unnt er áður en breytuliðunum er safnað öðrum megin og föstu liðunum hinum megin.
Sjálfsmat
ⓐ Að verkefnunum loknum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve góðum tökum þið hafið náð á markmiðum hlutans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve góðum tökum þið hafið náð á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?
