8.3 Fjaðrandi og ófjaðrandi árekstrar

Námsmarkmið hluta

Í lok þessa hluta ættir þú að geta gert eftirfarandi:

• Greint á milli fjaðrandi og ófjaðrandi árekstra
• Leyst árekstrarverkefni með því að beita lögmálinu um varðveislu skriðþunga

Stuðningur við kennara

Námsmarkmiðin í þessum hluta munu hjálpa nemendum þínum að ná tökum á eftirfarandi viðmiðum:

• (6) Hugtök í náttúrufræði. Nemandi veit að breytingar verða innan eðlisfræðilegs kerfis og beitir lögmálunum um varðveislu orku og skriðþunga. Ætlast er til að nemandi: (C) reikni vélræna orku, afl sem myndast innan kerfis, atlag sem verkar á kerfið og skriðþunga eðlisfræðilegs kerfis; (D) sýni fram á og beiti lögmálunum um varðveislu orku og varðveislu skriðþunga í einni vídd.
  • (C) reikni vélræna orku, afl sem myndast innan kerfis, atlag sem verkar á kerfið og skriðþunga eðlisfræðilegs kerfis;
  • (D) sýni fram á og beiti lögmálunum um varðveislu orku og varðveislu skriðþunga í einni vídd.

Lykilhugtök kafla

Fjaðrandi og ófjaðrandi árekstrar

Þegar hlutir rekast saman geta þeir annaðhvort loðað saman eða hrokkið hvor frá öðrum og haldist aðskildir. Í þessum hluta fjöllum við um þessar tvær tegundir árekstra, fyrst í einni vídd og síðan í tveimur víddum.

Í fjaðrandi árekstri skiljast hlutirnir að eftir höggið og tapa engri hreyfiorku. Hreyfiorka er orka hreyfingar og er fjallað ítarlega um hana annars staðar. Lögmálið um varðveislu skriðþunga er mjög gagnlegt hér og má nota þegar ytri heildarkraftur á kerfi er núll. Mynd 8.6 sýnir fjaðrandi árekstur þar sem skriðþungi varðveitist.

Hægt er að sjá hreyfimynd af fjaðrandi árekstri milli bolta með því að horfa á þetta myndband. Hún líkir eftir fjaðrandi árekstrum bolta með mismunandi massa.

Fullkomlega fjaðrandi árekstrar geta aðeins orðið milli öreinda. Í daglegu lífi finnast engin sýnileg dæmi um fullkomlega fjaðrandi árekstra; einhver hreyfiorka tapast alltaf þegar hún breytist í varma vegna núnings. Árekstrar milli hversdagslegra hluta geta þó verið næstum fullkomlega fjaðrandi þegar hlutirnir og fletirnir eru nær núningslausir, til dæmis tveir stálkubbar á ís.

Til að leysa dæmi um einvíða fjaðrandi árekstra milli tveggja hluta getum við notað jöfnuna fyrir varðveislu skriðþunga. Fyrst er jafnan fyrir varðveislu skriðþunga tveggja hluta í einvíðum árekstri

Ef skilgreiningin á skriðþunga, p⃗ = mv⃗, er sett inn fyrir hvern upphafs- og lokaskriðþunga fæst

þar sem strikin (′) tákna gildi eftir áreksturinn. Í sumum bókum er i notað fyrir upphafsgildi (fyrir árekstur) og f fyrir lokagildi (eftir árekstur). Jafnan gerir ráð fyrir að massi hvors hlutar breytist ekki í árekstrinum.

Horfðu á eðlisfræði

Skriðþungi: Skautari kastar bolta

Þetta myndband fjallar um dæmi um fjaðrandi árekstur þar sem fundinn er bakslagshraði skautakonu sem kastar bolta beint fram. Til skýringar notar Sal jöfnuna

m_bolti v_bolti + m_skautari v_skautari = m_bolti v′_bolti + m_skautari v′_skautari.

Snúum okkur nú að annarri tegund árekstra. Ófjaðrandi árekstur er árekstur þar sem hreyfiorka varðveitist ekki. Fullkomlega ófjaðrandi árekstur, sem stundum er kallaður algerlega ófjaðrandi árekstur, er árekstur þar sem hlutir loða saman eftir höggið og mesta mögulega magn hreyfiorku tapast. Þar sem hreyfiorkan varðveitist ekki geta kraftarnir milli hlutanna sem rekast saman breytt hreyfiorku í aðra orku, svo sem stöðuorku eða varmaorku. Orkuhugtök eru rædd ítarlegar annars staðar. Í ófjaðrandi árekstrum getur hreyfiorka tapast sem varmi. Mynd 8.7 sýnir dæmi um ófjaðrandi árekstur. Tveir hlutir með jafnan massa stefna hvor á annan með sama hraða og loða síðan saman. Hlutirnir stöðvast eftir að hafa loðað saman; skriðþungi varðveitist eftir áreksturinn en hreyfiorka ekki. Hluti hreyfiorkunnar breytist í varmaorku, eða hita.

Þar sem hlutirnir tveir loða saman eftir áreksturinn hreyfast þeir saman með sama hraða. Því getum við einfaldað jöfnuna fyrir varðveislu skriðþunga úr

í

fyrir ófjaðrandi árekstra, þar sem v⃗′ er lokahraði beggja hluta þar sem þeir loða saman, hvort sem þeir eru á hreyfingu eða í kyrrstöðu.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Rifjaðu upp hugtakið innri orka. Spurðu nemendur hvað þeir skilji með orðunum fjaðrandi og ófjaðrandi.

[AL] Byrjaðu umræðu um árekstra. Biddu nemendur að nefna dæmi um fjaðrandi og ófjaðrandi árekstra.

Horfðu á eðlisfræði

Kynning á skriðþunga

Þetta myndband rifjar upp skilgreiningar á skriðþunga og atlagi. Það fjallar einnig um dæmi þar sem varðveisla skriðþunga er notuð til að leysa verkefni um ófjaðrandi árekstur milli bíls á jöfnum hraða og kyrrstæðs vörubíls. Athugaðu að Sal gefur einingu atlags óvart sem júl; rétta einingin er N·s eða kg·m/s.

Skyndiæfing

Ísmolar og fjaðrandi árekstrar

Í þessari verklegu æfingu athugarðu fjaðrandi árekstur með því að renna ísmola á annan ísmola á sléttu yfirborði, þannig að óveruleg orka breytist í varma.

• Nokkrir ísmolar (ísinn þarf að vera í teningum.)
• Slétt yfirborð

Framkvæmd

1. Finndu nokkra ísmola sem eru um það bil jafn stórir og slétta eldhúsborðplötu eða borð með glerplötu.
2. Settu ísmolana á yfirborðið með nokkurra sentímetra millibili.
3. Smelltu einum ísmola í átt að kyrrstæðum ísmola og fylgstu með ferli og hraða ísmolanna eftir áreksturinn. Reyndu að forðast árekstra á brúnir og árekstra við ísmola sem snúast.
4. Útskýrðu hraða og stefnur ísmolanna með því að nota skriðþunga.

Góð ráð

Hér er minnisregla til að greina fjaðrandi og ófjaðrandi árekstra: fjaðrandi efni skoppar. Þegar hlutir skoppa hvor frá öðrum í árekstri og skiljast að er áreksturinn fjaðrandi. Þegar þeir gera það ekki er áreksturinn ófjaðrandi.

Að leysa árekstrarverkefni

Myndböndin frá Khan Academy sem vísað er til í þessum hluta sýna dæmi um fjaðrandi og ófjaðrandi árekstra í einni vídd. Í einvíðum árekstrum liggja upphafs- og lokahraðar allir eftir sömu línu. En hvað með árekstra, til dæmis milli billjardkúlna, þar sem hlutir dreifast til hliðar? Slíkir árekstrar eru tvívíðir. Rétt eins og við gerðum með krafta í tveimur víddum leysum við þessi verkefni með því að velja fyrst hnitakerfi og skipta hreyfingunni í x- og y-þætti.

Eitt vandamál við tvívíða árekstra er að hlutirnir geta snúist fyrir eða eftir áreksturinn. Til dæmis, ef tveir skautarar krækja saman örmum þegar þeir fara hvor fram hjá öðrum, snúast þeir í hringi. Við fjöllum ekki um slíkan snúning fyrr en síðar og stillum því dæmunum þannig upp að snúningur sé ekki mögulegur. Til að forðast snúning skoðum við aðeins dreifingu punktmassa, það er agna án innri byggingar sem geta hvorki snúist né spunnið.

Við byrjum á því að gera ráð fyrir að F⃗_net = 0, þannig að skriðþungi p⃗ varðveitist. Einfaldasti áreksturinn er sá þar sem önnur ögnin er í upphafi kyrrstæð. Best er að velja hnitakerfi með ás samsíða hraða innkomandi agnar, eins og sýnt er á mynd 8.8. Þar sem skriðþungi varðveitist varðveitast einnig þættir skriðþungans eftir x- og y-ásunum, p⃗_x og p⃗_y. Með þessu hnitakerfi er p⃗_y núll í upphafi og p⃗_x er skriðþungi innkomandi agnar.

Nú tökum við jöfnuna fyrir varðveislu skriðþunga, p⃗₁ + p⃗₂ = p⃗′₁ + p⃗′₂, og skiptum henni í x- og y-þætti.

Eftir x-ásnum er jafnan fyrir varðveislu skriðþunga

Með tilliti til massa og hraða er þessi jafna

En þar sem ögn 2 er í upphafi kyrrstæð, verður þessi jafna

Hraðaþættirnir eftir x-ásnum hafa formið v cos θ. Þar sem ögn 1 hreyfist í upphafi eftir x-ásnum fæst v₁x = v₁. Varðveisla skriðþunga eftir x-ásnum gefur jöfnuna

þar sem θ₁ og θ₂ eru eins og sýnt er á mynd 8.8.

Eftir y-ásnum er jafnan fyrir varðveislu skriðþunga

eða

En v₁y er núll, því ögn 1 hreyfist í upphafi eftir x-ásnum. Þar sem ögn 2 er í upphafi kyrrstæð er v₂y einnig núll. Jafnan fyrir varðveislu skriðþunga eftir y-ásnum verður

Hraðaþættirnir eftir y-ásnum hafa formið v sin θ. Varðveisla skriðþunga eftir y-ásnum gefur því jöfnuna

Stuðningur við kennara

Rifjaðu upp varðveislu skriðþunga og jöfnurnar sem leiddar voru út í fyrri hlutum þessa kafla. Segðu að í dæmunum í þessum hluta sé gert ráð fyrir að allir hlutir séu punktmassar. Útskýrðu punktmassa.

Sýndareðlisfræði

Árekstrarstofa

Í þessum hermi rannsakarðu árekstra á lofthokkíborði. Settu hak við valkostina fyrir skriðþungavigra og skriðþungamyndrit. Gerðu tilraunir með að breyta massa kúlanna og upphafshraða kúlu 1. Hvaða áhrif hefur þetta á skriðþunga hverrar kúlu? Hvað með heildarskriðþungann? Prófaðu síðan að breyta fjaðrun árekstursins. Þú sérð að árekstrar geta verið mismikið fjaðrandi, allt frá fullkomlega fjaðrandi til fullkomlega ófjaðrandi.

1.

Ef þú vildir hámarka hraða kúlu 2 eftir árekstur, hvernig myndir þú breyta stillingunum fyrir massa kúlanna, upphafshraða kúlu 1 og stillinguna fyrir fjaðrun? Hvers vegna? Vísbending—Að setja hak við hraðavigra og fjarlægja skriðþungavigra mun hjálpa þér að sjá fyrir þér hraða kúlu 2, og með því að ýta á hnappinn More Data (Fleiri gögn) geturðu lesið af mælingum.

1. Hámarkið massa kúlu 1 og upphafshraða kúlu 1; lágmarkið massa kúlu 2; og stillið fjaðrun á 50 prósent.
2. Hámarkið massa kúlu 2 og upphafshraða kúlu 1; lágmarkið massa kúlu 1; og stillið fjaðrun á 100 prósent.
3. Hámarkið massa kúlu 1 og upphafshraða kúlu 1; lágmarkið massa kúlu 2; og stillið fjaðrun á 100 prósent.
4. Hámarkið massa kúlu 2 og upphafshraða kúlu 1; lágmarkið massa kúlu 1; og stillið fjaðrun á 50 prósent.

Unnið dæmi

Að reikna hraða: Ófjaðrandi árekstur pökks og markvarðar

8.9.

Finnið hrökkunarhraða 70 kg íshokkímarkvarðar sem grípur 0,150-kg hokkípökk sem sleginn er að honum á hraðanum 35 m/s. Gerið ráð fyrir að markvörðurinn sé kyrrstæður áður en hann grípur pökkinn, og að núningur milli íssins og kerfis pökks og markvarðar sé hverfandi (sjá mynd 8.9).

Skriðþungi varðveitist vegna þess að heildarytri kraftur á kerfi pökks og markvarðar er núll. Þess vegna getum við notað varðveislu skriðþunga til að finna lokahraða kerfis pökks og markvarðar. Takið eftir að upphafshraði markvarðarins er núll og að lokahraði pökksins og markvarðarins er sá sami.

Umræða

Þessi hrökkunarhraði er lítill og í sömu stefnu og upphaflegur hraði pökksins.

Lausn

Lausn

Fyrir ófjaðrandi árekstur er varðveisla skriðþunga

$$m_1{v}_{⃗}+m_2{v}_{⃗}=(m_1+m_2)v^{⃗}$$

þar sem v′ er hraði bæði markvarðarins og pökksins eftir áreksturinn. Þar sem markvörðurinn er í upphafi kyrrstæður, vitum við að v₂ = 0. Þetta einfaldar jöfnuna í

$$m_1{v}_{⃗}=(m_1+m_2)v^{⃗}$$

Að leysa fyrir v′ gefur

$$v^{⃗}=\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)v_{⃗}$$

Með því að setja inn þekkt gildi í þessa jöfnu fáum við

$$v^{\mathrm{\prime }}=\left(\frac{\mathrm{0,150}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{70,0}\mathrm{k}\mathrm{g}+\mathrm{0,150}\mathrm{k}\mathrm{g}}\right)(35\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})=\mathrm{7,48}\times {10}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$$

Unnið dæmi

Að reikna lokahraða: Fjaðrandi árekstur tveggja vagna

8.10.

Tveir harðir stálvagnar rekast saman beint framan á og skoppa síðan hvor af öðrum í gagnstæðar áttir á núningslausu yfirborði (sjá mynd 8.10). Vagn 1 hefur massann 0,350 kg og upphafshraðann 2 m/s. Vagn 2 hefur massann 0,500 kg og upphafshraðann −0,500 m/s. Eftir áreksturinn hrekkur vagn 1 til baka með hraðanum −4 m/s. Hver er lokahraði vagns 2?

Þar sem brautin er núningslaus er F⃗_net = 0 og við getum notað varðveislu skriðþunga til að finna lokahraða vagns 2.

Umræða

Lokahraði vagns 2 er mikill og jákvæður, sem þýðir að hann hreyfist til hægri eftir áreksturinn.

Lausn

Lausn

Eins og áður er jafnan fyrir varðveislu skriðþunga í einvíðum fjaðrandi árekstri tveggja hluta

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_{1}v1\mathrm{\prime }+m_{2}v2\mathrm{\prime }$$

Eina óþekkta stærðin í þessari jöfnu er v′₂. Ef leyst er fyrir v′₂ og þekkt gildi sett inn fæst

$$v2\mathrm{\prime }=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2-m_{1}v1\mathrm{\prime }}{m_2}=\frac{(\mathrm{0,350}\mathrm{k}\mathrm{g})(\mathrm{2,00}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})+(\mathrm{0,500}\mathrm{k}\mathrm{g})(-\mathrm{0,500}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})-(\mathrm{0,350}\mathrm{k}\mathrm{g})(-\mathrm{4,00}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})}{\mathrm{0,500}\mathrm{k}\mathrm{g}}=\mathrm{3,70}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$$

Unnið dæmi

Að reikna lokahraða í tvívíðum árekstri

8.11.

Gerum ráð fyrir að eftirfarandi tilraun sé framkvæmd (mynd 8.11). Hlutur með massann 0,250 kg (m₁) rennur eftir núningslausum fleti inn í dimmt herbergi, þar sem hann rekst á hlut með massann 0,400 kg (m₂) sem er í upphafi kyrrstæður. Hluturinn með massann 0,250 kg kemur út úr herberginu undir 45° horni við upphafsstefnu sína. Upphafshraði hans er 2,00 m/s og hraðinn eftir áreksturinn er 1,50 m/s. Reiknaðu stærð og stefnu hraðans, v′₂ og θ₂, fyrir 0,400 kg hlutinn eftir áreksturinn.

Skriðþungi varðveitist vegna þess að flöturinn er núningslaus. Við veljum hnitakerfið þannig að upphafshraðinn sé samsíða x-ásnum og varðveisla skriðþunga gildi eftir x- og y-ásunum.

Allt er þekkt í þessum jöfnum nema v′₂ og θ₂, sem við þurfum að finna. Við getum fundið tvær óþekktar stærðir vegna þess að við höfum tvær óháðar jöfnur, jöfnurnar sem lýsa varðveislu skriðþunga í x- og y-stefnu.

Umræða

Hvora jöfnuna sem er fyrir x- eða y-ásinn hefði mátt nota til að leysa fyrir v′₂, en jafnan fyrir y-ásinn er auðveldari því hún hefur færri liði.

Lausn

Lausn

Fyrst leysum við báðar jöfnurnar um varðveislu skriðþunga, m₁v₁ = m₁v′₁ cos θ₁ + m₂v′₂ cos θ₂ og 0 = m₁v′₁ sin θ₁ + m₂v′₂ sin θ₂, fyrir v′₂ sin θ₂.

Fyrir varðveislu skriðþunga eftir x-ásnum setjum við sin θ₂/tan θ₂ í stað cos θ₂ svo liðir geti styst út síðar. Þetta fæst með því að umrita hornafræðiregluna tan θ = sin θ/cos θ. Þá fæst

$$m_1{v}_1=m_{1}v1\mathrm{\prime }\cos {\theta }_1+m_{2}v2\mathrm{\prime }\frac{\sin {\theta }_2}{\tan {\theta }_2}$$

Ef leyst er fyrir v′₂ sin θ₂ fæst

$$v2\mathrm{\prime }\sin {\theta }_2=\frac{(m_1{v}_1-m_{1}v1\mathrm{\prime }\cos {\theta }_1)(\tan {\theta }_2)}{m_2}$$

Fyrir varðveislu skriðþunga eftir y-ásnum fæst, þegar leyst er fyrir v′₂ sin θ₂,

$$v2\mathrm{\prime }\sin {\theta }_2=-\frac{m_{1}v1\mathrm{\prime }\sin {\theta }_1}{m_2}$$

Þar sem báðar jöfnurnar eru jafnar v′₂ sin θ₂ getum við sett þær jafnar hvor annarri. Það gefur

$$\frac{(m_1{v}_1-m_{1}v1\mathrm{\prime }\cos {\theta }_1)(\tan {\theta }_2)}{m_2}=-\frac{m_{1}v1\mathrm{\prime }\sin {\theta }_1}{m_2}$$

Ef þessi jafna er leyst fyrir tan θ₂ fæst

$$\tan {\theta }_2=\frac{v1\mathrm{\prime }\sin {\theta }_1}{v1\mathrm{\prime }\cos {\theta }_1-v_1}$$

Ef þekkt gildi eru sett inn í fyrri jöfnuna fæst

$$\tan {\theta }_2=\frac{(\mathrm{1,50})(\mathrm{0,707})}{(\mathrm{1,50})(\mathrm{0,707})-\mathrm{2,00}}=-\mathrm{1,129}$$

Þess vegna fæst

$${\theta }_2={\tan }^{-1}(-\mathrm{1,129})={312}^{\circ }$$

Þar sem horn eru skilgreind jákvæð rangsælis hrekkur m₂ til hægri.

Við notum jöfnuna fyrir varðveislu skriðþunga eftir y-ásnum til að leysa fyrir v′₂.

$$v2\mathrm{\prime }=-\frac{m_1}{m_2}\frac{v1\mathrm{\prime }\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}$$

Ef þekkt gildi eru sett inn í þessa jöfnu fæst

$$v2\mathrm{\prime }=-\left(\frac{\mathrm{0,250}}{\mathrm{0,400}}\right)\left(\frac{\mathrm{1,50}\times \mathrm{0,7071}}{-\mathrm{0,7485}}\right)$$

Þess vegna fæst

$$v2\mathrm{\prime }=\mathrm{0,886}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$$

Æfingadæmi

10.

Í fjaðrandi árekstri rekst hlutur með skriðþungann 25 kg·m/s á annan hlut sem hreyfist til hægri og hefur skriðþungann 35 kg·m/s. Eftir áreksturinn hreyfast báðir hlutirnir enn til hægri, en skriðþungi fyrri hlutarins breytist í 10 kg·m/s. Hver er lokaskriðþungi seinni hlutarins?

1. 10 kg·m/s
2. 20 kg·m/s
3. 35 kg·m/s
4. 50 kg·m/s

11.

Í fjaðrandi árekstri rekst hlutur með skriðþungann 25 kg·m/s á annan hlut sem hefur skriðþungann 35 kg·m/s. Skriðþungi fyrri hlutarins breytist í 10 kg·m/s. Hver er lokaskriðþungi seinni hlutarins?

1. 10 kg·m/s
2. 20 kg·m/s
3. 35 kg·m/s
4. 50 kg·m/s

Athugaðu skilning þinn

12.

Hvað er fjaðrandi árekstur?

1. Fjaðrandi árekstur er árekstur þar sem hlutirnir aflagast varanlega eftir höggið.
2. Fjaðrandi árekstur er árekstur þar sem hlutirnir tapa einhverju af hreyfiorku sinni eftir höggið.
3. Fjaðrandi árekstur er árekstur þar sem hlutirnir tapa engri hreyfiorku eftir höggið.
4. Fjaðrandi árekstur er árekstur þar sem hlutirnir festast saman eftir höggið og hreyfast með sameiginlegum hraða.

13.

Eru fullkomlega fjaðrandi árekstrar mögulegir?

1. Fullkomlega fjaðrandi árekstrar eru ekki mögulegir.
2. Fullkomlega fjaðrandi árekstrar eru aðeins mögulegir milli öreinda.
3. Fullkomlega fjaðrandi árekstrar eru aðeins mögulegir þegar hlutirnir festast saman eftir höggið.
4. Fullkomlega fjaðrandi árekstrar eru mögulegir ef hlutirnir og fletirnir eru nær núningslausir.

14.

Hver er jafnan fyrir varðveislu skriðþunga tveggja hluta í einvíðum árekstri?

1. p⃗₁ + p⃗′₁ = p⃗₂ + p⃗′₂
2. p⃗₁ + p⃗₂ = p⃗′₁ + p⃗′₂
3. p⃗₁ − p⃗₂ = p⃗′₁ − p⃗′₂
4. p⃗₁ + p⃗₂ + p⃗′₁ + p⃗′₂ = 0

Stuðningur við kennara

Notaðu spurningarnar í „Athugaðu skilning þinn“ til að meta hvort nemendur nái tökum á hæfniviðmiðum þessa hluta. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið hjálpar matið til við að greina hvaða markmið veldur vandanum og beina nemendum að viðeigandi efni.