8.2 Varðveisla skriðþunga

Lykilhugtök kafla

Varðveisla skriðþunga

Mikilvægt er að átta sig á því að skriðþungi varðveitist í árekstrum, sprengingum og öðrum atburðum þar sem hlutir eru á hreyfingu. Að stærð varðveitist merkir að hún helst föst allan atburðinn. Þegar um varðveislu skriðþunga er að ræða er heildarskriðþungi kerfisins sá sami fyrir og eftir áreksturinn.

Þú hefur ef til vill tekið eftir því að skriðþungi virtist ekki varðveitast í sumum dæmum fyrr í þessum kafla, þar sem kraftar sem verkuðu á hlutina ollu miklum breytingum á skriðþunga. Af hverju gerðist það? Kerfin sem voru skoðuð í þessum dæmum náðu ekki yfir nógu marga hluti. Ef kerfin væru stækkuð þannig að fleiri hlutir væru teknir með, myndi skriðþungi í raun varðveitast í þessum dæmum. Alltaf er hægt að finna stærra kerfi þar sem skriðþungi varðveitist, jafnvel þótt skriðþungi einstakra hluta innan kerfisins breytist.

Til dæmis, ef ruðningsmaður rekst á markstöng á endasvæðinu, veldur kraftur því að hann kastast aftur á bak. Skriðþungi hans breytist greinilega mikið og ef aðeins leikmaðurinn er skoðaður virðist skriðþungi ekki varðveitast. Kerfið má hins vegar stækka þannig að öll jörðin sé tekin með. Það kemur kannski á óvart, en jörðin hrökkur líka örlítið til baka og skriðþungi varðveitist vegna kraftsins sem verkar á hana í gegnum markstöngina. Áhrifin á jörðina eru ekki merkjanleg, því hún er miklu massameiri en leikmaðurinn, en þau eru engu að síður raunveruleg.

Næst skulum við skoða hvað gerist þegar massar tveggja hluta sem rekast saman eru líkari hvor öðrum en massar ruðningsmanns og jarðarinnar, eins og í dæminu á mynd 8.4 þar sem einn bíll rekst á annan. Báðir bílarnir renna í sömu stefnu þegar fremri bíllinn, merktur m₂, verður fyrir aftari bílnum, merktum m₁. Eini ójafnvægti krafturinn á hvorn bíl er árekstrarkrafturinn, ef gert er ráð fyrir að áhrif núnings séu óveruleg. Bíll m₁ hægir á sér við áreksturinn og tapar skriðþunga, en bíll m₂ eykur hraðann og fær aukinn skriðþunga. Ef við veljum kerfið þannig að það innihaldi báða bílana og gerum ráð fyrir óverulegum núningi ætti skriðþungi tveggja bíla kerfisins að haldast fastur. Nú sýnum við að heildarskriðþungi tveggja bíla kerfisins helst í raun fastur og er því varðveittur.

Samkvæmt setningunni um atlag og skriðþunga fæst breytingin á skriðþunga bíls 1 sem

þar sem F⃗₁ er krafturinn sem verkar á bíl 1 frá bíl 2 og Δt er tíminn sem krafturinn verkar, það er tímalengd árekstursins.

Á sama hátt er breytingin á skriðþunga bíls 2 Δp⃗₂ = F⃗₂Δt, þar sem F⃗₂ er krafturinn sem verkar á bíl 2 frá bíl 1. Við gerum ráð fyrir að tímalengd árekstursins, Δt, sé sú sama fyrir báða bíla. Samkvæmt þriðja lögmáli Newtons er F⃗₂ = -F⃗₁ og því er Δp⃗₂ = -F⃗₁Δt = -Δp⃗₁.

Breytingarnar á skriðþunga eru því jafnstórar og gagnstæðar, þannig að Δp⃗₁ + Δp⃗₂ = 0.

Þar sem breytingarnar á skriðþunga leggjast saman í núll er heildarskriðþungi tveggja bíla kerfisins fasti. Því gildir

þar sem p⃗′₁ og p⃗′₂ tákna skriðþunga bíls 1 og bíls 2 eftir áreksturinn.

Niðurstaðan um að skriðþungi varðveitist gildir ekki aðeins fyrir þetta dæmi með bílana tvo, heldur fyrir hvert kerfi þar sem ytri heildarkraftur er núll. Slíkt kerfi kallast einangrað kerfi. Lögmálið um varðveislu skriðþunga segir að í einangruðu kerfi með hvaða fjölda hluta sem er varðveitist heildarskriðþunginn. Á jöfnuformi er lögmálið um varðveislu skriðþunga í einangruðu kerfi ritað sem

eða

þar sem p⃗_tot er heildarskriðþunginn, það er summa skriðþunga einstakra hluta í kerfinu á ákveðnum tíma, og p⃗′_tot er heildarskriðþunginn síðar.

Meginregluna um varðveislu skriðþunga má beita á mjög ólík kerfi, til dæmis halastjörnu sem rekst á jörðina eða gas sem inniheldur gríðarlegan fjölda atóma og sameinda. Varðveisla skriðþunga virðist aðeins brotin þegar ytri heildarkraftur er ekki núll. Þá má þó alltaf skoða stærra kerfi þar sem skriðþungi varðveitist, einfaldlega með því að taka uppsprettu ytri kraftsins með. Í árekstri bílanna tveggja hér að ofan varðveitir tveggja bíla kerfið skriðþunga, en hvort eins bíls kerfi gerir það ekki.

Gaman í eðlisfræði

Hverfiþungi í listhlaupi á skautum

Hingað til höfum við fjallað um skriðþunga, sem lýsir tregðu hluta sem hreyfast eftir beinni línu. En við vitum að margir hlutir í náttúrunni fylgja bognum eða hringlaga ferlum. Rétt eins og línuleg hreyfing hefur skriðþunga sem lýsir tilhneigingu hlutar til að halda áfram í sömu stefnu, hefur hringhreyfing samsvarandi stærð, hverfiþunga, sem lýsir því hvernig snúningshreyfing heldur áfram.

Þetta er svipað og þegar kraftvægi samsvarar krafti, hornhröðun samsvarar línulegri hröðun og mr² samsvarar massa eða tregðu. Þú manst kannski að stærðin mr² kallast snúningstregða eða tregðuvægi punktmassa m í fjarlægð r frá snúningsásnum.

Við þekkjum þegar jöfnuna fyrir skriðþunga, p⃗ = mv⃗. Þar sem hverfiþungi samsvarar skriðþunga, tregðuvægi (I) samsvarar massa og hornhraði (ω) samsvarar línulegum hraða, er eðlilegt að skilgreina hverfiþunga (L) sem

Hverfiþungi varðveitist þegar ytra heildarkraftvægið (τ) er núll, rétt eins og skriðþungi varðveitist þegar ytri heildarkraftur er núll.

Listhlauparar á skautum nýta sér varðveislu hverfiþunga, líklega án þess að gera sér alltaf grein fyrir því. Á mynd 8.5 framkvæmir skautakona snúning. Heildarkraftvægið á hana er mjög nærri núlli, því núningur milli skautanna og íssins er lítill og verkar mjög nálægt snúningsásnum. Bæði F og r eru lítil og því er τ hverfandi lítið.

Þess vegna getur hún snúist í talsverðan tíma. Hún getur líka gert annað: hún getur aukið snúningshraðann með því að draga handleggi og fætur að sér. Af hverju eykst snúningshraðinn við það? Svarið er að hverfiþungi hennar helst fastur, þannig að L = L′.

Ef þessi jafna er skrifuð með tregðuvægi fæst

þar sem strikuðu stærðirnar vísa til aðstæðna eftir að hún hefur dregið handleggina að sér og minnkað tregðuvægið. Þar sem I′ er minna verður hornhraðinn ω′ að aukast til að hverfiþunginn haldist fastur. Þannig getur hún snúist mun hraðar án þess að beita auknu kraftvægi.

Einnig er til myndband sem sýnir raunverulega skautakonu framkvæma snúning og fjallar um eðlisfræði snúnings í listhlaupi á skautum.