44 Gröf

4.7 Gröf línulegra ójafna

Námsmarkmið

Við lok þessa hluta eigið þið að geta:

Sannreynt lausnir ójöfnu með tveimur breytum
Greint tengslin milli lausna ójöfnu og grafs hennar
Teiknað gröf línulegra ójafna

Sannreynið lausnir ójöfnu með tveimur breytum

Við höfum lært að leysa ójöfnur með einni breytu. Nú skoðum við ójöfnur með tveimur breytum. Slíkar ójöfnur hafa margvíslega hagnýtingu. Ef þið rækjuð til dæmis fyrirtæki mynduð þið vilja að tekjurnar væru meiri en kostnaðurinn svo reksturinn skilaði hagnaði.

Munið þið að ójafna með einni breytu getur haft margar lausnir? Lausn ójöfnunnar $x > 3$ er sérhver tala sem er stærri en 3. Við sýndum þetta á talnalínunni með því að skyggja hana hægra megin við 3 og setja opið hringsvigi við 3. Sjá mynd 4.30.

Á sama hátt hafa ójöfnur með tveimur breytum margar lausnir. Sérhver röðuð tvennd $(x, y)$ sem gerir ójöfnuna sanna þegar gildin eru sett inn er lausn ójöfnunnar.

Dæmi 4.69

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ :

ⓐ $(0, 0)$ ⓑ $(1, 6)$ ⓒ $(2, 6)$ ⓓ $(−5, −15)$ ⓔ $(−8, 12)$

Lausn

ⓐ

$(0, 0)$

Einfaldið. Því
er $(0, 0)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .
ⓑ

$(1, 6)$

Einfaldið. Því
er $(1, 6)$ lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .
ⓒ

$(2, 6)$

Einfaldið. Því
er $(2, 6)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .
ⓓ

$(−5, −15)$

Einfaldið. Því
er $(−5, −15)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .
ⓔ

$(−8, 12)$

Einfaldið. Því
er $(−8, 12)$ lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .

Greinið tengslin milli lausna ójöfnu og grafs hennar

Nú skoðum við hvernig lausnir ójöfnu tengjast grafi hennar.

Skoðum aftur talnalínuna á mynd 4.30. Punkturinn $x = 3$ skipti talnalínunni í tvo hluta. Öðrum megin við 3 eru allar tölur minni en 3. Hinum megin við 3 eru allar tölur stærri en 3. Sjá mynd 4.31.

Myndin sýnir talnalínu sem nær frá −5 til 5. Hringsvigi er við jákvæðu töluna 3 og ör liggur frá jákvæðu tölunni 3 til plús óendanlegs. Ör fyrir ofan talnalínuna liggur frá 3 til vinstri og er merkt „tölur minni en 3“. Önnur ör liggur frá 3 til hægri og er merkt „tölur stærri en 3“.

Lausnamengi ójöfnunnar $x > 3$ er skyggði hluti talnalínunnar hægra megin við $x = 3$ .

Á sama hátt skiptir línan $y = x + 4$ xy-hnitaplaninu í tvö svæði. Öðrum megin við línuna eru punktar þar sem $y < x + 4$ . Hinum megin eru punktar þar sem $y > x + 4$ . Við köllum línuna $y = x + 4$ markalínu.

Fyrir ójöfnu með einni breytu er endapunkturinn sýndur með sviga eða hornklofa eftir því hvort $a$ tilheyrir lausninni:

Á sama hátt er markalínan fyrir ójöfnu með tveimur breytum ýmist heil eða slitin eftir því hvort línan sjálf tilheyrir lausninni. Þetta er tekið saman í töflu 4.48.

$A x + B y C$	$A x + B y \leq C$
$A x + B y > C$	$A x + B y \geq C$
Markalínan tilheyrir ekki lausninni.	Markalínan tilheyrir lausninni.
Markalínan er slitin.	Markalínan er heil.

Skoðum nú niðurstöðurnar úr dæmi 4.69. Við byrjum á að teikna línuna $y = x + 4$ og merkjum síðan punktana fimm sem við prófuðum. Sjá mynd 4.32.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt x plús 4 er teiknuð sem ör frá neðra vinstra horni að efra hægra horni. Eftirfarandi punktar eru merktir: (−8, 12), (1, 6), (2, 6), (0, 0) og (−5, −15).

Í dæmi 4.69 kom í ljós að sumir punktanna voru lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ en aðrir ekki.

Hverjir punktanna sem við merktum inn eru lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ ? Punktarnir $(1, 6)$ og $(−8, 12)$ eru lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ . Takið eftir að þeir eru báðir sömu megin við markalínuna $y = x + 4$ .

Punktarnir tveir $(0, 0)$ og $(−5, −15)$ eru hinum megin við markalínuna $y = x + 4$ og eru ekki lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ . Fyrir þessa tvo punkta gildir $y < x + 4$ .

Hvað með punktinn $(2, 6)$ ? Þar sem $6 = 2 + 4$ er punkturinn lausn ójöfnunnar $y = x + 4$ . Punkturinn $(2, 6)$ liggur því á markalínunni.

Veljum annan punkt vinstra megin við markalínuna og könnum hvort hann sé lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ . Punkturinn $(0, 10)$ virðist greinilega vera vinstra megin við markalínuna, ekki satt? Er hann lausn ójöfnunnar?

\begin{matrix} y > x + 4 \\ 10 \overset{?}{>} 0 + 4 \\ 10 > 4 & Því, (0, 10) er lausn ójöfnunnar y > x + 4 . \end{matrix}

Sérhver punktur sem þið veljið vinstra megin við markalínuna er lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ . Allir punktar vinstra megin eru lausnir.

Á sama hátt eru allir punktar hægra megin við markalínuna, þar sem $(0, 0)$ og $(−5, −15)$ liggja, ekki lausnir á $y > x + 4$ . Sjá mynd 4.33.

Graf ójöfnunnar $y > x + 4$ er sýnt á mynd 4.34 hér fyrir neðan. Línan $y = x + 4$ skiptir xy-hnitaplaninu í tvö svæði. Skyggða svæðið sýnir lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ .

Punktarnir á markalínunni, þar sem $y = x + 4$ , eru ekki lausnir ójöfnunnar $y > x + 4$ , og línan sjálf tilheyrir því ekki lausninni. Við sýnum þetta með því að hafa línuna slitna en ekki heila.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt x plús 4 er teiknuð sem slitin ör frá neðra vinstra horni að efra hægra horni. Svæðið efra vinstra megin við línuna er skyggt. — **Mynd 4.34.** Graf ójöfnunnar $y > x + 4$ .

Dæmi 4.70

Markalínan sem sýnd er hefur jöfnuna $y = 2 x - 1$ . Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt 2x mínus 1 er teiknuð sem heil ör frá neðra vinstra horni að efra hægra horni. Hnitaflöturinn vinstra megin við línuna er skyggður.

Lausn

Línan $y = 2 x - 1$ er markalínan. Öðrum megin við hana eru punktarnir þar sem $y > 2 x - 1$ og hinum megin punktarnir þar sem $y < 2 x - 1$ .

Prófum punktinn $(0, 0)$ og könnum hvor ójafnan lýsir þeirri hlið markalínunnar sem hann liggur á.

Við $(0, 0)$ , hvor ójafnan er sönn:

\begin{matrix} y > 2 x - 1 & eða & y < 2 x - 1 ? \\ y > 2 x - 1 & y < 2 x - 1 \\ 0 \overset{?}{>} 2 \cdot 0 - 1 & 0 \overset{?}{<} 2 \cdot 0 - 1 \\ 0 > −1 Satt & 0 < −1 Ósatt \end{matrix}

Þar sem $y > 2 x - 1$ er sönn er hlið línunnar þar sem $(0, 0)$ lausnarsvæðið. Skyggða svæðið sýnir lausn ójöfnunnar $y > 2 x - 1$ .

Þar sem markalínan er teiknuð heil inniheldur ójafnan jafnaðarmerki.

Grafið sýnir ójöfnuna $y \geq 2 x - 1$ .

Við gætum notað hvaða prófunarpunkt sem er, svo framarlega sem hann liggur ekki á línunni. Hvers vegna völdum við $(0, 0)$ ? Vegna þess að auðveldast er að reikna þar. Gott getur verið að velja punkt hinum megin við markalínuna og athuga að $y < 2 x - 1$ .

Dæmi 4.71

Markalínan sem sýnd er hefur jöfnuna $2 x + 3 y = 6$ . Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 2x plús 3y jafnt 6 er teiknuð sem slitin ör frá efra vinstra horni að neðra hægra horni. Hnitaflöturinn neðan við línuna er skyggður.

Lausn

Línan $2 x + 3 y = 6$ er markalínan. Öðrum megin við hana eru punktarnir þar sem $2 x + 3 y > 6$ og hinum megin punktarnir þar sem $2 x + 3 y < 6$ .

Prófum punktinn $(0, 0)$ og könnum hvor ójafnan lýsir þeirri hlið markalínunnar sem hann liggur á.

Við $(0, 0)$ , hvor ójafnan er sönn:

\begin{matrix} 2 x + 3 y & > & 6 & eða & 2 x + 3 y & < & 6 ? \\ 2 x + 3 y & > & 6 & 2 x + 3 y & < & 6 \\ 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{>} & 6 & 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{<} & 6 \\ 0 & > & 6 Ósatt & 0 & < & 6 Satt \end{matrix}

Hliðin þar sem $(0, 0)$ liggur er því hliðin þar sem $2 x + 3 y < 6$ .

(Gott getur verið að velja punkt hinum megin við markalínuna og athuga að $2 x + 3 y > 6$ .)

Þar sem markalínan er teiknuð slitin inniheldur ójafnan ekki jafnaðarmerki.

Grafið sýnir lausn ójöfnunnar $2 x + 3 y < 6$ .

Teiknið gröf línulegra ójafna

Nú getum við tengt þetta allt saman og teiknað gröf línulegra ójafna.

Dæmi 4.72

Hvernig teikna á gröf línulegra ójafna

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \geq \frac{3}{4} x - 2$ .

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og þremur röðum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja stærðfræðileg tákn og jöfnur. Í efstu röð stendur í reitnum vinstra megin: „Skref 1. Finnið markalínuna og teiknið hana. Ef ójafnan er minni en eða jöfn eða stærri en eða jöfn er markalínan heil. Ef ójafnan er minni en eða stærri en er markalínan slitin.“ Í öðrum reitnum stendur: „Setjið jafnaðarmerki í stað ójöfnumerkisins til að finna markalínuna. Teiknið markalínuna y jafnt þremur fjórðu hlutum af x mínus 2. Ójöfnumerkið er stærra en eða jafnt og því teiknum við heila línu.“ Í þriðja reitnum er graf línunnar þrír fjórðu hlutar af x mínus 2 í hnitakerfi.

Í þriðju röð töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Skyggið aðra hlið markalínunnar. Ef prófunarpunkturinn er lausn skuluð þið skyggja hliðina sem inniheldur punktinn. Ef hann er ekki lausn skuluð þið skyggja hina hliðina.“ Í öðrum reitnum stendur: „Prófunarpunkturinn (0, 0) er lausn ójöfnunnar y stærra en eða jafnt og þremur fjórðu hlutum af x mínus 2. Við skyggjum því þá hlið.“ Í þriðja reitnum er graf línunnar y jafnt þremur fjórðu hlutum af x mínus 2 í hnitakerfi og svæðið ofan við línuna skyggt.

Skrefin við að teikna graf línulegrar ójöfnu eru tekin saman hér.

Dæmi 4.73

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x - 2 y < 5$ .

Lausn

Fyrst teiknum við markalínuna $x - 2 y = 5$ . Ójafnan er $<$ og því teiknum við slitna línu.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan x mínus 2y jafnt 5 er teiknuð sem slitin ör frá neðra vinstra horni að efra hægra horni.

Síðan prófum við punkt. Við notum aftur $(0, 0)$ vegna þess að auðvelt er að reikna gildið þar og punkturinn liggur ekki á markalínunni.

Er $(0, 0)$ lausn ójöfnunnar $x - 2 y < 5$ ?

Myndin sýnir ójöfnuna 0 mínus 2 sinnum 0 í sviga minna en 5, með spurningarmerki yfir ójöfnumerkinu. Næsta lína sýnir 0 mínus 0 minna en 5, með spurningarmerki yfir ójöfnumerkinu. Þriðja línan sýnir 0 minna en 5.

Punkturinn $(0, 0)$ er lausn ójöfnunnar $x - 2 y < 5$ og því skyggjum við þá hlið markalínunnar.

Hvað ef markalínan liggur um upphafspunktinn? Þá getum við ekki notað $(0, 0)$ sem prófunarpunkt. Það skiptir ekki máli; við veljum einfaldlega annan punkt sem liggur ekki á markalínunni.

Dæmi 4.74

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \leq −4 x$ .

Lausn

Fyrst teiknum við markalínuna $y = −4 x$ . Hún er á hallatöluformi með $m = −4 og b = 0$ . Ójafnan er $\leq$ og því teiknum við heila línu.

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt −4x er teiknuð sem heil ör frá efra vinstra horni að neðra hægra horni.

Nú þurfum við prófunarpunkt. Við sjáum að punkturinn $(1, 0)$ liggur ekki á markalínunni.

Er $(1, 0)$ lausn ójöfnunnar $y \leq −4 x$ ?

Myndin sýnir 0 minna en eða jafnt og −4 sinnum 1 í sviga, með spurningarmerki yfir ójöfnumerkinu. Næsta lína sýnir að 0 er ekki minna en eða jafnt og −4.

Punkturinn $(1, 0)$ er ekki lausn ójöfnunnar $y \leq −4 x$ og því skyggjum við hina hlið markalínunnar. Sjá mynd 4.35.

Sumar línulegar ójöfnur hafa aðeins eina breytu. Þær geta haft x en ekkert y, eða y en ekkert x. Í slíkum tilvikum er markalínan annaðhvort lóðrétt eða lárétt. Munið þið þetta?

\begin{matrix} x = a & lóðrétt lína \\ y = b & lárétt lína \end{matrix}

Dæmi 4.75

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y > 3$ .

Lausn

Fyrst teiknum við markalínuna $y = 3$ . Hún er lárétt. Ójafnan er > og því teiknum við slitna línu.

Við prófum punktinn $(0, 0)$ .

\begin{matrix} y > 3 \\ 0 > 3 \end{matrix}

$(0, 0)$ er ekki lausn ójöfnunnar $y > 3$ .

Við skyggjum því hliðina sem inniheldur ekki (0, 0).

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt 3 er teiknuð sem lárétt slitin ör yfir xy-hnitaplanið. Svæðið ofan við línuna er skyggt.

Verkefni úr hluta 4.7

Æfingin skapar meistarann

Sannreynið lausnir ójöfnu með tveimur breytum

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn gefnu ójöfnunnar.

504.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $y > x - 1$ :

ⓐ $(0, 1)$
ⓑ $(−4, −1)$
ⓒ $(4, 2)$
ⓓ $(3, 0)$
ⓔ $(−2, −3)$

505.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $y > x - 3$ :

ⓐ $(0, 0)$
ⓑ $(2, 1)$
ⓒ $(−1, −5)$
ⓓ $(−6, −3)$
ⓔ $(1, 0)$

506.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $y < x + 2$ :

ⓐ $(0, 3)$
ⓑ $(−3, −2)$
ⓒ $(−2, 0)$
ⓓ $(0, 0)$
ⓔ $(−1, 4)$

507.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $y < x + 5$ :

ⓐ $(−3, 0)$
ⓑ $(1, 6)$
ⓒ $(−6, −2)$
ⓓ $(0, 1)$
ⓔ $(5, −4)$

508.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $x + y > 4$ :

ⓐ $(5, 1)$
ⓑ $(−2, 6)$
ⓒ $(3, 2)$
ⓓ $(10, −5)$
ⓔ $(0, 0)$

509.

Ákvarðið hvort hver og ein röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar $x + y > 2$ :

ⓐ $(1, 1)$
ⓑ $(4, −3)$
ⓒ $(0, 0)$
ⓓ $(−8, 12)$
ⓔ $(3, 0)$

Greinið tengslin milli lausna ójöfnu og grafs hennar

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið skrifa ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir.

510.

Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir þegar markalínan er y = 3 x − 4 .. $y = 3 x - 4 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt 3x mínus 4 er teiknuð sem slitin lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið hægra megin við línuna er skyggt.

511.

Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir þegar markalínan er y = 2 x − 4 .. $y = 2 x - 4 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt 2x mínus 4 er teiknuð sem heil lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

512.

Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir þegar markalínan er y = 1/2 x + 1 .. $y = \frac{1}{2} x + 1 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt mínus einum helmingi x plús 1 er teiknuð sem heil lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

513.

Skrifið ójöfnuna sem grafið sýnir þegar markalínan er y = − 1/3 x − 2 .. $y = - \frac{1}{3} x - 2 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan y jafnt mínus einum þriðja x mínus 2 er teiknuð sem heil lína frá efri vinstri hluta grafsins í átt að neðri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

514.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er x + y = 5 .. $x + y = 5 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan x plús y jafnt 5 er teiknuð sem heil lína frá efri vinstri hluta grafsins í átt að neðri hægri hluta þess. Svæðið ofan við línuna er skyggt.

515.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er x + y = 3 .. $x + y = 3 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan x plús y jafnt 3 er teiknuð sem heil lína frá efri vinstri hluta grafsins í átt að neðri hægri hluta þess. Svæðið ofan við línuna er skyggt.

516.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er 2 x + y = −4 .. $2 x + y = −4 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 2x plús y jafnt −4 er teiknuð sem heil lína frá efri vinstri hluta grafsins í átt að neðri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

517.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er x + 2 y = −2 .. $x + 2 y = −2 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan x plús 2y jafnt −2 er teiknuð sem heil lína frá efri vinstri hluta grafsins í átt að neðri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

518.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er 3 x − y = 6 .. $3 x - y = 6 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 3x mínus y jafnt 6 er teiknuð sem slitin lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið vinstra megin við línuna er skyggt.

519.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er 2 x − y = 4 .. $2 x - y = 4 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 2x mínus y jafnt 4 er teiknuð sem slitin lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið vinstra megin við línuna er skyggt.

520.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er 2 x − 5 y = 10 .. $2 x - 5 y = 10 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 2x mínus 5y jafnt 10 er teiknuð sem slitin lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

521.

Skrifið ójöfnuna sem skyggða svæðið sýnir þegar markalínan er 4 x − 3 y = 12 .. $4 x - 3 y = 12 .$

Grafið sýnir xy-hnitakerfi. x- og y-ásarnir ná hvor um sig frá −10 til 10. Línan 4x mínus 3y jafnt 12 er teiknuð sem slitin lína frá neðri vinstri hluta grafsins í átt að efri hægri hluta þess. Svæðið neðan við línuna er skyggt.

Teiknið gröf línulegra ójafna

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið teikna graf hverrar línulegrar ójöfnu.

522.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y > \frac{2}{3} x - 1$ .

523.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y < \frac{3}{5} x + 2$ .

524.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \leq - \frac{1}{2} x + 4$ .

525.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \geq - \frac{1}{3} x - 2$ .

526.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x - y \leq 3$ .

527.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x - y \geq −2$ .

528.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $4 x + y > −4$ .

529.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x + 5 y < −5$ .

530.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $3 x + 2 y \geq −6$ .

531.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $4 x + 2 y \geq −8$ .

532.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y > 4 x$ .

533.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y > x$ .

534.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \leq − x$ .

535.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \leq −3 x$ .

536.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \geq −2$ .

537.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y < −1$ .

538.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y < 4$ .

539.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \geq 2$ .

540.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x \leq 5$ .

541.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x > −2$ .

542.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x > −3$ .

543.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x \leq 4$ .

544.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x - y < 4$ .

545.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x - y < −3$ .

546.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \geq \frac{3}{2} x$ .

547.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y \leq \frac{5}{4} x$ .

548.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y > −2 x + 1$ .

549.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $y < −3 x - 4$ .

550.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x \leq −1$ .

551.

Teiknið graf línulegu ójöfnunnar $x \geq 0$ .

Stærðfræði daglegs lífs

552.

Peningar. Gerry vill hafa í mesta lagi 100 dollara í reiðufé við miðasölubásinn þegar hátíð kirkjunnar hans hefst. Hann verður með seðla að verðgildi 1 dollara og 5 dollara. Ef x er fjöldi 1 dollara seðla og y er fjöldi 5 dollara seðla lýsir ójafnan $x + 5 y \leq 100$ aðstæðunum.

ⓐ Teiknið graf ójöfnunnar.
ⓑ Skráið þrjár lausnir ójöfnunnar $x + 5 y \leq 100$ þar sem bæði x og y eru heiltölur.

553.

Innkaup. Tula hefur 20 dollara til ráðstöfunar á markaði með notaðar bækur. Innbundnar bækur kosta 2 dollara hver og kiljur 0.50 dollara hver. Ef x er fjöldi innbundinna bóka sem Tula getur keypt og y er fjöldi kilja sem hún getur keypt lýsir ójafnan $2 x + \frac{1}{2} y \leq 20$ aðstæðunum.

ⓐ Teiknið graf ójöfnunnar.
ⓑ Skráið þrjár lausnir ójöfnunnar $2 x + \frac{1}{2} y \leq 20$ þar sem bæði x og y eru núll eða jákvæðar heiltölur.

Ritunarverkefni

554.

Lester telur að lausn sérhverrar ójöfnu með >-merki sé svæðið ofan við línuna og lausn sérhverrar ójöfnu með <-merki sé svæðið neðan við hana. Hefur Lester rétt fyrir sér? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.

555.

Útskýrið hvers vegna markalínan er heil á sumum gröfum línulegra ójafna en slitin á öðrum.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Tafla með fjórum röðum og fjórum dálkum. Í fyrirsagnarröðinni standa frá vinstri: „Ég get …“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki“. Í fyrsta dálkinum fyrir neðan „Ég get …“ stendur „sannreynt lausnir ójöfnu með tveimur breytum“, „greint tengslin milli lausna ójöfnu og grafs hennar“ og „teiknað gröf línulegra ójafna“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um það hversu vel þið hafið náð tökum á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?

$(0, 0)$

Einfaldið. Því		er $(0, 0)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .

$(1, 6)$

Einfaldið. Því		er $(1, 6)$ lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .

$(2, 6)$

Einfaldið. Því		er $(2, 6)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .

$(−5, −15)$

Einfaldið. Því		er $(−5, −15)$ ekki lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .

$(−8, 12)$

Einfaldið. Því		er $(−8, 12)$ lausn ójöfnunnar $y > x + 4$ .