4.2 Teiknið gröf línulegra jafna með tveimur breytum

Í hlutanum á undan fundum við nokkrar lausnir jöfnunnar $3x+2y=6$. Þær eru skráðar í töflu 4.10. Röðuðu tvenndirnar $\left(0,3\right)$, $\left(2,0\right)$, og $\left(1,\frac{3}{2}\right)$ eru því nokkrar af lausnum jöfnunnar $3x+2y=6$. Við getum merkt lausnirnar í rétthyrnda hnitakerfið eins og sýnt er á mynd 4.5.

Takið eftir að punktarnir raðast nákvæmlega á línu. Við tengjum þá með línu og fáum graf jöfnunnar $3x+2y=6$. Sjá mynd 4.6. Takið eftir örvunum á báðum endum línunnar. Þær sýna að línan heldur áfram.

Sérhver punktur á línunni er lausn jöfnunnar. Að sama skapi er sérhver lausn jöfnunnar punktur á línunni. Punktar sem liggja ekki á línunni eru ekki lausnir.

Takið eftir að punkturinn með hnitin $\left(\mathrm{-2},6\right)$ liggur á línunni á mynd 4.7. Ef $x=\mathrm{-2}$ og $y=6$ eru sett inn í jöfnuna sést að tvenndin er lausn hennar.

Punkturinn $\left(\mathrm{-2},6\right)$ er því lausn jöfnunnar $3x+2y=6$. (Orðalagið „punkturinn með hnitin $\left(\mathrm{-2},6\right)$“ er oft stytt í „punkturinn $\left(\mathrm{-2},6\right)$“.)

Því er $\left(4,1\right)$ ekki lausn jöfnunnar $3x+2y=6$. Punkturinn $\left(4,1\right)$ liggur því ekki á línunni. Sjá mynd 4.6. Hér á vel við orðtakið „Mynd segir meira en þúsund orð.“ Línan sýnir allar lausnir jöfnunnar. Sérhver punktur á línunni er lausn jöfnunnar og sérhver lausn jöfnunnar liggur á línunni. Línan kallast graf jöfnunnar $3x+2y=6$.

Nokkrar aðferðir má nota til að teikna graf línulegrar jöfnu. Aðferðin sem við notuðum til að teikna graf $3x+2y=6$ kallast að merkja punkta eða punktaaðferðin.

Ef þið notið þrjá punkta og einn er rangur liggja þeir ekki á sömu línu. Það sýnir að eitthvað er rangt og fara þarf yfir vinnuna. Skoðið muninn á a-lið og b-lið á mynd 4.8.

Þegar stuðull $x$í jöfnu er brot getum við eftir sem áður sett hvaða tölur sem er inn fyrir $x$. Reikningarnir verða þó auðveldari ef við veljum hentug gildi fyrir $x$. Þá forðumst við brot í svörunum, sem erfitt er að merkja nákvæmlega á graf.

Hingað til hefur $y$ verið einangrað öðrum megin í öllum jöfnunum sem við höfum teiknað gröf fyrir og ritað sem stæða í $x$. Nú teiknum við graf jöfnu þar sem $x$ og $y$ eru sömu megin. Skoðum jöfnuna $2x+y=3$. Ef $y=0$, hvert er þá gildi $x$?

x-hnit þessa punkts er brot. Þótt hægt sé að merkja hann er erfitt að merkja brot nákvæmlega á graf. Munið að í dæmi $y=\frac{1}{2}x+3$, völdum við gildi fyrir $x$ af kostgæfni til að komast hjá því að merkja brot. Ef við leysum jöfnuna $2x+y=3$ með tilliti til $y$, verður auðveldara að finna þrjár lausnir hennar.

Lausnirnar fyrir $x=0$, $x=1$, og $x=\mathrm{-1}$ eru sýndar í töflu 4.13. Grafið er sýnt á mynd 4.9.

Getið þið fundið punktinn $\left(\frac{3}{2},0\right)$, sem við fengum með því að láta $y=0$, á línunni?

Ef velja má hvaða þrjá punkta sem er til að teikna graf línu, hvernig vitið þið þá hvort grafið ykkar samsvarar svarinu í bókinni? Gröfin samsvara hvort öðru ef skurðpunktar þeirra við x- og y-ásana eru þeir sömu.

Jafnan í dæmi 4.14 var rituð á staðalformi með bæði $x$ og $y$ sömu megin. Við leystum hana með tilliti til $y$ í einu skrefi. Aðrar jöfnur á staðalformi er ekki jafnauðvelt að leysa með tilliti til $y$, og því látum við þær halda staðalforminu. Við finnum samt fyrsta punktinn með því að láta $x=0$ og leysa með tilliti til $y$. Við finnum annan punkt með því að láta $y=0$ og leysa með tilliti til $x$. Loks finnum við þriðja punktinn með öðru gildi fyrir $x$ eða $y$.

Getum við teiknað graf jöfnu með aðeins einni breytu? Aðeins $x$ og ekkert $y$, eða aðeins $y$ án $x$? Hvernig búum við til gildatöflu til að fá punkta sem hægt er að merkja?

Skoðum jöfnuna $x=\mathrm{-3}$. Hún hefur aðeins eina breytu $x$. Jafnan segir að $x$ sé alltaf jafnt $\mathrm{-3}$, og gildi þess er því óháð $y$. Sama hvert gildi $y$ er, er gildi $x$ alltaf $\mathrm{-3}$.

Til að búa til gildatöflu skráum við því $\mathrm{-3}$ fyrir öll gildi $x$ og veljum síðan hvaða gildi sem er fyrir $y$. Þar sem $x$ er óháð $y$, má velja hvaða tölur sem er. Til að punktarnir rúmist í hnitakerfinu notum við þó 1, 2 og 3 sem y-hnit. Sjá töflu 4.18.

Merkið punktana úr töflu 4.18 og tengið þá með beinni línu. Takið eftir á mynd 4.12 að grafið er lóðrétt lína.

Hvað ef jafnan hefur $y$ en ekkert $x$? Teiknum graf jöfnunnar $y=4$. Nú er y-gildið fast og því er $y$ óháð $x$. Skráið 4 fyrir öll $y$-gildin í töflu 4.20 og veljið síðan hvaða gildi sem er fyrir $x$. Við notum 0, 2 og 4 sem x-hnit.

Grafið er lárétt lína sem sker y-ásinn í 4. Sjá mynd 4.14.

Jöfnur lóðréttra og láréttra lína líkjast mjög jöfnum á borð við $y=4x.$. Hver er munurinn á jöfnunum $y=4x$ og $y=4$?

Jafnan $y=4x$ hefur bæði $x$ og $y$. Gildi $y$ er háð gildi $x$og y-hnitið breytist með gildi $x$. Jafnan $y=4$ hefur aðeins eina breytu. Gildi $y$ er fast og y-hnitið er alltaf 4. Það er óháð gildi $x$. Sjá töflu 4.22.

Takið eftir á mynd 4.16að jafnan $y=4x$ gefur skálínu en $y=4$ gefur lárétta línu.

Greinið sambandið milli lausna jöfnu og grafs hennar