4.1 Notið rétthyrnt hnitakerfi

Rétt eins og kort nota reitakerfi til að tilgreina staðsetningar er reitakerfi notað í algebru til að sýna samband tveggja breyta í rétthyrndu hnitakerfi. Rétthyrnda hnitakerfið er einnig kallað xy-slétta eða hnitaplan.

Lárétta talnalínan kallast x-ás. Lóðrétta talnalínan kallast y-ás. Saman mynda x-ásinn og y-ásinn rétthyrnda hnitakerfið. Ásarnir skipta sléttunni í fjögur svæði sem kallast fjórðungar. Fjórðungarnir eru merktir með rómverskum tölum, byrjað efst til hægri og haldið áfram rangsælis. Sjá mynd 4.2.

Í rétthyrnda hnitakerfinuer hver punktur táknaður með raðaðri tvennd. Fyrri talan í tvenndinni er x-hnit punktsins og seinni talan y-hnit hans.

Heitið „röðuð tvennd“ merkir að röðin skiptir máli. Hver er raðaða tvenndin fyrir punktinn þar sem ásarnir skerast? Þar eru bæði hnitin núll og tvenndin því $(0,0)$. Punkturinn $(0,0)$ hefur sérstakt heiti. Hann kallast upphafspunktur.

Við notum hnit til að staðsetja punkt á xy-sléttunni. Merkjum punktinn $(1,3)$ sem dæmi. Finnið fyrst 1 á x-ásnum og dragið daufa lóðrétta línu í gegnum $x=1$. Finnið síðan 3 á y-ásnum og dragið lárétta línu í gegnum $y=3$. Finnið loks punktinn þar sem línurnar mætast. Það er punkturinn með hnitin $(1,3)$.

Takið eftir að lóðrétti línubúturinn í gegnum $x=1$ og lárétti línubúturinn í gegnum $y=3$ eru ekki hluti af grafinu. Við notuðum þá aðeins til að hjálpa okkur að staðsetja punktinn $(1,3)$.

Skoðið punktinn á mynd 4.3 í fjórðungi IV. Hvað takið þið eftir varðandi formerki hnitanna? Hvað um formerki hnita punkta í þriðja fjórðungi? Öðrum fjórðungi? Fyrsta fjórðungi?

Getið þið séð á hnitunum einum í hvaða fjórðungi punkturinn $(\mathrm{-2},5)$ liggur? Í hvaða fjórðungi liggur $(2,\mathrm{-5})$?

Hvað gerist ef annað hnitið er núll eins og sýnt er á mynd 4.4? Hvar liggur punkturinn $(0,4)$? Hvar liggur punkturinn $(\mathrm{-2},0)$?

Punkturinn $(0,4)$ liggur á y-ásnum og punkturinn $(\mathrm{-2},0)$ á x-ásnum.

Í algebru er jafn mikilvægt að geta fundið hnit punkts á grafi og að geta merkt punkt. Til að finna x-hnit punkts á grafi skuluð þið lesa töluna á x-ásnum beint fyrir ofan eða neðan punktinn. Til að finna y-hnit punkts skuluð þið lesa töluna á y-ásnum beint til vinstri eða hægri við punktinn. Munið að rita röðuðu tvenndina í réttri röð, $(x,y)$.

Hingað til hafa allar jöfnurnar sem þið hafið leyst aðeins haft eina breytu. Í nær öllum tilvikum fenguð þið nákvæmlega eina lausn. Lausn jöfnunnar endaði á fullyrðingu á borð við $x=4$. (Síðan sannreynduð þið lausnina með því að setja hana aftur inn í jöfnuna.)

Jöfnur geta þó haft fleiri en eina breytu. Jöfnur með tveimur breytum geta verið á forminu $Ax+By=C$. Jöfnur af þessu tagi kallast línulegar jöfnur með tveimur breytum.

Takið eftir orðinu lína í orðinu línuleg. Hér er dæmi um línulega jöfnu með tveimur breytum, $x$ og $y$.

Jafnan $y=\mathrm{-3}x+5$ er einnig línuleg jafna. Hún virðist þó ekki vera á forminu $Ax+By=C$. Við getum notað samlagningarreglu jafnaðar til að umrita hana á formið $Ax+By=C$.

Með því að umrita $y=\mathrm{-3}x+5$ sem $3x+y=5$, sjáum við auðveldlega að þetta er línuleg jafna með tveimur breytum því hún er á forminu $Ax+By=C$. Þegar jafna er á forminu $Ax+By=C$, segjum við að hún sé á staðalformi.

Þótt það sé ekki nauðsynlegt kjósa flestir að $A$, $B$, og $C$ séu heiltölur og að $A\ge 0$ þegar línuleg jafna er rituð á staðalformi.

Línulegar jöfnur hafa óendanlega margar lausnir. Fyrir hverja tölu sem sett er inn fyrir $x$ er samsvarandi gildi fyrir $y$. Þetta gildapar er lausn línulegu jöfnunnar og er táknað með röðuðu tvenndinni $(x,y)$. Þegar við setjum þessi gildi $x$ og $y$ inn í jöfnuna fæst sönn fullyrðing því gildið vinstra megin er jafnt gildinu hægra megin.

Í dæmunum hér á undan settum við x- og y-gildi gefinnar raðaðrar tvenndar inn í línulega jöfnu til að kanna hvort hún væri lausn. En hvernig finnið þið raðaðar tvenndir þegar þær eru ekki gefnar? Það er einfaldara en ætla mætti: Veljið gildi fyrir $x$ og leysið síðan jöfnuna með tilliti til $y$. Eða veljið gildi fyrir $y$ og leysið með tilliti til $x$.

Byrjum á að skoða lausnir jöfnunnar $y=5x-1$ sem við fundum í dæmi 4.5. Við getum dregið upplýsingarnar saman í lausnatöflu eins og sýnt er í töflu 4.2.

Til að finna þriðju lausnina látum við $x=2$ og leysum með tilliti til $y$.

Raðaða tvenndin $\left(2,9\right)$ er lausn á $y=5x-1$. Við bætum henni við töflu 4.3.

Við getum fundið fleiri lausnir jöfnunnar með því að setja inn hvaða gildi sem er fyrir $x$ eða $y$ og leysa jöfnuna sem fæst. Þannig fáum við aðra raðaða tvennd sem er lausn. Jafnan hefur óendanlega margar lausnir.

Til að finna lausn línulegrar jöfnu getið þið valið hvaða tölu sem er og sett hana inn í jöfnuna fyrir $x$ eða $y.$. Þar sem nota þarf töluna til að leysa með tilliti til hinnar breytunnar er skynsamlegt að velja tölu sem auðvelt er að vinna með.

Þegar jafnan er leyst með tilliti til y, með y einangrað öðrum megin í jöfnunni, er yfirleitt auðveldara að velja gildi fyrir $x$ og leysa síðan með tilliti til $y$.

Við höfum séð að ef núll er notað sem gildi $x$ verður auðvelt að finna gildi $y$. Þegar jafna er á staðalformi, með bæði $x$ og $y$ sömu megin, er yfirleitt auðveldast að finna fyrst lausn þegar $x=0$, aðra lausn þegar $y=0$og loks þriðju lausnina.

Merkið punkta í rétthyrnt hnitakerfi

… örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.

… með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því óleyst viðfangsefni geta orðið hindranir á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennarinn eru góðir aðilar til að leita til. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

… nei — ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem ekki má hunsa. Þið þurfið að fá aðstoð strax svo viðfangsefnið verði ekki yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og unnt er. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.