4.3 Teiknið graf með skurðpunktum við ása
4.3 Teiknið graf með skurðpunktum við ása
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
- Greint skurðpunkta við x- og y-ás á grafi
- Fundið skurðpunkta við x- og y-ás út frá jöfnu línu
- Teiknað graf línu með skurðpunktum við ása
Greinið skurðpunkta við x- og y-ás á grafi
Sérhverja línulega jöfnu má tákna með einni ákveðinni línu sem sýnir allar lausnir jöfnunnar. Við höfum séð að þegar graf línu er teiknað með því að merkja punkta má nota hvaða þrjár lausnir sem er. Tveir einstaklingar sem teikna sömu línu gætu því notað mismunandi þrenndir punkta.
Við fyrstu sýn virðast línurnar tvær ef til vill ekki vera eins, því mismunandi punktar eru merktir á þær. Ef öll vinna er rétt unnin eiga línurnar þó að vera nákvæmlega eins. Til að ganga úr skugga um að um sömu línu sé að ræða má skoða hvar hún sker x-ásinn og y-ásinn. Þessir punktar kallast skurðpunktar línunnar við ásana.
Skoðum gröf línanna á mynd 4.18.
Takið fyrst eftir hvar hver lína sker -ásinn. Sjá mynd 4.18.
| Mynd | Línan sker x-ásinn í: | Röðuð tvennd punktsins |
| Mynd (a) | 3 | ( 3 , 0 ) |
| Mynd (b) | 4 | ( 4 , 0 ) |
| Mynd (c) | 5 | ( 5 , 0 ) |
| Mynd (d) | 0 | ( 0 , 0 ) |
Sjáið þið eitthvert mynstur?
Í hverri röð er y-hnit punktsins þar sem línan sker x-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker x-ásinn er á forminu og kallast skurðpunktur línunnar við x-ás. Skurðpunkturinn við x-ás fæst þegar er núll.
Skoðum nú punktana þar sem línurnar skera y-ásinn. Sjá töflu 4.25.
| Mynd | Línan sker y-ásinn í: | Röðuð tvennd punktsins |
| Mynd (a) | 6 | ( 0 , 6 ) |
| Mynd (b) | −3 | ( 0 , −3 ) |
| Mynd (c) | −5 | ( 0 , −5 ) |
| Mynd (d) | 0 | ( 0 , 0 ) |
Hvert er mynstrið hér?
Í hverri röð er x-hnit punktsins þar sem línan sker y-ásinn núll. Punkturinn þar sem línan sker y-ásinn er á forminu og kallast skurðpunktur línunnar við y-ás. Skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar er núll.
Dæmi 4.19
Finnið skurðpunktana við x- og y-ás á hverju grafi.
Lausn
Finnið skurðpunktana við x- og y-ás út frá jöfnu línu
Þar sem skurðpunkturinn við x-ás fæst þegar y er núll og skurðpunkturinn við y-ás fæst þegar x er núll getum við fundið skurðpunkta línu við ása út frá jöfnu hennar. Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við og leysum með tilliti til x. Til að finna skurðpunktinn við y-ás, látum við og leysum með tilliti til y.
Dæmi 4.20
Lausn
Við látum til að finna skurðpunktinn við x-ás og til að finna skurðpunktinn við y-ás. Við fyllum út töfluna sem minnir okkur á hvað þarf að finna.
Til að finna skurðpunktinn við x-ás látum við .
| Látum y = 0. | |
| Einfaldið. | |
| Skurðpunkturinn við x-ás er | (3, 0) |
| Til að finna skurðpunktinn við y-ás látum við x = 0. | |
| Látum x = 0. | |
| Einfaldið. | |
| Skurðpunkturinn við y-ás er | (0, 6) |
Skurðpunktarnir eru og , eins og sýnt er í töflu 4.26.
| 2 x + y = 6 | |
| x | y |
| 3 | 0 |
| 0 | 6 |
Dæmi 4.21
Lausn
Teiknið graf línu með skurðpunktum við ása
Til að teikna graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta þarf að finna þrjá punkta með hnit sem eru lausnir jöfnunnar. Skurðpunktana við x- og y-ás má nota sem tvo þessara þriggja punkta. Finnið skurðpunktana og síðan þriðja punktinn til að tryggja nákvæmni. Gangið úr skugga um að punktarnir liggi á sömu línu og dragið hana síðan. Þetta er oft fljótlegasta aðferðin til að teikna graf línu.
Dæmi 4.22
Lausn
Skrefin til að teikna graf línulegrar jöfnu með skurðpunktum við ása eru dregin saman hér á eftir.
Dæmi 4.23
Lausn
Finnið skurðpunktana og þriðja punktinn.
Við skráum punktana í töflu 4.27 og sýnum grafið hér á eftir.
| 4 x − 3 y = 12 | ||
| x | y | ( x , y ) |
| 3 | 0 | ( 3 , 0 ) |
| 0 | −4 | ( 0 , −4 ) |
| 6 | 4 | ( 6 , 4 ) |
Dæmi 4.24
Lausn
Þessi lína hefur aðeins einn skurðpunkt við ása. Hann er punkturinn .
Til að tryggja nákvæmni þurfum við að merkja þrjá punkta. Þar sem skurðpunktarnir við x- og y-ás eru sami punkturinn þurfum við tvo punkta til viðbótar til að teikna graf línunnar.
Sjá töflu 4.28.
| y = 5 x | ||
| x | y | ( x , y ) |
| 0 | 0 | ( 0 , 0 ) |
| 1 | 5 | ( 1 , 5 ) |
| −1 | −5 | ( −1 , −5 ) |
Merkið punktana þrjá, athugið að þeir liggi á sömu línu og dragið línuna.
Verkefni úr hluta 4.3
Æfingin skapar meistarann
Greinið skurðpunkta við x- og y-ás á grafi
Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna skurðpunktana við x- og y-ás á hverju grafi.
Bílferð. Damien ekur frá Chicago til Denver, sem er 1000 mílna leið. x-ásinn á grafinu hér á eftir sýnir tímann í klukkustundum frá því Damien lagði af stað frá Chicago. y-ásinn sýnir vegalengdina sem hann á eftir að aka.
- ⓐ Finnið skurðpunktana við x- og y-ás.
- ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við x- og y-ás merkja fyrir Damien.
Bílferð. Ozzie fyllti eldsneytisgeymi vörubílsins síns og lagði af stað í bílferð. x-ásinn á grafinu hér á eftir sýnir fjölda mílna sem Ozzie ók frá því hann fyllti geyminn. y-ásinn sýnir fjölda gallona af eldsneyti í geymi vörubílsins.
- ⓐ Finnið skurðpunktana við x- og y-ás.
- ⓑ Útskýrið hvað skurðpunktarnir við x- og y-ás merkja fyrir Ozzie.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvað ætlið þið að gera til að bæta þau?