Meginatriði

Meginatriði

4.1 Notkun rétthyrnds hnitakerfis

• Formerki í fjórðungunum
  $\begin{array}{cccccccccc}\text{Fjórðungur I}\hfill & & & \text{Fjórðungur II}\hfill & & & \text{Fjórðungur III}\hfill & & & \text{Fjórðungur IV}\hfill \\ (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill \\ (+,+)\hfill & & & (\text{−},+)\hfill & & & (\text{−},\text{−})\hfill & & & (+,\text{−})\hfill \end{array}$
• Punktar á ásunum
  
  Á x-ásnum er $y=0$. Punktar með y-hnit jafnt 0 eru á x-ásnum og hafa hnit $(a,0)$. Á y-ásnum er $x=0$. Punktar með x-hnit jafnt 0 eru á y-ásnum og hafa hnit $(0,b).$
  • Á x-ásnum er $y=0$. Punktar með y-hnit jafnt 0 eru á x-ásnum og hafa hnit $(a,0)$.
  • Á y-ásnum er $x=0$. Punktar með x-hnit jafnt 0 eru á y-ásnum og hafa hnit $(0,b).$
• Lausn línulegrar jöfnu
  
  Röðuð tvennd $\left(x,y\right)$ er lausn línulegu jöfnunnar $Ax+By=C$ef jafnan verður sönn þegar x- og y-gildi tvenndarinnar eru sett inn í hana.
  • Röðuð tvennd ( x , y ) er lausn línulegu jöfnunnar A x + B y = Cef jafnan verður sönn þegar x- og y-gildi tvenndarinnar eru sett inn í hana.

4.2 Teiknið gröf línulegra jafna með tveimur breytum

• Teikna graf línulegrar jöfnu með því að merkja punkta Skref 1. Finnið þrjá punkta þannig að hnit þeirra séu lausnir jöfnunnar. Skráið þá í töflu. Skref 2. Merkið punktana í rétthyrnt hnitakerfi. Athugið hvort þeir liggi á sömu línu. Ef ekki skuluð þið fara vandlega yfir útreikningana. Skref 3. Dragið línu gegnum punktana þrjá. Framlengið hana yfir allt hnitakerfið og setjið örvar á báða enda hennar.
  1. Skref 1. Finnið þrjá punkta þannig að hnit þeirra séu lausnir jöfnunnar. Skráið þá í töflu.
  2. Skref 2. Merkið punktana í rétthyrnt hnitakerfi. Athugið hvort þeir liggi á sömu línu. Ef ekki skuluð þið fara vandlega yfir útreikningana.
  3. Skref 3. Dragið línu í gegnum punktana þrjá. Framlengið línuna að jöðrum rúðunetsins og setjið örvar á báða enda.

4.3 Teiknið gröf með skurðpunktum við ásana

• Finna skurðpunkta við x- og y-ás út frá jöfnu línu
  Notið jöfnu línunnar til að finna skurðpunkt hennar við x-ás: setjið $y=0$ og leysið fyrir x. Notið jöfnu línunnar til að finna skurðpunkt hennar við y-ás: setjið $x=0$ og leysið fyrir y.
  • Notið jöfnu línunnar til að finna skurðpunkt hennar við x-ás: setjið $y=0$ og leysið fyrir x.
  • Notið jöfnu línunnar til að finna skurðpunkt hennar við y-ás: setjið $x=0$ og leysið fyrir y.
• Teikna graf línulegrar jöfnu með skurðpunktum við ása
  Skref 1. Finnið skurðpunkta línunnar við x- og y-ás.
  Setjið $y=0$ og leysið fyrir x.
  Setjið $x=0$ og leysið fyrir y. Skref 2. Finnið þriðju lausn jöfnunnar. Skref 3. Merkið punktana þrjá og athugið hvort þeir liggi á sömu línu. Skref 4. Dragið línuna.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið skurðpunkta línunnar við x- og y-ás.
     Setjið $y=0$ og leysið fyrir x.
     Setjið $x=0$ og leysið fyrir y.
  2. Skref 2. Finnið þriðju lausn jöfnunnar.
  3. Skref 3. Merkið punktana þrjá og athugið hvort þeir liggi á sömu línu.
  4. Skref 4. Dragið línuna.
• Aðferð til að velja hentugustu leiðina til að teikna graf línu:
  Skoðið form jöfnunnar. Ef hún hefur aðeins eina breytu er graf hennar lóðrétt eða lárétt lína.
  $x=a$ er lóðrétt lína sem sker x-ásinn í $a$
  $y=b$ er lárétt lína sem sker y-ásinn í $b$. Ef y er einangrað öðrum megin jafnaðarmerkisins skuluð þið teikna grafið með því að merkja punkta. Veljið þrjú gildi fyrir x og leysið síðan fyrir samsvarandi y-gildi. Ef jafnan er á forminu $ax+by=c$, skuluð þið finna skurðpunktana við x- og y-ás og síðan þriðja punktinn.
  • Skoðið form jöfnunnar.
  • Ef jafnan hefur aðeins eina breytu er graf hennar lóðrétt eða lárétt lína.
    $x=a$ er lóðrétt lína sem sker x-ásinn í $a$
    $y=b$ er lárétt lína sem sker y-ásinn í $b$.
  • Ef y er einangrað öðrum megin jafnaðarmerkisins skuluð þið teikna grafið með því að merkja punkta.
  • Veljið þrjú gildi fyrir x og leysið síðan fyrir samsvarandi y-gildi.
  • Ef jafnan er á forminu $ax+by=c$, skuluð þið finna skurðpunktana við x- og y-ás og síðan þriðja punktinn.

4.4 Skilningur á hallatölu línu

• Finna hallatölu línu af grafi hennar með $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$
  Skref 1. Finnið tvo punkta á línunni sem hafa heiltöluhnit. Skref 2. Byrjið á punktinum vinstra megin og teiknið rétthyrndan þríhyrning með langhlið frá fyrri punktinum að þeim síðari. Skref 3. Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna á skammhliðum þríhyrningsins. Skref 4. Finnið hlutfall lóðréttrar og láréttrar breytingar til að fá hallatöluna.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið tvo punkta á línunni sem hafa heiltöluhnit.
  2. Skref 2. Byrjið við punktinn vinstra megin og teiknið rétthyrndan þríhyrning þannig að langhliðin liggi frá fyrri punktinum að þeim síðari.
  3. Skref 3. Teljið lóðréttu og láréttu breytinguna eftir skammhliðum þríhyrningsins.
  4. Skref 4. Finnið hlutfall lóðréttrar og láréttrar breytingar til að fá hallatöluna.
• Teikna línu þegar punktur og hallatala eru gefin
  Skref 1. Merkið gefna punktinn. Skref 2. Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna. Skref 3. Byrjið við gefna punktinn og teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja seinni punktinn. Skref 4. Tengið punktana með línu.
  

  
  
  

  1. Skref 1. Merkið gefna punktinn inn.
  2. Skref 2. Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna.
  3. Skref 3. Byrjið við gefna punktinn og teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn.
  4. Skref 4. Tengið punktana með línu.
     
• Hallatala láréttrar línu
  Hallatala láréttrar línu, $y=b$, er 0.
  • Hallatala láréttrar línu, y = b, er 0.
• Hallatala lóðréttrar línu
  Hallatala lóðréttrar línu, $x=a$, er óskilgreind
  • Hallatala lóðréttrar línu, x = a, er óskilgreind

4.5 Notkun hallatöluforms jöfnu línu

• Hallatöluform jöfnu línu með hallatöluna $m$ og skurðpunktinn við y-ás $\left(0,b\right)$ er $y=mx+b$.
• Teikna graf línu með hallatölu og skurðpunkti við y-ás
  Skref 1. Finnið hallatöluform jöfnu línunnar. Skref 2. Finnið hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás. Skref 3. Merkið skurðpunktinn við y-ás. Skref 4. Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna. Skref 5. Byrjið í skurðpunktinum við y-ás og teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja seinni punktinn. Skref 6. Tengið punktana með línu.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið hallatöluform jöfnu línunnar.
  2. Skref 2. Finnið hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás.
  3. Skref 3. Merkið skurðpunktinn við y-ás.
  4. Skref 4. Notið formúluna fyrir hallatölu $m=\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}$ til að finna lóðréttu og láréttu breytinguna.
  5. Skref 5. Byrjið í skurðpunktinum við y-ás og teljið lóðréttu og láréttu breytinguna til að merkja inn seinni punktinn.
  6. Skref 6. Tengið punktana með línu.
• Aðferð til að velja hentugustu leiðina til að teikna graf línu: Skoðið form jöfnunnar.
  Ef hún hefur aðeins eina breytu er graf hennar lóðrétt eða lárétt lína.
  $x=a$ er lóðrétt lína sem sker x-ásinn í $a$.
  $y=b$ er lárétt lína sem sker y-ásinn í $b$. Ef $y$ er einangrað öðrum megin jafnaðarmerkisins á forminu $y=mx+b$, skuluð þið nota hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás til að teikna grafið.
  Finnið hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás og teiknið síðan grafið. Ef jafnan er á forminu $Ax+By=C$, skuluð þið finna skurðpunktana.
  Finnið skurðpunktana við x- og y-ás, þriðja punktinn og teiknið síðan grafið.
  • Ef jafnan hefur aðeins eina breytu er graf hennar lóðrétt eða lárétt lína.
    $x=a$ er lóðrétt lína sem sker x-ásinn í $a$.
    $y=b$ er lárétt lína sem sker y-ásinn í $b$.
  • Ef $y$ er einangrað öðrum megin jafnaðarmerkisins á forminu $y=mx+b$, skuluð þið nota hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás til að teikna grafið.
    Finnið hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás og teiknið síðan grafið.
  • Ef jafnan er á forminu $Ax+By=C$, skuluð þið finna skurðpunktana við ása.
    Finnið skurðpunktana við x- og y-ásana, þriðja punktinn og teiknið síðan grafið.
• Samsíða línur eru línur í sama fleti sem skerast ekki.
  Samsíða línur hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás. Ef m₁ og m₂ eru hallatölur tveggja samsíða lína þá er $m_1=m_2.$ Samsíða lóðréttar línur hafa ólíka skurðpunkta við x-ás.
  • Samsíða línur hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás.
  • Ef m₁ og m₂ eru hallatölur tveggja samsíða lína þá er $m_1=m_2.$
  • Samsíða lóðréttar línur hafa ólíka skurðpunkta við x-ás.
• Hornréttar línur eru línur í sama fleti sem mynda rétt horn.
  Ef $m_1\text{og}{m}_2$ eru hallatölur tveggja hornréttra lína þá gilda $m_1·m_2=\mathrm{-1}$ og $m_1=\frac{\mathrm{-1}}{m_2}$. Lóðréttar og láréttar línur eru alltaf hornréttar hvorar á aðrar.
  • Ef $m_1\text{og}{m}_2$ eru hallatölur tveggja hornréttra lína þá gilda $m_1·m_2=\mathrm{-1}$ og $m_1=\frac{\mathrm{-1}}{m_2}$.
  • Lóðréttar og láréttar línur eru alltaf hornréttar hvorar á aðrar.

4.6 Finnið jöfnu línu

• Finna jöfnu línu þegar hallatala og punktur eru gefin
  Skref 1. Finnið hallatöluna. Skref 2. Finnið punktinn. Skref 3. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$. Skref 4. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið hallatöluna.
  2. Skref 2. Finnið punktinn.
  3. Skref 3. Setjið gildin inn í punkthallaformið, $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
  4. Skref 4. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.
• Finna jöfnu línu þegar tveir punktar eru gefnir
  Skref 1. Finnið hallatöluna út frá gefnu punktunum. Skref 2. Veljið annan punktinn. Skref 3. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$. Skref 4. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið hallatöluna út frá gefnu punktunum.
  2. Skref 2. Veljið annan punktinn.
  3. Skref 3. Setjið gildin inn í punkthallaformið, $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
  4. Skref 4. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.
• Rita jöfnu línu
  Ef hallatala og skurðpunktur við y-ás eru gefin skuluð þið nota hallatöluformið $y=mx+b$. Ef hallatala og punktur eru gefin skuluð þið nota punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$. Ef tveir punktar eru gefnir skuluð þið nota punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.

  
  
  

  • Ef hallatala og skurðpunktur við y-ás eru gefin skuluð þið nota hallatöluformið $y=mx+b$.
  • Ef hallatala og punktur eru gefin skuluð þið nota punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
  • Ef tveir punktar eru gefnir skuluð þið nota punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
• Finna jöfnu línu sem er samsíða gefinni línu
  Skref 1. Finnið hallatölu gefnu línunnar. Skref 2. Finnið hallatölu samsíðu línunnar. Skref 3. Finnið punktinn. Skref 4. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$. Skref 5. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.

  
  
  

  1. Skref 1. Finnið hallatölu gefnu línunnar.
  2. Skref 2. Finnið hallatölu samsíðu línunnar.
  3. Skref 3. Finnið punktinn.
  4. Skref 4. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
  5. Skref 5. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.
• Finna jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu
  Skref 1. Finnið hallatölu gefnu línunnar. Skref 2. Finnið hallatölu hornréttu línunnar. Skref 3. Finnið punktinn. Skref 4. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$. Skref 5. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.
  1. Skref 1. Finnið hallatölu gefnu línunnar.
  2. Skref 2. Finnið hallatölu hornréttu línunnar.
  3. Skref 3. Finnið punktinn.
  4. Skref 4. Setjið gildin inn í punkthallaformið $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$.
  5. Skref 5. Ritið jöfnuna á hallatöluformi.

4.7 Gröf línulegra ójafna

• Teikna graf línulegrar ójöfnu Skref 1. Finnið markalínuna og teiknið hana.
  Ef ójafnan er ≤ eða ≥, er markalínan heil.
  Ef ójafnan er < eða > er markalínan slitin. Skref 2. Prófið punkt sem liggur ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar? Skref 3. Skyggið aðra hlið markalínunnar.
  Ef prófunarpunkturinn er lausn skuluð þið skyggja hliðina sem inniheldur punktinn.
  Ef prófunarpunkturinn er ekki lausn skuluð þið skyggja hina hliðina.
  1. Skref 1. Finnið markalínuna og teiknið hana.
     Ef ójafnan er $\le \text{eða}\ge$, er markalínan heil.
     Ef ójafnan er < eða > er markalínan slitin.
  2. Skref 2. Prófið punkt sem liggur ekki á markalínunni. Er hann lausn ójöfnunnar?
  3. Skref 3. Skyggið aðra hlið markalínunnar.
     Ef prófunarpunkturinn er lausn skuluð þið skyggja hliðina sem inniheldur punktinn.
     Ef prófunarpunkturinn er ekki lausn skuluð þið skyggja hina hliðina.