77 Stikajöfnur og skauthnit

7.2 Stærðfræðigreining stikaðra ferla

Námsmarkmið

7.2.1 Ákvarða afleiður og jöfnur snertla við stikaða ferla.
7.2.2 Finna flatarmálið undir stikuðum ferli.
7.2.3 Nota jöfnuna fyrir bogalengd stikaðs ferils.
7.2.4 Beita formúlunni fyrir yfirborðsflatarmál á snúð sem stikaður ferill myndar.

Nú þegar við höfum kynnt hugtakið stikaður ferill er næsta skref að læra að beita stærðfræðigreiningu á slíka ferla. Ef við þekkjum til dæmis stikun tiltekins ferils, getum við þá reiknað hallatölu snertils við ferilinn? Hvað um bogalengd ferilsins eða flatarmálið undir honum?

Skoðum annað dæmi. Gerum ráð fyrir að við viljum lýsa staðsetningu hafnabolta eftir að hann yfirgefur hönd kastarans. Ef staðsetning boltans er gefin með ferlinum $(x (t), y (t)),$ ættum við að geta notað stærðfræðigreiningu til að finna hraða boltans á hverjum tíma. Jafnframt ættum við að geta reiknað hversu langt boltinn hefur farið sem fall af tíma.

Afleiður stikajafna

Við byrjum á að skoða hvernig reikna má hallatölu snertils við stikaðan feril í tilteknum punkti. Skoðum ferilinn sem stikajöfnurnar skilgreina

x (t) = 2 t + 3, y (t) = 3 t - 4, −2 \leq t \leq 3 .

Graf ferilsins er sýnt á mynd 7.16 . Það er línustrik sem hefst í $(−1, −10)$ og endar í $(9, 5) .$

Bein lína liggur frá (−1, −10) til (9, 5). Punkturinn (−1, −10) er merktur t = −2, punkturinn (3, −4) er merktur t = 0 og punkturinn (9, 5) er merktur t = 3. Þrjár jöfnur eru merktar: x(t) = 2t + 3, y(t) = 3t – 4 og −2 ≤ t ≤ 3 — **Mynd 7.16.** Graf línustriksins sem lýst er með stikajöfnunum.

Við getum eytt stikanum með því að leysa fyrst jöfnuna $x (t) = 2 t + 3$ með tilliti til t:

\begin{matrix} x (t) & = & 2 t + 3 \\ x - 3 & = & 2 t \\ t & = & \frac{x - 3}{2} . \end{matrix}

Þegar þetta er sett inn í $y (t),$ fæst

\begin{matrix} y (t) & = & 3 t - 4 \\ y & = & 3 (\frac{x - 3}{2}) - 4 \\ y & = & \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} - 4 \\ y & = & \frac{3 x}{2} - \frac{17}{2} . \end{matrix}

Hallatala línunnar er $\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} .$ Næst reiknum við $x^{'} (t)$ og $y^{'} (t) .$ Þá fæst $x^{'} (t) = 2$ og $y^{'} (t) = 3 .$ Athugið að $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{3}{2} .$ Þetta er engin tilviljun, eins og næsta setning sýnir.

Sönnun

Setninguna má sanna með keðjureglunni. Gerum nánar tiltekið ráð fyrir að eyða megi stikanum t og fá deildanlegt fall $y = F (x) .$ Þá er $y (t) = F (x (t)) .$ Ef báðar hliðar þessarar jöfnu eru deildaðar með keðjureglunni fæst

y^{'} (t) = F^{'} (x (t)) x^{'} (t),

og því

F^{'} (x (t)) = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .

En $F^{'} (x (t)) = \frac{d y}{d x},$ og þar með er setningin sönnuð.

□

Nota má jöfnu 7.1 til að reikna afleiður ferla og finna stöðupunkta. Rifjum upp að stöðupunktur deildanlegs falls $y = f (x)$ er sérhver punktur $x = x_{0}$ þar sem annaðhvort $f^{'} (x_{0}) = 0$ eða $f^{'} (x_{0})$ er ekki til. Samkvæmt jöfnu 7.1 fæst formúla fyrir hallatölu snertils við stikaðan feril, hvort sem lýsa má ferlinum með falli $y = f (x)$ eða ekki.

Dæmi 7.4

Afleiða stikaðs ferils fundin

Reiknið afleiðuna $\frac{d y}{d x}$ fyrir hvern eftirfarandi stikaðan feril og finnið alla stöðupunkta á grafi hans.

$x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4$
$x (t) = 2 t + 1, y (t) = t^{3} - 3 t + 4, −2 \leq t \leq 2$
$x (t) = 5 cos t, y (t) = 5 sin t, 0 \leq t \leq 2 π$

Lausn

Til að beita jöfnu 7.1 reiknum við fyrst $x^{'} (t)$ og $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 t \\ y^{'} (t) = 2. \end{matrix}$

Setjum þetta því næst inn í jöfnuna:
$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{t} . \end{matrix}$

Afleiðan er ekki skilgreind þegar $t = 0 .$ Þegar $x (0)$ og $y (0)$ eru reiknuð fæst $x (0) = {(0)}^{2} - 3 = −3$ og $y (0) = 2 (0) - 1 = −1,$ sem samsvarar punktinum $(−3, −1)$ á grafinu. Graf ferilsins er fleygbogi sem opnast til hægri og punkturinn $(−3, −1)$ er topppunktur hans, eins og sýnt er.
Mynd 7.17 Graf fleygbogans sem stikajöfnurnar í a-lið lýsa.
Til að beita jöfnu 7.1 reiknum við fyrst $x^{'} (t)$ og $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 \\ y^{'} (t) = 3 t^{2} - 3. \end{matrix}$

Setjum þetta því næst inn í jöfnuna:
$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 t^{2} - 3}{2} . \end{matrix}$

Afleiðan er núll þegar $t = ±1 .$ Þegar $t = −1$ er
$x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1 og y (−1) = {(−1)}^{3} - 3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,$

sem samsvarar punktinum $(−1, 6)$ á grafinu. Þegar $t = 1$ er
$x (1) = 2 (1) + 1 = 3 og y (1) = {(1)}^{3} - 3 (1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2,$

sem samsvarar punktinum $(3, 2)$ á grafinu. Punkturinn $(3, 2)$ er staðbundinn lággildispunktur og punkturinn $(−1, 6)$ er staðbundinn hágildispunktur, eins og sést á eftirfarandi grafi.
Mynd 7.18 Graf ferilsins sem stikajöfnurnar í b-lið lýsa.
Til að beita jöfnu 7.1 reiknum við fyrst $x^{'} (t)$ og $y^{'} (t) :$

$\begin{matrix} x^{'} (t) = −5 sin t \\ y^{'} (t) = 5 cos t . \end{matrix}$

Setjum þetta því næst inn í jöfnuna:
$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{5 cos t}{−5 sin t} \\ \frac{d y}{d x} = − cot t . \end{matrix}$

Afleiðan er núll þegar $cos t = 0$ og er ekki skilgreind þegar $sin t = 0 .$ Stöðupunktar fást því fyrir $t = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, og 2 π$ , þar sem t er stikinn. Þegar hvert þessara gilda er sett inn í $x (t)$ og $y (t),$ fæst

$t$ $x (t)$ $y (t)$

0 5 0

$\frac{π}{2}$ 0 5

$π$ −5 0

$\frac{3 π}{2}$ 0 −5

$2 π$ 5 0

Punktarnir samsvara vinstri og hægri hlið hringsins, toppi hans og botni, en hringnum er lýst með stikajöfnunum (mynd 7.19). Afleiðan er ekki skilgreind á vinstri og hægri hlið hringsins en er núll efst og neðst á honum.
Mynd 7.19 Graf ferilsins sem stikajöfnurnar í c-lið lýsa.

$t$	$x (t)$	$y (t)$
0	5	0
$\frac{π}{2}$	0	5
$π$	−5	0
$\frac{3 π}{2}$	0	−5
$2 π$	5	0

Dæmi 7.5

Jafna snertils fundin

Finnið jöfnu snertils við ferilinn sem jöfnurnar skilgreina

x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4 þegar t = 2 .

Lausn

Finnið fyrst hallatölu snertilsins með jöfnu 7.1 en til þess þarf að reikna $x^{'} (t)$ og $y^{'} (t) :$

\begin{matrix} x^{'} (t) = 2 t \\ y^{'} (t) = 2. \end{matrix}

Setjið þetta því næst inn í jöfnuna:

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{t} . \end{matrix}

Þegar $t = 2,$ er $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2},$ og það er því hallatala snertilsins. Þegar $x (2)$ og $y (2)$ eru reiknuð fæst

x (2) = {(2)}^{2} - 3 = 1 og y (2) = 2 (2) - 1 = 3,

sem samsvarar punktinum $(1, 3)$ á grafinu (mynd 7.20). Notum nú punkthallaform línu til að finna jöfnu snertilsins:

\begin{matrix} y - y_{0} & = & m (x - x_{0}) \\ y - 3 & = & \frac{1}{2} (x - 1) \\ y - 3 & = & \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \\ y & = & \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} . \end{matrix}

Boginn ferill liggur frá (6, −7) gegnum (−3, −1) til (13, 7) og ör vísar í þá röð. Punkturinn (6, −7) er merktur t = −3, punkturinn (−3, −1) er merktur t = 0 og punkturinn (13, 7) er merktur t = 4. Á grafinu standa einnig þrjár jöfnur: x(t) = t2 − 3, y(t) = 2t − 1 og −3 ≤ t ≤ 4. Um punktinn (1, 3), sem merktur er t = 2, liggur snertill með jöfnuna y = x/2 + 5/2. — **Mynd 7.20.** Snertill við fleygbogann sem gefnu stikajöfnurnar lýsa þegar t = 2 .

Önnur afleiða

Næsta markmið er að sjá hvernig finna má aðra afleiðu falls sem er skilgreint með stikajöfnum. Önnur afleiða falls $y = f (x)$ er skilgreind sem afleiða fyrstu afleiðunnar, það er

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} [\frac{d y}{d x}] .

Þar sem $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t},$ getum við skipt $y$ beggja vegna jöfnunnar út fyrir $\frac{d y}{d x} .$ Þá fæst

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{(d / d t) (d y / d x)}{d x / d t} .

(7.2)

Ef við þekkjum $d y / d x$ sem fall af t, er auðvelt að beita þessari formúlu.

Dæmi 7.6

Önnur afleiða fundin

Reiknið aðra afleiðuna $d^{2} y / d x^{2}$ fyrir ferilinn sem skilgreindur er með stikajöfnunum $x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t - 1, −3 \leq t \leq 4 .$

Lausn

Úr dæmi 7.4 vitum við að $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 t} = \frac{1}{t} .$ Með jöfnu 7.2 fæst

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{(d / d t) (d y / d x)}{d x / d t} = \frac{(d / d t) (1 / t)}{2 t} = \frac{− t^{−2}}{2 t} = - \frac{1}{2 t^{3}} .

Heildi með stikajöfnum

Nú þegar við höfum séð hvernig reikna má afleiðu ferils er næsta spurning þessi: Hvernig finnum við flatarmálið undir ferli sem skilgreindur er með stikajöfnum? Rifjum upp hjólferilinn sem skilgreindur er með jöfnunum $x (t) = t - sin t, y (t) = 1 - cos t .$ Gerum ráð fyrir að við viljum finna flatarmál skyggða svæðisins á eftirfarandi grafi.

Röð hálfhringa er teiknuð fyrir ofan x-ásinn og skurðpunktar þeirra við x-ásinn eru heiltölumargfeldi af 2π. Hálfhringurinn milli 0 og 2π er auðkenndur. Á grafinu standa einnig tvær jöfnur: x(t) = t – sin(t) og y(t) = 1 – cos(t). — **Mynd 7.21.** Graf hjólferils þar sem boginn yfir $[0, 2 π]$ er auðkenndur.

Til að leiða út formúlu fyrir flatarmálið undir ferlinum sem föllin skilgreina

x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b,

gerum við ráð fyrir að $x (t)$ sé vaxandi á bilinu $t \in [a, b]$ og að $x (t)$ sé deildanlegt. Við byrjum á jafnri skiptingu bilsins $a \leq t \leq b .$ Gerum ráð fyrir að $t_{0} = a < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b$ og skoðum eftirfarandi graf.

Boginn ferill er teiknaður í fyrsta fjórðungi. Undir honum er röð rétthyrninga sem hefjast á x-ásnum og ná upp að ferlinum. Hæð hvers rétthyrnings ákvarðast af hæð ferilsins við vinstri enda rétthyrningsins. Línurnar eru merktar x(t0), x(t1), …, x(tn). — **Mynd 7.22.** Flatarmálið undir stikuðum ferli nálgað.

Við nálgum flatarmálið undir ferlinum með rétthyrningum. Hæð $i$ -ta rétthyrningsins er $y (t_{i - 1})$ og því er nálgun á flatarmálinu

\begin{array}{l} \begin{array}{cl} \sum_{i = 1}^{n} y (t_{i - 1}) (x (t_{i}) - x (t_{i - 1})) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} y (t_{i - 1}) \frac{(x (t_{i}) - x (t_{i - 1}))}{(t_{i} - t_{i - 1})} (t_{i} - t_{i - 1}) \\ \to \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t þegar max {(t_{i} - t_{i - 1})} \to 0 \end{array} \end{array}

Þetta leiðir af niðurstöðum sem fengust í Stærðfræðigreiningu 1 fyrir fallið $y (t_{i - 1}) \frac{(x (t_{i}) - x (t_{i - 1}))}{(t_{i} - t_{i - 1})} .$

Riemann-summa fyrir flatarmálið er þá

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} y (\overset{—}{t_{i}}) (x (t_{i}) - x (t_{i - 1})) .

Ef hvert flatarmál er margfaldað með $t_{i} - t_{i - 1}$ og síðan deilt með sömu stærð fæst

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} y (x ({\bar{t}}_{i})) (\frac{x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{t_{i} - t_{i - 1}}) (t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n} y (x ({\bar{t}}_{i})) (\frac{x (t_{i}) - x (t_{i - 1})}{Δ t}) Δ t .

Þegar markgildið er tekið þar sem $n$ stefnir á óendanlegt fæst

A = lim_{n \to \infty} A_{n} = \int_{a}^{b} y (t) x^{'} (t) d t .

Ef $x$ er minnkandi fall fyrir $a \leq t \leq b$ sýnir sams konar útleiðsla að flatarmálið er gefið með $\begin{matrix} - \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t & = \end{matrix} \int_{a}^{b} y (t) x' (t) d t$

Þetta leiðir til eftirfarandi setningar.

Dæmi 7.7

Flatarmál undir stikuðum ferli fundið

Finnið flatarmálið undir hjólferlinum sem jöfnurnar skilgreina

x (t) = t - sint y (t) = 1 - cost 0 t 2

Lausn

Með jöfnu 7.3 fæst

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} y (t) x^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - cos t) (1 - cos t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - 2 cos t + {cos}^{2} t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (1 - 2 cos t + \frac{1 + cos 2 t}{2}) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{3}{2} - 2 cos t + \frac{cos 2 t}{2}) d t \\ = {\frac{3 t}{2} - 2 sin t + \frac{sin 2 t}{4} |}_{0}^{2 π} \\ = 3 π . \end{matrix}

Bogalengd stikaðs ferils

Auk þess að finna flatarmálið undir stikuðum ferli þurfum við stundum að finna bogalengd hans. Þegar um línustrik er að ræða er bogalengdin jöfn fjarlægðinni milli endapunktanna. Ef ögn fer frá punkti A til punkts B eftir ferli er vegalengdin sem hún fer jöfn bogalengdinni. Til að leiða út formúlu fyrir bogalengd byrjum við á nálgun með línustrikum eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Boginn ferill er teiknaður í fyrsta fjórðungi og punktar eru merktir fyrir x = 1, 2, 3, 4 og 5. Gildi punktanna eru um það bil 2,1, 2,7, 3, 2,7 og 2,1. Punktarnir fyrir x = 1 og 5 eru merktir A og B. — **Mynd 7.23.** Ferill nálgaður með línustrikum.

Gefinn sé ferill sem föllin $x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b,$ skilgreina. Við byrjum á að skipta bilinu $[a, b]$ í n jafnlöng undirbil: $t_{0} = a < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} = b .$ Breidd hvers undirbils er $Δ t = (b - a) / n .$ Við getum reiknað lengd hvers línustriks:

\begin{matrix} d_{1} = \sqrt{{(x (t_{1}) - x (t_{0}))}^{2} + {(y (t_{1}) - y (t_{0}))}^{2}} \\ d_{2} = \sqrt{{(x (t_{2}) - x (t_{1}))}^{2} + {(y (t_{2}) - y (t_{1}))}^{2}} o.s.frv. . \end{matrix}

Síðan leggjum við lengdirnar saman. Látum s tákna nákvæma bogalengd og $s_{n}$ nálgunina með n línustrikum:

s \approx \sum_{k = 1}^{n} s_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x (t_{k}) - x (t_{k - 1}))}^{2} + {(y (t_{k}) - y (t_{k - 1}))}^{2}} .

(7.4)

Ef við gerum ráð fyrir að $x (t)$ og $y (t)$ séu deildanleg föll af t, má beita meðalgildissetningunni (Inngangur að hagnýtingu afleiðna). Á hverju undirbili $[t_{k - 1}, t_{k}]$ eru til gildi ${\hat{t}}_{k}$ og ${\tilde{t}}_{k}$ þannig að

\begin{matrix} x (t_{k}) - x (t_{k - 1}) = x^{'} ({\hat{t}}_{k}) (t_{k} - t_{k - 1}) = x^{'} ({\hat{t}}_{k}) Δ t \\ y (t_{k}) - y (t_{k - 1}) = y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) (t_{k} - t_{k - 1}) = y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) Δ t . \end{matrix}

Jafna 7.4 verður því

\begin{matrix} s & \approx \sum_{k = 1}^{n} s_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}) Δ t)}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}) Δ t)}^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} {(Δ t)}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2} {(Δ t)}^{2}} \\ = (\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2}}) Δ t . \end{matrix}

Þetta er Riemann-summa sem nálgar bogalengdina yfir skiptingu bilsins $[a, b] .$ Ef við gerum jafnframt ráð fyrir að afleiðurnar séu samfelldar og að fjöldi skiptipunkta vaxi án takmarka, nálgast nálgunin nákvæma bogalengd. Því fæst

\begin{matrix} s & = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} s_{k} \\ = lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(x^{'} ({\hat{t}}_{k}))}^{2} + {(y^{'} ({\tilde{t}}_{k}))}^{2}}) Δ t \\ = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t . \end{matrix}

Þegar markgildið er tekið liggja gildin ${\hat{t}}_{k}$ og ${\tilde{t}}_{k}$ bæði á sama síminnkandi bili með breidd $Δ t,$ og hljóta því að stefna á sama gildi.

Aðferðina má draga saman í eftirfarandi setningu.

Stutt útleiðsla sýnir nú hvernig þessi niðurstaða leiðir til formúlunnar fyrir bogalengd sem við höfum áður séð. Gerum nánar tiltekið ráð fyrir að eyða megi stikanum og fá fall $y = F (x) .$ Þá er $y (t) = F (x (t))$ og samkvæmt keðjureglunni er $y^{'} (t) = F^{'} (x (t)) x^{'} (t) .$ Þegar þetta er sett inn í jöfnu 7.5 fæst

\begin{matrix} s & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(F^{'} (x) \frac{d x}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} (1 + {(F^{'} (x))}^{2})} d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{'} (t) \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d t . \end{matrix}

Hér höfum við gert ráð fyrir að $x^{'} (t) > 0,$ sem er eðlileg forsenda. Samkvæmt keðjureglunni er $d x = x^{'} (t) d t,$ og með því að láta $a = x (t_{1})$ og $b = x (t_{2})$ fæst formúlan

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x,

sem er formúlan fyrir bogalengd sem leidd var út í Inngangi að hagnýtingu heildunar.

Dæmi 7.8

Bogalengd stikaðs ferils fundin

Finnið bogalengd hálfhringsins sem jöfnurnar skilgreina

x (t) = 3 cost y (t) = 3 sint 0 t

Lausn

Gildin frá $t = 0$ til $t = π$ rekja rauða ferilinn á mynd 7.23. Til að ákvarða lengd hans notum við jöfnu 7.5:

\begin{matrix} s & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{{(−3 sin t)}^{2} + {(3 cos t)}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{9 {sin}^{2} t + 9 {cos}^{2} t} d t \\ = \int_{0}^{π} \sqrt{9 ({sin}^{2} t + {cos}^{2} t)} d t \\ = \int_{0}^{π} 3 d t = {3 t |}_{0}^{π} = 3 π . \end{matrix}

Athugið að formúlan fyrir bogalengd hálfhrings er $π r$ og geisli þessa hrings er 3. Þetta er gott dæmi um hvernig nota má stærðfræðigreiningu til að leiða út þekkta formúlu fyrir rúmfræðilega stærð.

Hálfhringur með geisla 3 er teiknaður og ör vísar rangsælis. Á grafinu standa einnig þrjár jöfnur: x(t) = 3 cos(t), y(t) = 3 sin(t) og 0 ≤ t ≤ π. — **Mynd 7.24.** Bogalengd hálfhringsins er jöfn margfeldi geisla hans og π.

Snúum nú aftur að verkefninu í upphafi hlutans um hafnabolta sem yfirgefur hönd kastarans. Ef áhrif loftmótstöðu eru hunsuð (nema boltinn snúist í flugi!) fer boltinn eftir fleygboga. Gerum ráð fyrir að hönd kastarans sé í upphafspunktinum og að boltinn fari frá vinstri til hægri í stefnu jákvæða x-ássins. Þá má rita stikajöfnur ferilsins sem

x (t) = 140 t, y (t) = −16 t^{2} + 2 t

þar sem t táknar tíma. Fyrst reiknum við vegalengdina sem boltinn fer sem fall af tíma. Þessi vegalengd er bogalengdin. Við getum breytt bogalengdarformúlunni lítillega. Byrjum á að rita föllin $x (t)$ og $y (t)$ með v sem óháðri breytu til að forðast rugling við stikann t:

x (v) = 140 v, y (v) = −16 v^{2} + 2 v .

Þá ritum við bogalengdarformúluna þannig:

\begin{matrix} s (t) & = \int_{0}^{t} \sqrt{{(\frac{d x}{d v})}^{2} + {(\frac{d y}{d v})}^{2}} d v \\ = \int_{0}^{t} \sqrt{140^{2} + {(−32 v + 2)}^{2}} d v . \end{matrix}

Breytan v er gervibreyta sem hverfur við heildunina og eftir stendur bogalengdin sem fall af tímanum t. Til að heilda segðina getum við notað formúlu úr viðauka A,

\int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}} + \frac{a^{2}}{2} ln | u + \sqrt{a^{2} + u^{2}} | + C .

Látum $a = 140$ og $u = −32 v + 2 .$ Þá er $d u = −32 d v,$ og því $d v = - \frac{1}{32} d u .$ Þar með fæst

\begin{matrix} \int \sqrt{140^{2} + {(−32 v + 2)}^{2}} d v & = - \frac{1}{32} \int \sqrt{a^{2} + u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{32} [\begin{matrix} \frac{(−32 v + 2)}{2} \sqrt{140^{2} + {(−32 v + 2)}^{2}} \\ + \frac{140^{2}}{2} ln | (−32 v + 2) + \sqrt{140^{2} + {(−32 v + 2)}^{2}} | \end{matrix}] + C \end{matrix}

\begin{matrix} s (t) & = - \frac{1}{32} [\frac{(−32 t + 2)}{2} \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} + \frac{140^{2}}{2} ln | (−32 t + 2) + \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} |] \\ + \frac{1}{32} [\sqrt{140^{2} + 2^{2}} + \frac{140^{2}}{2} ln | 2 + \sqrt{140^{2} + 2^{2}} |] \\ = (\frac{t}{2} - \frac{1}{32}) \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} - \frac{1225}{4} ln | (−32 t + 2) + \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} | \\ + \frac{\sqrt{19604}}{32} + \frac{1225}{4} ln (2 + \sqrt{19604}) . \end{matrix}

Þetta fall gefur vegalengd boltans sem fall af tíma. Til að reikna hraðann tökum við afleiðu fallsins með tilliti til t. Þótt það kunni að virðast erfitt má fá svarið beint með undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar:

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (u) d u = f (x) .

Því er

\begin{matrix} s^{'} (t) & = \frac{d}{d t} [s (t)] \\ = \frac{d}{d t} [\int_{0}^{t} \sqrt{140^{2} + {(−32 v + 2)}^{2}} d v] \\ = \sqrt{140^{2} + {(−32 t + 2)}^{2}} \\ = \sqrt{1024 t^{2} - 128 t + 19604} \\ = 2 \sqrt{256 t^{2} - 32 t + 4901} . \end{matrix}

Þriðjungi sekúndu eftir að boltinn yfirgefur hönd kastarans er vegalengdin sem hann hefur farið

\begin{matrix} s (\frac{1}{3}) & = (\frac{1 / 3}{2} - \frac{1}{32}) \sqrt{1024 {(\frac{1}{3})}^{2} - 128 (\frac{1}{3}) + 19604} \\ - \frac{1225}{4} ln | (−32 (\frac{1}{3}) + 2) + \sqrt{1024 {(\frac{1}{3})}^{2} - 128 (\frac{1}{3}) + 19604} | \\ + \frac{\sqrt{19604}}{32} + \frac{1225}{4} ln (2 + \sqrt{19604}) \\ \approx 46.69 fet . \end{matrix}

Þetta er rétt rúmlega þrír fjórðu hlutar leiðarinnar að heimahöfninni. Hraði boltans er

s^{'} (\frac{1}{3}) = 2 \sqrt{256 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) + 4901} \approx 140.34 fet/s .

Þetta jafngildir um það bil 95 mílum á klukkustund — sannkölluðum hraðbolta í efstu deild.

Yfirborðsflatarmál sem stikaður ferill myndar

Rifjum upp hvernig finna má yfirborðsflatarmál snúðflatar. Í Bogalengd og yfirborðsflatarmáli leiddum við út formúlu fyrir yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem fallið $y = f (x)$ myndar frá $x = a$ til $x = b,$ þegar því er snúið um x-ásinn:

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x .

Skoðum nú snúð sem myndast þegar stikuðum ferli $x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b$ er snúið um x-ásinn, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Ferill með endapunkta merkta t = a og t = b er teiknaður í fyrsta fjórðungi. Punkturinn (x(t), y(t)) er merktur á ferlinum. Hringlaga ör um x-ásinn sýnir snúning um ásinn og flöturinn sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn er sýndur. — **Mynd 7.25.** Snúðflötur sem stikaður ferill myndar.

Samsvarandi formúla fyrir stikaðan feril er

S = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t

(7.6)

að því gefnu að $y (t)$ sé óneikvætt á $[a, b] .$

Dæmi 7.9

Yfirborðsflatarmál fundið

Finnið yfirborðsflatarmál kúlu með geisla r og miðju í upphafspunktinum.

Lausn

Við byrjum á ferlinum sem jöfnurnar skilgreina

x (t) = r \cos t y (t) = r \sin t 0 t x (t) = r \cos t y (t) = r \sin t 0 t

Þetta myndar efri hálfhring með geisla r og miðju í upphafspunktinum, eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Hálfhringur með geisla r er teiknaður. Á grafinu standa einnig þrjár jöfnur: x(t) = r cos(t), y(t) = r sin(t) og 0 ≤ t ≤ π. — **Mynd 7.26.** Hálfhringur sem stikajöfnur mynda.

Þegar þessum ferli er snúið um x-ásinn myndar hann kúlu með geisla r. Til að reikna yfirborðsflatarmál kúlunnar notum við jöfnu 7.6:

\begin{matrix} S & = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sin t \sqrt{{(− r sin t)}^{2} + {(r cos t)}^{2}} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sin t \sqrt{r^{2} {sin}^{2} t + r^{2} {cos}^{2} t} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r sin t \sqrt{r^{2} ({sin}^{2} t + {cos}^{2} t)} d t \\ = 2 π \int_{0}^{π} r^{2} sin t d t \\ = 2 π r^{2} ({− cos t |}_{0}^{π}) \\ = 2 π r^{2} (− cos π + cos 0) \\ = 4 π r^{2} . \end{matrix}

Þetta er einmitt formúlan fyrir yfirborðsflatarmál kúlu.

Æfingar í kafla 7.2

Í eftirfarandi verkefnum lýsir hvert stikajöfnupar línu. Finnið hallatölu hverrar línu án þess að eyða stikanum.

62.

$\begin{matrix} x = 3 + t, & y = 1 - t \end{matrix}$

63.

$\begin{matrix} x = 8 + 2 t, & y = 1 \end{matrix}$

64.

$\begin{matrix} x = 4 - 3 t, & y = −2 + 6 t \end{matrix}$

65.

$\begin{matrix} x = −5 t + 7, & y = 3 t - 1 \end{matrix}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða hallatölu snertilsins og finna síðan jöfnu snertilsins við gefið gildi stikans.

66.

$\begin{matrix} x = 3 sin t, & y = 3 cos t, t = \frac{π}{4} \end{matrix}$

67.

$\begin{matrix} x = cos t, & y = 8 sin t, \end{matrix} t = \frac{π}{2}$

68.

$\begin{matrix} x = 2 t, & y = t^{3}, t = −1 \end{matrix}$

69.

$\begin{matrix} x = t + \frac{1}{t}, & y = t - \frac{1}{t}, t = 1 \end{matrix}$

70.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t, t = 4 \end{matrix}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna alla punkta á ferlinum þar sem hallatalan hefur gefið gildi.

71.

$\begin{matrix} x = 4 cos t, & y = 4 sin t, \end{matrix}$ hallatala = 0.5

72.

$\begin{matrix} x = 2 cos t, & y = 8 sin t, hallatala = −1 \end{matrix}$

73.

$\begin{matrix} x = t + \frac{1}{t}, & y = t - \frac{1}{t}, hallatala = 1 \end{matrix}$

74.

$\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{t}, & y = 2 - 4 t, hallatala = 0 \end{matrix}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið rita jöfnu snertilsins í kartesískum hnitum fyrir gefið gildi stikans t.

75.

$\begin{matrix} x = e^{\sqrt{t}}, & y = 1 - ln t^{2}, t = 1 \end{matrix}$

76.

$\begin{matrix} x = t ln t, & y = {sin}^{2} t, \end{matrix} t = \frac{π}{4}$

77.

$\begin{matrix} x = e^{t}, & y = {(t - 1)}^{2}, við (1, 1) \end{matrix}$

78.

Gefnar eru jöfnurnar $x = sin (2 t), y = 2 sin t$ þar sem $0 \leq t < 2 π .$ Finnið öll gildi t þar sem láréttur snertill er til.

79.

Gefnar eru jöfnurnar $x = sin (2 t), y = 2 sin t$ þar sem $0 \leq t < 2 π .$ Finnið öll gildi t þar sem lóðréttur snertill er til.

80.

Finnið alla punkta á ferlinum $x = 4 sin (t), y = 4 cos (t)$ þar sem hallatalan er $0.5$

81.

Finnið $\frac{d y}{d x}$ fyrir $x = sin (t), y = cos (t) .$

82.

Finnið jöfnu snertils við $x = sin (t), y = cos (t)$ í $t = \frac{π}{4} .$

83.

Finnið hallatölu og kúpni ferilsins $x = 4 t, y = 3 t - 2,$ þegar $t = 3 .$

84.

Finnið hallatölu og kúpni stikaða ferilsins $x = 4 cos θ, y = 4 sin θ,$ þegar $θ = \frac{π}{4} .$

85.

Finnið hallatölu og kúpni ferilsins $x = 2 + sec θ, y = 1 + 2 tan θ$ þegar $θ = \frac{π}{6} .$

86.

Finnið alla punkta á ferlinum $x = t + 4, y = t^{3} - 3 t$ þar sem snertillinn er lóðréttur eða láréttur.

87.

Finnið alla punkta á ferlinum $x = sec θ, y = tan θ$ þar sem láréttur eða lóðréttur snertill er til.

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna $d^{2} y / d x^{2} .$

88.

$\begin{matrix} x = t^{4} - 1, & y = t - t^{2} \end{matrix}$

89.

$\begin{matrix} x = sin (π t), & y = cos (π t) \end{matrix}$

90.

$\begin{matrix} x = e^{− t}, & y = t \end{matrix} e^{2 t}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna þá punkta á ferlinum þar sem snertillinn er láréttur eða lóðréttur.

91.

$\begin{matrix} x = t (t^{2} - 3), & y = 3 (t^{2} - 3) \end{matrix}$

92.

$\begin{matrix} x = \frac{3 t}{1 + t^{3}}, & y = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{matrix}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna $d y / d x$ við gefið gildi stikans.

93.

$\begin{matrix} x = cos t, & y = sin t, t = \frac{3 π}{4} \end{matrix}$

94.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t + 4, t = 9 \end{matrix}$

95.

$\begin{matrix} x = 4 cos (2 π s), & y = 3 sin \end{matrix} (2 π s), s = - \frac{1}{4}$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna $d^{2} y / d x^{2}$ í gefnum punkti án þess að eyða stikanum.

96.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t^{2}, & y = \frac{1}{3} t^{3}, & t = 2 \end{matrix}$

97.

$x = \sqrt{t}, y = 2 t + 4, t = 1$

98.

Finnið þau bil fyrir t þar sem ferillinn $x = 3 t^{2}, y = t^{3} - t$ er annars vegar kúptur og hins vegar hvelfdur.

99.

Ákvarðið kúpni ferilsins $x = 2 t + ln t, y = 2 t - ln t .$

100.

Teiknið og finnið flatarmálið undir einum boga hjólferilsins $x = r (θ - sin θ), y = r (1 - cos θ) .$

101.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af ferlinum $x = cos t, y = e^{t}, 0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ og línunum $y = 1$ og $x = 0 .$

102.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af sporbaugnum $x = a cos θ, y = b sin θ, 0 \leq θ < 2 π .$

103.

Finnið flatarmál svæðisins sem $x = 2 {sin}^{2} θ, y = 2 {sin}^{2} θ tan θ,$ afmarkar fyrir $0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna flatarmál svæðanna sem stikuðu ferlarnir og tilgreind gildi stikans afmarka.

104.

$x = 2 cot θ, y = 2 {sin}^{2} θ, 0 \leq θ \leq π$

105.

[T] $x = 2 a cos t - a cos (2 t), y = 2 a sin t - a sin (2 t), 0 \leq t < 2 π$

106.

[T] $x = a sin (2 t), y = b sin (t), 0 \leq t < 2 π$ („tímaglasið“)

107.

[T] $x = 2 a cos t - a sin (2 t), y = b sin t, 0 \leq t < 2 π$ („tárdropinn“)

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna bogalengd ferilsins á tilgreindu bili stikans.

108.

$x = 4 t + 3, y = 3 t - 2, 0 \leq t \leq 2$

109.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{3} t^{3}, & y = \frac{1}{2} t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

110.

$\begin{matrix} x = cos (2 t), & y = sin (2 t), & 0 \leq t \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$

111.

$\begin{matrix} x = 1 + t^{2}, & y = {(1 + t)}^{3}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

112.

$\begin{matrix} x = e^{t} cos t, & y = e^{t} sin t, & 0 \leq t \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$ (Notið tölvualgebrukerfi og gefið svarið sem tugabrot námundað að þremur aukastöfum.)

113.

$x = a {cos}^{3} θ, y = a {sin}^{3} θ$ á bilinu $[0, 2 π)$ (innhjólferillinn)

114.

Finnið lengd eins boga hjólferilsins $x = 4 (t - sin t), y = 4 (1 - cos t) .$

115.

Finnið vegalengd agnar með staðsetninguna $(x, y)$ þegar t tekur gildi á gefna tímabilinu: $\begin{matrix} x = {sin}^{2} t, & y = {cos}^{2} t, & 0 \leq t \leq 3 π \end{matrix} .$

116.

Finnið lengd eins boga hjólferilsins $x = θ - sin θ, y = 1 - cos θ .$

117.

Sýnið að heildarlengd sporbaugsins $x = 4 sin θ, y = 3 cos θ$ sé $L = 16 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} {sin}^{2} θ} d θ,$ þar sem $e = \frac{c}{a}$ og $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} .$

118.

Finnið lengd ferilsins $x = e^{t} - t, y = 4 e^{t / 2}, −8 \leq t \leq 3 .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna yfirborðsflatarmálið sem fæst þegar gefnum ferli er snúið um x-ásinn.

119.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}$

120.

$\begin{matrix} x = a {cos}^{3} θ, & y = a {sin}^{3} θ, & 0 \leq θ \leq \end{matrix} \frac{π}{2}$

121.

[T] Notið tölvualgebrukerfi til að finna yfirborðsflatarmálið sem myndast þegar $x = t + t^{3}, y = t - \frac{1}{t^{2}}, 1 \leq t \leq 2$ er snúið um x-ásinn. (Gefið svarið með þremur aukastöfum.)

122.

Finnið yfirborðsflatarmálið sem fæst þegar $x = 3 t^{2}, y = 2 t^{3}, 0 \leq t \leq 5$ er snúið um y-ásinn.

123.

Finnið yfirborðsflatarmálið sem myndast þegar $x = t^{2}, y = 2 t, 0 \leq t \leq 4$ er snúið um x-ásinn.

124.

Finnið yfirborðsflatarmálið sem myndast þegar $x = t^{2}, y = 2 t^{2}, 0 \leq t \leq 1$ er snúið um y-ásinn.