77 Stikajöfnur og skauthnit

7.3 Skauthnit

Námsmarkmið

7.3.1 Staðsetja punkta í sléttu með skauthnitum.
7.3.2 Umrita hnit punkta milli rétthyrndra hnita og skauthnita.
7.3.3 Teikna skauthnitaferla út frá gefnum jöfnum.
7.3.4 Umrita jöfnur milli rétthyrndra hnita og skauthnita.
7.3.5 Greina samhverfu skauthnitaferla og skauthnitajafna.

Rétthyrnda hnitakerfið (eða kartesíska sléttan) gerir kleift að varpa punktum á raðtvenndir og raðtvenndum á punkta. Þetta kallast gagntæk vörpun milli punkta sléttunnar og raðtvennda. Skauthnitakerfið veitir aðra aðferð til að varpa punktum á raðtvenndir. Í þessum kafla sjáum við að við vissar aðstæður geta skauthnit verið gagnlegri en rétthyrnd hnit.

Skilgreining skauthnita

Til að finna hnit punkts í skauthnitakerfinu skoðum við mynd 7.27 . Punkturinn $P$ hefur kartesísku hnitin $(x, y) .$ Línustrikið sem tengir upphafspunktinn við punktinn $P$ sýnir fjarlægðina frá upphafspunktinum til $P$ og hefur lengdina $r .$ Hornið milli jákvæða $x$ -ássins og línustriksins hefur stærðina $θ .$ Þessi athugun bendir til eðlilegrar samsvörunar milli hnitaparsins $(x, y)$ og gildanna $r$ og $θ .$ Þessi samsvörun er undirstaða skauthnitakerfisins. Athugið að sérhverjum punkti í kartesísku sléttunni tengjast tvö gildi (þess vegna er talað um raðtvennd). Í skauthnitakerfinu tengjast sérhverjum punkti einnig tvö gildi: $r$ og $θ .$

Punkturinn P(x, y) er í fyrsta fjórðungi og línur sýna x- og y-gildi hans. Lína frá upphafspunktinum að P(x, y) er merkt r og myndar hornið θ við x-ásinn. — **Mynd 7.27.** Ótiltekinn punktur í kartesísku sléttunni.

Samkvæmt hornafræði rétthyrndra þríhyrninga gilda eftirfarandi jöfnur fyrir punktinn $P :$

cos θ = \frac{x}{r} því x = r cos θ

sin θ = \frac{y}{r} því y = r sin θ .

Ennfremur gildir

r^{2} = x^{2} + y^{2} og tan θ = \frac{y}{x} .

Því má tákna sérhvern punkt $(x, y)$ í kartesíska hnitakerfinu sem raðtvennd $(r, θ)$ í skauthnitakerfinu. Fyrra hnitið kallast geislahnit og hið síðara hornhnit. Sérhvern punkt í sléttunni má tákna á þessu formi.

Athugið að jafnan $tan θ = y / x$ hefur óendanlega margar lausnir fyrir sérhverja raðtvennd $(x, y) .$ Ef við takmörkum hins vegar lausnirnar við gildi milli $0$ og $2 π$ getum við valið einkvæma lausn sem samsvarar þeim fjórðungi þar sem upphaflegi punkturinn $(x, y)$ liggur. Samsvarandi gildi r er þá jákvætt, svo $r^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Dæmi 7.10

Umritun milli rétthyrndra hnita og skauthnita

Umritið hnit hvers eftirfarandi punkts sem skauthnit.

$(1, 1)$
$(−3, 4)$
$(0, 3)$
$(5 \sqrt{3}, −5)$

Umritið hnit hvers eftirfarandi punkts sem rétthyrnd hnit.

$(3, π / 3)$
$(2, 3 π / 2)$
$(6, −5 π / 6)$

Lausn

Notið $x = 1$ og $y = 1$ í jöfnu 7.8 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & 1^{2} + 1^{2} \\ r & = & \sqrt{2} \end{matrix} & og & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{1}{1} = 1 \\ θ & = & \frac{π}{4} . \end{matrix} \end{matrix}$

Því má tákna þennan punkt með $(\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ í skauthnitum.
Notið $x = −3$ og $y = 4$ í jöfnu 7.8 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(−3)}^{2} + {(4)}^{2} \\ r & = & 5 \end{matrix} & og & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & - \frac{4}{3} \\ θ & = & π - \arctan (\frac{4}{3}) \\ \approx & 2.21 . \end{matrix} \end{matrix}$ Punkturinn

$(- 3, 4)$ liggur í fjórðungi $II$ . Dragið viðmiðunarhornið $arctan (\frac{4}{3})$ frá $π$ til að finna stærð $θ$ í radíönum. Því má tákna þennan punkt með
$(5, 2.21)$ í skauthnitum.
Notið $x = 0$ og $y = 3$ í jöfnu 7.8 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(3)}^{2} + {(0)}^{2} \\ = & 9 + 0 \\ r & = & 3 \end{matrix} & og & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{3}{0} . \end{matrix} \end{matrix}$

Bein notkun seinni jöfnunnar leiðir til deilingar með núlli. Þegar punkturinn $(0, 3)$ er teiknaður í rétthyrnda hnitakerfinu sést að hann liggur á jákvæða y-ásnum. Hornið milli jákvæða x-ássins og jákvæða y-ássins er $\frac{π}{2} .$ Því má tákna þennan punkt með $(3, \frac{π}{2})$ í skauthnitum.
Notið $x = 5 \sqrt{3}$ og $y = −5$ í jöfnu 7.8 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} r^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ = & {(5 \sqrt{3})}^{2} + {(−5)}^{2} \\ = & 75 + 25 \\ r & = & 10 \end{matrix} & og & \begin{matrix} tan θ & = & \frac{y}{x} \\ = & \frac{−5}{5 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ θ & = & - \frac{π}{6} . \end{matrix} \end{matrix}$

Því má tákna þennan punkt með $(10, - \frac{π}{6})$ í skauthnitum.
Notið $r = 3$ og $θ = \frac{π}{3}$ í jöfnu 7.7 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 3 cos (\frac{π}{3}) \\ = & 3 (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \end{matrix} & og & \begin{matrix} y & = & r sin θ \\ = & 3 sin (\frac{π}{3}) \\ = & 3 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} . \end{matrix} \end{matrix}$

Því má tákna þennan punkt með $(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ í rétthyrndum hnitum.
Notið $r = 2$ og $θ = \frac{3 π}{2}$ í jöfnu 7.7 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 2 cos (\frac{3 π}{2}) \\ = & 2 (0) = 0 \end{matrix} & og & \begin{matrix} y & = & r sin θ \\ = & 2 sin (\frac{3 π}{2}) \\ = & 2 (−1) = −2. \end{matrix} \end{matrix}$

Því má tákna þennan punkt með $(0, −2)$ í rétthyrndum hnitum.
Notið $r = 6$ og $θ = - \frac{5 π}{6}$ í jöfnu 7.7 :
$\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & 6 cos (- \frac{5 π}{6}) \\ = & 6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & −3 \sqrt{3} \end{matrix} & og & \begin{matrix} y & = & r sin θ \\ = & 6 sin (- \frac{5 π}{6}) \\ = & 6 (- \frac{1}{2}) \\ = & −3. \end{matrix} \end{matrix}$

Því má tákna þennan punkt með $(−3 \sqrt{3}, −3)$ í rétthyrndum hnitum.

Skauthnit punkts eru ekki ótvíræð. Til dæmis tákna skauthnitin $(2, \frac{π}{3})$ og $(2, \frac{7 π}{3})$ bæði punktinn $(1, \sqrt{3})$ í rétthyrnda hnitakerfinu. Gildi $r$ má einnig vera neikvætt. Punkturinn með skauthnitin $(−2, \frac{4 π}{3})$ táknar því einnig punktinn $(1, \sqrt{3})$ í rétthyrnda hnitakerfinu, eins og sjá má með jöfnu 7.8 :

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & r cos θ \\ = & −2 cos (\frac{4 π}{3}) \\ = & −2 (- \frac{1}{2}) = 1 \end{matrix} & og & \begin{matrix} y & = & r sin θ \\ = & −2 sin (\frac{4 π}{3}) \\ = & −2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Sérhver punktur í sléttunni hefur óendanlega margar framsetningar í skauthnitum. Hins vegar hefur hver punktur í sléttunni aðeins eina framsetningu í rétthyrnda hnitakerfinu.

Athugið að framsetning punkts í skauthnitum hefur einnig rúmfræðilega túlkun. Gildið $r$ er stefnubundna fjarlægðin frá upphafspunktinum til punktsins og $θ$ mælir hornið sem línustrikið frá upphafspunktinum til punktsins myndar við jákvæða $x$ -ásinn. Jákvæð horn eru mæld rangsælis og neikvæð horn réttsælis. Skauthnitakerfið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Röð sammiðja hringa er teiknuð ásamt geislum sem sýna mismunandi gildi frá 0 til 2π með π/12 bili. Fyrsti fjórðungur hefst á 0 þar sem x-ásinn væri; næsti geisli er merktur π/12, síðan π/6, π/4, π/3, 5π/12, π/2 og svo koll af kolli um annan, þriðja og fjórða fjórðung. Skauthnitaásinn er merktur við línuna þar sem x-ásinn væri. — **Mynd 7.28.** Skauthnitakerfið.

Línustrikið sem liggur frá miðju grafsins til hægri (kallað jákvæði x-ásinn í kartesíska kerfinu) er skauthnitaásinn. Miðpunkturinn er skaut hnitakerfisins, eða upphafspunktur þess, og samsvarar $r = 0 .$ Innsti hringurinn á mynd 7.28 inniheldur alla punkta í einnar einingar fjarlægð frá skautinu og er táknaður með jöfnunni $r = 1 .$ Síðan táknar $r = 2$ mengi punkta sem eru 2 einingar frá skautinu og svo koll af kolli. Línustrikin sem liggja frá skautinu samsvara föstum hornum. Til að teikna punkt í skauthnitakerfinu er byrjað á horninu. Ef hornið er jákvætt er það mælt rangsælis frá skauthnitaásnum. Ef það er neikvætt er það mælt réttsælis. Ef gildi $r$ er jákvætt er sú vegalengd farin eftir endageisla hornsins. Ef það er neikvætt er farið eftir geislanum sem liggur gagnstætt endageisla gefna hornsins.

Dæmi 7.11

Punktar teiknaðir í skauthnitakerfi

Teiknið hvern eftirfarandi punkt í skauthnitakerfið.

$(2, \frac{π}{4})$
$(−3, \frac{2 π}{3})$
$(4, \frac{5 π}{4})$

Lausn

Punktarnir þrír eru teiknaðir á eftirfarandi mynd.

Þrír punktar eru merktir í skauthnitakerfi: (2, π/4) í fyrsta fjórðungi, (4, 5π/4) í þriðja fjórðungi og (−3, 2π/3) í fjórða fjórðungi. — **Mynd 7.29.** Þrír punktar teiknaðir í skauthnitakerfi.

Skauthnitaferlar

Nú þegar við kunnum að teikna punkta í skauthnitakerfið getum við rætt hvernig ferlar eru teiknaðir. Í rétthyrnda hnitakerfinu getum við teiknað graf fallsins $y = f (x)$ og þannig myndað feril í kartesísku sléttunni. Á sama hátt getum við teiknað feril með fallinu $r = f (θ) .$

Grunnhugmyndin við að teikna graf falls í skauthnitum er sú sama og þegar fall er teiknað í rétthyrndum hnitum. Byrjið á lista yfir gildi óháðu breytunnar $(θ$ í þessu tilviki) og reiknið samsvarandi gildi háðu breytunnar $r .$ Þannig fæst listi raðtvennda sem má teikna í skauthnitakerfið. Tengið loks punktana og nýtið þau mynstur sem kunna að koma fram. Fallið gæti til dæmis verið lotubundið, sem merkir að aðeins þarf takmarkaðan fjölda gilda óháðu breytunnar.

Dæmi 7.12

Graf falls teiknað í skauthnitum

Teiknið ferilinn sem skilgreindur er með fallinu $r = 4 sin θ .$ Greinið ferilinn og umritið jöfnuna í rétthyrnd hnit.

Lausn

Þar sem fallið er margfeldi af sínusfalli er það lotubundið og lotan er $2 π,$ notið því gildi $θ$ milli 0 og $2 π .$ Niðurstöður skrefa 1–3 eru sýndar í eftirfarandi töflu. Mynd 7.30 sýnir grafið sem byggist á töflunni.

θ	r = 4 sin θ		θ	r = 4 sin θ
0	0		π	0
π/6	2	7 π/6	−2
π/4	2 2 ≈ 2.8	5 π/4	−2 2 ≈ −2.8
π/3	2 3 ≈ 3.4	4 π/3	−2 3 ≈ −3.4
π/2	4	3 π/2	-4
2 π/3	2 3 ≈ 3.4	5 π/3	−2 3 ≈ −3.4
3 π/4	2 2 ≈ 2.8	7 π/4	−2 2 ≈ −2.8
5 π/6	2	11 π/6	−2
		2 π	0

Í skauthnitakerfi er teiknaður hringur með geisla 2. Hann snertir upphafspunktinn og punktana (2 sinnum kvaðratrótin af 2, π/4), (4, π/2) og (2 sinnum kvaðratrótin af 2, 3π/4). — **Mynd 7.30.** Graf fallsins r = 4 sin θ er hringur.

Þetta er graf hrings. Umrita má jöfnuna $r = 4 sin θ$ í rétthyrnd hnit með því að margfalda fyrst báðar hliðar með $r .$ Þá fæst jafnan $r^{2} = 4 r sin θ .$ Notum næst staðreyndirnar $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ og $y = r sin θ .$ Þá fæst $x^{2} + y^{2} = 4 y .$ Til að setja jöfnuna á staðalform drögum við $4 y$ frá báðum hliðum hennar og fyllum í ferningslið:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 y & = & 0 \\ x^{2} + (y^{2} - 4 y) & = & 0 \\ x^{2} + (y^{2} - 4 y + 4) & = & 0 + 4 \\ x^{2} + {(y - 2)}^{2} & = & 4. \end{matrix}

Þetta er jafna hrings með geisla 2 og miðju $(0, 2)$ í rétthyrnda hnitakerfinu.

Grafið í dæmi 7.12 var hringur. Umrita má jöfnu hringsins í rétthyrnd hnit með umritunarformúlunum í jöfnu 7.8 . Dæmi 7.14 sýnir fleiri dæmi um umritun falla úr skauthnitum í rétthyrnd hnit.

Dæmi 7.13

Skauthnitajöfnur umritaðar í rétthyrnd hnit

Umritið hverja eftirfarandi jöfnu í rétthyrnd hnit og greinið graf hennar.

$θ = \frac{π}{3}$
$r = 3$
$r = 6 cos θ - 8 sin θ$

Lausn

Takið tangens af báðum hliðum. Þá fæst $tan θ = tan (π / 3) = \sqrt{3} .$ Þar sem $tan θ = y / x$ er vinstri hlið jöfnunnar $y / x .$ Þá fæst $y / x = \sqrt{3},$ sem má umrita sem $y = x \sqrt{3} .$ Þetta er jafna beinnar línu sem liggur gegnum upphafspunktinn og hefur hallatöluna $\sqrt{3} .$ Almennt táknar sérhver skauthnitajafna af gerðinni $θ = K$ beina línu gegnum skautið með hallatöluna $tan K .$
Hefjum báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi. Þá fæst $r^{2} = 9 .$ Í stað $r^{2}$ setjum við $x^{2} + y^{2} .$ Þá fæst jafnan $x^{2} + y^{2} = 9,$ sem er jafna hrings með miðju í upphafspunktinum og geisla 3. Almennt táknar sérhver skauthnitajafna af gerðinni $r = k$ , þar sem k er jákvæður fasti, hring með geisla k og miðju í upphafspunktinum. (Athugið: Þegar báðar hliðar jöfnu eru hafnar í annað veldi er mögulegt að nýir punktar bætist óvart við. Þetta þarf alltaf að hafa í huga. Í þessu tilviki bætast þó engir nýir punktar við. Til dæmis táknar $(−3, \frac{π}{3})$ sama punkt og $(3, \frac{4 π}{3}) .)$
Margföldum báðar hliðar jöfnunnar með $r .$ Þá fæst $r^{2} = 6 r cos θ - 8 r sin θ .$ Notum næst formúlurnar
$r^{2} = x^{2} + y^{2}, x = r cos θ, y = r sin θ .$

Þá fæst
$\begin{matrix} r^{2} & = & 6 (r cos θ) - 8 (r sin θ) \\ x^{2} + y^{2} & = & 6 x - 8 y . \end{matrix}$

Til að setja jöfnuna á staðalform færum við fyrst breyturnar frá hægri hlið jöfnunnar yfir á vinstri hlið og fyllum síðan í ferningslið.
$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 6 x - 8 y \\ x^{2} - 6 x + y^{2} + 8 y & = & 0 \\ (x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 8 y) & = & 0 \\ (x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 8 y + 16) & = & 9 + 16 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} & = & 25. \end{matrix}$

Þetta er jafna hrings með miðju í $(3, −4)$ og geisla 5. Athugið að hringurinn liggur gegnum upphafspunktinn þar sem miðjan er í 5 eininga fjarlægð frá honum.

Við höfum nú séð nokkur dæmi um hvernig teikna má gröf ferla sem skauthnitajöfnur skilgreina. Eftirfarandi töflur draga saman nokkra algenga ferla. Í hverri jöfnu eru a og b ótilteknir fastar.

Taflan hefur þrjá dálka og 3 raðir. Fyrsta röðin er haus með heitunum, frá vinstri til hægri: heiti, jafna og dæmi. Önnur röðin er Bein lína gegnum skautið með hallatölu tan K; θ = K; og mynd af beinni línu í skauthnitakerfi þar sem θ = π/3. Þriðja röðin er Hringur; r = a cosθ + b sinθ; og mynd af hring í skauthnitakerfi með jöfnuna r = 2 cos(θ) – 3 sin(θ). Hringurinn snertir upphafspunktinn en miðja hans er í þriðja fjórðungi.

Taflan hefur þrjá dálka og 3 raðir. Fyrsta röðin er Vefja; r = a + bθ; og mynd af vefju sem hefst í upphafspunktinum og hefur jöfnuna r = θ/3. Önnur röðin er Hjartaferill; r = a(1 + cosθ), r = a(1 – cosθ), r = a(1 + sinθ), r = a(1 – sinθ); og mynd af hjartaferli með jöfnuna r = 3(1 + cosθ). Hjartaferillinn líkist hjarta sem hefur verið snúið á hlið, með ávalan botn í stað odds. Þriðja röðin er Snigilferill; r = a cosθ + b, r = a sinθ + b; og mynd af snigilferli með jöfnuna r = 2 + 4 sinθ. Myndin líkist aflöguðum hring með lykkju að innan. Sjöunda röðin er Rós; r = a cos(bθ), r = a sin(bθ); og mynd af rós með jöfnuna r = 3 sin(2θ). Rósin líkist blómi með fjórum krónublöðum, eitt í hverjum fjórðungi. Hvert þeirra hefur lengdina 3 og nær aftur að upphafspunktinum á milli krónublaðanna.

Hjartaferill er sértilvik snigilferils (limaçon, borið fram „lí-ma-son“) þar sem $a = b$ eða $a = − b .$ Rósin er mjög áhugaverður ferill. Athugið að grafið fyrir $r = 3 sin 2 θ$ hefur fjögur krónublöð. Grafið fyrir $r = 3 sin 3 θ$ hefur hins vegar þrjú krónublöð, eins og sýnt er.

Rós með þremur krónublöðum; einu í fyrsta fjórðungi, öðru í öðrum fjórðungi og því þriðja í þriðja og fjórða fjórðungi. Hvert krónublað hefur lengdina 3 og hefst og endar í upphafspunktinum. — **Mynd 7.33.** Graf $r = 3 sin 3 θ .$

Ef stuðull $θ$ er slétt tala hefur grafið tvöfalt fleiri krónublöð en stuðullinn segir til um. Ef stuðull $θ$ er oddatala er fjöldi krónublaða jafn stuðlinum. Lesendur eru hvattir til að kanna hvers vegna þetta gerist. Enn áhugaverðari gröf myndast þegar stuðull $θ$ er ekki heiltala. Ef hann er til dæmis ræð tala er ferillinn lokaður, það er hann endar að lokum þar sem hann hófst (mynd 7.34 (a)). Ef stuðullinn er hins vegar óræð tala lokast ferillinn aldrei (mynd 7.34 (b)). Þótt ferillinn kunni að virðast lokaður sýnir nánari athugun að krónublöðin rétt ofan við jákvæða r-ásinn eru örlítið þykkari. Ástæðan er sú að krónublaðið fellur ekki alveg saman við upphafspunktinn.

Myndin skiptist í tvær myndir. Sú fyrri sýnir rós með svo mörgum krónublöðum sem skarast að nokkur mynstur myndast; í miðjunni er oddhvöss tíu arma stjarna og utar verða krónublöðin sífellt ávalari. Síðari myndin sýnir rós með enn fleiri krónublöðum sem skarast, svo mörgum að ógerlegt er að greina hvað gerist í miðjunni, en á ytri brúnunum sjást mörg hvassbogin krónublöð. — **Mynd 7.34.** Gröf skauthnitarósa fyrir föll með (a) ræðum stuðli og (b) óræðum stuðli. Athugið að rósin í (b) fyllir ekki skífuna með geisla 3 og miðju í upphafspunktinum, þótt svo virðist. Til að sjá það nægir að athuga að á sérhverjum föstum geisla frá upphafspunktinum eru aðeins teljanlega mörg gildi þeta sem gefa punkt á grafinu eftir þeim geisla. Hins vegar má segja að fyrir sérhvern punkt í skífunni séu punktar á grafinu eins nálægt honum og óskað er.

Dæmi 7.14

Upphaf kaflans: Vefju lýst

Rifjið upp hólfaskiptu perlusnekkjuna sem kynnt var í upphafi kaflans. Þegar helmingur ytri skeljar hennar er skorinn burt sést vefjulögun. Hægt er að lýsa vefju með rétthyrndum hnitum. Mynd 7.35 sýnir vefju í rétthyrndum hnitum. Hvernig getum við lýst þessum ferli stærðfræðilega?

Vefja hefst í upphafspunktinum og geisli hennar vex stöðugt að punkti P(x, y). — **Mynd 7.35.** Hvernig getum við lýst grafi vefju stærðfræðilega?

Lausn

Þegar punkturinn P færist rangsælis eftir vefjunni eykst fjarlægð hans d frá upphafspunktinum. Gerum ráð fyrir að fjarlægðin d sé fast margfeldi k af horninu $θ$ sem línustrikið OP myndar við jákvæða r-ásinn. Því er $d (P, O) = k θ,$ þar sem $O$ er upphafspunkturinn. Notum nú fjarlægðarformúluna og hornafræði:

\begin{matrix} d (P, O) & = & k θ \\ \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} & = & k arctan (\frac{y}{x}) \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} & = & k arctan (\frac{y}{x}) \\ arctan (\frac{y}{x}) & = & \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{k} \\ y & = & x tan (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{k}) . \end{matrix}

Þótt þessi jafna lýsi vefjunni er hvorki hægt að leysa hana beint fyrir x né y. Ef við notum skauthnit verður jafnan hins vegar mun einfaldari. Nánar tiltekið er $d (P, O) = r,$ og $θ$ er síðara hnitið. Jafna vefjunnar verður því $r = k θ .$ Athugið að ef $θ = 0$ þá er einnig $r = 0,$ svo vefjan hefst í upphafspunktinum. Við getum aflétt þessari takmörkun með því að bæta fasta við jöfnuna. Þá verður jafna vefjunnar $r = a + k θ$ fyrir einhverja fasta $a$ og $k .$ Þetta kallast vefja Arkimedesar, eftir gríska stærðfræðingnum Arkimedesi.

Önnur gerð vefju er logravefja, sem lýst er með fallinu $r = a \cdot b^{θ} .$ Graf fallsins $r = 1.2 ({1.25}^{θ})$ er sýnt á mynd 7.36 . Þessi vefja lýsir lögun skeljar hólfaskiptrar perlusnekkju.

Myndin skiptist í tvær myndir. Sú fyrri sýnir skel með mörgum hólfum sem stækka frá miðju og út. Sú síðari sýnir vefju með jöfnuna r = 1.2(1.25θ). — **Mynd 7.36.** Logravefja líkist lögun skeljar hólfaskiptrar perlusnekkju. (mynd: breytt verk eftir Jitze Couperus, Flickr)

Gerum ráð fyrir að ferli sé lýst í skauthnitakerfinu með fallinu $r = f (θ) .$ Þar sem umritunarformúlurnar úr skauthnitum í rétthyrnd hnit eru

\begin{matrix} x = r cos θ \\ y = r sin θ, \end{matrix}

má umrita þær með fallinu

\begin{matrix} x = f (θ) cos θ \\ y = f (θ) sin θ . \end{matrix}

Þetta skref gefur stikun ferilsins í rétthyrndum hnitum þar sem $θ$ er stiki. Vefjuformúlan $r = a + b θ$ á mynd 7.31 verður til dæmis

\begin{matrix} x = (a + b θ) cos θ \\ y = (a + b θ) sin θ . \end{matrix}

Þegar $θ$ tekur gildi frá $− \infty$ til $\infty$ myndast öll vefjan.

Samhverfa í skauthnitum

Þegar samhverfa falla í rétthyrndum hnitum er rannsökuð (þ.e. á forminu $y = f (x)),$ er rætt um samhverfu um y-ásinn og samhverfu um upphafspunktinn. Ef $f (− x) = f (x)$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f,$ er $f$ jafnstætt fall og graf þess samhverft um y-ásinn. Ef $f (− x) = − f (x)$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f,$ er $f$ oddstætt fall og graf þess samhverft um upphafspunktinn. Með því að ákvarða hvers konar samhverfu graf hefur getum við lært meira um lögun þess og útlit. Samhverfa getur einnig leitt í ljós aðra eiginleika fallsins sem myndar grafið. Samhverfa skauthnitaferla virkar á svipaðan hátt.

Eftirfarandi tafla sýnir dæmi um hverja gerð samhverfu.

Taflan hefur þrjár raðir og tvo dálka. Í fyrstu röð stendur „Samhverfa um skauthnitaásinn: Fyrir sérhvern punkt (r, θ) á grafinu er einnig punktur sem er speglaður beint yfir lárétta ásinn (skauthnitaásinn)“ og þar er mynd af hjartaferli með jöfnuna r = 2 – 2 cosθ. Á hjartaferlinum eru merktir punktarnir (r, θ) og (r, −θ), sem eru samhverfir um x-ásinn, og allur hjartaferillinn er samhverfur um x-ásinn. Í annarri röð stendur „Samhverfa um skautið: Fyrir sérhvern punkt (r, θ) á grafinu er einnig punktur á grafinu sem er speglaður gegnum skautið“ og þar er mynd sem líkist skökku óendanleikamerki með jöfnuna r2 = 9 cos(2θ – π/2). Á myndinni eru merktir punktarnir (r, θ) og (−r, θ), sem eru samhverfir um skautið, og öll myndin er samhverf um skautið. Í þriðju röð stendur „Samhverfa um lóðréttu línuna θ = π/2: Fyrir sérhvern punkt (r, θ) á grafinu er einnig punktur sem er speglaður beint yfir lóðrétta ásinn“ og þar er mynd af hjartaferli með jöfnuna r = 2 – 2 sinθ. Á myndinni eru merktir punktarnir (r, θ) og (r, π − θ), sem eru samhverfir um lóðréttu línuna θ = π/2, og allur hjartaferillinn er samhverfur um lóðréttu línuna θ = π/2.

Dæmi 7.15

Samhverfa notuð til að teikna skauthnitajöfnu

Finnið samhverfu rósarinnar sem jafnan $r = 3 sin (2 θ)$ skilgreinir og teiknið graf hennar.

Lausn

Gerum ráð fyrir að punkturinn $(r, θ)$ sé á grafi $r = 3 sin (2 θ) .$

Til að kanna samhverfu um skauthnitaásinn reynum við fyrst að skipta $θ$ út fyrir $− θ .$ Þá fæst $r = 3 sin (2 (− θ)) = −3 sin (2 θ) .$ Þar sem þetta breytir upphaflegu jöfnunni stenst hún ekki þetta próf. Förum hins vegar aftur að upphaflegu jöfnunni og skiptum $r$ út fyrir $− r$ og $θ$ út fyrir $π - θ$ . Þá fæst
$\begin{matrix} − r = 3 sin (2 (π - θ)) \\ − r = 3 sin (2 π - 2 θ) \\ − r = 3 sin (−2 θ) \\ − r = −3 sin 2 θ . \end{matrix}$

Þegar báðar hliðar þessarar jöfnu eru margfaldaðar með $−1$ fæst $r = 3 sin 2 θ,$ sem er upphaflega jafnan. Þetta sýnir að grafið er samhverft um skauthnitaásinn.
Til að kanna samhverfu um skautið skiptum við fyrst $r$ út fyrir $− r,$ þá fæst $− r = 3 sin (2 θ) .$ Þegar báðar hliðar eru margfaldaðar með −1 fæst $r = −3 sin (2 θ),$ sem er ekki í samræmi við upphaflegu jöfnuna. Jafnan stenst því ekki prófið fyrir þessa samhverfu. Förum hins vegar aftur að upphaflegu jöfnunni og skiptum $θ$ út fyrir $θ + π$ . Þá fæst
$\begin{matrix} r & = 3 sin (2 (θ + π)) \\ = 3 sin (2 θ + 2 π) \\ = 3 (sin 2 θ cos 2 π + cos 2 θ sin 2 π) \\ = 3 sin 2 θ . \end{matrix}$

Þar sem niðurstaðan er í samræmi við upphaflegu jöfnuna er grafið samhverft um skautið.
Til að kanna samhverfu um lóðréttu línuna $θ = \frac{π}{2},$ skiptum við fyrst bæði $r$ út fyrir $− r$ og $θ$ út fyrir $− θ .$

$\begin{matrix} − r = 3 sin (2 (− θ)) \\ − r = 3 sin (−2 θ) \\ − r = −3 sin 2 θ . \end{matrix}$

Þegar báðar hliðar þessarar jöfnu eru margfaldaðar með $−1$ fæst $r = 3 sin 2 θ,$ sem er upphaflega jafnan. Grafið er því samhverft um lóðréttu línuna $θ = \frac{π}{2} .$

Þetta graf er samhverft um skauthnitaásinn, upphafspunktinn og lóðréttu línuna gegnum skautið. Til að teikna graf fallsins tökum við saman gildi $θ$ milli 0 og $π / 2$ og speglum síðan grafið sem fæst.

θ	r
0	0
π/6	3 $\frac{3}{2}$ ≈ 2.6
π/4	3
π/3	3 $\frac{3}{2}$ ≈ 2.6
π/2	0

Þannig fæst eitt krónublað rósarinnar, eins og eftirfarandi graf sýnir.

Eitt krónublað er teiknað með jöfnuna r = 3 sin(2θ) fyrir 0 ≤ θ ≤ π/2. Það hefst í upphafspunktinum og nær mest þremur lengdareiningum frá honum. — **Mynd 7.37.** Graf jöfnunnar milli θ = 0 og θ = π / 2 .

Þegar þessi mynd er spegluð í hina þrjá fjórðungana fæst allt grafið, eins og sýnt er.

Fjögurra krónublaða rós er teiknuð með jöfnuna r = 3 sin(2θ). Hvert krónublað hefst í upphafspunktinum og nær mest þremur lengdareiningum frá honum. — **Mynd 7.38.** Allt graf jöfnunnar kallast fjögurra krónublaða rós.

Æfingar í kafla 7.3

Í eftirfarandi æfingum teiknið punktinn sem hefur gefin skauthnit með því að mynda fyrst hornið $θ$ og merkja síðan fjarlægðina r eftir geislanum.

125.

$(3, \frac{π}{6})$

126.

$(−2, \frac{5 π}{3})$

127.

$(0, \frac{7 π}{6})$

128.

$(−4, \frac{3 π}{4})$

129.

$(1, \frac{π}{4})$

130.

$(2, \frac{5 π}{6})$

131.

$(1, \frac{π}{2})$

Í eftirfarandi æfingum skoðið skauthnitagrafið hér fyrir neðan. Gefið tvö skauthnitapör fyrir hvern punkt.

Skauthnitakerfinu er skipt í 12 geira. Punktur A er á fyrsta hringnum og fyrsta geislanum ofan við línuna θ = 0 í fyrsta fjórðungi. Punktur B er í fjórða fjórðungi á þriðja hringnum og öðrum geislanum neðan við línuna θ = 0. Punktur C er á línunni θ = π á þriðja hringnum. Punktur D er á fjórða hringnum og fyrsta geislanum neðan við línuna θ = π.

132.

Hnit punkts A.

133.

Hnit punkts B.

134.

Hnit punkts C.

135.

Hnit punkts D.

Í eftirfarandi æfingum eru gefin rétthyrnd hnit punkts. Finnið tvö skauthnitapör fyrir punktinn á bilinu $(0, 2 π] .$ Námundið að þremur aukastöfum.

136.

$(2, 2)$

137.

$(3, −4)$

138.

$(8, 15)$

139.

$(−6, 8)$

140.

$(4, 3)$

141.

$(3, − \sqrt{3})$

Í eftirfarandi æfingum finnið rétthyrnd hnit fyrir gefinn punkt í skauthnitum.

142.

$(2, \frac{5 π}{4})$

143.

$(−2, \frac{π}{6})$

144.

$(5, \frac{π}{3})$

145.

$(1, \frac{7 π}{6})$

146.

$(−3, \frac{3 π}{4})$

147.

$(0, \frac{π}{2})$

148.

$(−4.5, 6.5)$

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið hvort graf hverrar skauthnitajöfnu sé samhverft um $x$ -ásinn, $y$ -ásinn eða upphafspunktinn.

149.

$r = 3 sin (2 θ)$

150.

$r^{2} = 9 cos θ$

151.

$r = cos (\frac{θ}{5})$

152.

$r = 2 sec θ$

153.

$r = 1 + cos θ$

Í eftirfarandi æfingum lýsið grafi hverrar skauthnitajöfnu. Staðfestið lýsinguna með því að umrita jöfnuna í rétthyrnd hnit.

154.

$r = 3$

155.

$θ = \frac{π}{4}$

156.

$r = sec θ$

157.

$r = csc θ$

Í eftirfarandi æfingum umritið rétthyrndu jöfnuna á skauthnitaform og skissið graf hennar.

158.

$x^{2} + y^{2} = 16$

159.

$x^{2} - y^{2} = 16$

160.

$x = 8$

Í eftirfarandi æfingum umritið rétthyrndu jöfnuna á skauthnitaform og skissið graf hennar.

161.

$3 x - y = 2$

162.

$y^{2} = 4 x$

Í eftirfarandi æfingum umritið skauthnitajöfnuna á rétthyrnt form og skissið graf hennar.

163.

$r = 4 sin θ$

164.

$r = 6 cos θ$

165.

$r = θ$

166.

$r = cot θ csc θ$

Í eftirfarandi æfingum skissið graf skauthnitajöfnunnar og greinið hvers kyns samhverfu.

167.

$r = 1 + sin θ$

168.

$r = 3 - 2 cos θ$

169.

$r = 2 - 2 sin θ$

170.

$r = 5 - 4 sin θ$

171.

$r = 3 cos (2 θ)$

172.

$r = 3 sin (2 θ)$

173.

$r = 2 cos (3 θ)$

174.

$r = 3 cos (\frac{θ}{2})$

175.

$r^{2} = 4 cos (2 θ)$

176.

$r^{2} = 4 sin θ$

177.

$r = 2 θ$

178.

[T] Jafna ferilsins er $r = 2 cos (2 θ) sec (θ) .$ Ferillinn nefnist strophoid-ferill. Notið grafteikniforrit til að skissa grafið og ákvarðið aðfelluna út frá því.

179.

[T] Notið grafteikniforrit til að skissa grafið fyrir $r = \frac{6}{2 sin θ - 3 cos θ} .$

180.

[T] Notið grafteikniforrit til að teikna $r = \frac{1}{1 - cos θ} .$

181.

[T] Notið tækni til að teikna grafið fyrir $r = e^{sin (θ)} - 2 cos (4 θ) .$

182.

[T] Notið tækni til að teikna $r = sin (\frac{3 θ}{7})$ (notið bilið $0 \leq θ \leq 14 π) .$

183.

Skissið eftirfarandi skauthnitaferil án þess að nota tækni: $θ = \frac{2 π}{3} .$

184.

[T] Notið grafteikniforrit til að teikna $r = θ sin θ$ fyrir $− π \leq θ \leq π .$

185.

[T] Notið tækni til að teikna $r = e^{−0.1 θ}$ fyrir $−10 \leq θ \leq 10 .$

186.

[T] Til er ferill sem kallast „svartholið“. Notið tækni til að teikna $r = e^{−0.01 θ}$ fyrir $−100 \leq θ \leq 100 .$

187.

[T] Notið niðurstöður tveggja dæmanna á undan til að kanna gröf $r = e^{−0.001 θ}$ og $r = e^{−0.0001 θ}$ fyrir $| θ | > 100 .$