77 Stikajöfnur og skauthnit

Lykilatriði

Meginatriði

7.1 Stikajöfnur

Stikajöfnur eru hentug leið til að lýsa ferli. Stiki getur táknað tíma eða aðra stærð sem hefur merkingu í viðfangsefninu.
Oft er hægt að eyða stikanum úr stikuðum ferli og fá þannig fall eða vensl sem lýsa ferlinum.
Feril er alltaf hægt að stika á fleiri en einn hátt.
Stikajöfnur geta lýst flóknum ferlum sem erfitt eða jafnvel ómögulegt er að lýsa með kartesískum hnitum.

7.2 Stærðfræðigreining stikaðra ferla

Afleiðu stikaða ferilsins $x = x (t)$ og $y = y (t)$ má reikna með formúlunni $\frac{d y}{d x} = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .$ Með afleiðunni má finna jöfnu snertils við stikaðan feril.
Flatarmál milli stikaðs ferils og x-áss má ákvarða með formúlunni $A = \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t) x^{'} (t) d t .$
Bogalengd stikaðs ferils má reikna með formúlunni $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .$
Yfirborðsflatarmál snúðflatar sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn er gefið með $S = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$ Ef ferlinum er snúið um y-ásinn er formúlan $S = 2 π \int_{a}^{b} x (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$

7.3 Skauthnit

Skauthnitakerfið er önnur leið til að staðsetja punkta í planinu.
Umritið punkta milli kartesískra hnita og skauthnita með formúlunum
$x = r cos θ og y = r sin θ$

og
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} og tan θ = \frac{y}{x} .$
$x = rcos og y = rsin$
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} og tan θ = \frac{y}{x} .$
Til að teikna skauthnitaferil út frá gefnu skauthnitafalli skal gera gildistöflu og nýta lotubundna eiginleika.
Notið umritunarformúlurnar til að umrita jöfnur milli kartesískra hnita og skauthnita.
Greinið samhverfu skauthnitaferla; hún getur verið um skautið, lárétta ásinn eða lóðrétta ásinn.

7.4 Flatarmál og bogalengd í skauthnitum

Flatarmál svæðis í skauthnitum sem skilgreint er með jöfnunni $r = f (θ)$ þar sem $α \leq θ \leq β$ er gefið með heildinu $A = \frac{1}{2} {\int_{α}^{β} [f (θ)]}^{2} d θ .$
Til að finna flatarmál milli tveggja ferla í skauthnitakerfinu skal fyrst finna skurðpunkta þeirra og draga síðan samsvarandi flatarmál frá hvort öðru.
Bogalengd skauthnitaferils sem skilgreindur er með jöfnunni $r = f (θ)$ þar sem $α \leq θ \leq β$ er gefin með heildinu $L = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ .$

7.5 Keilusnið

Jafna lóðrétts fleygboga á staðalformi með tiltekinn brennipunkt og stýrilínu er $y = \frac{1}{4 p} {(x - h)}^{2} + k$ þar sem p er fjarlægðin frá topppunktinum að brennipunktinum og $(h, k)$ eru hnit topppunktsins.
Jafna lárétts sporbaugs á staðalformi er $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ þar sem miðjan hefur hnitin $(h, k),$ langásinn hefur lengdina 2 a, skammásinn hefur lengdina 2 b og hnit brennipunktanna eru $(h \pm c, k),$ þar sem $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
Jafna lárétts breiðboga á staðalformi er $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ þar sem miðjan hefur hnitin $(h, k),$ topppunktarnir eru í $(h \pm a, k),$ og hnit brennipunktanna eru $(h \pm c, k),$ þar sem $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
Miðskekkja sporbaugs er minni en 1, miðskekkja fleygboga er jöfn 1 og miðskekkja breiðboga er meiri en 1. Miðskekkja hrings er 0.
Skauthnitajafna keilusniðs með miðskekkju e er $r = \frac{e p}{1 \pm e cos θ}$ eða $r = \frac{e p}{1 \pm e sin θ},$ þar sem p táknar brennistiki keilusniðsins.
Til að ákvarða gerð keilusniðsins sem myndast af jöfnunni $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ skal fyrst reikna aðgreininn $D = 4 A C - B^{2} .$ Ef $D > 0$ er keilusniðið sporbaugur, ef $D = 0$ er keilusniðið fleygbogi og ef $D < 0$ er keilusniðið breiðbogi.

77 Stikajöfnur og skauthnit

Lykilatriði

Meginatriði

7.1 Stikajöfnur

Stikajöfnur eru hentug leið til að lýsa ferli. Stiki getur táknað tíma eða aðra stærð sem hefur merkingu í viðfangsefninu.
Oft er hægt að eyða stikanum úr stikuðum ferli og fá þannig fall eða vensl sem lýsa ferlinum.
Feril er alltaf hægt að stika á fleiri en einn hátt.
Stikajöfnur geta lýst flóknum ferlum sem erfitt eða jafnvel ómögulegt er að lýsa með kartesískum hnitum.

7.2 Stærðfræðigreining stikaðra ferla

Afleiðu stikaða ferilsins $x = x (t)$ og $y = y (t)$ má reikna með formúlunni $\frac{d y}{d x} = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .$ Með afleiðunni má finna jöfnu snertils við stikaðan feril.
Flatarmál milli stikaðs ferils og x-áss má ákvarða með formúlunni $A = \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t) x^{'} (t) d t .$
Bogalengd stikaðs ferils má reikna með formúlunni $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .$
Yfirborðsflatarmál snúðflatar sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn er gefið með $S = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$ Ef ferlinum er snúið um y-ásinn er formúlan $S = 2 π \int_{a}^{b} x (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$

7.3 Skauthnit

Skauthnitakerfið er önnur leið til að staðsetja punkta í planinu.
Umritið punkta milli kartesískra hnita og skauthnita með formúlunum
$x = r cos θ og y = r sin θ$

og
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} og tan θ = \frac{y}{x} .$
$x = rcos og y = rsin$
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} og tan θ = \frac{y}{x} .$
Til að teikna skauthnitaferil út frá gefnu skauthnitafalli skal gera gildistöflu og nýta lotubundna eiginleika.
Notið umritunarformúlurnar til að umrita jöfnur milli kartesískra hnita og skauthnita.
Greinið samhverfu skauthnitaferla; hún getur verið um skautið, lárétta ásinn eða lóðrétta ásinn.

7.4 Flatarmál og bogalengd í skauthnitum

Flatarmál svæðis í skauthnitum sem skilgreint er með jöfnunni $r = f (θ)$ þar sem $α \leq θ \leq β$ er gefið með heildinu $A = \frac{1}{2} {\int_{α}^{β} [f (θ)]}^{2} d θ .$
Til að finna flatarmál milli tveggja ferla í skauthnitakerfinu skal fyrst finna skurðpunkta þeirra og draga síðan samsvarandi flatarmál frá hvort öðru.
Bogalengd skauthnitaferils sem skilgreindur er með jöfnunni $r = f (θ)$ þar sem $α \leq θ \leq β$ er gefin með heildinu $L = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ .$

7.5 Keilusnið

Jafna lóðrétts fleygboga á staðalformi með tiltekinn brennipunkt og stýrilínu er $y = \frac{1}{4 p} {(x - h)}^{2} + k$ þar sem p er fjarlægðin frá topppunktinum að brennipunktinum og $(h, k)$ eru hnit topppunktsins.
Jafna lárétts sporbaugs á staðalformi er $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ þar sem miðjan hefur hnitin $(h, k),$ langásinn hefur lengdina 2 a, skammásinn hefur lengdina 2 b og hnit brennipunktanna eru $(h \pm c, k),$ þar sem $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
Jafna lárétts breiðboga á staðalformi er $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ þar sem miðjan hefur hnitin $(h, k),$ topppunktarnir eru í $(h \pm a, k),$ og hnit brennipunktanna eru $(h \pm c, k),$ þar sem $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
Miðskekkja sporbaugs er minni en 1, miðskekkja fleygboga er jöfn 1 og miðskekkja breiðboga er meiri en 1. Miðskekkja hrings er 0.
Skauthnitajafna keilusniðs með miðskekkju e er $r = \frac{e p}{1 \pm e cos θ}$ eða $r = \frac{e p}{1 \pm e sin θ},$ þar sem p táknar brennistiki keilusniðsins.
Til að ákvarða gerð keilusniðsins sem myndast af jöfnunni $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ skal fyrst reikna aðgreininn $D = 4 A C - B^{2} .$ Ef $D > 0$ er keilusniðið sporbaugur, ef $D = 0$ er keilusniðið fleygbogi og ef $D < 0$ er keilusniðið breiðbogi.