77 Stikajöfnur og skauthnit

7.4 Flatarmál og bogalengd í skauthnitum

Námsmarkmið

7.4.1 Beita formúlunni fyrir flatarmál svæðis í skauthnitum.
7.4.2 Ákvarða bogalengd skauthnitaferils.

Í rétthyrnda hnitakerfinu má nota ákveðið heildi til að reikna flatarmálið undir ferli. Ef við höfum fallið $y = f (x)$ sem er skilgreint frá $x = a$ til $x = b$ þar sem $f (x) > 0$ á þessu bili, er flatarmálið milli ferilsins og x-ássins gefið með $A = \int_{a}^{b} f (x) d x .$ Þessi staðreynd ásamt formúlunni til að reikna heildið er dregin saman í undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar. Á sama hátt er bogalengd ferilsins gefin með $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x .$ Í þessum hluta skoðum við hliðstæðar formúlur fyrir flatarmál og bogalengd í skauthnitakerfinu.

Flatarmál svæða sem afmarkast af skauthnitaferlum

Við höfum skoðað formúlur fyrir flatarmál undir ferli í rétthyrndum hnitum og undir stikuðum ferlum. Nú leiðum við út formúlu fyrir flatarmál svæðis sem skauthnitaferill afmarkar. Rifjið upp að í sönnun undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar var Riemann-summa notuð til að nálga flatarmálið undir ferli með rétthyrningum. Fyrir skauthnitaferla notum við aftur Riemann-summu en hringgeirar koma í stað rétthyrninganna.

Skoðum ferilinn sem skilgreindur er með fallinu $r = f (θ),$ þar sem $α \leq θ \leq β .$ Fyrsta skrefið er að skipta bilinu $[α, β]$ í n jafnbreið hlutbil. Breidd hvers hlutbils er gefin með formúlunni $Δ θ = (β - α) / n,$ og i-ti skiptipunkturinn $θ_{i}$ er gefinn með formúlunni $θ_{i} = α + i Δ θ .$ Sérhver skiptipunktur $θ = θ_{i}$ skilgreinir línu sem liggur gegnum skautið með hallatöluna $tan θ_{i}$ eins og eftirfarandi graf sýnir.

Í fyrsta fjórðungi skauthnitakerfis er teiknaður ferill og frá upphafspunktinum liggja geislar sem skera ferilinn með jöfnu millibili. Í hvert sinn sem geisli sker ferilinn er bogi, hornréttur á geislann, teiknaður frá honum að næsta geisla. Fyrsti skurðpunktur geisla og ferils er merktur θ = α og sá síðasti θ = β. Punktarnir þar á milli eru merktir θ1, θ2, …, θn−1. — **Mynd 7.39.** Skipting dæmigerðs ferils í skauthnitum.

Línustrikin eru tengd með bogum með föstum geisla. Þannig myndast hringgeirar sem reikna má flatarmál hvers um sig með rúmfræðilegri formúlu. Flatarmál hvers hringgeira er síðan notað til að nálga flatarmálið milli tveggja samliggjandi línustrika. Næst leggjum við flatarmál hringgeiranna saman til að nálga heildarflatarmálið. Þessi aðferð nálgar heildarflatarmálið með Riemann-summu. Formúlan fyrir flatarmál hringgeira er sýnd á eftirfarandi mynd.

Teiknaður er hringur með geisla r og hringgeiri með horn θ. Tekið er fram að A = (1/2) θ r2. — **Mynd 7.40.** Flatarmál hringgeira er gefið með $A = \frac{1}{2} θ r^{2} .$

Rifjið upp að flatarmál hrings er $A = π r^{2} .$ Þegar horn eru mæld í radíönum jafngilda 360 gráður $2 π$ radíönum. Því má mæla hluta hrings með miðhorninu $θ .$ Hluti hringsins er gefinn með $\frac{θ}{2 π},$ svo flatarmál hringgeirans er þetta hlutfall margfaldað með heildarflatarmálinu:

A = (\frac{θ}{2 π}) π r^{2} = \frac{1}{2} θ r^{2} .

Þar sem geisli dæmigerðs hringgeira á mynd 7.39 er gefinn með $r_{i} = f (θ_{i}),$ er flatarmál i-ta hringgeirans gefið með

A_{i} = \frac{1}{2} (Δ θ) {(f (θ_{i}))}^{2} .

Því er Riemann-summan sem nálgar flatarmálið gefin með

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} A_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} (Δ θ) {(f (θ_{i}))}^{2} .

Við tökum markgildið þegar $n \to \infty$ til að fá nákvæmt flatarmál:

A = lim_{n \to \infty} A_{n} = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {(f (θ))}^{2} d θ .

Þá fæst eftirfarandi setning.

Dæmi 7.16

Flatarmál svæðis í skauthnitum fundið

Finnið flatarmál eins krónublaðs rósarinnar sem skilgreind er með jöfnunni $r = 3 sin (2 θ) .$

Lausn

Graf $r = 3 sin (2 θ)$ er sýnt hér á eftir.

Fjögurra krónublaða rós sem nær mest þremur lengdareiningum frá upphafspunktinum við π/4, 3π/4, 5π/4 og 7π/4. — **Mynd 7.41.** Graf r = 3 sin ( 2 θ ) .

Þegar $θ = 0$ er $r = 3 sin (2 (0)) = 0 .$ Næsta gildi þar sem $r = 0$ er $θ = π / 2 .$ Þetta má sjá með því að leysa jöfnuna $3 sin (2 θ) = 0$ með tilliti til $θ .$ Gildin frá $θ = 0$ til $θ = π / 2$ rekja því fyrsta krónublað rósarinnar. Til að finna flatarmálið innan þessa krónublaðs notum við jöfnu 7.9 með $f (θ) = 3 sin (2 θ),$ $α = 0,$ og $β = π / 2 :$

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} {[f (θ)]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} {[3 sin (2 θ)]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} 9 {sin}^{2} (2 θ) d θ . \end{matrix}

Til að reikna þetta heildi notum við formúluna ${sin}^{2} α = (1 - cos (2 α)) / 2$ með $α = 2 θ :$

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} 9 {sin}^{2} (2 θ) d θ \\ = \frac{9}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{(1 - cos (4 θ))}{2} d θ \\ = \frac{9}{4} (\int_{0}^{π / 2} 1 - cos (4 θ) d θ) \\ = \frac{9}{4} {(θ - \frac{sin (4 θ)}{4})}_{0}^{π / 2} \\ = \frac{9}{4} (\frac{π}{2} - \frac{sin 2 π}{4}) - \frac{9}{4} (0 - \frac{sin 4 (0)}{4}) \\ = \frac{9 π}{8} . \end{matrix}

Í dæmi 7.16 var flatarmálið innan eins ferils fundið. Við getum einnig notað setninguna um flatarmál svæðis sem skauthnitaferill afmarkar til að finna flatarmálið milli tveggja skauthnitaferla. Oft þarf þó að finna skurðpunkta ferlanna og ákvarða hvaða fall skilgreinir ytri ferilinn og hvaða fall þann innri milli þessara punkta.

Dæmi 7.17

Flatarmál milli tveggja skauthnitaferla fundið

Finnið flatarmálið utan hjartaferilsins $r = 2 + 2 sin θ$ og innan hringsins $r = 6 sin θ .$

Lausn

Teiknum fyrst graf sem sýnir báða ferlana.

Sýndur er hjartaferill með jöfnuna r = 2 + 2 sinθ. Efri hjartalaga hluti hans er við upphafspunktinn og oddur afgangs hjartaferilsins vísar upp. Einnig er sýndur hringur með geisla 6 og miðju í (3, π/2). Svæðið ofan við hjartaferilinn en neðan við hringinn er appelsínugult. — **Mynd 7.42.** Svæðið milli ferlanna r = 2 + 2 sin θ og r = 6 sin θ .

Til að ákvarða heildunarmörkin finnum við fyrst skurðpunkta ferlanna með því að setja föllin jöfn og leysa með tilliti til $θ :$

\begin{matrix} 6 sin θ & = & 2 + 2 sin θ \\ 4 sin θ & = & 2 \\ sin θ & = & \frac{1}{2} . \end{matrix}

Þá fást lausnirnar $θ = \frac{π}{6}$ og $θ = \frac{5 π}{6},$ sem eru heildunarmörkin. Hringurinn $r = 3 sin θ$ er rauða grafið, það er ytra fallið, og hjartaferillinn $r = 2 + 2 sin θ$ er bláa grafið, það er innra fallið. Til að reikna flatarmálið milli ferlanna byrjum við á flatarmálinu innan hringsins milli $θ = \frac{π}{6}$ og $θ = \frac{5 π}{6},$ og drögum síðan frá flatarmálið innan hjartaferilsins milli $θ = \frac{π}{6}$ og $θ = \frac{5 π}{6} :$

\begin{matrix} A & = hringur - hjartaferill \\ = \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} {[6 sin θ]}^{2} d θ - \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} {[2 + 2 sin θ]}^{2} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} 36 {sin}^{2} θ d θ - \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{5 π / 6} [4 + 8 sin θ + 4 {sin}^{2} θ] d θ \\ = 18 \int_{π / 6}^{5 π / 6} \frac{1 - cos (2 θ)}{2} d θ - 2 \int_{π / 6}^{5 π / 6} [1 + 2 sin θ + \frac{1 - cos (2 θ)}{2}] d θ \\ = 9 {[θ - \frac{sin (2 θ)}{2}]}_{π / 6}^{5 π / 6} - 2 {[\frac{3 θ}{2} - 2 cos θ - \frac{sin (2 θ)}{4}]}_{π / 6}^{5 π / 6} \\ = 9 (\frac{5 π}{6} - \frac{sin 2 (5 π / 6)}{2}) - 9 (\frac{π}{6} - \frac{sin 2 (π / 6)}{2}) \\ − (3 (\frac{5 π}{6}) - 4 cos \frac{5 π}{6} - \frac{sin 2 (5 π / 6)}{2}) + (3 (\frac{π}{6}) - 4 cos \frac{π}{6} - \frac{sin 2 (π / 6)}{2}) \\ = 4 π . \end{matrix}

Í dæmi 7.17 fundum við flatarmálið innan hringsins og utan hjartaferilsins með því að finna fyrst skurðpunkta þeirra. Athugið að þegar jafnan var leyst beint með tilliti til $θ$ fengust tvær lausnir: $θ = \frac{π}{6}$ og $θ = \frac{5 π}{6} .$ Á grafinu eru hins vegar þrír skurðpunktar. Þriðji skurðpunkturinn er upphafspunkturinn. Ástæðan fyrir því að hann kom ekki fram sem lausn er að upphafspunkturinn er á báðum gröfum en fyrir mismunandi gildi $θ .$ Fyrir hjartaferilinn fæst til dæmis

\begin{matrix} 2 + 2 sin θ & = & 0 \\ sin θ & = & −1, \end{matrix}

svo gildi $θ$ sem leysa þessa jöfnu eru $θ = \frac{3 π}{2} + 2 n π,$ þar sem n er einhver heiltala. Fyrir hringinn fæst

6 \sin = 0

Lausnir þessarar jöfnu eru á forminu $θ = n π$ fyrir sérhvert heiltölugildi n. Þessi tvö lausnamengi eiga enga punkta sameiginlega. Þrátt fyrir það skerast ferlarnir í upphafspunktinum. Þetta tilvik þarf alltaf að hafa í huga.

Bogalengd skauthnitaferla

Hér leiðum við út formúlu fyrir bogalengd ferils sem er skilgreindur í skauthnitum.

Í rétthyrndum hnitum er bogalengd stikaðs ferils $(x (t), y (t))$ fyrir $a \leq t \leq b$ gefin með

L = \int_{a}^{b} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .

Í skauthnitum skilgreinum við ferilinn með jöfnunni $r = f (θ),$ þar sem $α \leq θ \leq β .$ Til að laga bogalengdarformúluna að skauthnitaferli notum við jöfnurnar

x = rcos = f () \cos og y = rsin = f () \sin

og skiptum stikanum t út fyrir $θ .$ Þá fæst

\begin{matrix} \frac{d x}{d θ} = f^{'} (θ) cos θ - f (θ) sin θ \\ \frac{d y}{d θ} = f^{'} (θ) sin θ + f (θ) cos θ . \end{matrix}

Við skiptum $d t$ út fyrir $d θ,$ og neðri og efri heildunarmörkin eru $α$ og $β,$ í þeirri röð. Þá verður bogalengdarformúlan

\begin{matrix} L & = \int_{a}^{b} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(\frac{d x}{d θ})}^{2} + {(\frac{d y}{d θ})}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ) cos θ - f (θ) sin θ)}^{2} + {(f^{'} (θ) sin θ + f (θ) cos θ)}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ))}^{2} ({cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ) + {(f (θ))}^{2} ({cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ)} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{{(f^{'} (θ))}^{2} + {(f (θ))}^{2}} d θ \\ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ . \end{matrix}

Þá fæst eftirfarandi setning.

Dæmi 7.18

Bogalengd skauthnitaferils fundin

Finnið bogalengd hjartaferilsins $r = 2 + 2 cos θ .$

Lausn

Þegar $θ = 0, r = 2 + 2 cos 0 = 4.$ Ennfremur er hjartaferillinn rakinn nákvæmlega einu sinni þegar $θ$ færist frá $0$ til $2 π,$ og því eru þetta heildunarmörkin. Með því að nota $f (θ) = 2 + 2 cos θ,$ $α = 0,$ og $β = 2 π,$ verður jafna 7.10

\begin{matrix} L & = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{[2 + 2 cos θ]}^{2} + {[- 2 sin θ]}^{2}} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 + 8 cos θ + 4 {cos}^{2} θ + 4 {sin}^{2} θ} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 + 8 cos θ + 4 ({cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ)} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \sqrt{8 + 8 cos θ} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 cos θ} d θ . \end{matrix}

Notum næst samsemdina $cos (2 α) = 2 {cos}^{2} α - 1,$ leggjum 1 við báðar hliðar og margföldum með 2. Þá fæst $2 + 2 cos (2 α) = 4 {cos}^{2} α .$ Þegar $α = θ / 2$ er sett inn fæst $2 + 2 cos θ = 4 {cos}^{2} (θ / 2),$ svo heildið verður

\begin{matrix} L & = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 cos θ} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 {cos}^{2} (\frac{θ}{2})} d θ \\ = 2 \int_{0}^{2 π} 2 | cos (\frac{θ}{2}) | d θ . \end{matrix}

Algildið er nauðsynlegt vegna þess að kósínus er neikvætt fyrir sum gildi í skilgreiningarmenginu. Til að leysa þetta heildum við frá $0$ til $π$ og tvöföldum svarið. Þessi aðferð virkar vegna þess að kósínus er jákvætt milli $0$ og $\frac{π}{2} .$ Því fæst

\begin{matrix} L & = 4 \int_{0}^{2 π} | cos (\frac{θ}{2}) | d θ \\ = 8 \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ \\ = 8 {(2 sin (\frac{θ}{2}))}_{0}^{π} \\ = 16. \end{matrix}

Æfingar í kafla 7.4

Í eftirfarandi æfingum finnið ákveðið heildi sem táknar flatarmálið.

188.

Svæðið sem afmarkast af $r = 4$

189.

Svæðið sem afmarkast af $r = 3 sin θ$

190.

Svæðið í fyrsta fjórðungi innan hjartaferilsins $r = 1 + sin θ$

191.

Svæðið innan eins krónublaðs $r = 8 sin (2 θ)$

192.

Svæðið innan eins krónublaðs $r = cos (3 θ)$

193.

Svæðið neðan skauthnitaássins sem afmarkast af $r = 1 - sin θ$

194.

Svæðið í fyrsta fjórðungi sem afmarkast af $r = 2 - cos θ$

195.

Svæðið innan innri lykkju $r = 2 - 3 sin θ$

196.

Svæðið innan innri lykkju $r = 3 - 4 cos θ$

197.

Svæðið sem $r = 1 - 2 cos θ$ afmarkar utan innri lykkjunnar

198.

Sameiginlegt svæði $r = 3 sin θ og r = 2 - sin θ$

199.

Sameiginlegt svæði $r = 2 og r = 4 cos θ$

200.

Sameiginlegt svæði $r = 3 cos θ og r = 3 sin θ$

Í eftirfarandi æfingum finnið flatarmál svæðisins sem lýst er.

201.

Afmarkað af $r = 6 sin θ$

202.

Ofan skauthnitaássins og afmarkað af $r = 2 + sin θ$

203.

Neðan skauthnitaássins og afmarkað af $r = 2 - cos θ$

204.

Afmarkað af einu krónublaði $r = 4 cos (3 θ)$

205.

Afmarkað af einu krónublaði $r = 3 cos (2 θ)$

206.

Afmarkað af $r = 1 + sin θ$

207.

Afmarkað af innri lykkju $r = 3 + 6 cos θ$

208.

Afmarkað af $r = 2 + 4 cos θ$ utan innri lykkjunnar

209.

Sameiginlegt innra svæði $r = 4 sin (2 θ) og r = 2$

210.

Sameiginlegt innra svæði $r = 3 - 2 sin θ og r = −3 + 2 sin θ$

211.

Sameiginlegt innra svæði $r = 6 sin θ og r = 3$

212.

Innan $r = 1 + cos θ$ og utan $r = cos θ$

213.

Sameiginlegt innra svæði $r = 2 + 2 cos θ og r = 2 sin θ$

Í eftirfarandi æfingum finnið ákveðið heildi sem táknar bogalengdina.

214.

$r = 4 cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

215.

$r = 1 + sin θ$ á bilinu $0 \leq θ \leq 2 π$

216.

$r = 2 sec θ á bilinu 0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$

217.

$r = e^{θ} á bilinu 0 \leq θ \leq 1$

Í eftirfarandi æfingum finnið lengd ferilsins á gefna bilinu.

218.

$r = 6 á bilinu 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

219.

$r = e^{3 θ} á bilinu 0 \leq θ \leq 2$

220.

$r = 6 cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

221.

$r = 8 + 8 cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

222.

$r = 1 - sin θ á bilinu 0 \leq θ \leq 2 π$

Í eftirfarandi æfingum notið heildunarvirkni reiknivélar til að nálga lengd ferilsins.

223.

[T] $r = 3 θ á bilinu 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

224.

[T] $r = \frac{2}{θ} á bilinu π \leq θ \leq 2 π$

225.

[T] $r = {sin}^{2} (\frac{θ}{2}) á bilinu 0 \leq θ \leq π$

226.

[T] $r = 2 θ^{2} á bilinu 0 \leq θ \leq π$

227.

[T] $r = sin (3 cos θ) á bilinu 0 \leq θ \leq π$

Í eftirfarandi æfingum notið þekkta rúmfræðiformúlu til að finna flatarmál svæðisins sem lýst er og staðfestið síðan niðurstöðuna með ákveðnu heildi.

228.

$r = 3 sin θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

229.

$r = sin θ + cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

230.

$r = 6 sin θ + 8 cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

Í eftirfarandi æfingum notið þekkta rúmfræðiformúlu til að finna lengd ferilsins og staðfestið síðan niðurstöðuna með ákveðnu heildi.

231.

$r = 3 sin θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

232.

$r = sin θ + cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

233.

$r = 6 sin θ + 8 cos θ á bilinu 0 \leq θ \leq π$

234.

Sannreynið að ef $y = r sin θ = f (θ) sin θ$ , þá er $\frac{d y}{d θ} = f' (θ) sin θ + f (θ) cos θ .$

Í eftirfarandi æfingum finnið hallatölu snertils við skauthnitaferilinn $r = f (θ) .$ Látum $x = r cos θ = f (θ) cos θ$ og $y = r sin θ = f (θ) sin θ,$ þannig að skauthnitajafnan $r = f (θ)$ er nú rituð á stikaformi.

235.

Notið skilgreiningu afleiðunnar $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}$ og margfeldisregluna til að leiða út afleiðu skauthnitajöfnu.

236.

$r = 1 - sin θ;$ $(\frac{1}{2}, \frac{π}{6})$

237.

$r = 4 cos θ;$ $(2, \frac{π}{3})$

238.

$r = 8 sin θ;$ $(4, \frac{5 π}{6})$

239.

$r = 4 + sin θ;$ $(3, \frac{3 π}{2})$

240.

$r = 6 + 3 cos θ;$ $(3, π)$

241.

$r = 4 cos (2 θ);$ oddar krónublaðanna

242.

$r = 2 sin (3 θ);$ oddar krónublaðanna

243.

$r = 2 θ;$ $(\frac{π}{2}, \frac{π}{4})$

244.

Finnið punktana á bilinu $− π \leq θ \leq π$ þar sem hjartaferillinn $r = 1 - cos θ$ hefur lóðréttan eða láréttan snertil.

245.

Finnið hallatölu snertils við hjartaferilinn $r = 1 + sin θ,$ þegar $θ = \frac{π}{3} .$

Í eftirfarandi æfingum finnið hallatölu snertils við gefinn skauthnitaferil í punktinum sem samsvarar gildi $θ .$

246.

$r = 3 cos θ, θ = \frac{π}{3}$

247.

$r = θ,$ $θ = \frac{π}{2}$

248.

$r = ln θ,$ $θ = e$

249.

[T] Notið tækni: $r = 2 + 4 cos θ$ þegar $θ = \frac{π}{6}$

Í eftirfarandi æfingum finnið punktana þar sem eftirfarandi skauthnitaferlar hafa láréttan eða lóðréttan snertil.

250.

$r = 4 cos θ$

251.

$r^{2} = 4 cos (2 θ)$

252.

$r = 2 sin (2 θ)$

253.

Hjartaferillinn $r = 1 + sin θ$

254.

Sýnið að ferillinn $r = sin θ tan θ$ (kallaður klifurferill Díóklesar) hefur línuna $x = 1$ sem lóðrétta aðfellu.