77 Stikajöfnur og skauthnit

7.1 Stikajöfnur

Námsmarkmið

7.1.1 Teikna feril sem lýst er með stikajöfnum.
7.1.2 Umrita stikajöfnur ferils á formið y = f ( x ) .
7.1.3 Þekkja stikajöfnur einfaldra ferla, svo sem línu og hrings.
7.1.4 Þekkja stikajöfnur hjólferils.

Í þessum hluta skoðum við stikajöfnur og gröf þeirra. Í tvívíðu hnitakerfi nýtast stikajöfnur til að lýsa ferlum sem eru ekki endilega gröf falla. Stikinn er óháð breyta sem bæði x og y eru háð, og þegar stikinn vex rekja gildi x og y slóð eftir ferli í sléttu. Ef stikinn er til dæmis t (algengt val) getur t táknað tíma. Þá eru x og y skilgreind sem föll af tíma og $(x (t), y (t))$ getur lýst staðsetningu tiltekins hlutar í sléttunni þegar hann hreyfist eftir boginni slóð.

Stikajöfnur og gröf þeirra

Skoðum braut jarðar um sólina. Árið er um 365,25 dagar að lengd, en í þessari umfjöllun notum við 365 daga. Þann 1. janúar ár hvert er staðsetning jarðar gagnvart sólu nánast sú sama, nema á hlaupárum, þegar viðbótin — $\frac{1}{4}$ úr degi á hverri umferð — er tekin með í dagatalinu. Við köllum 1. janúar „dag 1“ ársins. Þá er 31. dagur ársins til dæmis 31. janúar og 59. dagur ársins er 28. febrúar og svo framvegis.

Númer dags innan árs má líta á sem breytu sem ákvarðar stöðu jarðar á braut sinni. Þegar jörðin gengur um sólina breytist staðsetning hennar miðað við sólina. Að einu heilu ári liðnu erum við aftur á upphafsstað og nýtt ár hefst. Samkvæmt lögmálum Keplers um hreyfingu reikistjarna er brautin sporöskjulaga og sólin er í öðrum brennipunkti sporbaugsins. Þessa hugmynd skoðum við nánar í Keilusniðum.

Sporbaugur með 1. janúar (t = 1) efst, 2. apríl (t = 92) til vinstri, 1. júlí (t = 182) neðst og 1. október (t = 274) til hægri. Brennipunktar sporbaugsins eru F2 til vinstri og sólin til hægri. — **Mynd 7.2.** Braut jarðar um sólina á einu ári.

Mynd 7.2 sýnir braut jarðar um sólina á einu ári. Punkturinn merktur $F_{2}$ er annar brennipunktur sporbaugsins; sólin er í hinum. Ef við leggjum hnitaása yfir grafið getum við úthlutað hverjum punkti á sporbaugnum röðuðu pari (mynd 7.3). Hvert x-gildi á grafinu gefur þá x-hnit staðsetningarinnar sem fall af tíma og hvert y-gildi gefur y-hnitið á sama hátt. Sérhver punktur á grafinu samsvarar því staðsetningu jarðar á tilteknum tíma.

Við getum ákvarðað föllin fyrir $x (t)$ og $y (t),$ og þannig stikað braut jarðar um sólina. Breytan $t$ nefnist óháður stiki og táknar hér tíma frá upphafi hvers árs.

Feril í $(x, y)$ -sléttunni má setja fram með stikajöfnum. Jöfnurnar sem skilgreina ferilinn nefnast stikajöfnur.

Athugið að í þessari skilgreiningu eru x og y notuð á tvo vegu. Í fyrra tilvikinu eru þau föll af óháðu breytunni t. Þegar t tekur gildi á bilinu I mynda föllin $x (t)$ og $y (t)$ mengi raðaðra para $(x, y) .$ Þetta mengi raðaðra para myndar graf stikajafnanna. Í síðara tilvikinu, þegar röðuðu pörin eru táknuð, eru x og y breytur. Mikilvægt er að greina breyturnar x og y frá föllunum $x (t)$ og $y (t) .$

Dæmi 7.1

Ferill sem skilgreindur er með stikajöfnum teiknaður

Teiknið ferlana sem eftirfarandi stikajöfnur lýsa:

$x (t) = t - 1, y (t) = 2 t + 4, −3 \leq t \leq 2$
$x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t + 1, −2 \leq t \leq 3$
$x (t) = 4 cos t, y (t) = 4 sin t, 0 \leq t \leq 2 π$

Lausn

Til að teikna þennan feril setjum við fyrst upp gildistöflu. Þar sem óháða breytan í föllunum $x (t)$ og $y (t)$ er t látum við t vera í fyrsta dálki. Þá verða $x (t)$ og $y (t)$ í öðrum og þriðja dálki töflunnar.

t $x (t)$ $y (t)$

−3 −4 −2

−2 −3 0

−1 −2 2

0 −1 4

1 0 6

2 1 8

Annar og þriðji dálkur töflunnar gefa punktamengi sem á að teikna. Graf þessara punkta sést á mynd 7.4. Örvarnar á grafinu sýna stefnu grafsins, þ.e. í hvaða átt punktur færist eftir grafinu þegar t breytist frá −3 til 2.
Mynd 7.4 Graf ferilsins í sléttu sem stikajöfnurnar í a-lið lýsa.
Til að teikna þennan feril setjum við aftur upp gildistöflu.

t $x (t)$ $y (t)$

−2 1 −3

−1 −2 −1

0 −3 1

1 −2 3

2 1 5

3 6 7

Annar og þriðji dálkur töflunnar gefa punktamengi sem á að teikna (mynd 7.5). Fyrsti punkturinn á grafinu (sem samsvarar $t = −2)$ hefur hnitin $(1, −3),$ og síðasti punkturinn (sem samsvarar $t = 3)$ hefur hnitin $(6, 7) .$ Þegar t breytist frá −2 til 3 færist punkturinn á ferlinum eftir fleygboga. Sú átt sem punkturinn færist í nefnist stefna og er sýnd á grafinu.
Mynd 7.5 Graf ferilsins í sléttu sem stikajöfnurnar í b-lið lýsa.

t	$x (t)$	$y (t)$
−3	−4	−2
−2	−3	0
−1	−2	2
0	−1	4
1	0	6
2	1	8

t	$x (t)$	$y (t)$
−2	1	−3
−1	−2	−1
0	−3	1
1	−2	3
2	1	5
3	6	7

Í þessu tilviki notum við margfeldi af

π / 6

fyrir t og búum til aðra gildistöflu:

t	$x (t)$	$y (t)$	t	$x (t)$	$y (t)$
0	4	0	$\frac{7 π}{6}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3.5$	2
$\frac{π}{6}$	$2 \sqrt{3} \approx 3.5$	$2$	$\frac{4 π}{3}$	−2	$−2 \sqrt{3} \approx −3.5$
$\frac{π}{3}$	$2$	$2 \sqrt{3} \approx 3.5$	$\frac{3 π}{2}$	0	−4
$\frac{π}{2}$	0	4	$\frac{5 π}{3}$	2	$−2 \sqrt{3} \approx −3.5$
$\frac{2 π}{3}$	−2	$2 \sqrt{3} \approx 3.5$	$\frac{11 π}{6}$	$2 \sqrt{3} \approx 3.5$	2
$\frac{5 π}{6}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3.5$	2	$2 π$	4	0
$π$	−4	0

Graf þessa ferils í sléttu sést á eftirfarandi mynd.

Hringur með geisla 4 og miðju í upphafspunkti er teiknaður með ör sem vísar rangsælis. Punkturinn (4, 0) er merktur t = 0, punkturinn (0, 4) er merktur t = π/2, punkturinn (−4, 0) er merktur t = π og punkturinn (0, −4) er merktur t = 3π/2. Á grafinu eru einnig ritaðar þrjár jöfnur: x(t) = 4 cos(t), y(t) = 4 sin(t) og 0 ≤ t ≤ 2π. — Mynd 7.6 Graf ferilsins í sléttu sem stikajöfnurnar í c-lið lýsa.

Þetta er graf hrings með geisla 4 og miðju í upphafspunkti; stefnan er rangsælis. Upphafs- og endapunktur ferilsins hafa báðir hnitin

(4, 0) .

Stikanum eytt

Til að skilja betur graf ferils sem settur er fram með stikajöfnum er gagnlegt að umrita jöfnurnar tvær sem eina jöfnu sem tengir breyturnar x og y. Þá getum við beitt fyrri þekkingu okkar á jöfnum ferla í sléttu til að bera kennsl á ferilinn. Jöfnurnar sem lýsa ferlinum í sléttu í dæmi 7.1, b-lið, eru til dæmis

x (t) = t^{2} - 3, y (t) = 2 t + 1, −2 \leq t \leq 3 .

Ef seinni jafnan er leyst með tilliti til t fæst

t = \frac{y - 1}{2} .

Þetta má setja inn í fyrri jöfnuna:

x = {(\frac{y - 1}{2})}^{2} - 3 = \frac{y^{2} - 2 y + 1}{4} - 3 = \frac{y^{2} - 2 y - 11}{4} .

Þessi jafna lýsir x sem falli af y. Þessi skref eru dæmi um að eyða stikanum. Graf fallsins er fleygbogi sem opnast til hægri. Rifjum upp að ferillinn í sléttunni hófst í $(1, −3)$ og endaði í $(6, 7) .$ Þessir endapunktar ráðast af skorðunni sem sett var á stikann t.

Dæmi 7.2

Stikanum eytt

Eyðið stikanum úr hverjum ferli í sléttu sem eftirfarandi stikajöfnur lýsa og lýsið grafinu sem fæst.

$x (t) = \sqrt{2 t + 4}, y (t) = 2 t + 1, −2 \leq t \leq 6$
$x (t) = 4 cos t, y (t) = 3 sin t, 0 \leq t \leq 2 π$

Lausn

Til að eyða stikanum getum við leyst aðra hvora jöfnuna með tilliti til t. Ef fyrri jafnan er til dæmis leyst með tilliti til t fæst
$\begin{matrix} x & = & \sqrt{2 t + 4} \\ x^{2} & = & 2 t + 4 \\ x^{2} - 4 & = & 2 t \\ t & = & \frac{x^{2} - 4}{2} . \end{matrix}$

Athugið að þegar við hefjum báðar hliðar í annað veldi er mikilvægt að hafa í huga að $x \geq 0 .$ Ef $t = \frac{x^{2} - 4}{2}$ er sett inn í $y (t)$ fæst
$\begin{matrix} y (t) & = & 2 t + 1 \\ y & = & 2 (\frac{x^{2} - 4}{2}) + 1 \\ y & = & x^{2} - 4 + 1 \\ y & = & x^{2} - 3. \end{matrix}$

Þetta er jafna fleygboga sem opnast upp á við. Skilgreiningarmengið er þó skert vegna markanna sem sett eru á stikann t. Þegar $t = −2,$ $x = \sqrt{2 (−2) + 4} = 0,$ og þegar $t = 6,$ $x = \sqrt{2 (6) + 4} = 4 .$ Graf þessa ferils í sléttu sést hér á eftir.
Mynd 7.7 Graf ferilsins í sléttu sem stikajöfnurnar í a-lið lýsa.
Stundum þarf að sýna dálitla útsjónarsemi þegar stikanum er eytt. Stikajöfnurnar í þessu dæmi eru
$x (t) = 4 cost og y (t) = 3 sint x (t) = 4 cost og y (t) = 3 sint$

Ekki er ráðlegt að leysa aðra hvora jöfnuna beint með tilliti til t því sínus og kósínus eru ekki eintæk föll. Ef hins vegar er deilt í fyrri jöfnuna með 4 og í þá seinni með 3 (og t sleppt) fæst
$cos t = \frac{x}{4} og sin t = \frac{y}{3} .$

Notum nú reglu Pýþagórasar ${cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1$ og skiptum segðunum fyrir $sin t$ og $cos t$ út fyrir jafngildar segðir með x og y. Þá fæst
$\begin{matrix} {(\frac{x}{4})}^{2} + {(\frac{y}{3})}^{2} & = & 1 \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} & = & 1. \end{matrix}$

Þetta er jafna lárétts sporbaugs með miðju í upphafspunkti, langhálfás 4 og skammhálfás 3, eins og sýnt er á grafinu hér á eftir.
Mynd 7.8 Graf ferilsins í sléttu sem stikajöfnurnar í b-lið lýsa. Þegar

t vex frá $0$ til $2 π,$ fer punktur á ferlinum einu sinni um sporbauginn rangsælis. Í inngangi kaflans kom fram að braut jarðar um sólina er einnig sporöskjulaga. Þetta er ágætt dæmi um hvernig nota má stikaða ferla til að setja fram líkan af raunverulegu fyrirbæri.

Hingað til höfum við séð aðferð til að eyða stikanum þegar gefnar eru stikajöfnur sem lýsa ferli í sléttu. En hvað ef við viljum byrja á jöfnu ferils og finna par stikajafna fyrir ferilinn? Það er vissulega hægt og raunar má gera það á marga mismunandi vegu fyrir sama feril. Ferlið kallast stikun ferils.

Dæmi 7.3

Stikun ferils

Finnið tvö mismunandi pör stikajafna sem lýsa grafinu á $y = 2 x^{2} - 3 .$

Lausn

Í fyrsta lagi er alltaf hægt að stika feril með því að skilgreina $x (t) = t,$ og skipta síðan x út fyrir t í jöfnunni fyrir $y (t) .$ Þá fæst stikunin

x (t) = t, y (t) = 2 t^{2} - 3 .

Þar sem engin skorða er á skilgreiningarmengi upprunalega grafsins er engin skorða á gildum t.

Við höfum frjálsar hendur við val á annarri stikun. Við getum til dæmis valið $x (t) = 3 t - 2 .$ Það eina sem þarf að ganga úr skugga um er að engar skorður séu lagðar á x, það er að segja að myndmengi $x (t)$ sé mengi allra rauntalna. Það á við um $x (t) = 3 t - 2 .$ Þar sem $y = 2 x^{2} - 3,$ getum við nú sett $x (t) = 3 t - 2$ í stað x. Þá fæst

\begin{matrix} y (t) & = 2 {(3 t - 2)}^{2} - 3 \\ = 2 (9 t^{2} - 12 t + 4) - 3 \\ = 18 t^{2} - 24 t + 8 - 3 \\ = 18 t^{2} - 24 t + 5. \end{matrix}

Því má rita aðra stikun ferilsins sem

x (t) = 3 t - 2 og y (t) = 18 t^{2} - 24 t + 5 .

Hjólferlar og aðrir stikaðir ferlar

Ímyndið ykkur hjólreiðatúr um sveitina. Dekkin snerta veginn og snúast með fyrirsjáanlegum hætti. Gerum nú ráð fyrir að mjög ákveðinn maur sé þreyttur eftir langan dag og vilji komast heim. Hann hangir því utan á dekkinu og fær ókeypis far. Ferillinn sem maurinn fylgir eftir beinum vegi kallast hjólferill (mynd 7.9). Hjólferill sem hringur (eða reiðhjólshjól) með geisla a myndar er gefinn með stikajöfnunum

x (t) = a (t - sint) y (t) = a (1 - cost)

Til að sjá hvers vegna þetta er rétt skulum við skoða feril miðju hjólsins. Miðjan hreyfist eftir x-ásnum í fastri hæð sem er jöfn geisla hjólsins. Ef geislinn er a má gefa hnit miðjunnar með jöfnunum

x (t) = a t, y (t) = a

fyrir sérhvert gildi $t .$ Skoðum næst maurinn, sem snýst um miðjuna eftir hringferli. Ef reiðhjólið hreyfist frá vinstri til hægri snúast hjólin réttsælis. Ein möguleg stikun hringhreyfingar maursins (miðað við miðju hjólsins) er

x (t) = - asint y (t) = - acost

(Mínusmerkið þarf til að snúa stefnu ferilsins við. Ef mínusmerkið væri ekki til staðar þyrftum við að hugsa okkur að hjólið snerist rangsælis.) Þegar þessar jöfnur eru lagðar saman fást jöfnur hjólferilsins.

x (t) = a (t - sint) y (t) = a (1 - cost)

Röð hringa með merkta miðju og punkt á hringnum sem dregur upp feril þegar hringurinn rúllar eftir sléttu. Lögunin sem myndast líkist hálfum sporbaug, er jafn há og þvermál upphaflega hringsins og hefur langás sem er jafn ummáli hringsins. — **Mynd 7.9.** Hjól sem rúllar eftir vegi án þess að skríða; punktur á jaðri hjólsins dregur upp hjólferil.

Gerum nú ráð fyrir að reiðhjólshjólið fari ekki eftir beinum vegi heldur rúlli eftir innra borði stærra hjóls, eins og á mynd 7.10. Á grafinu fer græni hringurinn rangsælis um bláa hringinn. Punktur á jaðri græna hringsins dregur upp rauða grafið, sem kallast innhjólferill.

Tveir hringir eru teiknaðir með miðju í upphafspunkti og geisla 3 og 4; ör á hringnum með geisla 3 vísar rangsælis. Þriðji hringurinn hefur miðju á hringnum með geisla 3 og snertir hringinn með geisla 4 í einum punkti. Geisli þriðja hringsins er því 1. Punktur er merktur á þriðja hringnum og ef hann rúllaði eftir hinum tveimur hringjunum myndi hann draga upp fjögurra arma stjörnu með hornpunkta í (4, 0), (0, 4), (−4, 0) og (0, −4). Á grafinu standa einnig tvær jöfnur: x(t) = 3 cos(t) + cos(3t) og y(t) = 3 sin(t) – sin(3t). — **Mynd 7.10.** Graf innhjólferilsins sem stikajöfnurnar á myndinni lýsa.

Almennar stikajöfnur innhjólferils eru

\begin{matrix} x (t) = (a - b) cos t + b cos (\frac{a - b}{b}) t \\ y (t) = (a - b) sin t - b sin (\frac{a - b}{b}) t . \end{matrix}

Þessar jöfnur eru dálítið flóknari en útleiðsla þeirra er nokkuð svipuð útleiðslu jafna hjólferilsins. Hér gerum við ráð fyrir að geisli stærri hringsins sé a og geisli minni hringsins b. Þá fer miðja hjólsins eftir hring með geisla $a - b .$ Þetta skýrir fyrri lið hvorrar jöfnu hér að framan. Lotulengd seinna hornafallsins í $x (t)$ og $y (t)$ er $\frac{2 π b}{a - b} .$

Hlutfallið $\frac{a}{b}$ tengist fjölda odda á grafinu (oddar eru hornin eða hvössu endarnir á grafinu), eins og sýnt er á mynd 7.11. Þetta hlutfall getur gefið mjög áhugaverð gröf eftir því hvort það er ræð tala eða ekki. Mynd 7.10 samsvarar $a = 4$ og $b = 1 .$ Útkoman er innhjólferill með fjórum oddum. Mynd 7.11 sýnir fleiri möguleika. Síðustu tveir innhjólferlarnir hafa óræð gildi á $\frac{a}{b} .$ Í þeim tilvikum hafa innhjólferlarnir óendanlega marga odda og snúa því aldrei aftur á upphafspunktinn. Þetta eru dæmi um svokallaða rúmfyllandi ferla.

Sýndir eru nokkrir innhjólferlar. Sá fyrsti er þríarma stjarna merkt a/b = 3. Sá annar er fjögurra arma stjarna merkt a/b = 4. Sá þriðji er fimm arma stjarna merkt a/b = 5. Línurnar skerast ekki í neinni þessara þriggja fyrstu mynda. Fjórða myndin er fimm arma stjarna en þar skerast línurnar og hún líkist stjörnunni sem börn læra fyrst að teikna; hún er merkt a/b = 5/3. Næst kemur svipuð sjö arma stjarna merkt a/b = 7/3. Þar á eftir kemur svipuð átta arma stjarna merkt a/b = 8/3. Næsta mynd er flókið kerfi ferla sem myndar að lokum litla rósettu í miðjunni; hún er merkt a/b = π. Að lokum er enn flóknara ferlakerfi sem myndar stóra rósettu með hvassari blöðum, merkt a/b = kvaðratrótin af 2. — **Mynd 7.11.** Gröf ýmissa innhjólferla sem samsvara mismunandi gildum hlutfallsins $a / b .$

Nemendaverkefni

Agnesarhaddur

Margir ferlar í sléttu í stærðfræði eru kenndir við þá sem fyrst rannsökuðu þá, svo sem Descartes-laufið eða Arkimedesarspíralinn. En ef til vill ber Agnesarhaddur undarlegasta heiti allra ferla. Hvers vegna haddur?

Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) var ein fárra viðurkenndra kvenstærðfræðinga á Ítalíu á átjándu öld. Hún skrifaði vinsæla bók um hnitarúmfræði, sem kom út 1748 og fjallaði meðal annars um áhugaverðan feril sem Fermat hafði rannsakað árið 1630. Stærðfræðingurinn Guido Grandi sýndi árið 1703 hvernig mætti teikna ferilinn og nefndi hann síðar „versoria“, latneskt orð yfir siglingareipi. Agnesi notaði ítalska heitið á reipinu, „versiera“, en á latínu merkir sama orð „kvenkyns púki“. Þegar bók Agnesi var þýdd á ensku árið 1801 notaði þýðandinn orðið „witch“, norn, um ferilinn í stað reipis. Enska heitið „witch of Agnesi“ hefur haldist síðan.

Agnesarhaddur er ferill sem er skilgreindur á eftirfarandi hátt: Byrjið á hring með geisla a þannig að punktarnir $(0, 0)$ og $(0, 2 a)$ liggi á hringnum (mynd 7.12). Látum O tákna upphafspunktinn. Veljið annan punkt A á hringnum og teiknið sniðilinn OA. Látum B tákna skurðpunkt línunnar OA og láréttu línunnar um $(0, 2 a) .$ Lóðrétta línan um B sker láréttu línuna um A í punktinum P. Þegar punkturinn A færist eftir hringnum fylgir punkturinn P Agnesarhaddi hringsins.

Agnesarhaddar nýtast í eðlisfræði, meðal annars við líkangerð vatnsbylgna og dreifingar litrófslína. Í líkindafræði lýsir ferillinn þéttleikafalli Cauchy-dreifingarinnar. Í þessu verkefni skuluð þið stika slíka ferla.

Mynd 7.12. Þegar punkturinn A færist eftir hringnum dregur punkturinn P upp Agnesarhadd hringsins.

Merkið eftirfarandi punkta, lengdir og horn inn á myndina:
1. C er punkturinn á x-ásnum með sama x-hnit og A.
2. x er x-hnit P og y er y-hnit P.
3. E er punkturinn $(0, a) .$
4. F er punkturinn á línustrikinu OA þannig að línustrikið EF sé hornrétt á OA.
5. b er fjarlægðin frá O til F.
6. c er fjarlægðin frá F til A.
7. d er fjarlægðin frá O til B.
8. $θ$ er stærð hornsins $∠ C O A .$
θ sem stika. Til þess skuluð þið rita jöfnur fyrir x og y eingöngu með θ.
Sýnið að $d = \frac{2 a}{sin θ} .$
Athugið að $x = d cos θ .$ Sýnið að $x = 2 a cot θ .$ Þegar því er lokið hafið þið stikað x-hnit ferilsins með tilliti til $θ .$ Ef þið getið fundið sambærilega jöfnu fyrir y hafið þið stikað ferilinn.
Út frá $θ,$ hvernig má þá setja fram hornið $∠ E O A ?$
Sýnið að $b + c = 2 a cos (\frac{π}{2} - θ) .$
Sýnið að $y = 2 a cos (\frac{π}{2} - θ) sin θ .$
Sýnið að $y = 2 a {sin}^{2} θ .$ Nú hafið þið stikað y-hnit ferilsins með tilliti til $θ .$
Ályktið að stikun gefins Agnesarhadds sé
$x = 2 a cot θ, y = 2 a {sin}^{2} θ, - \infty < θ < \infty .$
Notið stikunina til að sýna að gefni Agnesarhaddurinn er graf fallsins $f (x) = \frac{8 a^{3}}{x^{2} + 4 a^{2}} .$

Nemendaverkefni

Ferðalög með maurnum mínum: skamm- og langsveifarferlar

Fyrr í þessum kafla skoðuðum við stikajöfnur hjólferils, það er ferils sem punktur á jaðri hjóls dregur upp þegar hjólið rúllar eftir beinni braut. Í þessu verkefni skoðum við tvö afbrigði hjólferilsins, skammsveifarferil og langsveifarferil.

Rifjum fyrst upp hvernig stikajöfnur hjólferils voru leiddar út. Við skoðuðum staðfastan maur sem reyndi að komast heim með því að hanga á jaðri reiðhjóladekks. Við gerðum ráð fyrir að maurinn hefði klifrað upp á dekkið alveg við jaðarinn þar sem dekkið snertir jörðina. Þegar hjólið rúllar hreyfist maurinn með jaðri dekksins (mynd 7.13).

Eins og áður hefur komið fram höfum við mikið svigrúm þegar ferill er stikaður. Hér látum við stikann t tákna hornið sem dekkið hefur snúist um. Á mynd 7.13 sést að þegar dekkið hefur snúist um hornið t er staða miðju hjólsins, $C = (x_{C}, y_{C}),$ gefin með

x_{C} = a t og y_{C} = a .

Látum jafnframt $A = (x_{A}, y_{A})$ tákna stöðu maursins. Þá sjáum við að

x_{C} - x_{A} = a sin t og y_{C} - y_{A} = a cos t .

Þá er

\begin{matrix} x_{A} = x_{C} - a sin t = a t - a sin t = a (t - sin t) \\ y_{A} = y_{C} - a cos t = a - a cos t = a (1 - cos t) . \end{matrix}

Mynd 7.13. (a) Maurinn hangir á jaðri reiðhjóladekksins þegar dekkið rúllar eftir jörðinni. (b) Rúmfræði er notuð til að ákvarða stöðu maursins eftir að dekkið hefur snúist um hornið t.

Athugið að þetta eru sömu stikaframsetningar og áður, en nú höfum við gefið stikabreytunni t efnislega merkingu.

Eftir nokkra stund fer maurinn að svima af því að snúast sífellt á jaðri dekksins. Hann klifrar því eftir einum teininum í átt að miðju hjólsins. Með því breytir maurinn hreyfiferli sínum. Nýi ferillinn sveiflast minna upp og niður og kallast skammsveifarferill (mynd 7.14). Eins og sýnt er á myndinni látum við b tákna fjarlægðina eftir teininum frá miðju hjólsins að maurnum. Sem fyrr látum við t tákna hornið sem dekkið hefur snúist um. Jafnframt látum við $C = (x_{C}, y_{C})$ tákna stöðu miðju hjólsins og $A = (x_{A}, y_{A})$ stöðu maursins.

Mynd 7.14. (a) Maurinn klifrar eftir einum teininum í átt að miðju hjólsins. (b) Hreyfiferill maursins eftir að hann færist nær miðju hjólsins. Hann kallast skammsveifarferill. (c) Ný uppsetning eftir að maurinn hefur færst nær miðju hjólsins.

Hver er staða miðju hjólsins eftir að dekkið hefur snúist um hornið t?
Notið rúmfræði til að finna segðir fyrir $x_{C} - x_{A}$ og $y_{C} - y_{A} .$
Hverjar eru stikajöfnur skammsveifarferilsins samkvæmt svörum ykkar við liðum 1 og 2? Þegar maurinn hættir að svima áttar hann sig á að hjólreiðamaðurinn hefur beygt og stefnir nú frá heimili hans. Hann sleppir því takinu á reiðhjóladekkinu og lítur í kringum sig. Sem betur fer eru járnbrautarteinar skammt frá og liggja í rétta átt. Maurinn fer að teinunum og bíður. Eftir nokkra stund kemur lest í rétta átt og honum tekst að stökkva upp og ná taki á jaðri lestarhjólsins (án þess að kremjast!). Maurinn óttast enn svimann en lestarhjólið er sleipt og án teina sem hann gæti klifrað eftir. Hann ákveður því að hanga á jaðri hjólsins og vona það besta. Lestarhjól hafa flans sem heldur hjólinu á sporinu. Þar sem maurinn hangir yst á flansinum er fjarlægðin frá miðju hjólsins að maurnum meiri en geisli hjólsins (

mynd 7.15). Uppsetningin er í meginatriðum sú sama og þegar maurinn klifraði eftir teininum á reiðhjólshjólinu. Látum
b tákna fjarlægðina frá miðju hjólsins að maurnum og t hornið sem dekkið hefur snúist um. Jafnframt látum við $C = (x_{C}, y_{C})$ tákna stöðu miðju hjólsins og $A = (x_{A}, y_{A})$ stöðu maursins (mynd 7.15). Þegar fjarlægðin frá miðju hjólsins að maurnum er meiri en geisli hjólsins kallast hreyfiferill hans
langsveifarferill. Graf langsveifarferils er sýnt á
myndinni. Mynd 7.15 (a) Maurinn hangir á flansi lestarhjólsins. (b) Ný uppsetning eftir að maurinn hefur stokkið á lestarhjólið. (c) Maurinn fylgir langsveifarferli.
Notið sömu aðferð og í liðum 1–3 til að finna stikajöfnur hreyfiferils maursins.
Hvað takið þið eftir þegar svar ykkar við lið 3 er borið saman við svar ykkar við lið 4? Athugið að maurinn hreyfist stundum aftur á bak („lykkjurnar“ á grafinu), þótt lestin haldi áfram. Hann verður líklega orðinn
mjög sviminn þegar hann loks kemst heim!

Æfingar í kafla 7.1

Teiknið ferlana í eftirfarandi dæmum með því að eyða stikanum t. Tilgreinið stefnu ferilsins.

$x = t^{2} + 2 t,$ $y = t + 1$

$x = cos (t), y = sin (t), (0, 2 π]$

$x = 2 t + 4, y = t - 1$

$x = 3 - t, y = 2 t - 3, 1.5 \leq t \leq 3$

Eyðið stikanum og teiknið gröfin í eftirfarandi dæmum.

$x = 2 t^{2}, y = t^{4} + 1$

Notið tæknibúnað (tölvualgebrukerfi eða reiknivél) til að teikna stikajöfnurnar í eftirfarandi dæmum.

[T] $\begin{matrix} x = t^{2} + t, & y = t^{2} - 1 \end{matrix}$

[T] $\begin{matrix} x = e^{− t}, & y = e^{2 t} - 1 \end{matrix}$

[T] $\begin{matrix} x = 3 cos t, & y = 4 sin t \end{matrix}$

[T] $\begin{matrix} x = sec t, & y = cos t \end{matrix}$

Teiknið stikajöfnurnar í eftirfarandi dæmum með því að eyða stikanum. Tilgreinið allar aðfellur grafsins.

10.

$x = e^{t}, y = e^{2 t} + 1$

11.

$x = 6 sin (2 θ), y = 4 cos (2 θ)$

12.

$\begin{matrix} x = cos θ, & y = 2 sin (2 θ) \end{matrix}$

13.

$\begin{matrix} x = 3 - 2 cos θ, & y = −5 + 3 sin θ \end{matrix}$

14.

$\begin{matrix} x = 4 + 2 cos θ, & y = −1 + sin θ \end{matrix}$

15.

$\begin{matrix} x = sec t, & y = tan t \end{matrix}$

16.

$\begin{matrix} x = ln (2 t), & y = t^{2} \end{matrix}$

17.

$\begin{matrix} x = e^{t}, & y = e^{2 t} \end{matrix}$

18.

$\begin{matrix} x = e^{−2 t}, & y = e^{3 t} \end{matrix}$

19.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = 3 ln t \end{matrix}$

20.

$\begin{matrix} x = 4 sec θ, & y = 3 tan θ \end{matrix}$

Umritið stikajöfnur ferils í kartesískt form í eftirfarandi dæmum. Ekki þarf að teikna. Tilgreinið skilgreiningarmengi kartesísku framsetningarinnar.

21.

$\begin{matrix} x = t^{2} - 1, & y = \frac{t}{2} \end{matrix}$

22.

$\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{t + 1}}, & y = \frac{t}{1 + t}, t > −1 \end{matrix}$

23.

$x = 4 cos θ, y = 3 sin θ, θ \in (0, 2 π]$

24.

$\begin{matrix} x = cosh t, & y = sinh t \end{matrix}$

25.

$\begin{matrix} x = 2 t - 3, & y = 6 t - 7 \end{matrix}$

26.

$\begin{matrix} x = t^{2}, & y = t^{3} \end{matrix}$

27.

$\begin{matrix} x = 1 + cos t, & y = 3 - sin t \end{matrix}$

28.

$\begin{matrix} x = \sqrt{t}, & y = 2 t + 4 \end{matrix}$

29.

$\begin{matrix} x = sec t, & y = tan t, π \leq t < \frac{3 π}{2} \end{matrix}$

30.

$\begin{matrix} x = 2 cosh t, & y = 4 sinh t \end{matrix}$

31.

$\begin{matrix} x = cos (2 t), & y = sin t \end{matrix}$

32.

$x = 4 t + 3, y = 16 t^{2} - 9$

33.

$\begin{matrix} x = t^{2}, & y = 2 ln t, t \geq 1 \end{matrix}$

34.

$\begin{matrix} x = t^{3}, & y = 3 ln t, t \geq 1 \end{matrix}$

35.

$\begin{matrix} x = t^{n}, & y = n ln t, t \geq 1, \end{matrix}$ þar sem n er náttúrleg tala

36.

$\begin{matrix} x = ln (5 t) \\ y = ln (t^{2}) \end{matrix}$ þar sem $1 \leq t \leq e$

37.

$\begin{matrix} x = 2 sin (8 t) \\ y = 2 cos (8 t) \end{matrix}$

38.

$\begin{matrix} x = tan t \\ y = {sec}^{2} t - 1 \end{matrix}$

Stikajöfnupörin í eftirfarandi dæmum lýsa línum, fleygbogum, hringum, sporbaugum eða breiðbogum. Nefnið þá grunngerð ferils sem hvert jöfnupar lýsir.

39.

$\begin{matrix} x = 3 t + 4 \\ y = 5 t - 2 \end{matrix}$

40.

$\begin{matrix} x - 4 = 5 t \\ y + 2 = t \end{matrix}$

41.

$\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = t^{2} - 3 \end{matrix}$

42.

$\begin{matrix} x = 3 cos t \\ y = 3 sin t \end{matrix}$

43.

$\begin{matrix} x = 2 cos (3 t) \\ y = 2 sin (3 t) \end{matrix}$

44.

$\begin{matrix} x = cosh t \\ y = sinh t \end{matrix}$

45.

$\begin{matrix} x = 3 cos t \\ y = 4 sin t \end{matrix}$

46.

$\begin{matrix} x = 2 cos (3 t) \\ y = 5 sin (3 t) \end{matrix}$

47.

$\begin{matrix} x = 3 cosh (4 t) \\ y = 4 sinh (4 t) \end{matrix}$

48.

$\begin{matrix} x = 2 cosh t \\ y = 2 sinh t \end{matrix}$

49.

Sýnið að $\begin{matrix} x = h + r cos θ \\ y = k + r sin θ \end{matrix}$ lýsir hring.

50.

Notið jöfnurnar í dæminu á undan til að finna stikajöfnur hrings með geisla 5 og miðju $(−2, 3) .$

Notið grafteiknitæki í eftirfarandi dæmum til að teikna ferilinn sem stikajöfnurnar lýsa og berið kennsl á ferilinn út frá jöfnu hans.

51.

[T] $\begin{matrix} x = θ + sin θ \\ y = 1 - cos θ \end{matrix}$

52.

[T] $\begin{matrix} x = 2 t - 2 sin t \\ y = 2 - 2 cos t \end{matrix}$

53.

[T] $\begin{matrix} x = t - 0.5 sin t \\ y = 1 - 1.5 cos t \end{matrix}$

54.

Flugvél flýgur lárétt með hraðanum 100 m/s yfir sléttu landi í 4000 metra hæð og þarf að sleppa neyðarpakka að marki á jörðu niðri. Ferill pakkans er gefinn með $x = 100 t, y = −4.9 t^{2} + 4000, t \geq 0$ þar sem upphafspunkturinn er á jörðinni beint undir flugvélinni þegar pakkanum er sleppt. Hve langt frá markinu, mælt lárétt, á að sleppa pakkanum svo hann hitti markið?

55.

Ferill kúlu er gefinn með $x = v_{0} (cos α) t, y = v_{0} (sin α) t - \frac{1}{2} g t^{2}$ þar sem $v_{0} = 500 m/s,$ $g = 9.8 = 9.8 {m/s}^{2},$ og $α = 30 gráður .$ Hvenær lendir kúlan á jörðinni? Hve langt frá byssunni lendir hún?

56.

[T] Notið tæknibúnað til að teikna ferilinn sem lýst er með $x = sin (4 t), y = sin (3 t), 0 \leq t \leq 2 π .$

57.

[T] Notið tæknibúnað til að teikna $x = 2 tan (t), y = 3 sec (t), − π < t < π .$

58.

Teiknið ferilinn sem nefnist útsveifarferill og lýsir braut punkts á hring með geisla b þegar hringurinn rúllar utan á hring með geisla a. Jöfnurnar eru

$\begin{matrix} x = (a + b) cos t - c \cdot cos [\frac{(a + b) t}{b}] \\ y = (a + b) sin t - c \cdot sin [\frac{(a + b) t}{b}] . \end{matrix}$
Látum $a = 1, b = 2, c = 1 .$

59.

[T] Notið tæknibúnað til að teikna kuðungsferilinn sem $x = t cos (t), y = t sin (t)$ lýsir á bilinu $−2 π \leq t \leq 2 π .$

60.

[T] Notið tæknibúnað til að teikna ferilinn sem lýst er með stikajöfnunum $x = 2 cot (t), y = 1 - cos (2 t), − π / 2 \leq t \leq π / 2 .$ Ferillinn nefnist Agnesarhaddur.

61.

[T] Teiknið ferilinn sem lýst er með stikajöfnunum $\begin{matrix} x = cosh (t) \\ y = sinh (t), \end{matrix}$ þar sem $−2 \leq t \leq 2 .$