77 Stikajöfnur og skauthnit

7.5 Keilusnið

Námsmarkmið

7.5.1 Ákvarða jöfnu fleygboga á staðalformi út frá gefnum brennipunkti og stýrilínu.
7.5.2 Ákvarða jöfnu sporbaugs á staðalformi út frá gefnum brennipunktum.
7.5.3 Ákvarða jöfnu breiðboga á staðalformi út frá gefnum brennipunktum.
7.5.4 Þekkja fleygboga, sporbaug eða breiðboga út frá miðskekkju hans.
7.5.5 Rita skauthnitajöfnu keilusniðs með miðskekkju e .
7.5.6 Ákvarða hvenær almenn annars stigs jafna lýsir fleygboga, sporbaug eða breiðboga.

Keilusnið hafa verið rannsökuð frá tímum Forn-Grikkja og voru talin mikilvægt stærðfræðihugtak. Allt frá 320 f.Kr. heilluðust grískir stærðfræðingar á borð við Menaikhmos, Apolloníos og Arkimedes af þessum ferlum. Apolloníos skrifaði heilt ritverk í átta bindum um keilusnið þar sem hann leiddi meðal annars út sérstaka rúmfræðilega aðferð til að þekkja keilusnið. Síðan hafa komið fram mikilvæg hagnýtingarsvið keilusniða, til dæmis í stjörnufræði, og eiginleikar þeirra eru nýttir í útvarpssjónaukum, gervihnattadiskum og jafnvel byggingarlist. Í þessum hluta fjöllum við um keilusniðin þrjú, nokkra eiginleika þeirra og jöfnur.

Keilusnið draga nafn sitt af því að þau má mynda með skurði plans og keilu. Keila hefur tvo einslaga hluta sem kallast keiluhelmingar. Annar keiluhelmingurinn er það sem flestir eiga við með „keilu“ og líkist veisluhatti. Mynda má rétta hringkeilu með því að snúa línu sem liggur gegnum upphafspunktinn um y-ásinn eins og sýnt er.

Línan y = 3x er teiknuð og henni síðan snúið um y-ásinn þannig að tveir keiluhelmingar myndast, það er keila sem liggur bæði ofan og neðan x-ássins. — **Mynd 7.43.** Keila sem myndast þegar línunni $y = 3 x$ er snúið um $y$ -ásinn.

Keilusnið myndast þar sem plan sker keilu (mynd 7.44). Ef planið sker báða keiluhelmingana er keilusniðið breiðbogi. Ef planið er samsíða myndlínunni er keilusniðið fleygbogi. Ef planið er hornrétt á snúningsásinn er keilusniðið hringur. Ef planið sker annan keiluhelminginn undir horni við ásinn (öðru en $90 °),$ er keilusniðið sporbaugur.

Myndin skiptist í þrjá hluta. Fyrsti hlutinn sýnir keilu með tveimur keiluhelmingum. Annar hlutinn sýnir keilu og plan sem sker annan keiluhelminginn og myndar fleygboga. Einnig sést hringur sem myndast þegar plan sker annan keiluhelminginn samsíða hringlaga grunnfletinum. Þá sést sporbaugur sem myndast þegar plan sker annan keiluhelminginn án þess að vera samsíða hringlaga grunnfletinum. Hringurinn og sporbaugurinn afmarkast af brúnum keilunnar á alla vegu. Síðasti hlutinn sýnir breiðboga sem myndast þegar plan sker báða keiluhelmingana. — **Mynd 7.44.** Keilusniðin fjögur. Hvert keilusnið ræðst af horninu sem planið myndar við ás keilunnar.

Fleygbogar

Fleygbogi myndast þegar plan sker keilu samsíða myndlínunni. Þá sker planið aðeins annan keiluhelminginn. Einnig má skilgreina fleygboga út frá fjarlægðum.

Graf dæmigerðs fleygboga er sýnt á mynd 7.45. Með þessari mynd og fjarlægðarformúlunni getum við leitt út jöfnu fleygboga. Rifjið upp fjarlægðarformúluna: Ef punkturinn P hefur hnitin $(x_{1}, y_{1})$ og punkturinn Q hnitin $(x_{2}, y_{2}),$ er fjarlægðin milli þeirra gefin með formúlunni

d (P, Q) = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} .

Af skilgreiningu fleygboga og mynd 7.45 fæst þá

\begin{matrix} d (F, P) & = & d (P, Q) \\ \sqrt{{(0 - x)}^{2} + {(p - y)}^{2}} & = & \sqrt{{(x - x)}^{2} + {(− p - y)}^{2}} . \end{matrix}

Þegar báðar hliðar eru settar í annað veldi og einfaldaðar fæst

\begin{matrix} x^{2} + {(p - y)}^{2} & = & 0^{2} + {(− p - y)}^{2} \\ x^{2} + p^{2} - 2 p y + y^{2} & = & p^{2} + 2 p y + y^{2} \\ x^{2} - 2 p y & = & 2 p y \\ x^{2} & = & 4 p y . \end{matrix}

Teiknaður er fleygbogi með topppunkt í upphafspunktinum sem opnast upp. Brennipunkturinn F er merktur í (0, p). Punkturinn P er merktur á ferlinum í hnitunum (x, y) og fjarlægðin frá brennipunktinum að P er merkt d. Stýrilínan y = −p er teiknuð. Fjarlægðin frá P að stýrilínunni í (x, −p) er merkt d. — **Mynd 7.45.** Dæmigerður fleygbogi þar sem fjarlægðin frá brennipunkti að topppunkti er táknuð með breytunni $p .$

Gerum nú ráð fyrir að við viljum færa topppunktinn. Við notum breyturnar $(h, k)$ til að tákna hnit hans. Ef brennipunkturinn er beint ofan við topppunktinn hefur hann þá hnitin $(h, k + p)$ og stýrilínan jöfnuna $y = k - p .$ Sama útleiðsla gefur formúluna ${(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .$ Þegar jafnan er leyst með tilliti til y fæst eftirfarandi setning.

Við getum einnig skoðað tilvikin þegar fleygboginn opnast niður, til vinstri eða til hægri. Jöfnu hvers tilviks má einnig rita á staðalformi eins og eftirfarandi gröf sýna.

Myndin sýnir fjóra fleygboga sem snúa hver í sína átt. Á fyrstu myndinni opnast fleygbogi upp með jöfnuna y = (1/(4p))(x − h)2 + k. Topppunkturinn er (h, k), brennipunkturinn (h, k + p) og stýrilínan y = k − p. Á annarri myndinni opnast fleygbogi niður með jöfnuna y = −(1/(4p))(x − h)2 + k. Topppunkturinn er (h, k), brennipunkturinn (h, k − p) og stýrilínan y = k + p. Á þriðju myndinni opnast fleygbogi til hægri með jöfnuna x = (1/(4p))(y − k)2 + h. Topppunkturinn er (h, k), brennipunkturinn (h + p, k) og stýrilínan x = h − p. Á fjórðu myndinni opnast fleygbogi til vinstri með jöfnuna x = −(1/(4p))(y − k)2 + h. Topppunkturinn er (h, k), brennipunkturinn (h – p, k) og stýrilínan x = h + p. — **Mynd 7.46.** Fjórir fleygbogar sem opnast í ólíkar áttir ásamt jöfnum sínum á staðalformi.

Jöfnu fleygboga má enn fremur rita á almennu formi, þótt gildi h, k og p sjáist ekki strax á því formi. Almennt form fleygboga er

a x^{2} + b x + c y + d = 0 eða a y^{2} + b x + c y + d = 0 .

Fyrri jafnan táknar fleygboga sem opnast annaðhvort upp eða niður. Seinni jafnan táknar fleygboga sem opnast annaðhvort til vinstri eða hægri. Notið aðferðina að fylla í ferninginn til að færa jöfnuna á staðalform.

Dæmi 7.19

Jöfnu fleygboga breytt af almennu formi á staðalform

Færið jöfnuna $x^{2} - 4 x - 8 y + 12 = 0$ á staðalform og teiknið graf fleygbogans sem fæst.

Lausn

Þar sem y er ekki í öðru veldi í þessari jöfnu vitum við að fleygboginn opnast annaðhvort upp eða niður. Við þurfum því að leysa jöfnuna með tilliti til y og færa hana þannig á staðalform. Byrjum á að leggja $8 y$ við báðar hliðar jöfnunnar:

8 y = x^{2} - 4 x + 12 .

Næst fyllum við í ferninginn hægra megin. Byrjum á að setja fyrstu tvo liðina hægra megin innan sviga:

8 y = (x^{2} - 4 x) + 12 .

Næst finnum við fastann sem gerir stæðuna innan svigans að fullkomnum ferningsþrílið þegar honum er bætt þar við. Til þess tökum við helming stuðuls x og setjum í annað veldi. Þá fæst ${(\frac{−4}{2})}^{2} = 4 .$ Leggjum 4 við innan svigans og drögum 4 frá utan hans svo gildi jöfnunnar breytist ekki:

8 y = (x^{2} - 4 x + 4) + 12 - 4 .

Sameinum nú líka liði og þáttum stæðuna innan svigans:

8 y = {(x - 2)}^{2} + 8 .

Deilum að lokum með 8:

y = \frac{1}{8} {(x - 2)}^{2} + 1 .

Jafnan er nú á staðalformi. Samanburður við jöfnu 7.11 gefur $h = 2,$ $k = 1,$ og $p = 2 .$ Fleygboginn opnast upp, hefur topppunktinn $(2, 1),$ brennipunktinn $(2, 3),$ og stýrilínuna $y = −1 .$ Grafið er sýnt hér á eftir.

Teiknaður er fleygbogi með topppunkt í (2, 1) sem opnast upp og hefur jöfnuna x2 − 4x − 8y + 12 = 0. Brennipunkturinn er (1, 3) og stýrilínan y = −1. — **Mynd 7.47.** Fleygboginn í dæmi 7.19.

Samhverfuás lóðrétts fleygboga, sem opnast upp eða niður, er lóðrétt lína gegnum topppunktinn. Fleygboginn hefur athyglisverðan speglunareiginleika. Hugsum okkur gervihnattadisk með fleygbogalaga þversniði. Ef geisli rafsegulbylgna, svo sem ljós- eða útvarpsbylgna, berst í beina línu frá gervihnetti inn á diskinn, samsíða samhverfuásnum, endurkastast bylgjurnar af diskinum og safnast í brennipunkti fleygbogans eins og sýnt er.

Teiknaður er fleygbogi með topppunkt í upphafspunktinum sem opnast upp. Tvær samsíða línur lenda á fleygboganum og endurkastast að brennipunktinum.

Skoðum fleygbogalaga disk sem ætlaður er til að safna merkjum frá gervihnetti í geimnum. Disknum er beint nákvæmlega að gervihnettinum og móttakari er í brennipunkti fleygbogans. Útvarpsbylgjur frá gervihnettinum endurkastast af yfirborði disksins að móttakaranum, sem tekur við stafrænu merkjunum og afkóðar þau. Þannig getur lítill móttakari safnað merkjum frá stóru svæði á himninum. Vasaljós og bílljós virka eftir sömu reglu en í öfuga átt: ljósgjafinn, það er ljósaperan, er í brennipunktinum og endurkastandi yfirborð fleygbogaspegilsins beinir geislanum beint fram. Þannig getur lítil pera lýst upp stórt svæði fyrir framan vasaljósið eða bílinn.

Sporbaugar

Einnig má skilgreina sporbaug út frá fjarlægðum. Sporbaugur hefur tvo brennipunkta og tvær stýrilínur. Við skoðum stýrilínurnar nánar síðar í þessum hluta.

Teiknaður er sporbaugur með miðju í upphafspunktinum O, brennipunktinn F′ í (−c, 0) og brennipunktinn F í (c, 0). Punktarnir P og P′ eru á x-ásnum og punktarnir Q og Q′ á y-ásnum. Línur liggja frá F′ að Q og frá F að Q. Einnig liggja línur frá F′ og F að punktinum A á sporbaugnum, merktum (x, y). Fjarlægðirnar frá O að Q og O að Q′ eru merktar b, en fjarlægðirnar frá P að O og O að P′ eru merktar a. — **Mynd 7.48.** Dæmigerður sporbaugur þar sem summa fjarlægða sérhvers punkts á sporbaugnum frá brennipunktunum er föst.

Graf dæmigerðs sporbaugs er sýnt á mynd 7.48. Brennipunktarnir eru merktir $F$ og $F^{'} .$ Báðir eru í sömu föstu fjarlægð frá upphafspunktinum, táknaðri með breytunni c. Hnit $F$ eru því $(c, 0)$ og hnit $F^{'}$ eru $(− c, 0) .$ Punktarnir $P$ og $P^{'}$ eru á endum langáss sporbaugsins og hafa hnitin $(a, 0)$ og $(− a, 0),$ í sömu röð. Langásinn er alltaf lengsta línustrikið þvert yfir sporbauginn og getur verið láréttur eða lóðréttur. Lengd langássins í þessum sporbaug er því 2 a. Punktarnir $P$ og $P^{'}$ kallast topppunktar sporbaugsins. Punktarnir $Q$ og $Q^{'}$ eru á endum skammássins og hafa hnitin $(0, b)$ og $(0, − b),$ í sömu röð. Skammásinn er stysta línustrikið þvert yfir sporbauginn og er hornréttur á langásinn.

Samkvæmt skilgreiningu sporbaugs getum við valið hvaða punkt sem er á sporbaugnum og summa fjarlægða hans frá brennipunktunum tveimur er föst. Veljum punktinn P. Þar sem hnit P eru $(a, 0),$ er summa fjarlægðanna

d (P, F) + d (P, F^{'}) = (a - c) + (a + c) = 2 a .

Summa fjarlægðanna frá hvaða punkti A sem er með hnitin $(x, y)$ er því einnig 2 a. Með fjarlægðarformúlunni fæst

\begin{matrix} d (A, F) + d (A, F^{'}) & = & 2 a \\ \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a . \end{matrix}

Drögum seinni kvaðratrótina frá báðum hliðum og setjum báðar hliðar í annað veldi:

\begin{matrix} \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a - \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \\ {(x - c)}^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + {(x + c)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} \\ − 2 c x & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x . \end{matrix}

Einangrum nú kvaðratrótina hægra megin og setjum aftur í annað veldi:

\begin{matrix} - 2 c x & = & 4 a^{2} - 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x \\ 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & 4 a^{2} + 4 c x \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & a + \frac{c x}{a} \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Einangrum breyturnar vinstra megin og fastana hægra megin:

\begin{matrix} x^{2} - \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} \\ \frac{(a^{2} - c^{2}) x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} . \end{matrix}

Deilum báðum hliðum með $a^{2} - c^{2} .$ Þá fæst jafnan

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 .

Ef við lítum aftur á mynd 7.48 er lengd hvors græna línustriksins a. Það gildir vegna þess að summa fjarlægðanna frá Q að brennipunktunum $F og F^{'}$ er 2 a og línustrikin tvö eru jafnlöng. Línustrikið myndar rétthyrndan þríhyrning með langhliðina a og skammhliðarnar b og c. Samkvæmt setningu Pýþagórasar er $c^{2} = b^{2} = a^{2}$ og $b^{2} + a^{2} = c^{2} .$ Jafna sporbaugsins verður því

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Ef miðja sporbaugsins er að lokum færð úr upphafspunktinum í punktinn $(h, k),$ fæst eftirfarandi staðalform sporbaugs.

Ef langásinn er láréttur kallast sporbaugurinn láréttur, en ef langásinn er lóðréttur kallast hann lóðréttur. Jafna sporbaugs er á almennu formi ef hún er á forminu $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0,$ þar sem A og B eru annaðhvort bæði jákvæð eða bæði neikvæð. Notið aðferðina að fylla í ferninginn til að færa jöfnuna úr almennu formi á staðalform.

Dæmi 7.20

Staðlað form sporbaugs fundið

Færið jöfnuna $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 24 y + 36 = 0$ á staðalform og teiknið graf sporbaugsins sem fæst.

Lausn

Drögum fyrst 36 frá báðum hliðum jöfnunnar:

9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 24 y = −36 .

Setjum næst x-liðina saman og y-liðina saman og tökum sameiginlegan þátt út fyrir sviga:

\begin{matrix} (9 x^{2} - 36 x) + (4 y^{2} + 24 y) & = & −36 \\ 9 (x^{2} - 4 x) + 4 (y^{2} + 6 y) & = & −36. \end{matrix}

Við þurfum að finna fastann sem myndar fullkominn ferning þegar honum er bætt við innan hvors sviga. Í fyrri sviganum tökum við helming stuðuls x og setjum í annað veldi. Þá fæst ${(\frac{−4}{2})}^{2} = 4 .$ Í seinni sviganum tökum við helming stuðuls y og setjum í annað veldi. Þá fæst ${(\frac{6}{2})}^{2} = 9 .$ Leggjum þessi gildi við innan hvors sviga. Þar sem 9 stendur fyrir framan fyrri svigann leggjum við í raun 36 við vinstri hliðina. Á sama hátt leggjum við 36 við vegna seinni svigans. Jafnan verður því

\begin{matrix} 9 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 (y^{2} + 6 y + 9) = −36 + 36 + 36 \\ 9 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 (y^{2} + 6 y + 9) = 36. \end{matrix}

Þáttum nú báða svigana og deilum með 36:

\begin{matrix} 9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 3)}^{2} & = & 36 \\ \frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} & = & 1 \\ \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} & = & 1. \end{matrix}

Jafnan er nú á staðalformi. Samanburður við jöfnu 7.14 gefur $h = 2,$ $k = −3,$ $a = 3,$ og $b = 2 .$ Þetta er lóðréttur sporbaugur með miðju í $(2, −3),$ langás 6 og skammás 4. Graf sporbaugsins er sýnt hér á eftir.

Teiknaður er sporbaugur með jöfnuna 9x2 + 4y2 − 36x + 24y + 36 = 0. Miðjan er í (2, −3), sporbaugurinn snertir x-ásinn í (2, 0) og y-ásinn í (0, −3). — **Mynd 7.49.** Sporbaugurinn í dæmi 7.20.

Samkvæmt fyrsta lögmáli Keplers um hreyfingu reikistjarna er braut reikistjörnu um sólina sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum, eins og sýnt er á mynd 7.50(a). Þar sem braut jarðar er sporbaugur breytist fjarlægðin frá sólinni yfir árið. Algengur misskilningur er að jörðin sé nær sólinni á sumrin. Á sumri á norðurhveli er jörðin raunar fjær sólinni en á veturna. Árstíðamunurinn stafar af möndulhalla jarðar miðað við brautarplanið. Halastjörnur á braut um sólina, svo sem Halley-halastjarnan, hafa einnig sporöskjulaga brautir, rétt eins og tungl á braut um reikistjörnur og gervihnettir á braut um jörðu.

Sporbaugar hafa einnig athyglisverða speglunareiginleika: Ljósgeisli sem leggur af stað frá öðrum brennipunktinum fer um hinn eftir að hafa endurkastast af sporbaugnum. Hið sama gildir um hljóðbylgjur. National Statuary Hall í þinghúsi Bandaríkjanna í Washingtonborg er frægur sporöskjulaga salur sem sýndur er á mynd 7.50(b). Salurinn var fundarstaður fulltrúadeildar Bandaríkjaþings í nær fimmtíu ár. Staðsetning brennipunktanna tveggja í þessum hálfsporöskjulaga sal er greinilega merkt á gólfinu. Jafnvel þótt salurinn sé fullur af gestum geta tveir sem standa á þessum stöðum og tala saman heyrt mun betur hvor í öðrum en í þeim sem stendur rétt hjá. Sagan segir að John Quincy Adams hafi haft skrifborð sitt á öðrum brennipunktinum og getað hlerað samtöl allra annarra í fulltrúadeildinni án þess að standa nokkru sinni upp. Þótt sagan sé góð er hún líklega ósönn, því upphaflega loftið olli svo miklum bergmálum að hengja þurfti teppi um allan salinn til að draga úr hávaðanum. Loftið var endurbyggt árið 1902 og fyrst þá kom hin frægu hvíslunaráhrif fram. Annað frægt hvíslaragallerí, þar sem mörg bónorð hafa verið borin upp, er í Grand Central-lestarstöðinni í New York.

Myndin skiptist í hluta a og b. Í hluta a er jörðin sýnd á braut um sólina og janúar og júlí eru merktir. Fjarlægðin frá sólinni að jörðinni í janúar er 147 milljón km, en fjarlægðin í júlí er 152 milljón mílur. Í hluta b sést salur með bogadregnum veggjum. — **Mynd 7.50.** (a) Braut jarðar um sólina er sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum. (b) Statuary Hall í þinghúsi Bandaríkjanna er hvíslaragallerí með sporöskjulaga þversniði.

Breiðbogar

Einnig má skilgreina breiðboga út frá fjarlægðum. Breiðbogi hefur tvo brennipunkta, tvær stýrilínur og tvær aðfellur.

Graf dæmigerðs breiðboga er sýnt hér á eftir.

Teiknaður er breiðbogi með miðju í upphafspunktinum. Topppunktarnir eru í (a, 0) og (−a, 0) og brennipunktarnir F1 og F2 í (c, 0) og (−c, 0). Aðfellurnar eru teiknaðar og línur liggja frá topppunktunum að þeim. Skurðpunktar þessara lína eru tengdir svo rétthyrningur myndast. Styttri ásinn kallast þverás og lengri ásinn meginás. Fjarlægðin frá x-ásnum að hvorri línu rétthyrningsins er b. — **Mynd 7.51.** Dæmigerður breiðbogi þar sem mismunur fjarlægða sérhvers punkts á breiðboganum frá brennipunktunum er fastur. Meginásinn er einnig kallaður langás og þverásinn einnig skammás.

Útleiðsla jöfnu breiðboga á staðalformi er nánast eins og útleiðsla jöfnu sporbaugs. Einn smávægilegur hængur er í skilgreiningunni: Algildi mismunar fjarlægðanna tveggja er alltaf jákvætt. Látum P vera punkt á breiðboganum með hnitin $(x, y) .$ Þá gefur skilgreining breiðbogans $| d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) | = fasti .$ Til einföldunar gerum við ráð fyrir að P sé á hægri grein breiðbogans svo sleppa megi algildisstrikunum. Ef hann er á vinstri greininni snýst frádrátturinn við. Topppunktur hægri greinarinnar hefur hnitin $(a, 0),$ og því er

d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) = (c + a) - (c - a) = 2 a .

Þessi jafna gildir því um sérhvern punkt á breiðboganum. Notum aftur hnitin $(x, y)$ fyrir P:

\begin{matrix} d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) & = & 2 a \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a . \end{matrix}

Leggjum seinni kvaðratrótina við báðar hliðar og setjum báðar hliðar í annað veldi:

\begin{matrix} \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} & = & 2 a + \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \\ {(x - c)}^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + {(x + c)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} \\ − 2 c x & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x . \end{matrix}

Einangrum nú kvaðratrótina hægra megin og setjum aftur í annað veldi:

\begin{matrix} - 2 c x & = & 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + 2 c x \\ 4 a \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & −4 a^{2} - 4 c x \\ \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} & = & − a - \frac{c x}{a} \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} \\ x^{2} + c^{2} + y^{2} & = & a^{2} + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Einangrum breyturnar vinstra megin og fastana hægra megin:

\begin{matrix} x^{2} - \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} \\ \frac{(a^{2} - c^{2}) x^{2}}{a^{2}} + y^{2} & = & a^{2} - c^{2} . \end{matrix}

Deilum að lokum báðum hliðum með $a^{2} - c^{2} .$ Þá fæst jafnan

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 .

Við skilgreinum nú b þannig að $b^{2} = c^{2} - a^{2} .$ Þetta er mögulegt vegna þess að $c > a .$ Jafna breiðbogans verður því

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Ef miðja breiðbogans er að lokum færð úr upphafspunktinum í punktinn $(h, k),$ fæst eftirfarandi staðalform breiðboga.

Ef meginás breiðbogans er láréttur kallast breiðboginn láréttur, en ef meginásinn er lóðréttur kallast hann lóðréttur. Jafna breiðboga er á almennu formi ef hún er á forminu $A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E = 0,$ þar sem A og B hafa ólík formerki. Notið aðferðina að fylla í ferninginn til að færa jöfnuna úr almennu formi á staðalform.

Dæmi 7.21

Staðlað form breiðboga fundið

Færið jöfnuna $9 x^{2} - 16 y^{2} + 36 x + 32 y - 124 = 0$ á staðalform og teiknið graf breiðbogans sem fæst. Hverjar eru jöfnur aðfellanna?

Lausn

Leggjum fyrst 124 við báðar hliðar jöfnunnar:

9 x^{2} - 16 y^{2} + 36 x + 32 y = 124 .

Setjum næst x-liðina saman og y-liðina saman og tökum sameiginlega þætti út fyrir sviga:

\begin{matrix} (9 x^{2} + 36 x) - (16 y^{2} - 32 y) & = & 124 \\ 9 (x^{2} + 4 x) - 16 (y^{2} - 2 y) & = & 124. \end{matrix}

Við þurfum að finna fastann sem myndar fullkominn ferning þegar honum er bætt við innan hvors sviga. Í fyrri sviganum tökum við helming stuðuls x og setjum í annað veldi. Þá fæst ${(\frac{4}{2})}^{2} = 4 .$ Í seinni sviganum tökum við helming stuðuls y og setjum í annað veldi. Þá fæst ${(\frac{−2}{2})}^{2} = 1 .$ Leggjum þessi gildi við innan hvors sviga. Þar sem 9 stendur fyrir framan fyrri svigann leggjum við í raun 36 við vinstri hliðina. Á sama hátt drögum við 16 frá vegna seinni svigans. Jafnan verður því

\begin{matrix} 9 (x^{2} + 4 x + 4) - 16 (y^{2} - 2 y + 1) = 124 + 36 - 16 \\ 9 (x^{2} + 4 x + 4) - 16 (y^{2} - 2 y + 1) = 144. \end{matrix}

Þáttum næst báða svigana og deilum með 144:

\begin{matrix} 9 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 1)}^{2} & = & 144 \\ \frac{9 {(x + 2)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} & = & 1 \\ \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} & = & 1. \end{matrix}

Jafnan er nú á staðalformi. Samanburður við jöfnu 7.15 gefur $h = −2,$ $k = 1,$ $a = 4,$ og $b = 3 .$ Þetta er láréttur breiðbogi með miðju í $(−2, 1)$ ; aðfellur hans eru gefnar með jöfnunum $y = 1 \pm \frac{3}{4} (x + 2) .$ Graf breiðbogans er sýnt á eftirfarandi mynd.

Teiknaður er breiðbogi með jöfnuna 9x2 − 16y2 + 36x + 32y − 124 = 0. Miðjan er í (−2, 1) og greinar breiðbogans opnast til vinstri og hægri. — **Mynd 7.52.** Graf breiðbogans í dæmi 7.21.

Breiðbogar hafa einnig athyglisverða speglunareiginleika. Geisli sem beinist að öðrum brennipunkti breiðboga endurkastast af breiðbogalaga spegli í átt að hinum brennipunktinum. Þetta er sýnt á eftirfarandi mynd.

Teiknaður er breiðbogi sem opnast til hægri og vinstri. Geisli sem berst að hægri grein breiðbogans er merktur „Ljós frá stjörnu“. Hann lendir á „Spegilfleti“ og endurkastast að brennipunktinum hinum megin við breiðbogann. Strikalína liggur frá punktinum þar sem geislinn lendir á speglinum að brennipunktinum sömu megin við breiðbogann. — **Mynd 7.53.** Breiðbogalaga spegill sem safnar ljósi frá fjarlægum stjörnum.

Þessi eiginleiki breiðbogans hefur mikilvæg hagnýtingarsvið. Hann er notaður við stefnumiðun útvarpsmerkja, því mismunur merkja frá tveimur möstrum er fastur eftir breiðbogum, og við smíði spegla í sjónaukum, þar sem ljós frá fleygbogaspegli er endurkastað að augnglerinu. Önnur athyglisverð staðreynd um breiðboga varðar halastjörnu sem kemur inn í sólkerfið: Ef hraði hennar er nægur til að sleppa úr þyngdarsviði sólarinnar er ferill hennar gegnum sólkerfið breiðbogi.

Miðskekkja og stýrilína

Önnur leið til að lýsa keilusniði byggist á stýrilínum, brennipunktum og nýjum eiginleika sem kallast miðskekkja. Við sjáum að gildi miðskekkjunnar getur ákvarðað keilusniðið ótvírætt.

Keilusniðin þrjú ásamt stýrilínum sínum eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Myndin skiptist í þrjá hluta. Fyrst er sporbaugur með miðju í upphafspunktinum, brennipunkta í (c, 0) og (−c, 0), hálfa lóðrétta hæð b, hálfa lárétta lengd a og stýrilínur x = ±a2/c. Næst er fleygbogi með topppunkt í upphafspunktinum, brennipunktinn (c, 0) og stýrilínuna x = −a. Að lokum er breiðbogi með miðju í upphafspunktinum, brennipunkta í (c, 0) og (−c, 0), topppunkta í (a, 0) og (−a, 0) og stýrilínur x = ±a2/c. — **Mynd 7.54.** Keilusniðin þrjú ásamt brennipunktum og stýrilínum.

Rifjið upp úr skilgreiningu fleygboga að fjarlægðin frá sérhverjum punkti á fleygboganum að brennipunktinum er jöfn fjarlægðinni frá sama punkti að stýrilínunni. Samkvæmt skilgreiningu hlýtur miðskekkja fleygboga því að vera 1. Jöfnur stýrilína lárétts sporbaugs eru $x = ± \frac{a^{2}}{c} .$ Hægri topppunktur sporbaugsins er $(a, 0)$ og hægri brennipunkturinn $(c, 0) .$ Fjarlægðin frá topppunktinum að brennipunktinum er því $a - c$ og fjarlægðin frá topppunktinum að hægri stýrilínunni $\frac{a^{2}}{c} - a .$ Þá fæst miðskekkjan

e = \frac{a - c}{\frac{a^{2}}{c} - a} = \frac{c (a - c)}{a^{2} - a c} = \frac{c (a - c)}{a (a - c)} = \frac{c}{a} .

Þar sem $c < a,$ sýnir þetta skref að miðskekkja sporbaugs er minni en 1. Stýrilínur lárétts breiðboga eru einnig $x = ± \frac{a^{2}}{c},$ og sambærilegur reikningur sýnir að miðskekkja breiðboga er $e = \frac{c}{a} .$ Í þessu tilviki er hins vegar $c > a,$ og því er miðskekkja breiðboga meiri en 1.

Dæmi 7.22

Miðskekkja keilusniðs ákvörðuð

Ákvarðið miðskekkju sporbaugsins sem jafnan lýsir

\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{25} = 1 .

Lausn

Af jöfnunni sjáum við að $a = 5$ og $b = 4 .$ Gildi c má reikna með jöfnunni $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ fyrir sporbaug. Þegar gildi a og b eru sett inn og leyst með tilliti til c fæst $c = 3 .$ Miðskekkja sporbaugsins er því $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6 .$

Skauthnitajöfnur keilusniða

Stundum er gagnlegt að rita eða þekkja jöfnu keilusniðs á skauthnitaformi. Til þess þurfum við hugtakið brennistiki. Brennistiki p keilusniðs er fjarlægðin frá brennipunkti að næstu stýrilínu. Eftirfarandi tafla gefur brennistika ólíkra keilusniða, þar sem a er hálf lengd langássins, c er fjarlægðin frá upphafspunktinum að brennipunktinum og e er miðskekkjan. Fyrir fleygboga táknar a fjarlægðina frá topppunktinum að brennipunktinum.

Keilusnið	e	$p$
Sporbaugur	0 < e < 1	$\frac{a 2 − c 2}{c} = \frac{a ( 1 − e 2 )}{e}$
Fleygbogi	e = 1	2 a
Breiðbogi	e > 1	$\frac{c 2 − a 2}{c} = \frac{a ( e 2 − 1 )}{e}$

Með skilgreiningum á brennistika og miðskekkju keilusniðs getum við leitt út jöfnu hvers keilusniðs í skauthnitum. Við gerum sérstaklega ráð fyrir að annar brennipunktur keilusniðsins sé í skautinu. Með fjarlægðarskilgreiningum keilusniðanna má þá sanna eftirfarandi setningu.

Í jöfnunni til vinstri er langás keilusniðsins láréttur en í jöfnunni til hægri er hann lóðréttur. Þegar unnið er með keilusnið á skauthnitaformi skal fyrst gera fastaliðinn í nefnaranum jafnan 1. Það má gera með því að deila bæði teljara og nefnara brotsins með fastanum sem stendur á undan plús- eða mínusmerkinu í nefnaranum. Stuðull sínus eða kósínus í nefnaranum er þá miðskekkjan. Gildið ákvarðar gerð keilusniðsins. Ef kósínus kemur fyrir í nefnaranum er keilusniðið lárétt. Ef sínus kemur fyrir er það lóðrétt. Ef bæði koma fyrir er ásunum snúið. Miðja keilusniðsins er ekki endilega í upphafspunktinum. Hún er aðeins þar ef keilusniðið er hringur (það er þegar $e = 0) .$

Dæmi 7.23

Graf keilusniðs í skauthnitum teiknað

Þekkið keilusniðið sem jafnan lýsir og teiknið graf þess

r = \frac{3}{1 + 2 cos θ} .

Lausn

Fastaliðurinn í nefnaranum er 1 og því er miðskekkja keilusniðsins 2. Þetta er breiðbogi. Brennistiki p má reikna með jöfnunni $e p = 3 .$ Þar sem $e = 2,$ fæst $p = \frac{3}{2} .$ Kósínusfallið kemur fyrir í nefnaranum og því er breiðboginn láréttur. Veljið nokkur gildi $θ$ og búið til gildatöflu. Þá getum við teiknað breiðbogann (mynd 7.55).

θ	r	θ	r
0	1	π	−3
π/4	$\frac{3}{1}$ + 2 ≈ 1.2426	5 π/4	$\frac{3}{1}$ − 2 ≈ −7.2426
π/2	3	3 π/2	3
3 π/4	$\frac{3}{1}$ − 2 ≈ −7.2426	7 π/4	$\frac{3}{1}$ + 2 ≈ 1.2426

Graf breiðboga með jöfnuna r = 3/(1 + 2 cosθ), miðju í (2, 0) og topppunkta í (1, 0) og (3, 0). — **Mynd 7.55.** Graf breiðbogans sem lýst er í dæmi 7.23.

Almennar annars stigs jöfnur

Almenna annars stigs jöfnu má rita á forminu

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .

Graf jöfnu á þessu formi er keilusnið. Ef $B \neq 0$ er hnitásunum snúið. Til að þekkja keilusniðið notum við aðgreini þess, $4 A C - B^{2} .$ Eitt eftirfarandi tilvika hlýtur að eiga við:

$4 A C - B^{2} > 0 .$ Þá lýsir jafnan sporbaug.
$4 A C - B^{2} = 0 .$ Þá lýsir jafnan fleygboga.
$4 A C - B^{2} < 0 .$ Þá lýsir jafnan breiðboga.

Einfaldasta dæmið um annars stigs jöfnu með krosslið er $x y = 1 .$ Jöfnuna má leysa með tilliti til y og fá $y = \frac{1}{x} .$ Graf fallsins kallast rétthyrndur breiðbogi og er sýnt hér á eftir.

Graf xy = 1 með aðfellur á x- og y-ásunum. Breiðboginn liggur í fyrsta og þriðja fjórðungi og rauðar strikalínur liggja eftir y = x og y = −x. — **Mynd 7.56.** Graf jöfnunnar $x y = 1;$ rauðu línurnar sýna snúna ása.

Aðfellur þessa breiðboga eru x- og y-hnitásarnir. Til að ákvarða snúningshornið $θ$ notum við formúluna $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$ Hér er $A = C = 0$ og $B = 1,$ svo $cot 2 θ = (0 - 0) / 1 = 0$ og $θ = 45 ° .$ Þegar graf keilusniðs með snúnum ásum er teiknað þarf að ákvarða stuðla keilusniðsins í snúna hnitakerfinu. Nýju stuðlarnir eru merktir $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, og F^{'},$ og gefnir með formúlunum

\begin{matrix} A^{'} & = & A {cos}^{2} θ + B cos θ sin θ + C {sin}^{2} θ \\ B^{'} & = & 0 \\ C^{'} & = & A {sin}^{2} θ - B sin θ cos θ + C {cos}^{2} θ \\ D^{'} & = & D cos θ + E sin θ \\ E^{'} & = & − D sin θ + E cos θ \\ F^{'} & = & F . \end{matrix}

Ferlið við að teikna keilusnið með snúnum ásum er þetta:

Ákvarðið gerð keilusniðsins með aðgreininum $4 A C - B^{2} .$
Ákvarðið $θ$ með formúlunni $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$
Reiknið $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, og F^{'} .$
Endurritið upphaflegu jöfnuna með $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, og F^{'} .$
Teiknið graf með snúnu jöfnunni.

Dæmi 7.24

Gerð snúins keilusniðs ákvörðuð

Þekkið keilusniðið og reiknið snúningshorn ásanna fyrir ferilinn sem jafnan lýsir

13 x^{2} - 6 \sqrt{3} x y + 7 y^{2} - 256 = 0 .

Lausn

Í þessari jöfnu er $A = 13, B = −6 \sqrt{3}, C = 7, D = 0, E = 0,$ og $F = −256 .$ Aðgreinir jöfnunnar er $4 A C - B^{2} = 4 (13) (7) - {(−6 \sqrt{3})}^{2} = 364 - 108 = 256 .$ Keilusniðið er því sporbaugur. Snúningshorn ásanna reiknum við með formúlunni $cot 2 θ = \frac{A - C}{B} .$ Þá fæst

\begin{matrix} cot 2 θ & = \frac{A - C}{B} \\ = \frac{13 - 7}{−6 \sqrt{3}} \\ = - \frac{\sqrt{3}}{3} . \end{matrix}

Því er $2 θ = 120^{o}$ og $θ = 60^{o},$ sem er snúningshorn ásanna.

Notum formúlurnar hér að framan til að ákvarða stuðlana í snúna hnitakerfinu:

\begin{matrix} A^{'} & = & A {cos}^{2} θ + B cos θ sin θ + C {sin}^{2} θ \\ = & 13 {cos}^{2} 60 + (−6 \sqrt{3}) cos 60 sin 60 + 7 {sin}^{2} 60 \\ = & 13 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 \sqrt{3} (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \\ = & 4, \\ B^{'} & = & 0, \\ C^{'} & = & A {sin}^{2} θ - B sin θ cos θ + C {cos}^{2} θ \\ = & 13 {sin}^{2} 60 + (−6 \sqrt{3}) sin 60 cos 60 = 7 {cos}^{2} 60 \\ = & {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{1}{2}) + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} \\ = & 16, \\ D^{'} & = & D cos θ + E sin θ \\ = & (0) cos 60 + (0) sin 60 \\ = & 0, \\ E^{'} & = & − D sin θ + E cos θ \\ = & − (0) sin 60 + (0) cos 60 \\ = & 0, \\ F^{'} & = & F \\ = & −256. \end{matrix}

Jafna keilusniðsins í snúna hnitakerfinu verður

\begin{matrix} 4 {(x^{'})}^{2} + 16 {(y^{'})}^{2} & = & 256 \\ \frac{{(x^{'})}^{2}}{64} + \frac{{(y^{'})}^{2}}{16} & = & 1. \end{matrix}

Graf keilusniðsins er sýnt hér á eftir.

Graf sporbaugs með jöfnuna 13x2 − 6 margfaldað með kvaðratrótinni af 3 og síðan með xy + 7y2 − 256 = 0. Miðjan er í upphafspunktinum og sporbaugurinn virðist snúinn um 60 gráður. Rauðar strikalínur liggja eftir langásnum og skammásnum. — **Mynd 7.57.** Graf sporbaugsins sem lýst er með jöfnunni 13 x² − 6 3 x y + 7 y² − 256 = 0 . Ásunum er snúið um 60 ° . Rauðu strikalínurnar sýna snúnu ásana.

Æfingar í kafla 7.5

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið jöfnu fleygbogans út frá gefnum upplýsingum.

255.

Brennipunktur $(4, 0)$ og stýrilína $x = −4$

256.

Brennipunktur $(0, −3)$ og stýrilína $y = 3$

257.

Brennipunktur $(0, 0.5)$ og stýrilína $y = −0.5$

258.

Brennipunktur $(2, 3)$ og stýrilína $x = −2$

259.

Brennipunktur $(0, 2)$ og stýrilína $y = 4$

260.

Brennipunktur $(−1, 4)$ og stýrilína $x = 5$

261.

Brennipunktur $(−3, 5)$ og stýrilína $y = 1$

262.

Brennipunktur $(\frac{5}{2}, −4)$ og stýrilína $x = \frac{7}{2}$

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið jöfnu sporbaugsins út frá gefnum upplýsingum.

263.

Endapunktar langássins eru $(4, 0), (−4, 0)$ og brennipunktarnir $(2, 0), (−2, 0)$

264.

Endapunktar langássins eru $(0, 5), (0, −5)$ og brennipunktarnir $(0, 3), (0, −3)$

265.

Endapunktar skammássins eru $(0, 2), (0, −2)$ og brennipunktarnir $(3, 0), (−3, 0)$

266.

Endapunktar langássins eru $(−3, 3), (7, 3)$ og brennipunktarnir $(−2, 3), (6, 3)$

267.

Endapunktar langássins eru $(−3, 5), (−3, −3)$ og brennipunktarnir $(−3, 3), (−3, −1)$

268.

Endapunktar skammássins eru $(0, 0), (0, 4)$ og brennipunktarnir $(5, 2), (−5, 2)$

269.

Brennipunktarnir eru $(2, 0), (−2, 0)$ og miðskekkjan $\frac{1}{2}$

270.

Brennipunktarnir eru $(0, −3), (0, 3)$ og miðskekkjan $\frac{3}{4}$

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið jöfnu breiðbogans út frá gefnum upplýsingum.

271.

Topppunktarnir eru $(5, 0), (−5, 0)$ og brennipunktarnir $(6, 0), (−6, 0)$

272.

Topppunktarnir eru $(0, 2), (0, −2)$ og brennipunktarnir $(0, 3), (0, −3)$

273.

Endapunktar þverássins eru $(0, 3), (0, −3)$ og brennipunktarnir $(4, 0), (−4, 0)$

274.

Topppunktarnir eru $(0, 1), (6, 1)$ og brennipunkturinn $(8, 1)$

275.

Topppunktarnir eru $(−2, 0), (−2, −4)$ og brennipunkturinn $(−2, −8)$

276.

Endapunktar þverássins eru $(3, 2), (3, 4)$ og brennipunkturinn $(3, 7)$

277.

Brennipunktarnir eru $(- 6, 0), (6, 0)$ og miðskekkjan 3

278.

$(0, 10), (0, −10)$ og miðskekkjan 2.5

Í eftirfarandi æfingum skoðið gefnar skauthnitajöfnur keilusniða. Ákvarðið miðskekkjuna og ákvarðið gerð keilusniðsins.

279.

$r = \frac{−1}{1 + cos θ}$

280.

$r = \frac{8}{2 - sin θ}$

281.

$r = \frac{5}{2 + sin θ}$

282.

$r = \frac{5}{−1 + 2 sin θ}$

283.

$r = \frac{3}{2 - 6 sin θ}$

284.

$r = \frac{3}{−4 + 3 sin θ}$

Í eftirfarandi æfingum finnið skauthnitajöfnu keilusniðsins með brennipunkt í upphafspunktinum og gefna miðskekkju og stýrilínu.

285.

$Stýrilína: x = 4; e = \frac{1}{5}$

286.

$Stýrilína: x = −4; e = 5$

287.

$Stýrilína: y = 2; e = 2$

288.

$Stýrilína: y = −2; e = \frac{1}{2}$

Í eftirfarandi æfingum teiknið skissu af grafi hvers keilusniðs.

289.

$r = \frac{1}{1 + sin θ}$

290.

$r = \frac{1}{1 - cos θ}$

291.

$r = \frac{4}{1 + cos θ}$

292.

$r = \frac{10}{5 + 4 sin θ}$

293.

$r = \frac{15}{3 - 2 cos θ}$

294.

$r = \frac{32}{3 + 5 sin θ}$

295.

$r (2 + sin θ) = 4$

296.

$r = \frac{3}{2 + 6 sin θ}$

297.

$r = \frac{3}{−4 + 2 sin θ}$

298.

$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{matrix}$

299.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

300.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

301.

$25 x^{2} - 4 y^{2} = 100$

302.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

303.

$x^{2} = 12 y$

304.

$y^{2} = 20 x$

305.

$12 x = 5 y^{2}$

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið hvaða keilusniði hver jafna lýsir.

306.

$x y = 4$

307.

$x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

308.

$x^{2} + 2 \sqrt{3} x y + 3 y^{2} - 6 = 0$

309.

$x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

310.

$34 x^{2} - 24 x y + 41 y^{2} - 25 = 0$

311.

$52 x^{2} - 72 x y + 73 y^{2} + 40 x + 30 y - 75 = 0$

312.

Spegill bílljóss hefur fleygbogalaga þversnið og ljósaperan er í brennipunktinum. Á skýringarmynd er jafna fleygbogans $x^{2} = 4 y .$ Í hvaða hnitum á að koma ljósaperunni fyrir?

313.

Gervihnattadiskur hefur lögun snúðfleygboga og móttakaranum á að koma fyrir í brennipunktinum. Ef op disksins er 12 fet á breidd og diskurinn er 4 fet á dýpt í miðjunni, hvar á þá að koma móttakaranum fyrir?

314.

Skoðum gervihnattadiskinn í verkefninu á undan. Ef op disksins er 8 fet á breidd og diskurinn 2 fet á dýpt, hvar á þá að koma móttakaranum fyrir?

315.

Leitarljós hefur lögun snúðfleygboga. Ljósgjafi er 1 fet frá grunninum eftir samhverfuásnum. Ef op leitarljóssins er 3 fet á breidd, finnið dýptina.

316.

Hvíslaragallerí eru salir með sporöskjulaga lofti. Sá sem stendur í öðrum brennipunktinum getur hvíslað og sá sem stendur í hinum heyrir í honum, því allar hljóðbylgjur sem ná loftinu endurkastast að hinum brennipunktinum. Ef hvíslaragallerí er 120 fet á lengd og brennipunktarnir eru 30 fet frá miðjunni, finnið hæð loftsins í miðjunni.

317.

Maður stendur 8 fet frá næsta vegg í hvíslaragalleríi. Ef hann er í öðrum brennipunktinum og hinn brennipunkturinn er 80 fet í burtu, hver eru lengd gallerísins og hæð þess í miðjunni?

Í eftirfarandi æfingum ákvarðið skauthnitajöfnu brautarinnar út frá lengd langáss og miðskekkju fyrir brautir halastjarnanna eða reikistjarnanna. Fjarlægð er gefin í stjarnfræðieiningum (SE).

318.

Halley-halastjarnan: lengd langáss = 35.88, miðskekkja = 0.967

319.

Hale–Bopp-halastjarnan: lengd langáss = 525.91, miðskekkja = 0.995

320.

Mars: lengd langáss = 3.049, miðskekkja = 0.0934

321.

Júpíter: lengd langáss = 10.408, miðskekkja = 0.0484