33 Heildunaraðferðir

3.7 Óeiginleg heildi

Námsmarkmið

3.7.1 Reikna heildi yfir óendanlegt bil.
3.7.2 Reikna heildi yfir lokað bil þar sem fallið hefur óendanlega ósamfelldni innan bilsins.
3.7.3 Nota samanburðarsetninguna til að ákvarða hvort ákveðið heildi sé samleitið.

Er flatarmálið milli grafs $f (x) = \frac{1}{x}$ og x-ássins yfir bilið $[1, + \infty)$ endanlegt eða óendanlegt? Ef sama svæði er snúið um x-ásinn, er rúmmálið þá endanlegt eða óendanlegt? Það kemur á óvart að flatarmál svæðisins er óendanlegt en rúmmál snúðsins sem fæst með því að snúa svæðinu um x-ásinn er endanlegt.

Í þessum hluta skilgreinum við heildi yfir óendanleg bil og heildi falla sem hafa ósamfelldni á heildunarbili. Heildi af þessum gerðum kallast óeiginleg heildi. Við skoðum nokkrar aðferðir til að reikna óeiginleg heildi og allar fela þær í sér markgildi.

Heildun yfir óendanlegt bil

Hvernig ættum við að skilgreina heildi af gerðinni $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x ?$ Við getum reiknað $\int_{a}^{t} f (x) d x$ fyrir sérhvert gildi $t,$ og því er eðlilegt að skoða hegðun heildisins þegar sett eru inn sífellt stærri gildi breytunnar $t .$ Mynd 3.17 sýnir að túlka má $\int_{a}^{t} f (x) d x$ sem flatarmál fyrir ýmis gildi $t .$ Með öðrum orðum má skilgreina óeiginlegt heildi sem markgildi þegar annað heildunarmarkið vex eða minnkar án takmarkana.

Myndin sýnir þrjú gröf sama fallsins f(x). Ferillinn er óneikvæður, liggur í fyrsta fjórðungi og er minnkandi. Undir hverjum ferli er skyggt svæði sem afmarkast á x-ásnum af a og t. Svæðið undir fyrsta ferlinum er lítið en breikkar á öðru og þriðja grafinu eftir því sem t færist lengra til hægri frá a á x-ásnum. — **Mynd 3.17.** Til að heilda fall yfir óendanlegt bil skoðum við markgildi heildisins þegar efra heildunarmarkið vex án takmarkana.

Skilgreining

Látum $f (x)$ vera samfellt á bili af gerðinni $[a, + \infty) .$ Þá er
$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x,$
(3.16) að því gefnu að markgildið sé til.
Látum $f (x)$ vera samfellt á bili af gerðinni $(− \infty, b] .$ Þá er
$\int_{− \infty}^{b} f (x) d x = lim_{t \to − \infty} \int_{t}^{b} f (x) d x,$
(3.17) að því gefnu að markgildið sé til. Í báðum tilvikum er

óeiginlega heildið sagt samleitið ef markgildið er til. Ef markgildið er ekki til er óeiginlega heildið sagt ósamleitið.
Látum $f (x)$ vera samfellt á $(− \infty, + \infty) .$ Þá er
$\int_{− \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{− \infty}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{+ \infty} f (x) d x,$
(3.18) að því gefnu að

$\int_{− \infty}^{0} f (x) d x$ og $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ séu bæði samleitin. Ef annað heildið eða bæði eru ósamleitin er $\int_{− \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ ósamleitið. (Sýna má að raunar gildir $\int_{− \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{− \infty}^{a} f (x) d x + \int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ fyrir sérhvert gildi $a .)$

Í fyrsta dæminu snúum við aftur að spurningunni í upphafi hlutans: Er flatarmálið milli grafs $f (x) = \frac{1}{x}$ og $x$ -ássins yfir bilinu $[1, + \infty)$ endanlegt eða óendanlegt?

Dæmi 3.47

Flatarmál fundið

Ákvarðið hvort flatarmálið milli grafs $f (x) = \frac{1}{x}$ og x-ássins yfir bilinu $[1, + \infty)$ sé endanlegt eða óendanlegt.

Lausn

Við teiknum fyrst einfalda skissu af svæðinu eins og sýnt er á eftirfarandi grafi.

Myndin sýnir graf fallsins y = 1/x. Það er minnkandi fall með lóðrétta aðfellu við y-ásinn. Í fyrsta fjórðungi er skyggt svæði undir ferlinum sem afmarkast af x = 1 og x = 4. — **Mynd 3.18.** Við getum fundið flatarmálið milli ferilsins f ( x ) = 1 / x og x-ássins á óendanlegu bili.

Við sjáum að flatarmál svæðisins er $A = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x .$ Þá fæst

\begin{matrix} A & = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x \\ = lim_{t \to + \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x & Endurritum óeiginlega heildið sem markgildi. \\ = lim_{t \to + \infty} ln | x | |_{\begin{matrix} 1 \end{matrix}}^{\begin{matrix} t \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = lim_{t \to + \infty} (ln | t | - ln 1) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = + \infty . & Reiknum markgildið. \end{matrix}

Þar sem óeiginlega heildið stefnir á $+ \infty,$ er það ósamleitið og flatarmál svæðisins óendanlegt.

Dæmi 3.48

Rúmmál fundið

Finnið rúmmál snúðsins sem fæst þegar svæðinu sem afmarkast af grafi $f (x) = \frac{1}{x}$ og x-ásnum yfir bilinu $[1, + \infty)$ er snúið um $x$ -ásinn.

Lausn

Snúðurinn er sýndur á mynd 3.19. Með skífuaðferðinni sjáum við að rúmmálið V er

V = π \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x .

Myndin sýnir graf fallsins y = 1/x. Það er minnkandi fall með lóðrétta aðfellu við y-ásinn. Grafið sýnir snúð sem hefur myndast með því að snúa ferlinum í fyrsta fjórðungi um x-ásinn. — **Mynd 3.19.** Snúðinn má mynda með því að snúa svæði með óendanlegt flatarmál um x-ásinn.

Þá fæst

\begin{matrix} V & = π \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = π lim_{t \to + \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = π lim_{t \to + \infty} - \frac{1}{x} |_{\begin{matrix} 1 \end{matrix}}^{\begin{matrix} t \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = π lim_{t \to + \infty} (− \frac{1}{t} + 1) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = π . \end{matrix}

Óeiginlega heildið er samleitið að $π .$ Rúmmál snúðsins er því $π .$

Þótt flatarmál svæðisins milli x-ássins og grafs $f (x) = 1 / x$ yfir bilinu $[1, + \infty)$ sé óendanlegt er rúmmál snúðsins sem fæst þegar svæðinu er snúið um x-ásinn endanlegt. Snúðurinn kallast lúður Gabríels.

Dæmi 3.49

Kaflaupphaf: Umferðarslys í borg

Myndin sýnir borgargötu með umferðarljósum. Mikil umferð er á mörgum akreinum í báðar áttir. — **Mynd 3.20.** (heimild: breytt verk eftir David McKelvey, Flickr)

Í kaflaupphafinu settum við fram eftirfarandi verkefni: Gerum ráð fyrir að á fjölförnum gatnamótum verði umferðarslys að meðaltali einu sinni á þriggja mánaða fresti. Eftir að íbúar kvörtuðu var umferðarljósunum á gatnamótunum breytt. Nú eru liðnir tíu mánuðir frá breytingunum og ekkert slys hefur orðið. Báru breytingarnar árangur eða er 10 mánaða tímabilið án slyss tilviljun?

Lausn

Endurskoðuð lausn: Látum $x$ tákna tímann þar til næsta slys verður. Við viljum vita hversu líklegt er að $x > 10$ . Skilgreinum tíðnistikuna $λ$ sem meðalfjölda slysa á mánuði. Samkvæmt líkindafræði gildir fyrir $a > 0$ að

P (x > a) = \int_{a}^{\infty} λ e^{- λ x} d x,

Í þessu dæmi verður að meðaltali eitt slys á þriggja mánaða fresti og því er $λ = \frac{1}{3}$ . Umbeðnar líkur eru

\begin{array}{l} P (x > 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{3} e^{- \frac{1}{3} x} d x \\ = \lim_{t \to \infty} \int_{10}^{t} \frac{1}{3} e^{- \frac{1}{3} x} d x \\ = \lim_{t \to \infty} - e^{- \frac{1}{3} x} |_{10}^{t} \\ = \lim_{t \to \infty} (- e^{- \frac{t}{3}} + e^{- \frac{10}{3}}) \\ \approx 0.0357 \end{array}

Gildið $3.8 \times 10^{−11}$ táknar líkurnar á engu slysi á 8 mánuðum við upphaflegu aðstæðurnar. Þar sem gildið er ákaflega lítið er eðlilegt að álykta að breytingarnar hafi borið árangur.

Dæmi 3.50

Óeiginlegt heildi yfir óendanlegt bil reiknað

Reiknið $\int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2} + 4} d x .$ Segið hvort óeiginlega heildið sé samleitið eða ósamleitið.

Lausn

Byrjið á að endurrita $\int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2} + 4} d x$ sem markgildi með jöfnu 3.17 úr skilgreiningunni. Þá fæst

\begin{matrix} \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2} + 4} d x & = lim_{x \to − \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{x^{2} + 4} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to − \infty} \frac{1}{2} {tan}^{−1} \frac{x}{2} |_{\begin{matrix} t \end{matrix}}^{\begin{matrix} 0 \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = \frac{1}{2} lim_{t \to − \infty} ({tan}^{−1} 0 - {tan}^{−1} \frac{t}{2}) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = \frac{π}{4} . & Reiknum markgildið og einföldum. \end{matrix}

Óeiginlega heildið er samleitið að $\frac{π}{4} .$

Dæmi 3.51

Óeiginlegt heildi reiknað á ( − ∞ , + ∞ )

Reiknið $\int_{− \infty}^{+ \infty} x e^{x} d x .$ Segið hvort óeiginlega heildið sé samleitið eða ósamleitið.

Lausn

Byrjið á að skipta heildinu í tvennt:

\int_{− \infty}^{+ \infty} x e^{x} d x = \int_{− \infty}^{0} x e^{x} d x + \int_{0}^{+ \infty} x e^{x} d x .

Ef annaðhvort $\int_{− \infty}^{0} x e^{x} d x$ eða $\int_{0}^{+ \infty} x e^{x} d x$ er ósamleitið er $\int_{− \infty}^{+ \infty} x e^{x} d x$ ósamleitið. Reiknið heildin hvort í sínu lagi. Fyrra heildið gefur

\begin{matrix} \int_{− \infty}^{0} x e^{x} d x & = lim_{t \to − \infty} \int_{t}^{0} x e^{x} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to − \infty} (x e^{x} - e^{x}) |_{\begin{matrix} t \end{matrix}}^{\begin{matrix} 0 \end{matrix}} & \begin{matrix} Notum hlutheildun til að finna \\ stofnfallið. (Hér u = x og d v = e^{x} dx .) \end{matrix} \\ = lim_{t \to − \infty} (−1 - t e^{t} + e^{t}) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = −1 . & \begin{matrix} Reiknum markgildið. Athugið: lim_{t \to − \infty} t e^{t} er \\ óákveðið af gerðinni 0 \cdot \infty . Því fæst \\ lim_{t \to − \infty} t e^{t} = lim_{t \to − \infty} \frac{t}{e^{− t}} = lim_{t \to − \infty} \frac{−1}{e^{− t}} = lim_{t \to − \infty} - e^{t} = 0 með \\ reglu l’Hôpital. \end{matrix} \end{matrix}

Fyrra óeiginlega heildið er samleitið. Fyrir síðara heildið fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{+ \infty} x e^{x} d x & = lim_{t \to + \infty} \int_{0}^{t} x e^{x} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to + \infty} (x e^{x} - e^{x}) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} t \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = lim_{t \to + \infty} (t e^{t} - e^{t} + 1) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = lim_{t \to + \infty} ((t - 1) e^{t} + 1) & Endurritum. (t e^{t} - e^{t} er óákveðið.) \\ = + \infty . & Reiknum markgildið. \end{matrix}

Því er $\int_{0}^{+ \infty} x e^{x} d x$ ósamleitið. Þar sem þetta heildi er ósamleitið er $\int_{− \infty}^{+ \infty} x e^{x} d x$ einnig ósamleitið.

Heildun ósamfellds heildisstofns

Skoðum nú heildi falla sem hafa óendanlega ósamfelldni á heildunarbili. Lítum á heildi af gerðinni $\int_{a}^{b} f (x) d x,$ þar sem $f (x)$ er samfellt á $[a, b)$ og ósamfellt í $b .$ Þar sem fallið $f (x)$ er samfellt á $[a, t]$ fyrir öll gildi $t$ sem uppfylla $a < t < b,$ er heildið $\int_{a}^{t} f (x) d x$ skilgreint fyrir öll slík gildi $t .$ Því er eðlilegt að skoða gildi $\int_{a}^{t} f (x) d x$ þegar $t$ stefnir á $b$ og $a < t < b .$ Með öðrum orðum skilgreinum við $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f (x) d x,$ að því gefnu að markgildið sé til. Mynd 3.21 sýnir $\int_{a}^{t} f (x) d x$ sem flatarmál svæða fyrir gildi $t$ sem nálgast $b .$

Myndin sýnir þrjú gröf sama fallsins f(x). Ferillinn er óneikvæður, liggur í fyrsta fjórðungi og er vaxandi. Undir hverjum ferli er skyggt svæði sem afmarkast á x-ásnum af a og t. Einnig er lóðrétt aðfella við x = b. Svæðið undir fyrsta ferlinum er lítið en breikkar á öðru og þriðja grafinu eftir því sem t færist frá a og nær b á x-ásnum. — **Mynd 3.21.** Þegar t stefnir á b frá vinstri stefnir flatarmálið frá a til t á flatarmálið frá a til b.

Við notum sambærilega aðferð til að skilgreina $\int_{a}^{b} f (x) d x,$ þegar $f (x)$ er samfellt á $(a, b]$ og ósamfellt í $a .$ Nú setjum við fram formlega skilgreiningu.

Eftirfarandi dæmi sýna hvernig skilgreiningunni er beitt.

Dæmi 3.52

Ósamfelldur heildisstofn heildaður

Reiknið $\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4 - x}} d x,$ ef unnt er. Segið hvort heildið sé samleitið eða ósamleitið.

Lausn

Fallið $f (x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ er samfellt á $[0, 4)$ og ósamfellt í 4. Notið jöfnu 3.19 úr skilgreiningunni til að endurrita $\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4 - x}} d x$ sem markgildi:

\begin{matrix} \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{4 - x}} d x & = lim_{t \to 4^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{4 - x}} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to 4^{-}} (−2 \sqrt{4 - x}) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} t \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = lim_{t \to 4^{-}} (−2 \sqrt{4 - t} + 4) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = 4 . & Reiknum markgildið. \end{matrix}

Óeiginlega heildið er samleitið.

Dæmi 3.53

Ósamfelldur heildisstofn heildaður

Reiknið $\int_{0}^{2} x ln x d x .$ Segið hvort heildið sé samleitið eða ósamleitið.

Lausn

Þar sem $f (x) = x ln x$ er samfellt á $(0, 2]$ en ósamfellt í núlli getum við notað jöfnu 3.20 til að endurrita heildið á markgildisformi:

\begin{matrix} \int_{0}^{2} x ln x d x & = lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{2} x ln x d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to 0^{+}} (\frac{1}{2} x^{2} ln x - \frac{1}{4} x^{2}) |_{\begin{matrix} t \end{matrix}}^{\begin{matrix} 2 \end{matrix}} & \begin{matrix} Reiknum \int^{​} x ln x d x með hlutheildun \\ þar sem u = ln x og d v = x dx . \end{matrix} \\ = lim_{t \to 0^{+}} (2 ln 2 - 1 - \frac{1}{2} t^{2} ln t + \frac{1}{4} t^{2}) . & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = 2 ln 2 - 1 . & \begin{matrix} Reiknum markgildið. lim_{t \to 0^{+}} t^{2} ln t er óákveðið. \\ Til að reikna það endurritum við það sem kvóta og beitum \\ reglu l’Hôpital. \end{matrix} \end{matrix}

Óeiginlega heildið er samleitið.

Dæmi 3.54

Ósamfelldur heildisstofn heildaður

Reiknið $\int_{−1}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x .$ Segið hvort óeiginlega heildið sé samleitið eða ósamleitið.

Lausn

Þar sem $f (x) = 1 / x^{3}$ er ósamfellt í núlli getum við með jöfnu 3.21 ritað

\int_{−1}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x = \int_{−1}^{0} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x .

Ef annað heildanna er ósamleitið er upprunalega heildið ósamleitið. Byrjum á $\int_{−1}^{0} \frac{1}{x^{3}} d x :$

\begin{matrix} \int_{−1}^{0} \frac{1}{x^{3}} d x & = lim_{t \to 0^{-}} \int_{−1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x & Endurritum sem markgildi. \\ = lim_{t \to 0^{-}} (- \frac{1}{2 x^{2}}) |_{\begin{matrix} −1 \end{matrix}}^{\begin{matrix} t \end{matrix}} & Finnum stofnfallið. \\ = lim_{t \to 0^{-}} (- \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = − \infty . & Reiknum markgildið. \end{matrix}

Því er $\int_{−1}^{0} \frac{1}{x^{3}} d x$ ósamleitið. Þar sem $\int_{−1}^{0} \frac{1}{x^{3}} d x$ er ósamleitið er $\int_{−1}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x$ ósamleitið.

Samanburðarsetning

Ekki er alltaf auðvelt eða jafnvel mögulegt að reikna óeiginlegt heildi beint. Með því að bera það saman við annað vandlega valið heildi má þó stundum ákvarða hvort það sé samleitið eða ósamleitið. Skoðum tvö samfelld föll $f (x)$ og $g (x)$ sem uppfylla $0 \leq f (x) \leq g (x)$ fyrir $x \geq a$ (mynd 3.22). Í þessu tilviki má túlka heildi fallanna yfir bil af gerðinni $[a, t]$ sem flatarmál og því gildir

0 \leq \int_{a}^{t} f (x) d x \leq \int_{a}^{t} g (x) d x fyrir t \geq a .

Myndin sýnir gröf fallanna f(x) og g(x). Graf f(x) er graf minnkandi óneikvæðs falls með lárétta aðfellu við x-ásinn og ferillinn beygir skarpar en graf g(x). Graf g(x) sýnir einnig minnkandi óneikvætt fall með lárétta aðfellu við x-ásinn. — **Mynd 3.22.** Ef $0 \leq f (x) \leq g (x)$ fyrir $x \geq a,$ þá gildir, fyrir $t \geq a,$ að $\int_{a}^{t} f (x) d x \leq \int_{a}^{t} g (x) d x .$

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x = + \infty,

þá

$\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} g (x) d x = + \infty$ gildir einnig. Með öðrum orðum, ef flatarmálið milli grafs $f (x)$ og x-ássins yfir $[a, + \infty)$ er óendanlegt, þá er flatarmálið milli grafs $g (x)$ og x-ássins yfir $[a, + \infty)$ einnig óendanlegt.

Ef hins vegar

$\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} g (x) d x = L$ fyrir einhverja rauntölu $L,$ þá

$\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x$ hlýtur að vera samleitið að gildi sem er minna en eða jafnt og $L,$ þar sem $\int_{a}^{t} f (x) d x$ vex þegar $t$ vex og $\int_{a}^{t} f (x) d x \leq L$ fyrir öll $t \geq a .$

Ef flatarmálið milli grafs $g (x)$ og x-ássins yfir $[a, + \infty)$ er endanlegt, þá er flatarmálið milli grafs $f (x)$ og x-ássins yfir $[a, + \infty)$ einnig endanlegt.

Þessar niðurstöður eru dregnar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 3.55

Samanburðarsetningunni beitt

Notið samanburð til að sýna að $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x e^{x}} d x$ sé samleitið.

Lausn

Við sjáum að

0 \leq \frac{1}{x e^{x}} \leq \frac{1}{e^{x}} = e^{− x},

Samleitni $\int_{1}^{+ \infty} e^{− x} d x$ hefur í för með sér samleitni $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x e^{x}} d x .$ Til að reikna $\int_{1}^{+ \infty} e^{− x} d x,$ endurritum við það fyrst sem markgildi:

\begin{matrix} \int_{1}^{+ \infty} e^{− x} d x & = lim_{t \to + \infty} \int_{1}^{t} e^{− x} d x \\ = lim_{t \to + \infty} (− e^{− x}) | \begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix} \\ = lim_{t \to + \infty} (− e^{− t} + e^{–1}) \\ = e^{–1} . \end{matrix}

Samleitni $\int_{1}^{+ \infty} e^{− x} d x$ sýnir því samleitni $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x e^{x}} d x .$

Dæmi 3.56

Samanburðarsetningunni beitt

Notið samanburðarsetninguna til að sýna að $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x$ sé ósamleitið fyrir öll $p < 1 .$

Lausn

Fyrir $p < 1,$ gildir $1 / x \leq 1 / (x^{p})$ á $[1, + \infty) .$ Í dæmi 3.47 sýndum við að $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} d x = + \infty .$ Því er $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x$ ósamleitið fyrir öll $p < 1 .$

Nemendaverkefni

Laplace-vörpun

Í síðustu köflum höfum við skoðað ýmsar leiðir til að nota heildun við lausn hagnýtra verkefna. Í þessu verkefni könnum við flóknara notkunarsvið heildunar. Nánar tiltekið lýsum við Laplace-vörpuninni og nokkrum eiginleikum hennar sem dæmi um heildavarpanir. Laplace-vörpun er notuð í verkfræði og eðlisfræði til að einfalda útreikninga við lausn tiltekinna verkefna. Hún tekur föll af tíma og varpar þeim í föll af tíðni. Í mörgum tilvikum eru útreikningar á tíðnisviði mun einfaldari en samsvarandi útreikningar á tímasviði.

Laplace-vörpunin er skilgreind með heildinu

L {f (t)} = F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{− s t} f (t) d t .

Takið eftir að inntak Laplace-vörpunar er fall af tíma, $f (t),$ en úttakið er fall af tíðni, $F (s) .$ Í mörgum hagnýtum dæmum þarf að nota tvinntölur (með þvertölunni $i = \sqrt{−1}),$ en í þessu verkefni takmörkum við okkur við föll af rauntölum.

Byrjum á einföldu dæmi. Hér reiknum við Laplace-vörpun $f (t) = t$ . Þá fæst

L {t} = \int_{0}^{\infty} t e^{− s t} d t .

Þetta er óeiginlegt heildi og því setjum við það fram sem markgildi:

L {t} = \int_{0}^{\infty} t e^{− s t} d t = lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} t e^{− s t} d t .

Nú reiknum við heildið með hlutheildun. Takið eftir að heildað er með tilliti til t og því lítum við á breytuna s sem fasta. Þá fæst

\begin{matrix} u & = & t & d v & = & e^{− s t} d t \\ d u & = & d t & v & = & - \frac{1}{s} e^{− s t} . \end{matrix}

Þá fáum við

\begin{matrix} lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} t e^{− s t} d t & = lim_{z \to \infty} [{[- \frac{t}{s} e^{− s t}] |}_{0}^{z} + \frac{1}{s} \int_{0}^{z} e^{− s t} d t] \\ = lim_{z \to \infty} [[- \frac{z}{s} e^{− s z} + \frac{0}{s} e^{−0 s}] + \frac{1}{s} \int_{0}^{z} e^{− s t} d t] \\ = lim_{z \to \infty} [[- \frac{z}{s} e^{− s z} + 0] - \frac{1}{s} {[\frac{e^{− s t}}{s}] |}_{0}^{z}] \\ = lim_{z \to \infty} [[- \frac{z}{s} e^{− s z}] - \frac{1}{s^{2}} [e^{− s z} - 1]] \\ = lim_{z \to \infty} [- \frac{z}{s e^{s z}}] - lim_{z \to \infty} [\frac{1}{s^{2} e^{s z}}] + lim_{z \to \infty} \frac{1}{s^{2}} \\ = 0 - 0 + \frac{1}{s^{2}} \\ = \frac{1}{s^{2}} . \end{matrix}

Reiknið Laplace-vörpun $f (t) = 1 .$
Reiknið Laplace-vörpun $f (t) = e^{−3 t} .$
Reiknið Laplace-vörpun $f (t) = t^{2} .$ (Athugið að hlutheilda þarf tvisvar.) Laplace-varpanir eru oft notaðar til að leysa deildajöfnur. Deildajöfnur verða ekki teknar ítarlega fyrir fyrr en síðar í bókinni, en skoðum nú sambandið milli Laplace-vörpunar falls og Laplace-vörpunar afleiðu þess. Byrjum á skilgreiningu Laplace-vörpunarinnar. Þá er

$L {f (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{− s t} f (t) d t = lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{− s t} f (t) d t .$
Notið hlutheildun til að reikna $lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{− s t} f (t) d t .$ (Látum $u = f (t)$ og $d v = e^{− s t} d t .)$
Eftir hlutheildun og útreikning markgildisins má sjá að
$L {f (t)} = \frac{f (0)}{s} + \frac{1}{s} [L {f^{'} (t)}] .$

Þá er
$L {f^{'} (t)} = s L {f (t)} - f (0) .$

Deildun á tímasviði jafngildir því margföldun með s á tíðnisviði. Að lokum skoðum við sambandið milli Laplace-vörpunar
$f (t)$ og stofnfalls þess. Látum $g (t) = \int_{0}^{t} f (u) d u .$ Þá er
$L {g (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{− s t} g (t) d t = lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{− s t} g (t) d t .$
Notið hlutheildun til að reikna $lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{− s t} g (t) d t .$ (Látum $u = g (t)$ og $d v = e^{− s t} d t .$ Athugið jafnframt að samkvæmt skilgreiningu $g (t),$ $d u = f (t) d t .)$
Eins og vænta má ætti að fást
$L {g (t)} = \frac{1}{s} \cdot L {f (t)} .$

Heildun á tímasviði jafngildir deilingu með s á tíðnisviði.

Æfingar úr hluta 3.7

Reiknið eftirfarandi heildi. Ef heildið er ekki samleitið, svarið „ósamleitið“.

347.

$\int_{2}^{4} \frac{d x}{{(x - 3)}^{2}}$

348.

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

349.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

350.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ln x} d x$

351.

$\int_{1}^{\infty} x e^{− x} d x$

352.

$\int_{− \infty}^{\infty} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

353.

Ákvarðið án heildunar hvort heildið $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$ sé samleitið eða ósamleitið með því að bera fallið $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ saman við $g (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} .$

354.

Ákvarðið án heildunar hvort heildið $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$ sé samleitið eða ósamleitið.

Ákvarðið hvort óeiginlegu heildin séu samleitin eða ósamleitin. Finnið gildi samleitnu heildanna ef unnt er.

355.

$\int_{0}^{\infty} e^{− x} cos x d x$

356.

$\int_{1}^{\infty} \frac{ln x}{x} d x$

357.

$\int_{0}^{1} \frac{ln x}{\sqrt{x}} d x$

358.

$\int_{0}^{1} ln x d x$

359.

$\int_{− \infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

360.

$\int_{1}^{5} \frac{d x}{\sqrt{x - 1}}$

361.

$\int_{−2}^{2} \frac{d x}{{(1 + x)}^{2}}$

362.

$\int_{0}^{\infty} e^{− x} d x$

363.

$\int_{0}^{\infty} sin x d x$

364.

$\int_{− \infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$

365.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt[3]{x}}$

366.

$\int_{0}^{2} \frac{d x}{x^{3}}$

367.

$\int_{−1}^{2} \frac{d x}{x^{3}}$

368.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

369.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{x - 1} d x$

370.

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{3}} d x$

371.

$\int_{3}^{5} \frac{5}{{(x - 4)}^{2}} d x$

Ákvarðið samleitni eftirfarandi heilda með samanburði við gefna heildið. Ef heildið er samleitið, finnið markgildi þess.

372.

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2} + 4 x};$ berið saman við $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} .$

373.

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{x} + 1};$ berið saman við $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{2 \sqrt{x}} .$

Reiknið heildin. Ef heildi er ósamleitið, svarið „ósamleitið“.

374.

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{e}}$

375.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{π}}$

376.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}$

377.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 - x}$

378.

$\int_{− \infty}^{0} \frac{d x}{x^{2} + 1}$

379.

$\int_{−1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

380.

$\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x$

381.

$\int_{0}^{e} ln (x) d x$

382.

$\int_{0}^{\infty} x e^{− x} d x$

383.

$\int_{− \infty}^{\infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

384.

$\int_{0}^{\infty} e^{x} d x$

Reiknið óeiginlegu heildin. Hvert þeirra hefur óendanlega ósamfelldni annaðhvort við endapunkt eða innri punkt bilsins.

385.

$\int_{0}^{9} \frac{d x}{\sqrt{9 - x}}$

386.

$\int_{−27}^{1} \frac{d x}{x^{2 / 3}}$

387.

$\int_{0}^{3} \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

388.

$\int_{6}^{24} \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 36}}$

389.

$\int_{0}^{4} x ln (4 x) d x$

390.

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

391.

Reiknið $\int_{.5}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$ (Farið varlega!) (Gefið svarið með þremur aukastöfum.)

392.

Reiknið $\int_{1}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 1}} .$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

393.

Reiknið $\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{{(x^{2} - 1)}^{3 / 2}} .$

394.

Finnið flatarmál svæðisins í fyrsta fjórðungi milli ferilsins $y = e^{−6 x}$ og x-ássins.

395.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast annars vegar af ferlinum $y = \frac{7}{x^{2}},$ og hins vegar af x-ásnum, en til vinstri af línunni $x = 1 .$

396.

Finnið flatarmálið undir ferlinum $y = \frac{1}{{(x + 1)}^{3 / 2}},$ sem afmarkast til vinstri af $x = 3 .$

397.

Finnið flatarmálið undir $y = \frac{5}{1 + x^{2}}$ í fyrsta fjórðungi.

398.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast við snúning um x-ás á svæðinu undir ferlinum $y = \frac{3}{x}$ frá $x = 1$ til $x = \infty .$

399.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast við snúning um y-ás á svæðinu undir ferlinum $y = 6 e^{−2 x}$ í fyrsta fjórðungi.

400.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast við snúning um x-ás á svæðinu undir ferlinum $y = 3 e^{− x}$ í fyrsta fjórðungi.

Laplace-vörpun samfellds falls á bilinu $[0, \infty)$ er skilgreind með $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{− s x} f (x) d x$ (sjá Nemendaverkefni). Skilgreiningin er notuð til að leysa mikilvæg upphafsgildisverkefni fyrir deildajöfnur eins og rætt verður síðar. Skilgreiningarmengi F er mengi allra rauntalna s sem gera óeiginlega heildið samleitið. Finnið Laplace-vörpunina F fyrir hvert fallanna hér á eftir og gefið upp skilgreiningarmengi F.

401.

$f (x) = 1$

402.

$f (x) = x$

403.

$f (x) = cos (2 x)$

404.

$f (x) = e^{a x}$

405.

Notið formúluna fyrir bogalengd til að sýna að ummál hringsins $x^{2} + y^{2} = 1$ sé $2 π .$

Óneikvætt fall er þéttleikafall líkindadreifingar ef það uppfyllir skilgreininguna $\int_{− \infty}^{\infty} f (t) d t = 1 .$ Líkurnar á að slembibreyta x liggi milli a og b eru $P (a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

406.

Sýnið að $f (x) = {\begin{matrix} 0 ef x < 0 \\ 7 e^{−7 x} ef x \geq 0 \end{matrix}$ sé þéttleikafall líkindadreifingar.

407.

Finnið líkurnar á að x liggi milli 0 og 0.3. (Notið fallið sem skilgreint var í verkefninu á undan.) Reiknið með fjögurra aukastafa nákvæmni.