33 Heildunaraðferðir

3.2 Heildi hornafalla

Námsmarkmið

3.2.1 Leysa heildunarverkefni sem fela í sér margfeldi og veldi sin x og cos x .
3.2.2 Leysa heildunarverkefni sem fela í sér margfeldi og veldi tan x og sec x .
3.2.3 Nota lækkunarformúlur til að reikna heildi hornafalla.

Í þessum hluta skoðum við hvernig heilda má ýmis margfeldi hornafalla. Slík heildi nefnast heildi hornafalla. Þau eru mikilvægur þáttur heildunaraðferðarinnar sem nefnist innsetning með hornaföllum og fjallað er um hana í hlutanum Innsetning með hornaföllum. Með aðferðinni má breyta algebrusegðum sem við kunnum ekki að heilda í segðir með hornaföllum sem við getum ef til vill heildað með aðferðunum í þessum hluta. Heildi af þessu tagi koma einnig oft fyrir þegar við kynnumst síðar skaut-, sívalnings- og kúluhnitakerfum. Byrjum á margfeldum $sin x$ og $cos x .$

Margfeldi og veldi sin x og cos x heildað

Lykilhugmynd aðferðarinnar við að heilda margfeldi og veldi $sin x$ og $cos x$ er að umrita segðirnar sem summur og mismun heilda af gerðinni $\int {sin}^{j} x cos x d x$ eða $\int {cos}^{j} x sin x d x .$ Eftir umritunina reiknum við heildin með u-innsetningu. Áður en almenna aðferðin er útskýrð nánar skulum við skoða eftirfarandi dæmi.

Dæmi 3.8

Heildun á ∫ cos j x sin x d x

Reiknið $\int {cos}^{3} x sin x d x .$

Lausn

Beitið $u$ -innsetningu og látið $u = cos x .$ Í þessu tilviki er $d u = − sin x d x .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {cos}^{3} x sin x d x & = − \int u^{3} d u \\ = - \frac{1}{4} u^{4} + C \\ = - \frac{1}{4} {cos}^{4} x + C . \end{matrix}

Dæmi 3.9

Undirbúningsdæmi: ∫ cos j x sin k x d x heildað þegar k er oddatala

Reiknið $\int {cos}^{2} x {sin}^{3} x d x .$

Lausn

Til að breyta þessu heildi í heildi af gerðinni $\int {cos}^{j} x sin x d x,$ umritum við ${sin}^{3} x = {sin}^{2} x sin x$ og notum innsetninguna ${sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {cos}^{2} x {sin}^{3} x d x & = \int {cos}^{2} x (1 - {cos}^{2} x) sin x d x & Látum u = cos x; þá er d u = − sin x d x . \\ = − \int u^{2} (1 - u^{2}) d u \\ = \int (u^{4} - u^{2}) d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = \frac{1}{5} {cos}^{5} x - \frac{1}{3} {cos}^{3} x + C . \end{matrix}

Í næsta dæmi sjáum við hvaða aðferð þarf að beita þegar aðeins koma fyrir slétt veldi af $sin x$ og $cos x .$ Fyrir heildi af þessari gerð eru samsemdirnar

{sin}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) = \frac{1 - cos (2 x)}{2}

{cos}^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x) = \frac{1 + cos (2 x)}{2}

ómetanlegar. Þær eru stundum nefndar veldislækkunarsamsemdir og má leiða þær út frá tvöföldunarhornssamsemdinni $cos (2 x) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x$ og Pýþagórasarsamsemdinni ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1 .$

Dæmi 3.10

Heildun á sléttu veldi sin x

Reiknið $\int {sin}^{2} x d x .$

Lausn

Til að reikna heildið notum við hornafallasamsemdina ${sin}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {sin}^{2} x d x & = \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)) d x \\ = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + C . \end{matrix}

Almenna aðferðin við að heilda margfeldi og veldi $sin x$ og $cos x$ er dregin saman í eftirfarandi leiðbeiningum.

Lausnarleið

Margfeldi og veldi sin x og cos x heildað

Notið eftirfarandi aðferðir til að heilda $\int {cos}^{j} x {sin}^{k} x d x$ :

Ef $k$ er oddatala, umritið ${sin}^{k} x = {sin}^{k - 1} x sin x$ og notið samsemdina ${sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x$ til að umrita ${sin}^{k - 1} x$ með $cos x .$ Heildið með innsetningunni $u = cos x .$ Við þessa innsetningu fæst $d u = − sin x d x .$
Ef $j$ er oddatala, umritið ${cos}^{j} x = {cos}^{j - 1} x cos x$ og notið samsemdina ${cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x$ til að umrita ${cos}^{j - 1} x$ með $sin x .$ Heildið með innsetningunni $u = sin x .$ Við þessa innsetningu fæst $d u = cos x d x .$ (Athugið: Ef bæði $j$ og $k$ eru oddatölur má nota annaðhvort aðferð 1 eða aðferð 2.)
Ef bæði $j$ og $k$ eru sléttar tölur, notið ${sin}^{2} x = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 x)$ og ${cos}^{2} x = (1 / 2) + (1 / 2) cos (2 x) .$ Eftir að formúlunum hefur verið beitt skal einfalda og beita aftur aðferðum 1 til 3 eftir því sem við á.

Dæmi 3.11

Heildun á ∫ cos j x sin k x d x þegar k er oddatala

Reiknið $\int {cos}^{8} x {sin}^{5} x d x .$

Lausn

Þar sem veldisvísir $sin x$ er oddatala notum við aðferð 1. Því fæst

\begin{matrix} \int {cos}^{8} x {sin}^{5} x d x & = \int {cos}^{8} x {sin}^{4} x sin x d x & Skiljið eftir þáttinn sin x . \\ = \int {cos}^{8} x {({sin}^{2} x)}^{2} sin x d x & Umritið {sin}^{4} x = {({sin}^{2} x)}^{2} . \\ = \int {cos}^{8} x {(1 - {cos}^{2} x)}^{2} sin x d x & Notið innsetninguna {sin}^{2} x = 1 - {cos}^{2} x . \\ = \int u^{8} {(1 - u^{2})}^{2} (− d u) & Látum u = cos x og d u = − sin x d x . \\ = \int (− u^{8} + 2 u^{10} - u^{12}) d u & Margfaldið upp úr svigum . \\ = - \frac{1}{9} u^{9} + \frac{2}{11} u^{11} - \frac{1}{13} u^{13} + C & Reiknið heildið . \\ = - \frac{1}{9} {cos}^{9} x + \frac{2}{11} {cos}^{11} x - \frac{1}{13} {cos}^{13} x + C . & Notið innsetninguna u = cos x . \end{matrix}

Dæmi 3.12

Heildun á ∫ cos j x sin k x d x þegar k og j eru sléttar tölur

Reiknið $\int {sin}^{4} x d x .$

Lausn

Þar sem veldisvísir $sin x$ er slétt tala $(k = 4)$ og veldisvísir $cos x$ er slétt tala $(j = 0),$ verðum við að nota aðferð 3. Því fæst

\begin{matrix} \int {sin}^{4} x d x & = \int {({sin}^{2} x)}^{2} d x & Umritið {sin}^{4} x = {({sin}^{2} x)}^{2} . \\ = \int {(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x))}^{2} d x & Notið innsetninguna {sin}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x) . \\ = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} {cos}^{2} (2 x)) d x & Margfaldið upp úr svigum {(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x))}^{2} . \\ = \int (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x)) d x . \end{matrix}

Þar sem ${cos}^{2} (2 x)$ hefur sléttan veldisvísi setjum við inn ${cos}^{2} (2 x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x) :$

\begin{matrix} = \int (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{8} cos (4 x)) d x & Einfaldið . \\ = \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + \frac{1}{32} sin (4 x) + C & Reiknið heildið . \end{matrix}

Á sumum sviðum eðlisfræðinnar, svo sem í skammtafræði, merkjavinnslu og útreikningum á Fourier-röðum, þarf oft að heilda margfeldi sem innihalda $sin (a x),$ $sin (b x),$ $cos (a x),$ auk $cos (b x) .$ Heildin eru reiknuð með hornafallasamsemdum samkvæmt eftirfarandi reglu.

Þessar formúlur má leiða út frá samlagningarformúlum sínus og kósínus.

Dæmi 3.13

Reikningur á ∫ sin ( a x ) cos ( b x ) d x

Reiknið $\int sin (5 x) cos (3 x) d x .$

Lausn

Beitið samsemdinni $sin (5 x) cos (3 x) = \frac{1}{2} sin (2 x) + \frac{1}{2} sin (8 x) .$ Þá fæst

\begin{matrix} \int sin (5 x) cos (3 x) d x & = \int \frac{1}{2} sin (2 x) dx + \int \frac{1}{2} sin (8 x) dx \\ = - \frac{1}{4} cos (2 x) - \frac{1}{16} cos (8 x) + C . \end{matrix}

Margfeldi og veldi tan x og sec x heildað

Áður en fjallað er um heildun margfelda og velda $tan x$ og $sec x,$ er gagnlegt að rifja upp heildin með $tan x$ og $sec x$ sem við höfum þegar lært:

$\int {sec}^{2} x d x = tan x + C$
$\int sec x tan x d x = sec x + C$
$\int tan x d x = ln | sec x | + C$
$\int sec x d x = ln | sec x + tan x | + C .$

Fyrir flest heildi margfelda og velda $tan x$ og $sec x,$ umritum við segðina sem heilda á sem summu eða mismun heilda af gerðinni $\int {tan}^{j} x {sec}^{2} x d x$ eða $\int {sec}^{j} x tan x d x .$ Eins og næsta dæmi sýnir má reikna þessi nýju heildi með u-innsetningu.

Dæmi 3.14

Reikningur á ∫ sec j x tan x d x

Reiknið $\int {sec}^{5} x tan x d x .$

Lausn

Byrjið á að umrita ${sec}^{5} x tan x$ sem ${sec}^{4} x sec x tan x .$

\begin{matrix} \int {sec}^{5} x tan x d x & = \int {sec}^{4} x sec x tan x d x & Látum u = sec x; þá er, d u = sec x tan x d x . \\ = \int u^{4} d u & Reiknið heildið . \\ = \frac{1}{5} u^{5} + C & Notið innsetninguna sec x = u . \\ = \frac{1}{5} {sec}^{5} x + C \end{matrix}

Nú skoðum við mismunandi aðferðir við að heilda margfeldi og veldi $sec x$ og $tan x .$

Lausnarleið

Heildun á $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x$

Notið eftirfarandi aðferðir til að heilda $\int {tan}^{k} x {sec}^{j} x d x,$ eftir því sem við á:

Ef $j$ er slétt tala og $j \geq 2,$ skal umrita ${sec}^{j} x = {sec}^{j - 2} x {sec}^{2} x$ og nota ${sec}^{2} x = {tan}^{2} x + 1$ til að umrita ${sec}^{j - 2} x$ með $tan x .$ Látum $u = tan x$ og $d u = {sec}^{2} x dx .$
Ef $k$ er oddatala og $j \geq 1,$ skal umrita ${tan}^{k} x {sec}^{j} x = {tan}^{k - 1} x {sec}^{j - 1} x sec x tan x$ og nota ${tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1$ til að umrita ${tan}^{k - 1} x$ með $sec x .$ Látum $u = sec x$ og $d u = sec x tan x d x .$ (Athugið: Ef $j$ er slétt tala og $k$ er oddatala má nota annaðhvort aðferð 1 eða aðferð 2.)
Ef $k$ er oddatala, þar sem $k \geq 3$ og $j = 0,$ skal umrita ${tan}^{k} x = {tan}^{k - 2} x {tan}^{2} x = {tan}^{k - 2} x ({sec}^{2} x - 1) = {tan}^{k - 2} x {sec}^{2} x - {tan}^{k - 2} x .$ Nauðsynlegt kann að vera að endurtaka ferlið fyrir ${tan}^{k - 2} x$ -liðinn.
Ef $k$ er slétt tala og $j$ er oddatala skal nota ${tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1$ til að setja ${tan}^{k} x$ fram með $sec x .$ Notið hlutheildun til að heilda oddatöluveldi $sec x .$

Dæmi 3.15

Heildun á ∫ tan k x sec j x d x þegar j er slétt tala

Reiknið $\int {tan}^{6} x {sec}^{4} x d x .$

Lausn

Þar sem veldisvísir $sec x$ er slétt tala umritum við ${sec}^{4} x = {sec}^{2} x {sec}^{2} x$ og notum ${sec}^{2} x = {tan}^{2} x + 1$ til að umrita fyrra ${sec}^{2} x$ með $tan x .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {tan}^{6} x {sec}^{4} x d x & = \int {tan}^{6} x ({tan}^{2} x + 1) {sec}^{2} x d x & Látum u = tan x og d u = {sec}^{2} x dx . \\ = \int u^{6} (u^{2} + 1) d u & Margfaldið upp úr svigum . \\ = \int (u^{8} + u^{6}) d u & Reiknið heildið . \\ = \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C & Notið innsetninguna tan x = u . \\ = \frac{1}{9} {tan}^{9} x + \frac{1}{7} {tan}^{7} x + C . \end{matrix}

Dæmi 3.16

Heildun á ∫ tan k x sec j x d x þegar k er oddatala

Reiknið $\int {tan}^{5} x {sec}^{3} x d x .$

Lausn

Þar sem veldisvísir $tan x$ er oddatala byrjum við á að umrita ${tan}^{5} x {sec}^{3} x = {tan}^{4} x {sec}^{2} x sec x tan x .$ Því fæst

\begin{matrix} {tan}^{5} x {sec}^{3} x & = & {tan}^{4} x {sec}^{2} x sec x tan x . & Umritið {tan}^{4} x = {({tan}^{2} x)}^{2} . \\ \int {tan}^{5} x {sec}^{3} x d x & = & \int {({tan}^{2} x)}^{2} {sec}^{2} x sec x tan x d x & Notið {tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1. \\ = & \int {({sec}^{2} x - 1)}^{2} {sec}^{2} x sec x tan x d x & Látum u = sec x og d u = sec x tan x d x . \\ = & \int {(u^{2} - 1)}^{2} u^{2} d u & Margfaldið upp úr svigum . \\ = & \int (u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}) d u & Heildið . \\ = & \frac{1}{7} u^{7} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{3} u^{3} + C & Notið innsetninguna sec x = u . \\ = & \frac{1}{7} {sec}^{7} x - \frac{2}{5} {sec}^{5} x + \frac{1}{3} {sec}^{3} x + C . \end{matrix}

Dæmi 3.17

Heildun á ∫ tan k x d x þegar k er oddatala og k ≥ 3

Reiknið $\int {tan}^{3} x d x .$

Lausn

Byrjið á að umrita ${tan}^{3} x = tan x {tan}^{2} x = tan x ({sec}^{2} x - 1) = tan x {sec}^{2} x - tan x .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {tan}^{3} x d x & = \int (tan x {sec}^{2} x - tan x) d x \\ = \int tan x {sec}^{2} x d x - \int tan x d x \\ = \frac{1}{2} {tan}^{2} x - ln | sec x | + C . \end{matrix}

Í fyrra heildinu skal nota innsetninguna $u = tan x .$ Notið formúluna í síðara heildinu.

Dæmi 3.18

Heildun á ∫ sec 3 x d x

Heildið $\int {sec}^{3} x d x .$

Lausn

Þetta heildi krefst hlutheildunar. Byrjum á að láta $u = sec x$ og $d v = {sec}^{2} x dx .$ Þessi val gefa $d u = sec x tan x$ og $v = tan x .$ Því fæst

\begin{matrix} \int {sec}^{3} x d x & = sec x tan x - \int tan x sec x tan x d x \\ = sec x tan x - \int {tan}^{2} x sec x d x & Einfaldið . \\ = sec x tan x - \int ({sec}^{2} x - 1) sec x d x & Notið innsetninguna {tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1. \\ = sec x tan x + \int sec x d x - \int {sec}^{3} x d x & Umritið . \\ = sec x tan x + ln | sec x + tan x | - \int {sec}^{3} x d x . & Reiknið \int sec x d x . \end{matrix}

Nú höfum við

\int {sec}^{3} x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | - \int {sec}^{3} x d x .

Þar sem heildið $\int {sec}^{3} x d x$ hefur komið aftur fram hægra megin getum við einangrað $\int {sec}^{3} x d x$ með því að leggja það við báðar hliðar. Þá fæst

2 \int {sec}^{3} x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | .

Með því að deila með 2 fæst

\int {sec}^{3} x d x = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} ln | sec x + tan x | + C .

Lækkunarformúlur

Til að reikna $\int {sec}^{n} x d x$ fyrir gildi $n$ þar sem $n$ er oddatala þarf að beita hlutheildun. Auk þess þurfum við að þekkja gildi $\int {sec}^{n - 2} x d x$ til að reikna $\int {sec}^{n} x d x .$ Til að reikna $\int {tan}^{n} x d x$ þarf einnig að geta heildað $\int {tan}^{n - 2} x d x .$ Til að einfalda ferlið getum við leitt út og beitt eftirfarandi veldislækkunarformúlum. Með þeim má skipta heildi veldis af $sec x$ eða $tan x$ út fyrir heildi lægra veldis af $sec x$ eða $tan x .$

Dæmi 3.19

Endurskoðun á ∫ sec 3 x d x

Beitið lækkunarformúlu til að reikna $\int {sec}^{3} x d x .$

Lausn

Með því að beita fyrri lækkunarformúlunni fæst

\begin{matrix} \int {sec}^{3} x d x & = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} \int sec x d x \\ = \frac{1}{2} sec x tan x + \frac{1}{2} ln | sec x + tan x | + C . \end{matrix}

Dæmi 3.20

Lækkunarformúla notuð

Reiknið $\int {tan}^{4} x d x .$

Lausn

Með því að beita lækkunarformúlunni fyrir $\int {tan}^{4} x d x$ fæst

\begin{matrix} \int {tan}^{4} x d x & = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - \int {tan}^{2} x d x \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - (tan x - \int {tan}^{0} x d x) & Beitið lækkunarformúlunni á \int {tan}^{2} x d x . \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - tan x + \int 1 d x & Einfaldið . \\ = \frac{1}{3} {tan}^{3} x - tan x + x + C . & Reiknið \int 1 d x . \end{matrix}

Æfingar úr hluta 3.2

Fyllið í eyðuna þannig að fullyrðingin verði sönn.

69.

${sin}^{2} x +_______= 1$

70.

${sec}^{2} x - 1 =_______$

Notið samsemd til að umrita veldi hornafallsins sem hornafall í fyrsta veldi.

71.

${sin}^{2} x =_______$

72.

${cos}^{2} x =_______$

Reiknið eftirfarandi heildi með u-innsetningu.

73.

$\int {sin}^{3} x cos x d x$

74.

$\int \sqrt{cos x} sin x d x$

75.

$\int {tan}^{5} (2 x) {sec}^{2} (2 x) d x$

76.

$\int {sin}^{7} (2 x) cos (2 x) d x$

77.

$\int tan (\frac{x}{2}) {sec}^{2} (\frac{x}{2}) d x$

78.

$\int {tan}^{2} x {sec}^{2} x d x$

Reiknið eftirfarandi heildi samkvæmt leiðbeiningunum um heildun velda hornafalla. Staðfestið lausnirnar með tölvualgebrukerfi. (Athugið: Sum verkefnin má leysa með heildunaraðferðum sem þegar hafa verið kynntar.)

79.

$\int {sin}^{3} x d x$

80.

$\int {cos}^{3} x d x$

81.

$\int sin x cos x d x$

82.

$\int {cos}^{5} x d x$

83.

$\int {sin}^{5} x {cos}^{2} x d x$

84.

$\int {sin}^{3} x {cos}^{3} x d x$

85.

$\int \sqrt{sin x} cos x d x$

86.

$\int \sqrt{sin x} {cos}^{3} x d x$

87.

$\int sec x tan x d x$

88.

$\int tan (5 x) d x$

89.

$\int {tan}^{2} x sec x d x$

90.

$\int tan x {sec}^{3} x d x$

91.

$\int {sec}^{4} x d x$

92.

$\int cot x d x$

93.

$\int csc x d x$

94.

$\int \frac{{tan}^{3} x}{\sqrt{sec x}} d x$

Finnið almenna formúlu fyrir heildin í eftirfarandi verkefnum.

95.

$\int {sin}^{2} a x cos a x d x$

96.

$\int sin a x cos a x d x .$

Reiknið eftirfarandi heildi með tvöföldunarhornsformúlunum.

97.

$\int_{0}^{π} {sin}^{2} x d x$

98.

$\int_{0}^{π} {sin}^{4} x d x$

99.

$\int {cos}^{2} 3 x d x$

100.

$\int {sin}^{2} x {cos}^{2} x d x$

101.

$\int {sin}^{2} x d x + \int {cos}^{2} x d x$

102.

$\int {sin}^{2} x {cos}^{2} (2 x) d x$

Reiknið ákveðnu heildin í eftirfarandi verkefnum. Gefið svörin á nákvæmu formi þegar þess er kostur.

103.

$\int_{0}^{2 π} cos x sin 2 x d x$

104.

$\int_{0}^{π} sin 3 x sin 5 x d x$

105.

$\int_{0}^{π} cos (99 x) sin (101 x) d x$

106.

$\int_{− π}^{π} {cos}^{2} (3 x) d x$

107.

$\int_{0}^{2 π} sin x sin (2 x) sin (3 x) d x$

108.

$\int_{0}^{4 π} cos (x / 2) sin (x / 2) d x$

109.

$\int_{π / 6}^{π / 3} \frac{{cos}^{3} x}{\sqrt{sin x}} d x$ (Námundið svarið að þremur aukastöfum.)

110.

$\int_{− π / 3}^{π / 3} \sqrt{{sec}^{2} x - 1} d x$

111.

$\int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - cos (2 x)} d x$

112.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af gröfum jafnanna $y = sin x, y = {sin}^{3} x, x = 0, og x = \frac{π}{2} .$

113.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af gröfum jafnanna $y = {cos}^{2} x, y = {sin}^{2} x, x = - \frac{π}{4}, og x = \frac{π}{4} .$

114.

Ögn hreyfist eftir beinni línu með hraðafallið $v (t) = sin (ω t) {cos}^{2} (ω t) .$ Finnið staðsetningarfall hennar $x = f (t)$ ef $f (0) = 0 .$

115.

Finnið meðalgildi fallsins $f (x) = {sin}^{2} x {cos}^{3} x$ á bilinu $[− π, π] .$

Leysið deildajöfnurnar í eftirfarandi verkefnum.

116.

$\frac{d y}{d x} = {sin}^{2} x .$ Ferillinn liggur um punktinn $(0, 0) .$

117.

$\frac{d y}{d θ} = {sin}^{4} (π θ)$

118.

Finnið lengd ferilsins $y = ln (csc x), \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2} .$

119.

Finnið lengd ferilsins $y = ln (sin x), \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{2} .$

120.

Finnið rúmmálið sem myndast þegar ferlinum $y = cos (3 x)$ er snúið um x-ásinn, $0 \leq x \leq \frac{π}{36} .$

Notið eftirfarandi upplýsingar í verkefnunum: Innfeldi tveggja falla f og g á $[a, b]$ er skilgreint með $f (x) \cdot g (x) = 〈 f, g 〉 = \int_{a}^{b} f \cdot g d x .$ Tvö ólík föll f og g nefnast hornrétt ef $〈 f, g 〉 = 0 .$

121.

Sýnið að ${sin (2 x), cos (3 x)}$ séu hornrétt á bilinu $[− π, π] .$

122.

Reiknið $\int_{− π}^{π} sin (m x) cos (n x) d x .$

123.

Heildið $y^{'} = \sqrt{tan x} {sec}^{4} x .$

Ákvarðið hvort heildanna í hverju pari er erfiðara að reikna og rökstyðjið svarið.

124.

$\int {sin}^{456} x cos x d x$ eða $\int {sin}^{2} x {cos}^{2} x d x$

125.

$\int {tan}^{350} x {sec}^{2} x d x$ eða $\int {tan}^{350} x sec x d x$