33 Heildunaraðferðir

3.6 Töluleg heildun

Námsmarkmið

3.6.1 Nálga gildi ákveðins heildis með miðpunktsreglu og trapisureglu.
3.6.2 Ákvarða algilda og hlutfallslega skekkju við notkun tölulegrar heildunaraðferðar.
3.6.3 Meta algilda og hlutfallslega skekkju með formúlu fyrir skekkjumörk.
3.6.4 Greina hvenær miðpunktsreglan og trapisureglan ofmeta eða vanmeta raungildi heildis.
3.6.5 Nota reglu Simpsons til að nálga gildi ákveðins heildis með gefinni nákvæmni.

Oft er annaðhvort ómögulegt eða erfitt að setja stofnföll falla fram á lokuðu formi (það er með þekktum föllum). Í stað þess að reikna ákveðin heildi þessara falla beint grípum við því til ýmissa aðferða tölulegrar heildunar til að nálga gildi þeirra. Í þessum hluta skoðum við nokkrar slíkar aðferðir. Að auki könnum við hvernig meta má skekkjuna sem fylgir notkun þeirra.

Miðpunktsreglan

Fyrr í þessari bók skilgreindum við ákveðið heildi falls yfir bil sem markgildi Riemann-summa. Almennt má líta á sérhverja Riemann-summu falls $f (x)$ yfir bil $[a, b]$ sem mat á $\int_{a}^{b} f (x) d x .$ Munið að Riemann-summa falls $f (x)$ yfir bil $[a, b]$ fæst með því að velja skiptingu

P = {x_{0}, x_{1}, x_{2},…, x_{n}}, þar sem a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = b

og mengi

S = {x_{1}^{*}, x_{2}^{*},…, x_{n}^{*}}, þar sem x_{i - 1} \leq x_{i}^{*} \leq x_{i} fyrir öll i .

Riemann-summan sem samsvarar skiptingunni $P$ og menginu $S$ er $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x_{i},$ og hér er $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1},$ sem er lengd i-ta hlutbilsins.

Miðpunktsreglan til að meta ákveðið heildi notar Riemann-summu með jafnbreiðum hlutbilum og miðpunkti hvers hlutbils, $m_{i},$ í stað $x_{i}^{*} .$ Formlega setjum við fram eftirfarandi setningu um samleitni miðpunktsreglunnar.

Eins og sjá má á mynd 3.13, ef $f (x) \geq 0$ á $[a, b],$ þá samsvarar $\sum_{i = 1}^{n} f (m_{i}) Δ x$ summu flatarmála rétthyrninga sem nálga flatarmálið milli grafs $f (x)$ og x-ássins á $[a, b] .$ Grafið sýnir rétthyrningana sem samsvara $M_{4}$ fyrir óneikvætt fall á lokuðu bili $[a, b] .$

Myndin sýnir graf óneikvæðs falls í fyrsta fjórðungi. Fallið vex og minnkar og fjórðungnum er skipt í rúðunet. Frá punktinum a = x með vísi 0 á x-ásnum eru skyggðir rétthyrningar sem hafa hæðir sem nálga hæð ferilsins. Merkingar á x-ásnum eru m með vísi 1, x með vísi 1, m með vísi 2, x með vísi 2, m með vísi 3, x með vísi 3, m með vísi 4 og b = x með vísi 4. — **Mynd 3.13.** Miðpunktsreglan nálgar flatarmálið milli grafs $f (x)$ og x-ássins með því að leggja saman flatarmál rétthyrninga sem hafa miðpunkta á grafi $f (x) .$

Dæmi 3.39

Miðpunktsreglan notuð með M 4

Notið miðpunktsregluna til að meta $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ með fjórum hlutbilum. Berið niðurstöðuna saman við raungildi heildisins.

Lausn

Hvert hlutbil hefur lengdina $Δ x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4} .$ Hlutbilin eru því

[0, \frac{1}{4}], [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}], og [\frac{3}{4}, 1] .

Miðpunktar hlutbilanna eru ${\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}} .$ Því fæst

M_{4} = \frac{1}{4} f (\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{3}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{5}{8}) + \frac{1}{4} f (\frac{7}{8}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{25}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{64} = \frac{21}{64} .

Þar sem

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} og | \frac{1}{3} - \frac{21}{64} | = \frac{1}{192} \approx 0.0052,

sjáum við að miðpunktsreglan gefur mat sem er nokkuð nálægt raungildi heildisins.

Dæmi 3.40

Miðpunktsreglan notuð með M 6

Notið $M_{6}$ til að meta bogalengd ferilsins $y = \frac{1}{2} x^{2}$ á bilinu $[1, 4] .$

Lausn

Bogalengd ferilsins $y = \frac{1}{2} x^{2}$ á bilinu $[1, 4]$ er

\int_{1}^{4} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x .

Þar sem $\frac{d y}{d x} = x,$ verður heildið $\int_{1}^{4} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

Ef $[1, 4]$ er skipt í sex hlutbil hefur hvert hlutbil lengdina $Δ x = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2}$ og miðpunktar hlutbilanna eru ${\frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4}, \frac{11}{4}, \frac{13}{4}, \frac{15}{4}} .$ Ef við skilgreinum $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}},$

\begin{matrix} M_{6} & = \frac{1}{2} f (\frac{5}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{7}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{9}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{11}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{13}{4}) + \frac{1}{2} f (\frac{15}{4}) \\ \approx \frac{1}{2} (1.6008 + 2.0156 + 2.4622 + 2.9262 + 3.4004 + 3.8810) = 8.1431. \end{matrix}

Trapisureglan

Við getum einnig nálgað gildi ákveðins heildis með trapísum í stað rétthyrninga. Á mynd 3.14 er flatarmálið undir ferlinum nálgað með trapísum í stað rétthyrninga.

Trapisureglan til að meta ákveðin heildi notar trapísur í stað rétthyrninga til að nálga flatarmálið undir ferli. Til að átta okkur á lokaformi reglunnar skoðum við trapísurnar á mynd 3.14. Gerum ráð fyrir að lengd hvers hlutbils sé $Δ x .$ Rifjum fyrst upp að flatarmál trapísu með hæð h og samsíða hliðar af lengdunum $b_{1}$ og $b_{2}$ er $Flatarmál = \frac{1}{2} h (b_{1} + b_{2}) .$ Fyrsta trapísan hefur hæðina $Δ x$ og samsíða hliðar af lengdunum $f (x_{0})$ og $f (x_{1}) .$ Flatarmál fyrstu trapísunnar á mynd 3.14 er því

\frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + f (x_{1})) .

Flatarmál hinna þriggja trapísanna eru

\frac{1}{2} Δ x (f (x_{1}) + f (x_{2})), \frac{1}{2} Δ x (f (x_{2}) + f (x_{3})), og \frac{1}{2} Δ x (f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Þar af leiðandi fæst

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + f (x_{1})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{1}) + f (x_{2})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{2}) + f (x_{3})) + \frac{1}{2} Δ x (f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Þegar sameiginlegi þátturinn $\frac{1}{2} Δ x$ er tekinn út fyrir sviga og samkynja liðir sameinaðir fæst

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{1}{2} Δ x (f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 2 f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Með alhæfingu fáum við eftirfarandi reglu.

Áður en lengra er haldið skulum við skoða nokkur atriði um trapisuregluna. Fyrst er gagnlegt að taka eftir að

T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}) þar sem L_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1}) Δ x og R_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x .

Með öðrum orðum nálga $L_{n}$ og $R_{n}$ heildið með vinstri og hægri endapunkti hvers hlutbils. Nákvæm skoðun á mynd 3.15 leiðir einnig til eftirfarandi athugana um notkun trapisureglunnar og miðpunktsreglunnar við mat á ákveðnu heildi óneikvæðs falls. Trapisureglan hefur tilhneigingu til að ofmeta gildi ákveðins heildis á bilum þar sem fallið er kúpt upp og vanmeta það á bilum þar sem fallið er kúpt niður. Miðpunktsreglan jafnar hins vegar þessar skekkjur að nokkru með því að ofmeta gildi ákveðna heildisins á hluta bilsins og vanmeta það á öðrum hluta. Þetta gefur tilefni til þeirrar tilgátu að miðpunktsreglan sé almennt nákvæmari en trapisureglan.

Myndin sýnir tvö gröf sama óneikvæða fallsins í fyrsta fjórðungi. Fallið vex og minnkar og fjórðungnum er skipt í rúðunet. Á fyrra grafinu eru skyggðar trapísur frá punktinum a = x með vísi 0 á x-ásnum og hæðir þeirra nálga hæð ferilsins. Merkingar á x-ásnum eru a = x með vísi 0, x með vísi 1, x með vísi 2, x með vísi 3 og b = x með vísi 4. Á síðara grafinu eru skyggðir rétthyrningar frá punktinum a = x með vísi 0 og hæðir þeirra nálga hæð ferilsins. Merkingar á x-ásnum eru m með vísi 1, x með vísi 1, m með vísi 2, x með vísi 2, m með vísi 3, x með vísi 3, m með vísi 4 og b = x með vísi 4. — **Mynd 3.15.** Trapisureglan er yfirleitt ónákvæmari en miðpunktsreglan.

Dæmi 3.41

Trapisureglan notuð

Notið trapisuregluna til að meta $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ með fjórum hlutbilum.

Lausn

Endapunktar hlutbilanna eru stök mengisins $P = {0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1}$ og $Δ x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4} .$ Því fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x^{2} d x & \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (f (0) + 2 f (\frac{1}{4}) + 2 f (\frac{1}{2}) + 2 f (\frac{3}{4}) + f (1)) \\ = \frac{1}{8} (0 + 2 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{9}{16} + 1) \\ = \frac{11}{32} . \end{matrix}

Algild og hlutfallsleg skekkja

Við notkun þessara tölulegu nálgunarreglna er mikilvægt að reikna skekkjuna í mati þeirra á gildi ákveðins heildis. Fyrst þurfum við að skilgreina algilda skekkju og hlutfallslega skekkju.

Dæmi 3.42

Skekkja miðpunktsreglunnar reiknuð

Reiknið algildu og hlutfallslegu skekkjuna í mati á $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ með miðpunktsreglunni sem fékkst í dæmi 3.39.

Lausn

Reiknaða gildið er $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ og matið úr dæminu er $M_{4} = \frac{21}{64} .$ Algilda skekkjan er því $| (\frac{1}{3}) - (\frac{21}{64}) | = \frac{1}{192} \approx 0.0052 .$ Hlutfallslega skekkjan er

\frac{1 / 192}{1 / 3} = \frac{1}{64} \approx 0.015625 \approx 1.6 % .

Dæmi 3.43

Skekkja trapisureglunnar reiknuð

Reiknið algildu og hlutfallslegu skekkjuna í mati á $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ með trapisureglunni sem fékkst í dæmi 3.41.

Lausn

Reiknaða gildið er $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ og matið úr dæminu er $T_{4} = \frac{11}{32} .$ Algilda skekkjan er því $| \frac{1}{3} - \frac{11}{32} | = \frac{1}{96} \approx 0.0104 .$ Hlutfallslega skekkjan er

\frac{1 / 96}{1 / 3} = 0.03125 \approx 3.1 % .

Í dæmunum tveimur hér á undan gátum við borið mat okkar á heildi saman við raungildi þess, en slíkt er yfirleitt ekki mögulegt. Þegar við nálgum heildi er það almennt vegna þess að erfitt er að reikna nákvæmt gildi heildisins. Því er oft gagnlegt að geta fundið efri mörk skekkjunnar í nálgun á heildi. Eftirfarandi setning gefur skekkjumörk fyrir miðpunktsregluna og trapisuregluna. Setningin er sett fram án sönnunar.

Við getum notað þessi mörk til að ákvarða það gildi $n$ sem þarf til að tryggja að skekkjan í matinu sé minni en tiltekið gildi.

Dæmi 3.44

Fjöldi hlutbila ákvarðaður

Hvaða gildi $n$ þarf að nota til að tryggja að mat á $\int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x$ víki um minna en 0.01 frá raungildinu þegar miðpunktsreglan er notuð?

Lausn

Við byrjum á að ákvarða $M,$ sem er stærsta gildi $| f^{″} (x) |$ á $[0, 1]$ fyrir $f (x) = e^{x^{2}} .$ Þar sem $f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}},$ fæst

f^{″} (x) = 2 e^{x^{2}} + 4 x^{2} e^{x^{2}} .

Því fæst

| f^{″} (x) | = 2 e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2}) \leq 2 \cdot e \cdot 3 = 6 e .

Af jöfnu 3.12 um skekkjumörk fæst

Skekkja í M_{n} \leq \frac{M {(b - a)}^{3}}{24 n^{2}} \leq \frac{6 e {(1 - 0)}^{3}}{24 n^{2}} = \frac{6 e}{24 n^{2}} .

Nú leysum við eftirfarandi ójöfnu með tilliti til $n :$

\frac{6 e}{24 n^{2}} \leq 0.01 .

Því er $n \geq \sqrt{\frac{600 e}{24}} \approx 8.24 .$ Þar sem $n$ verður að vera heiltala sem uppfyllir ójöfnuna tryggir valið $n = 9$ að $| \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x - M_{n} | < 0.01 .$

Greining

Það gæti verið freistandi að námunda $8.24$ niður og velja $n = 8,$ en það væri rangt þar sem við þurfum heiltölu sem er að minnsta kosti $8.24 .$ Hafa þarf í huga að skekkjumatið gefur aðeins efri mörk skekkjunnar. Raunverulega matið getur verið mun betri nálgun en skekkjumörkin gefa til kynna.

Regla Simpsons

Með miðpunktsreglunni mátum við flatarmál svæða undir ferlum með rétthyrningum. Í vissum skilningi nálguðum við ferilinn með bútavísum föstum föllum. Með trapisureglunni nálguðum við ferilinn með bútavísum línulegum föllum. Hvað ef við nálguðum feril í staðinn með bútavísum annars stigs föllum? Það er einmitt gert í reglu Simpsons. Við skiptum bilinu í sléttan fjölda jafnbreiðra hlutbila. Fyrir fyrsta par hlutbila nálgum við $\int_{x_{0}}^{x_{2}} f (x) d x$ með $\int_{x_{0}}^{x_{2}} p (x) d x,$ þar sem $p (x) = A x^{2} + B x + C$ er annars stigs fallið sem fer í gegnum $(x_{0}, f (x_{0})),$ $(x_{1}, f (x_{1})),$ og $(x_{2}, f (x_{2}))$ (mynd 3.16). Fyrir næsta par hlutbila nálgum við $\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x$ með heildi annars stigs falls sem fer í gegnum $(x_{2}, f (x_{2})),$ $(x_{3}, f (x_{3})),$ og $(x_{4}, f (x_{4})) .$ Ferlið er endurtekið fyrir hvert næsta par hlutbila.

Til að skilja formúluna fyrir reglu Simpsons byrjum við á að leiða út formúlu fyrir nálgunina yfir fyrstu tvö hlutbilin. Við útleiðsluna þurfum við að hafa eftirfarandi vensl í huga:

\begin{matrix} f (x_{0}) = p (x_{0}) = A x_{0}^{2} + B x_{0} + C \\ f (x_{1}) = p (x_{1}) = A x_{1}^{2} + B x_{1} + C \\ f (x_{2}) = p (x_{2}) = A x_{2}^{2} + B x_{2} + C \end{matrix}

$x_{2} - x_{0} = 2 Δ x,$ þar sem $Δ x$ er lengd hlutbils.

x_{2} + x_{0} = 2 x_{1}, þar sem x_{1} = \frac{(x_{2} + x_{0})}{2} .

Því fæst

\begin{matrix} \int_{x_{0}}^{x_{2}} f (x) d x & \approx \int_{x_{0}}^{x_{2}} p (x) d x \\ = \int_{x_{0}}^{x_{2}} (A x^{2} + B x + C) d x \\ = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x | \begin{matrix} ^{x_{2}} \\ _{x_{0}} \end{matrix} & Finnum stofnfallið. \\ = \frac{A}{3} (x_{2}^{3} - x_{0}^{3}) + \frac{B}{2} (x_{2}^{2} - x_{0}^{2}) + C (x_{2} - x_{0}) & Reiknum gildi stofnfallsins. \\ = \frac{A}{3} (x_{2} - x_{0}) (x_{2}^{2} + x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) \\ + \frac{B}{2} (x_{2} - x_{0}) (x_{2} + x_{0}) + C (x_{2} - x_{0}) \\ = \frac{x_{2} - x_{0}}{6} (2 A (x_{2}^{2} + x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) + 3 B (x_{2} + x_{0}) + 6 C) & Tökum þátt út fyrir sviga \frac{x_{2} - x_{0}}{6} . \\ = \frac{Δ x}{3} ((A x_{2}^{2} + B x_{2} + C) + (A x_{0}^{2} + B x_{0} + C) \\ + A (x_{2}^{2} + 2 x_{2} x_{0} + x_{0}^{2}) + 2 B (x_{2} + x_{0}) + 4 C) \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + f (x_{0}) + A {(x_{2} + x_{0})}^{2} + 2 B (x_{2} + x_{0}) + 4 C) & Umröðum liðunum. \\ \begin{matrix} Þáttum og setjum inn. \\ f (x_{2}) = A x_{2}^{2} + B x_{2} + C og \\ f (x_{0}) = A x_{0}^{2} + B x_{0} + C . \end{matrix} \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + f (x_{0}) + A {(2 x_{1})}^{2} + 2 B (2 x_{1}) + 4 C) & Setjum inn x_{2} + x_{0} = 2 x_{1} . \\ = \frac{Δ x}{3} (f (x_{2}) + 4 f (x_{1}) + f (x_{0})) . & \begin{matrix} Margföldum upp úr svigum og setjum inn \\ f (x_{1}) = A x_{1}^{2} + B x_{1} + C . \end{matrix} \end{matrix}

Ef við nálgum $\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x$ með sömu aðferð sjáum við að

\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x \approx \frac{Δ x}{3} (f (x_{4}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{2})) .

Þegar nálganirnar tvær eru sameinaðar fæst

\int_{x_{2}}^{x_{4}} f (x) d x = \frac{Δ x}{3} (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{4})) .

Sama mynstur endurtekur sig þegar pörum hlutbila er bætt við nálgunina. Almennu regluna má setja fram þannig.

Rétt eins og trapisureglan er meðaltal vinstri- og hægri endapunktsreglnanna við mat á ákveðnum heildum má fá reglu Simpsons úr miðpunktsreglunni og trapisureglunni með vegnu meðaltali. Sýna má að $S_{2 n} = (\frac{2}{3}) M_{n} + (\frac{1}{3}) T_{n} .$

Einnig er hægt að finna efri mörk skekkjunnar þegar regla Simpsons er notuð til að nálga ákveðið heildi. Skekkjumörkin eru gefin með eftirfarandi reglu:

Dæmi 3.45

Reglu Simpsons beitt: fyrra dæmi

Notið $S_{2}$ til að nálga $\int_{0}^{1} x^{3} d x .$ Metið skekkjumörk fyrir $S_{2} .$

Lausn

Þar sem $[0, 1]$ er skipt í tvö hlutbil hefur hvort þeirra lengdina $Δ x = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2} .$ Endapunktar hlutbilanna eru ${0, \frac{1}{2}, 1} .$ Ef við skilgreinum $f (x) = x^{3},$ fæst

$S_{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (f (0) + 4 f (\frac{1}{2}) + f (1)) = \frac{1}{6} (0 + 4 \cdot \frac{1}{8} + 1) = \frac{1}{4} .$ Þar sem $f^{(4)} (x) = 0$ og þar af leiðandi $M = 0,$ sjáum við að

Skekkja í S_{2} \leq \frac{0 {(1)}^{5}}{180 \cdot 2^{4}} = 0 .

Þessi mörk gefa til kynna að gildið sem fæst með reglu Simpsons sé nákvæmt. Fljótleg athugun staðfestir að $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} .$

Dæmi 3.46

Reglu Simpsons beitt: síðara dæmi

Notið $S_{6}$ til að meta bogalengd ferilsins $y = \frac{1}{2} x^{2}$ á bilinu $[1, 4] .$

Lausn

Bogalengd ferilsins $y = \frac{1}{2} x^{2}$ á bilinu $[1, 4]$ er $\int_{1}^{4} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$ Ef $[1, 4]$ er skipt í sex hlutbil hefur hvert hlutbil lengdina $Δ x = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2},$ og endapunktar hlutbilanna eru ${1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, 4} .$ Skilgreinum $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}},$

S_{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (f (1) + 4 f (\frac{3}{2}) + 2 f (2) + 4 f (\frac{5}{2}) + 2 f (3) + 4 f (\frac{7}{2}) + f (4)) .

Eftir innsetningu fæst

\begin{matrix} S_{6} & = \frac{1}{6} (1.4142 + 4 \cdot 1.80278 + 2 \cdot 2.23607 + 4 \cdot 2.69258 + 2 \cdot 3.16228 + 4 \cdot 3.64005 + 4.12311) \\ \approx 8.14594. \end{matrix}

Æfingar úr hluta 3.6

Nálgið eftirfarandi heildi með miðpunktsreglunni, trapisureglunni eða reglu Simpsons eins og tilgreint er. (Námundið svör að þremur aukastöfum.)

299.

$\int_{1}^{2} \frac{d x}{x};$ trapisuregla; $n = 5$

300.

$\int_{0}^{3} \sqrt{4 + x^{3}} d x;$ trapisuregla; $n = 6$

301.

$\int_{0}^{3} \sqrt{4 + x^{3}} d x;$ trapisuregla; $n = 3$

302.

$\int_{0}^{12} x^{2} d x;$ miðpunktsregla; $n = 6$

303.

$\int_{0}^{1} {sin}^{2} (π x) d x;$ miðpunktsregla; $n = 3$

304.

Notið miðpunktsregluna með átta hlutbilum til að meta $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$

305.

Notið trapisuregluna með fjórum hlutbilum til að meta $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$

306.

Finnið nákvæmt gildi $\int_{2}^{4} x^{2} d x .$ Finnið skekkjuna milli nákvæma gildisins og gildisins sem fæst með trapisureglunni með fjórum hlutbilum. Teiknið graf til skýringar.

Nálgið heildið að þremur aukastöfum með tilgreindri reglu.

307.

$\int_{0}^{1} {sin}^{2} (π x) d x;$ trapisuregla; $n = 6$

308.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + x^{3}} d x;$ trapisuregla; $n = 6$

309.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{1 + x^{3}} d x;$ trapisuregla; $n = 3$

310.

$\int_{0}^{0.8} e^{− x^{2}} d x;$ trapisuregla; $n = 4$

311.

$\int_{0}^{0.8} e^{− x^{2}} d x;$ regla Simpsons; $n = 4$

312.

$\int_{0}^{0.4} sin (x^{2}) d x;$ trapisuregla; $n = 4$

313.

$\int_{0}^{0.4} sin (x^{2}) d x;$ regla Simpsons; $n = 4$

314.

$\int_{0.1}^{0.5} \frac{cos x}{x} d x;$ trapisuregla; $n = 4$

315.

$\int_{0.1}^{0.5} \frac{cos x}{x} d x;$ regla Simpsons; $n = 4$

316.

Reiknið $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$ nákvæmlega og sýnið að niðurstaðan sé $π / 4 .$ Finnið síðan nálgunargildi heildisins með trapisureglunni og $n = 4$ hlutbilum. Notið niðurstöðuna til að nálga gildi $π .$

317.

Nálgið $\int_{2}^{4} \frac{1}{ln x} d x$ að fjórum aukastöfum með miðpunktsreglunni og fjórum hlutbilum.

318.

Nálgið $\int_{2}^{4} \frac{1}{ln x} d x$ að fjórum aukastöfum með trapisureglunni og átta hlutbilum.

319.

Notið trapisuregluna með fjórum hlutbilum til að meta $\int_{0}^{0.8} x^{3} d x$ að fjórum aukastöfum.

320.

Notið trapisuregluna með fjórum hlutbilum til að meta $\int_{0}^{0.8} x^{3} d x .$ Berið gildið saman við nákvæma gildið og finnið skekkjumatið.

321.

Notið reglu Simpsons með fjórum hlutbilum til að finna $\int_{0}^{π / 2} cos (x) d x .$

322.

Sýnið að nákvæmt gildi $\int_{0}^{1} x e^{− x} d x = 1 - \frac{2}{e} .$ Finnið algildu skekkjuna þegar heildið er nálgað með miðpunktsreglunni og 16 hlutbilum.

323.

Miðað við að $\int_{0}^{1} x e^{− x} d x = 1 - \frac{2}{e},$ skal nota trapisuregluna með 16 hlutbilum til að nálga heildið og finnið algildu skekkjuna.

324.

Finnið efri mörk skekkjunnar þegar $\int_{0}^{3} (5 x + 4) d x$ er metið með trapisureglunni og sex hlutbilum.

325.

Finnið efri mörk skekkjunnar þegar $\int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x$ er metið með trapisureglunni og sjö hlutbilum.

326.

Finnið efri mörk skekkjunnar þegar $\int_{0}^{3} (6 x^{2} - 1) d x$ er metið með reglu Simpsons og $n = 10$ hlutbilum.

327.

Finnið efri mörk skekkjunnar þegar $\int_{2}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$ er metið með reglu Simpsons og $n = 10$ hlutbilum.

328.

Finnið efri mörk skekkjunnar þegar $\int_{0}^{π} 2 x cos (x) d x$ er metið með reglu Simpsons og fjórum hlutbilum.

329.

Metið minnsta fjölda hlutbila sem þarf til að nálga heildið $\int_{1}^{4} (5 x^{2} + 8) d x$ með trapisureglunni þannig að algildi skekkjunnar sé minna en 0.0001.

330.

Ákvarðið gildi n þannig að trapisureglan nálgi $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d x$ með skekkju sem er ekki meiri en 0.01.

331.

Metið minnsta fjölda hlutbila sem þarf til að nálga heildið $\int_{2}^{3} (2 x^{3} + 4 x) d x$ með trapisureglunni þannig að algildi skekkjunnar sé minna en 0.0001.

332.

Metið minnsta fjölda hlutbila sem þarf til að nálga heildið $\int_{3}^{4} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x$ með trapisureglunni þannig að algildi skekkjunnar sé minna en 0.0001.

333.

Notið reglu Simpsons með fjórum hlutbilum til að nálga flatarmálið undir þéttleikafallinu $y = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− x^{2} / 2}$ frá $x = 0$ til $x = 0.4 .$

334.

Notið reglu Simpsons með $n = 14$ til að nálga með þriggja aukastafa nákvæmni flatarmál svæðisins sem afmarkast af gröfum $y = 0,$ $x = 0,$ og $x = π / 2 .$

335.

Lengd eins boga ferilsins $y = 3 sin (2 x)$ er gefin með $L = \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 + 36 {cos}^{2} (2 x)} d x .$ Metið L með trapisureglunni og $n = 6 .$

336.

Lengd sporbaugsins $x = a cos (t), y = b sin (t), 0 \leq t \leq 2 π$ er gefin með $L = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} {cos}^{2} (t)} d t,$ þar sem e er miðskekkja sporbaugsins. Notið reglu Simpsons með $n = 6$ hlutbilum til að meta lengd sporbaugsins þegar $a = 2$ og $e = 1 / 3 .$

337.

Metið flatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum $y = cos (2 x), 0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ er snúið um x-ásinn. Notið trapisuregluna með sex hlutbilum.

338.

Metið flatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum $y = 2 x^{2},$ $0 \leq x \leq 3$ er snúið um x-ásinn. Notið reglu Simpsons með $n = 6 .$

339.

Vaxtarhraði tiltekins trés, mældur í fetum, er gefinn með $y = \frac{2}{t + 1} + e^{− t^{2} / 2},$ þar sem t er tími í árum. Metið vöxt trésins til loka annars árs með reglu Simpsons og tveimur hlutbilum. (Námundið svarið að næsta hundraðshluta.)

340.

[T] Notið reiknivél til að nálga $\int_{0}^{1} sin (π x) d x$ með miðpunktsreglunni og 25 hlutbilum. Reiknið hlutfallslegu skekkjuna í nálguninni.

341.

[T] Miðað við að $\int_{1}^{5} (3 x^{2} - 2 x) d x = 100,$ skal nálga gildi heildisins með trapisureglunni og 16 hlutbilum og ákvarðið algildu skekkjuna.

342.

Hvers vegna þarf að þróa tölulegar aðferðir til að reikna ákveðin heildi þótt við þekkjum undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar?

343.

Taflan sýnir hnitin $(x, y)$ sem marka lóð. Mælieiningarnar eru metrar. Notið trapisuregluna til að meta flatarmál lóðarinnar í fermetrum.

x	y	x	y
0	125	600	95
100	125	700	88
200	120	800	75
300	112	900	35
400	90	1000	0
500	90

344.

Veljið rétt svar. Þegar regla Simpsons er notuð til að nálga ákveðið heildi þarf fjöldi hlutbila að vera ____

slétt tala
oddatala
annaðhvort slétt tala eða oddatala
margfeldi af 4

345.

„Simpsons-summan“ byggist á flatarmálinu undir ____.

346.

Skekkjuformúlan fyrir reglu Simpsons veltur á ___.

$f (x)$
$f^{'} (x)$
$f^{(4)} (x)$
fjölda hlutbila