33 Heildunaraðferðir

3.3 Innsetning með hornaföllum

Námsmarkmið

3.3.1 Leysa heildunarverkefni sem fela í sér kvaðratrót af summu eða mismun tveggja ferninga.

Í þessum hluta skoðum við heildi sem innihalda segðir á forminu $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ $\sqrt{a^{2} + x^{2}},$ auk $\sqrt{x^{2} - a^{2}},$ þar sem $a$ hefur jákvætt gildi. Við höfum áður reiknað heildi sem innihalda sumar segðir af þessu tagi en margar þeirra ráðum við enn ekki við með þeim aðferðum sem við höfum lært. Innsetning með hornaföllum nýtist vel við útreikning slíkra heilda. Með aðferðinni eru heildin endurrituð sem heildi hornafalla.

Heildi sem innihalda a 2 − x 2

Áður en við mótum almenna lausnarleið fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ skulum við skoða heildið $\int \sqrt{9 - x^{2}} d x .$ Ekki er hægt að reikna þetta heildi með neinni þeirra aðferða sem við höfum fjallað um hingað til. Ef við gerum hins vegar innsetninguna $x = 3 sin θ,$ fæst $d x = 3 cos θ d θ .$ Þegar sett hefur verið inn í heildið fæst

\int \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} \sqrt{9 - {(3 sin θ)}^{2}} 3 cos θ d θ .

Eftir einföldun fæst

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 \sqrt{1 - {sin}^{2} θ} cos θ d θ .

Með því að setja $1 - {sin}^{2} θ = {cos}^{2} θ,$ fæst nú

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 \sqrt{{cos}^{2} θ} cos θ d θ .

Ef gert er ráð fyrir að $cos θ \geq 0,$ fæst

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 {cos}^{2} θ d θ .

Nú getum við reiknað heildið með aðferðunum sem þróaðar voru til að heilda veldi og margfeldi hornafalla. Áður en við ljúkum dæminu skulum við skoða almennu rökin að baki hugmyndinni.

Til að reikna heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ gerum við innsetningarnar $x = a sin θ$ og $d x = a cos θ .$ Eftirfarandi rök sýna hvers vegna það er réttmætt. Skilgreiningarmengi segðarinnar $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ er $[− a, a] .$ Því gildir $− a \leq x \leq a .$ Þar af leiðandi gildir $−1 \leq \frac{x}{a} \leq 1 .$ Myndmengi $sin x$ á $[− (π / 2), π / 2]$ er $[−1, 1],$ og því er til nákvæmlega eitt horn $θ$ sem uppfyllir $− (π / 2) \leq θ \leq π / 2$ þannig að $sin θ = x / a,$ eða jafngilt $x = a sin θ .$ Ef $x = a sin θ$ er sett inn í $\sqrt{a^{2} - x^{2}},$ fæst

\begin{matrix} \sqrt{a^{2} - x^{2}} & = \sqrt{a^{2} - {(a sin θ)}^{2}} & Látum x = a sin θ þar sem - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} . Einföldum. \\ = \sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} θ} & Tökum sameiginlegan þátt út fyrir a^{2} . \\ = \sqrt{a^{2} (1 - {sin}^{2} θ)} & Setjum inn 1 - {sin}^{2} x = {cos}^{2} x . \\ = \sqrt{a^{2} {cos}^{2} θ} & Tökum kvaðratrót. \\ = | a cos θ | \\ = a cos θ . \end{matrix}

Þar sem $cos θ \geq 0$ á $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ og $a > 0,$ gildir $| a cos θ | = a cos θ .$ Af þessu sést að þegar beitt er innsetningunni $x = a sin θ,$ breytist heildi sem inniheldur rót í heildi sem inniheldur hornaföll. Þegar heildið hefur verið reiknað má endurrita lausnina sem segð með $x .$ Til að sjá hvernig það er gert skulum við fyrst gera ráð fyrir að $0 < x < a .$ Þá er $0 < θ < \frac{π}{2} .$ Þar sem $sin θ = \frac{x}{a},$ getum við teiknað viðmiðunarþríhyrninginn á mynd 3.4 og notað hann til að tjá $cos θ,$ $tan θ,$ auk annarra hornafalla með $x .$ Sýna má að þríhyrningurinn gefur rétt gildi hornafallanna í $θ$ fyrir öll $θ$ sem uppfylla $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} .$ Takið eftir að segðin $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ er lengd einnar hliðar þríhyrningsins. Ef $θ$ stendur eitt og sér notum við loks $θ = {sin}^{−1} (\frac{x}{a}) .$

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning með horninu θ á móti lóðréttu skammhliðinni. Langhliðin er merkt a, lóðrétta skammhliðin x og lárétta skammhliðin √(a² − x²). Vinstra megin við þríhyrninginn stendur jafnan sin(θ) = x/a. — **Mynd 3.4.** Viðmiðunarþríhyrningur auðveldar að tjá hornaföllin í $θ$ með $x .$

Kjarni umfjöllunarinnar er tekinn saman í eftirfarandi lausnarleið.

Í næsta dæmi er lausnarleiðinni beitt.

Dæmi 3.21

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2

Reiknið $\int^{} \sqrt{9 - x^{2}} d x .$

Lausn

Byrjið á innsetningunum $x = 3 sin θ$ og $d x = 3 cos θ d θ .$ Þar sem $sin θ = \frac{x}{3},$ getum við teiknað viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning með horninu θ á móti lóðréttu skammhliðinni. Langhliðin er merkt 3, lóðrétta skammhliðin x og lárétta skammhliðin √(9 − x²). Vinstra megin við þríhyrninginn stendur jafnan sin(θ) = x/3. — **Mynd 3.5.** Teikna má viðmiðunarþríhyrning fyrir dæmi 3.21.

Því fæst

\begin{matrix} \int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x & = \int^{​} \sqrt{9 - {(3 sin θ)}^{2}} 3 cos θ d θ & Setjum inn x = 3 sin θ og d x = 3 cos θ d θ . \\ = \int^{​} \sqrt{9 (1 - {sin}^{2} θ)} 3 cos θ d θ & Einföldum. \\ = \int^{​} \sqrt{9 {cos}^{2} θ} 3 cos θ d θ & Setjum inn {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ . \\ = \int^{​} 3 | cos θ | 3 cos θ d θ & Tökum kvaðratrót. \\ = \int^{​} 9 {cos}^{2} θ d θ & \begin{matrix} Einföldum. Þar sem - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}, cos θ \geq 0 og \\ | cos θ | = cos θ . \end{matrix} \\ = \int^{​} 9 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 θ)) d θ & \begin{matrix} Notum aðferðina fyrir heildun slétts veldis \\ af cos θ . \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} θ + \frac{9}{4} sin (2 θ) + C & Reiknum heildið. \\ = \frac{9}{2} θ + \frac{9}{4} (2 sin θ cos θ) + C & Setjum inn sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ . \\ = \frac{9}{2} {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} + C & \begin{matrix} Setjum inn {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) = θ og sin θ = \frac{x}{3} . Notum \\ viðmiðunarþríhyrninginn til að sjá að \\ cos θ = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} og gerum þessa innsetningu. \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{2} + C . & Einföldum. \end{matrix}

Dæmi 3.22

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2

Reiknið $\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} d x .$

Lausn

Gerið fyrst innsetningarnar $x = 2 sin θ$ og $d x = 2 cos θ d θ .$ Þar sem $sin θ = \frac{x}{2},$ getum við teiknað viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning með horninu θ á móti lóðréttu skammhliðinni. Lóðrétta skammhliðin er merkt x og lárétta skammhliðin √(4 − x²). Vinstra megin við þríhyrninginn stendur jafnan sin(θ) = x/2. — **Mynd 3.6.** Teikna má viðmiðunarþríhyrning fyrir dæmi 3.22.

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} d x & = \int \frac{\sqrt{4 - {(2 sin θ)}^{2}}}{2 sin θ} 2 cos θ d θ & Setjum inn x = 2 sin θ og dx = 2 cos θ d θ . \\ = \int \frac{2 {cos}^{2} θ}{sin θ} d θ & Setjum inn {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ og einföldum. \\ = \int \frac{2 (1 - {sin}^{2} θ)}{sin θ} d θ & Setjum inn {sin}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ . \\ = \int^{​} (2 csc θ - 2 sin θ) d θ & \begin{matrix} Aðskiljum liði í teljara, einföldum og notum \\ csc θ = \frac{1}{sin θ} . \end{matrix} \\ = 2 ln | csc θ - cot θ | + 2 cos θ + C & Reiknum heildið. \\ = 2 ln | \frac{2}{x} - \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} | + \sqrt{4 - x^{2}} + C . & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrninginn til að endurrita \\ segðina með x og einföldum. \end{matrix} \end{matrix}

Næsta dæmi sýnir að stundum er hægt að velja milli aðferða.

Dæmi 3.23

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2 með tveimur aðferðum

Reiknið $\int^{} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ með tveimur aðferðum: fyrst með innsetningunni $u = 1 - x^{2}$ og síðan með innsetningu með hornaföllum.

Lausn

Aðferð 1

Setjum $u = 1 - x^{2}$ og þar með $x^{2} = 1 - u .$ Því er $d u = −2 x d x .$ Heildið verður þá

\begin{matrix} \int^{​} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x & = - \frac{1}{2} \int^{​} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} (−2 x d x) & Gerum innsetninguna. \\ = - \frac{1}{2} \int^{​} (1 - u) \sqrt{u} d u & Margföldum upp úr svigum. \\ = - \frac{1}{2} \int (u^{1 / 2} - u^{3 / 2}) d u & Reiknum heildið. \\ = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{3 / 2} - \frac{2}{5} u^{5 / 2}) + C & Endurritum með x . \\ = - \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{3 / 2} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{5 / 2} + C . \end{matrix}

Aðferð 2

Setjum $x = sin θ .$ Þá er $d x = cos θ d θ .$ Með þessari innsetningu fæst

\begin{matrix} \int^{​} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x & = \int^{​} {sin}^{3} θ {cos}^{2} θ d θ \\ = \int^{​} (1 - {cos}^{2} θ) {cos}^{2} θ sin θ d θ & Látum u = cos θ . Því fæst d u = − sin θ d θ . \\ = \int^{​} (u^{4} - u^{2}) d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{3} u^{3} + C & Setjum inn cos θ = u . \\ = \frac{1}{5} {cos}^{5} θ - \frac{1}{3} {cos}^{3} θ + C & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrning til að sjá að \\ cos θ = \sqrt{1 - x^{2}} . \end{matrix} \\ = \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{5 / 2} - \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Heildi sem innihalda a 2 + x 2

Fyrir heildi sem innihalda $\sqrt{a^{2} + x^{2},}$ skulum við fyrst skoða skilgreiningarmengi segðarinnar. Þar sem $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ er skilgreint fyrir öll raungildi $x,$ einskorðast valið við hornaföll sem hafa allar rauntölur að myndmengi. Við getum því aðeins valið $x = a tan θ$ eða $x = a cot θ .$ Báðar innsetningarnar ganga en venja er að nota $x = a tan θ$ eða jafngilt $tan θ = x / a .$ Við þessa innsetningu gerum við ráð fyrir að $− (π / 2) < θ < π / 2,$ og þá gildir einnig $θ = {tan}^{−1} (x / a) .$ Aðferðin er tekin saman í næstu lausnarleið.

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning með horninu θ á móti lóðréttu skammhliðinni. Langhliðin er merkt √(a² + x²), lóðrétta skammhliðin x og lárétta skammhliðin a. Vinstra megin við þríhyrninginn stendur jafnan tan(θ) = x/a. — **Mynd 3.7.** Teikna má viðmiðunarþríhyrning til að tjá hornaföllin í $θ$ með $x .$

Dæmi 3.24

Heildun segðar sem inniheldur a 2 + x 2

Reiknið $\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ og sannreynið lausnina með deildun.

Lausn

Byrjið á innsetningunum $x = tan θ$ og $d x = {sec}^{2} θ d θ .$ Þar sem $tan θ = x,$ skulum við teikna viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning með horninu θ á móti lóðréttu skammhliðinni. Langhliðin er merkt √(1 + x²), lóðrétta skammhliðin x og lárétta skammhliðin 1. Vinstra megin við þríhyrninginn stendur jafnan tan(θ) = x/1. — **Mynd 3.8.** Viðmiðunarþríhyrningurinn fyrir dæmi 3.24.

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} & = \int \frac{{sec}^{2} θ}{sec θ} d θ & \begin{matrix} Setjum inn x = tan θ og d x = {sec}^{2} θ d θ . Þessi \\ innsetning gefur \sqrt{1 + x^{2}} = sec θ . Einföldum. \end{matrix} \\ = \int^{​} sec θ d θ & Reiknum heildið. \\ = ln | sec θ + tan θ | + C & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrninginn til að tjá niðurstöðuna \\ með x . \end{matrix} \\ = ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x | + C . \end{matrix}

Deildum til að sannreyna lausnina:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x |) & = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} + x} \cdot (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + 1) \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} . \end{matrix}

Þar sem $\sqrt{1 + x^{2}} + x > 0$ fyrir öll gildi $x,$ má endurrita $ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x | + C = ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x) + C,$ ef þess er óskað.

Dæmi 3.25

Önnur innsetning notuð til að reikna ∫ d x/1 + x 2

Notið innsetninguna $x = sinh θ$ til að reikna $\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

Lausn

Þar sem $sinh θ$ hefur allar rauntölur að myndmengi og $1 + {sinh}^{2} θ = {cosh}^{2} θ,$ má einnig nota innsetninguna $x = sinh θ$ til að reikna heildið. Þá er $d x = cosh θ d θ .$ Þar af leiðandi fæst

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} & = \int \frac{cosh θ}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} θ}} d θ & \begin{matrix} Setjum inn x = sinh θ og d x = cosh θ d θ . \\ Setjum inn 1 + {sinh}^{2} θ = {cosh}^{2} θ . \end{matrix} \\ = \int \frac{cosh θ}{\sqrt{{cosh}^{2} θ}} d θ & \sqrt{{cosh}^{2} θ} = | cosh θ | \\ = \int \frac{cosh θ}{| cosh θ |} d θ & | cosh θ | = cosh θ þar sem cosh θ > 0 fyrir öll θ . \\ = \int \frac{cosh θ}{cosh θ} d θ & Einföldum. \\ = \int^{​} 1 d θ & Reiknum heildið. \\ = θ + C & Þar sem x = sinh θ, vitum við að θ = {sinh}^{−1} x . \\ = {sinh}^{−1} x + C . \end{matrix}

Greining

Þetta svar virðist talsvert frábrugðið svarinu sem fékkst með innsetningunni $x = tan θ .$ Til að sýna að lausnirnar séu jafngildar setjum við $y = {sinh}^{−1} x .$ Þá er $sinh y = x .$ Af þessari jöfnu leiðir:

\frac{e^{y} - e^{− y}}{2} = x .

Þegar báðar hliðar hafa verið margfaldaðar með $2 e^{y}$ og jafnan endurrituð fæst:

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

Leysum annars stigs jöfnuna með tilliti til $e^{y} :$

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} .

Eftir einföldun fæst:

e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

Þar sem $x - \sqrt{x^{2} + 1} < 0,$ hlýtur eftirfarandi jafna að gilda: $e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1} .$ Því fæst

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Að lokum fæst

{sinh}^{−1} x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Að lokum, þar sem $x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0,$

ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x |,

sést að aðferðirnar tvær gáfu jafngildar lausnir.

Dæmi 3.26

Bogalengd fundin

Finnið lengd ferilsins $y = x^{2}$ á bilinu $[0, \frac{1}{2}] .$

Lausn

Þar sem $\frac{d y}{d x} = 2 x,$ fæst bogalengdin með

\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} d x = \int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

Til að reikna heildið notum við innsetningarnar $x = \frac{1}{2} tan θ$ og $d x = \frac{1}{2} {sec}^{2} θ d θ .$ Einnig þarf að breyta heildunarmörkunum. Ef $x = 0,$ þá er $θ = 0$ og ef $x = \frac{1}{2},$ þá er $θ = \frac{π}{4} .$ Því fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x & = \int_{0}^{π / 4} \sqrt{1 + {tan}^{2} θ} \frac{1}{2} {sec}^{2} θ d θ & \begin{matrix} Eftir innsetningu \\ \sqrt{1 + 4 x^{2}} = tan θ . Setjum inn \\ 1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ og einföldum. \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 4} {sec}^{3} θ d θ & \begin{matrix} Við leiddum þetta heildi út í \\ fyrri hlutanum. \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sec θ tan θ + \frac{1}{2} ln | sec θ + tan θ |) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} π / 4 \end{matrix}} & Reiknum og einföldum. \\ = \frac{1}{4} (\sqrt{2} + ln (\sqrt{2} + 1)) . \end{matrix}

Heildun segða sem innihalda x 2 − a 2

Skilgreiningarmengi segðarinnar $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ er $(− \infty, − a] \cup [a, + \infty) .$ Því er annaðhvort $x \leq − a$ eða $x \geq a .$ Þar af leiðandi er $\frac{x}{a} \leq - 1$ eða $\frac{x}{a} \geq 1 .$ Þessi bil samsvara myndmengi $sec θ$ á menginu $[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π],$ og því er eðlilegt að nota innsetninguna $sec θ = \frac{x}{a}$ eða jafngilt $x = a sec θ,$ þar sem $0 \leq θ < \frac{π}{2}$ eða $\frac{π}{2} < θ \leq π .$ Samsvarandi innsetning fyrir $d x$ er $d x = a sec θ tan θ d θ .$ Aðferðin er tekin saman í næstu lausnarleið.

Myndin sýnir tvo rétthyrnda þríhyrninga. Fyrri þríhyrningurinn er í fyrsta fjórðungi xy-hnitakerfisins og hornið θ er á móti lóðréttu skammhliðinni. Langhliðin er merkt x, lóðrétta skammhliðin √(x² − a²) og lárétta skammhliðin a á x-ásnum. Vinstra megin standa sec(θ) = x/a þegar x > a, sin(θ) = √(x² − a²)/x, cos(θ) = a/x og tan(θ) = √(x² − a²)/a. Seinni þríhyrningurinn er í öðrum fjórðungi. Langhliðin er merkt −x, lárétta skammhliðin −a á neikvæða hluta x-ássins og lóðrétta skammhliðin √(x² − a²). Hægra megin standa sec(θ) = x/a þegar x < −a, sin(θ) = −√(x² − a²)/x, cos(θ) = a/x og tan(θ) = −√(x² − a²)/a. — **Mynd 3.9.** Notið viðeigandi viðmiðunarþríhyrning til að tjá hornaföllin í $θ$ með $x .$

Dæmi 3.27

Flatarmál svæðis fundið

Finnið flatarmál svæðisins milli grafs $f (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$ og x-ássins á bilinu $[3, 5] .$

Lausn

Teiknum fyrst grófa mynd af svæðinu sem lýst er í verkefninu, eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir graf fallsins f(x) = √(x² − 9). Grafið er vaxandi ferill í fyrsta fjórðungi sem hefst á x-ásnum við x = 3. Svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt og afmarkast hægra megin við x = 5. — **Mynd 3.10.** Til að reikna flatarmál skyggða svæðisins þarf að reikna heildi með innsetningu með hornaföllum.

Við sjáum að flatarmálið er $A = \int_{3}^{5} \sqrt{x^{2} - 9} d x .$ Til að reikna þetta ákveðna heildi setjum við inn $x = 3 sec θ$ og $d x = 3 sec θ tan θ d θ .$ Einnig þarf að breyta heildunarmörkunum. Ef $x = 3,$ þá er $3 = 3 sec θ$ og þar með $θ = 0 .$ Ef $x = 5,$ þá er $θ = {sec}^{−1} (\frac{5}{3}) .$ Eftir innsetningu og einföldun fæst

\begin{matrix} Flatarmál & = \int_{3}^{5} \sqrt{x^{2} - 9} d x \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 {tan}^{2} θ sec θ d θ & Notum {tan}^{2} θ = 1 - {sec}^{2} θ . \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 ({sec}^{2} θ - 1) sec θ d θ & Margföldum upp úr svigum. \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 ({sec}^{3} θ - sec θ) d θ & Reiknum heildið. \\ = (\frac{9}{2} ln | sec θ + tan θ | + \frac{9}{2} sec θ tan θ) - 9 ln | sec θ + tan θ | |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} {sec}^{−1} (5 / 3) \end{matrix}} & Einföldum. \\ = \frac{9}{2} sec θ tan θ - \frac{9}{2} ln | sec θ + tan θ | |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} {sec}^{−1} (5 / 3) \end{matrix}} & \begin{matrix} Reiknum. Notum sec ({sec}^{−1} \frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \\ og tan ({sec}^{−1} \frac{5}{3}) = \frac{4}{3} . \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{3} - \frac{9}{2} ln | \frac{5}{3} + \frac{4}{3} | - (\frac{9}{2} \cdot 1 \cdot 0 - \frac{9}{2} ln | 1 + 0 |) \\ = 10 - \frac{9}{2} ln 3 . \end{matrix}

Æfingar úr hluta 3.3

Einfaldið eftirfarandi segðir með því að skrifa hverja þeirra með einu hornafalli.

126.

$4 - 4 {sin}^{2} θ$

127.

$9 {sec}^{2} θ - 9$

128.

$a^{2} + a^{2} {tan}^{2} θ$

129.

$a^{2} + a^{2} {sinh}^{2} θ$

130.

$16 {cosh}^{2} θ - 16$

Fyllið í ferninginn til að skrifa hverja þríliðusegð sem ferning tvíliðu eða sem ferning tvíliðu að viðbættum fasta.

131.

$4 x^{2} - 4 x + 1$

132.

$2 x^{2} - 8 x + 3$

133.

$− x^{2} - 2 x + 4$

Heildið með innsetningu með hornaföllum. Tjáið lokasvarið með upphaflegu breytunni.

134.

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

135.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

136.

$\int \sqrt{4 - x^{2}} d x$

137.

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 + 9 x^{2}}}$

138.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

139.

$\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$

140.

$\int \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

141.

$\int \sqrt{x^{2} + 9} d x$

142.

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

143.

$\int \frac{θ^{3} d θ}{\sqrt{9 - θ^{2}}}$

144.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{6} - x^{2}}}$

145.

$\int \sqrt{x^{6} - x^{8}} d x$

146.

$\int \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{3 / 2}}$

147.

$\int \frac{d x}{{(x^{2} - 9)}^{3 / 2}}$

148.

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}} d x}{x}$

149.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

150.

$\int \frac{x^{2} d x}{x^{2} + 4}$

151.

$\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

152.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

153.

$\int {(1 - x^{2})}^{3 / 2} d x$

Í eftirfarandi dæmum skal nota innsetningarnar $x = sinh θ, cosh θ,$ eða $tanh θ .$ Tjáið lokasvörin með breytunni x.

154.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

155.

$\int \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

156.

$\int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

157.

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x^{2}} d x$

158.

$\int \frac{d x}{1 - x^{2}}$

159.

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x^{2}} d x$

Fyllið í ferninginn til að reikna eftirfarandi heildi.

160.

$\int \frac{1}{x^{2} - 6 x} d x$

161.

$\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

162.

$\int \frac{1}{\sqrt{− x^{2} + 2 x + 8}} d x$

163.

$\int \frac{1}{\sqrt{− x^{2} + 10 x}} d x$

164.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 12}} d x$

165.

Reiknið heildið án þess að nota stærðfræðigreiningu: $\int_{−3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x .$

166.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af sporbaugnum $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

167.

Reiknið heildið $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ með tveimur mismunandi innsetningum. Setjið fyrst $x = cos θ$ og notið innsetningu með hornaföllum. Setjið síðan $x = sin θ$ og notið aftur innsetningu með hornaföllum. Eru svörin þau sömu?

168.

Reiknið heildið $\int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ með innsetningunni $x = sec θ .$ Reiknið síðan sama heildi með innsetningunni $x = csc θ .$ Sýnið að niðurstöðurnar séu jafngildar.

169.

Reiknið heildið $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ með forminu $\int \frac{1}{u} d u .$ Reiknið síðan sama heildi með $x = tan θ .$ Eru niðurstöðurnar þær sömu?

170.

Ákvarðið hvaða heildunaraðferð nota skal til að reikna heildið $\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x .$ Hvers vegna varð sú aðferð fyrir valinu?

171.

Ákvarðið hvaða heildunaraðferð nota skal til að reikna heildið $\int x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} d x .$ Hvers vegna varð sú aðferð fyrir valinu?

172.

Reiknið $\int_{−1}^{1} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

173.

Finnið bogalengd ferilsins á tilgreinda bilinu: $y = ln x, [1, 5] .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

174.

Finnið yfirborðsflatarmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af gröfum $y = x^{2}, y = 0, x = 0, og x = \sqrt{2}$ er snúið um x-ásinn. Námundið svarið að þremur aukastöfum.

175.

Svæðinu sem afmarkast af grafi $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ og x-ásnum milli $x = 0$ auk $x = 1$ er snúið um x-ásinn. Finnið rúmmál snúðsins sem myndast.

Leysið upphafsgildisverkefnið og finnið y sem fall af x.

176.

$(x^{2} + 36) \frac{d y}{d x} = 1, y (6) = 0$

177.

$(64 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1, y (0) = 3$

178.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af $y = \frac{2}{\sqrt{64 - 4 x^{2}}}, x = 0, y = 0, auk x = 2 .$

179.

Lýsa má olíugeymi sem rúmmálinu sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af $y = \frac{16}{\sqrt{64 + x^{2}}}, x = 0, y = 0, x = 2$ er snúið um x-ásinn. Finnið rúmmál geymisins í rúmmetrum.

180.

Í hverri lotu er hraði v (í fetum á sekúndu) suðuvélmennis gefinn með $v = 2 t - \frac{14}{4 + t^{2}},$ þar sem t er tími í sekúndum. Finnið færsluna s (í fetum) sem fall af t ef $s = 0$ þegar $t = 0 .$

181.

Finnið lengd ferilsins $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ milli $x = 0$ og $x = 2 .$

33 Heildunaraðferðir

3.3 Innsetning með hornaföllum

Námsmarkmið

3.3.1 Leysa heildunarverkefni sem fela í sér kvaðratrót af summu eða mismun tveggja ferninga.

Heildi sem innihalda a 2 − x 2

\int \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} \sqrt{9 - {(3 sin θ)}^{2}} 3 cos θ d θ .

Eftir einföldun fæst

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 \sqrt{1 - {sin}^{2} θ} cos θ d θ .

Með því að setja $1 - {sin}^{2} θ = {cos}^{2} θ,$ fæst nú

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 \sqrt{{cos}^{2} θ} cos θ d θ .

Ef gert er ráð fyrir að $cos θ \geq 0,$ fæst

\int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int^{​} 9 {cos}^{2} θ d θ .

\begin{matrix} \sqrt{a^{2} - x^{2}} & = \sqrt{a^{2} - {(a sin θ)}^{2}} & Látum x = a sin θ þar sem - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} . Einföldum. \\ = \sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} θ} & Tökum sameiginlegan þátt út fyrir a^{2} . \\ = \sqrt{a^{2} (1 - {sin}^{2} θ)} & Setjum inn 1 - {sin}^{2} x = {cos}^{2} x . \\ = \sqrt{a^{2} {cos}^{2} θ} & Tökum kvaðratrót. \\ = | a cos θ | \\ = a cos θ . \end{matrix}

Kjarni umfjöllunarinnar er tekinn saman í eftirfarandi lausnarleið.

Í næsta dæmi er lausnarleiðinni beitt.

Dæmi 3.21

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2

Reiknið $\int^{} \sqrt{9 - x^{2}} d x .$

Lausn

Byrjið á innsetningunum $x = 3 sin θ$ og $d x = 3 cos θ d θ .$ Þar sem $sin θ = \frac{x}{3},$ getum við teiknað viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Því fæst

\begin{matrix} \int^{​} \sqrt{9 - x^{2}} d x & = \int^{​} \sqrt{9 - {(3 sin θ)}^{2}} 3 cos θ d θ & Setjum inn x = 3 sin θ og d x = 3 cos θ d θ . \\ = \int^{​} \sqrt{9 (1 - {sin}^{2} θ)} 3 cos θ d θ & Einföldum. \\ = \int^{​} \sqrt{9 {cos}^{2} θ} 3 cos θ d θ & Setjum inn {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ . \\ = \int^{​} 3 | cos θ | 3 cos θ d θ & Tökum kvaðratrót. \\ = \int^{​} 9 {cos}^{2} θ d θ & \begin{matrix} Einföldum. Þar sem - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}, cos θ \geq 0 og \\ | cos θ | = cos θ . \end{matrix} \\ = \int^{​} 9 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 θ)) d θ & \begin{matrix} Notum aðferðina fyrir heildun slétts veldis \\ af cos θ . \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} θ + \frac{9}{4} sin (2 θ) + C & Reiknum heildið. \\ = \frac{9}{2} θ + \frac{9}{4} (2 sin θ cos θ) + C & Setjum inn sin (2 θ) = 2 sin θ cos θ . \\ = \frac{9}{2} {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} + C & \begin{matrix} Setjum inn {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) = θ og sin θ = \frac{x}{3} . Notum \\ viðmiðunarþríhyrninginn til að sjá að \\ cos θ = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} og gerum þessa innsetningu. \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} {sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + \frac{x \sqrt{9 - x^{2}}}{2} + C . & Einföldum. \end{matrix}

Dæmi 3.22

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2

Reiknið $\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} d x .$

Lausn

Gerið fyrst innsetningarnar $x = 2 sin θ$ og $d x = 2 cos θ d θ .$ Þar sem $sin θ = \frac{x}{2},$ getum við teiknað viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} d x & = \int \frac{\sqrt{4 - {(2 sin θ)}^{2}}}{2 sin θ} 2 cos θ d θ & Setjum inn x = 2 sin θ og dx = 2 cos θ d θ . \\ = \int \frac{2 {cos}^{2} θ}{sin θ} d θ & Setjum inn {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ og einföldum. \\ = \int \frac{2 (1 - {sin}^{2} θ)}{sin θ} d θ & Setjum inn {sin}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ . \\ = \int^{​} (2 csc θ - 2 sin θ) d θ & \begin{matrix} Aðskiljum liði í teljara, einföldum og notum \\ csc θ = \frac{1}{sin θ} . \end{matrix} \\ = 2 ln | csc θ - cot θ | + 2 cos θ + C & Reiknum heildið. \\ = 2 ln | \frac{2}{x} - \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} | + \sqrt{4 - x^{2}} + C . & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrninginn til að endurrita \\ segðina með x og einföldum. \end{matrix} \end{matrix}

Næsta dæmi sýnir að stundum er hægt að velja milli aðferða.

Dæmi 3.23

Heildun segðar sem inniheldur a 2 − x 2 með tveimur aðferðum

Reiknið $\int^{} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ með tveimur aðferðum: fyrst með innsetningunni $u = 1 - x^{2}$ og síðan með innsetningu með hornaföllum.

Lausn

Aðferð 1

Setjum $u = 1 - x^{2}$ og þar með $x^{2} = 1 - u .$ Því er $d u = −2 x d x .$ Heildið verður þá

\begin{matrix} \int^{​} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x & = - \frac{1}{2} \int^{​} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} (−2 x d x) & Gerum innsetninguna. \\ = - \frac{1}{2} \int^{​} (1 - u) \sqrt{u} d u & Margföldum upp úr svigum. \\ = - \frac{1}{2} \int (u^{1 / 2} - u^{3 / 2}) d u & Reiknum heildið. \\ = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{3 / 2} - \frac{2}{5} u^{5 / 2}) + C & Endurritum með x . \\ = - \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{3 / 2} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{5 / 2} + C . \end{matrix}

Aðferð 2

Setjum $x = sin θ .$ Þá er $d x = cos θ d θ .$ Með þessari innsetningu fæst

\begin{matrix} \int^{​} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x & = \int^{​} {sin}^{3} θ {cos}^{2} θ d θ \\ = \int^{​} (1 - {cos}^{2} θ) {cos}^{2} θ sin θ d θ & Látum u = cos θ . Því fæst d u = − sin θ d θ . \\ = \int^{​} (u^{4} - u^{2}) d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{3} u^{3} + C & Setjum inn cos θ = u . \\ = \frac{1}{5} {cos}^{5} θ - \frac{1}{3} {cos}^{3} θ + C & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrning til að sjá að \\ cos θ = \sqrt{1 - x^{2}} . \end{matrix} \\ = \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{5 / 2} - \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Heildi sem innihalda a 2 + x 2

Dæmi 3.24

Heildun segðar sem inniheldur a 2 + x 2

Reiknið $\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ og sannreynið lausnina með deildun.

Lausn

Byrjið á innsetningunum $x = tan θ$ og $d x = {sec}^{2} θ d θ .$ Þar sem $tan θ = x,$ skulum við teikna viðmiðunarþríhyrninginn á næstu mynd.

Því fæst

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} & = \int \frac{{sec}^{2} θ}{sec θ} d θ & \begin{matrix} Setjum inn x = tan θ og d x = {sec}^{2} θ d θ . Þessi \\ innsetning gefur \sqrt{1 + x^{2}} = sec θ . Einföldum. \end{matrix} \\ = \int^{​} sec θ d θ & Reiknum heildið. \\ = ln | sec θ + tan θ | + C & \begin{matrix} Notum viðmiðunarþríhyrninginn til að tjá niðurstöðuna \\ með x . \end{matrix} \\ = ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x | + C . \end{matrix}

Deildum til að sannreyna lausnina:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x |) & = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} + x} \cdot (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + 1) \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} . \end{matrix}

Þar sem $\sqrt{1 + x^{2}} + x > 0$ fyrir öll gildi $x,$ má endurrita $ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x | + C = ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x) + C,$ ef þess er óskað.

Dæmi 3.25

Önnur innsetning notuð til að reikna ∫ d x/1 + x 2

Notið innsetninguna $x = sinh θ$ til að reikna $\int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

Lausn

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}} & = \int \frac{cosh θ}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} θ}} d θ & \begin{matrix} Setjum inn x = sinh θ og d x = cosh θ d θ . \\ Setjum inn 1 + {sinh}^{2} θ = {cosh}^{2} θ . \end{matrix} \\ = \int \frac{cosh θ}{\sqrt{{cosh}^{2} θ}} d θ & \sqrt{{cosh}^{2} θ} = | cosh θ | \\ = \int \frac{cosh θ}{| cosh θ |} d θ & | cosh θ | = cosh θ þar sem cosh θ > 0 fyrir öll θ . \\ = \int \frac{cosh θ}{cosh θ} d θ & Einföldum. \\ = \int^{​} 1 d θ & Reiknum heildið. \\ = θ + C & Þar sem x = sinh θ, vitum við að θ = {sinh}^{−1} x . \\ = {sinh}^{−1} x + C . \end{matrix}

Greining

\frac{e^{y} - e^{− y}}{2} = x .

Þegar báðar hliðar hafa verið margfaldaðar með $2 e^{y}$ og jafnan endurrituð fæst:

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

Leysum annars stigs jöfnuna með tilliti til $e^{y} :$

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} .

Eftir einföldun fæst:

e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

Þar sem $x - \sqrt{x^{2} + 1} < 0,$ hlýtur eftirfarandi jafna að gilda: $e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1} .$ Því fæst

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Að lokum fæst

{sinh}^{−1} x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Að lokum, þar sem $x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0,$

ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = ln | \sqrt{1 + x^{2}} + x |,

sést að aðferðirnar tvær gáfu jafngildar lausnir.

Dæmi 3.26

Bogalengd fundin

Finnið lengd ferilsins $y = x^{2}$ á bilinu $[0, \frac{1}{2}] .$

Lausn

Þar sem $\frac{d y}{d x} = 2 x,$ fæst bogalengdin með

\int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} d x = \int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

\begin{matrix} \int_{0}^{1 / 2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x & = \int_{0}^{π / 4} \sqrt{1 + {tan}^{2} θ} \frac{1}{2} {sec}^{2} θ d θ & \begin{matrix} Eftir innsetningu \\ \sqrt{1 + 4 x^{2}} = tan θ . Setjum inn \\ 1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ og einföldum. \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 4} {sec}^{3} θ d θ & \begin{matrix} Við leiddum þetta heildi út í \\ fyrri hlutanum. \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sec θ tan θ + \frac{1}{2} ln | sec θ + tan θ |) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} π / 4 \end{matrix}} & Reiknum og einföldum. \\ = \frac{1}{4} (\sqrt{2} + ln (\sqrt{2} + 1)) . \end{matrix}

Heildun segða sem innihalda x 2 − a 2

Dæmi 3.27

Flatarmál svæðis fundið

Finnið flatarmál svæðisins milli grafs $f (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$ og x-ássins á bilinu $[3, 5] .$

Lausn

Teiknum fyrst grófa mynd af svæðinu sem lýst er í verkefninu, eins og sýnt er á næstu mynd.

\begin{matrix} Flatarmál & = \int_{3}^{5} \sqrt{x^{2} - 9} d x \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 {tan}^{2} θ sec θ d θ & Notum {tan}^{2} θ = 1 - {sec}^{2} θ . \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 ({sec}^{2} θ - 1) sec θ d θ & Margföldum upp úr svigum. \\ = \int_{0}^{{sec}^{−1} (5 / 3)} 9 ({sec}^{3} θ - sec θ) d θ & Reiknum heildið. \\ = (\frac{9}{2} ln | sec θ + tan θ | + \frac{9}{2} sec θ tan θ) - 9 ln | sec θ + tan θ | |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} {sec}^{−1} (5 / 3) \end{matrix}} & Einföldum. \\ = \frac{9}{2} sec θ tan θ - \frac{9}{2} ln | sec θ + tan θ | |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} {sec}^{−1} (5 / 3) \end{matrix}} & \begin{matrix} Reiknum. Notum sec ({sec}^{−1} \frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \\ og tan ({sec}^{−1} \frac{5}{3}) = \frac{4}{3} . \end{matrix} \\ = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{3} - \frac{9}{2} ln | \frac{5}{3} + \frac{4}{3} | - (\frac{9}{2} \cdot 1 \cdot 0 - \frac{9}{2} ln | 1 + 0 |) \\ = 10 - \frac{9}{2} ln 3 . \end{matrix}

Æfingar úr hluta 3.3

Einfaldið eftirfarandi segðir með því að skrifa hverja þeirra með einu hornafalli.

126.

$4 - 4 {sin}^{2} θ$

127.

$9 {sec}^{2} θ - 9$

128.

$a^{2} + a^{2} {tan}^{2} θ$

129.

$a^{2} + a^{2} {sinh}^{2} θ$

130.

$16 {cosh}^{2} θ - 16$

Fyllið í ferninginn til að skrifa hverja þríliðusegð sem ferning tvíliðu eða sem ferning tvíliðu að viðbættum fasta.

131.

$4 x^{2} - 4 x + 1$

132.

$2 x^{2} - 8 x + 3$

133.

$− x^{2} - 2 x + 4$

Heildið með innsetningu með hornaföllum. Tjáið lokasvarið með upphaflegu breytunni.

134.

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

135.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

136.

$\int \sqrt{4 - x^{2}} d x$

137.

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 + 9 x^{2}}}$

138.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

139.

$\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$

140.

$\int \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

141.

$\int \sqrt{x^{2} + 9} d x$

142.

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

143.

$\int \frac{θ^{3} d θ}{\sqrt{9 - θ^{2}}}$

144.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{6} - x^{2}}}$

145.

$\int \sqrt{x^{6} - x^{8}} d x$

146.

$\int \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{3 / 2}}$

147.

$\int \frac{d x}{{(x^{2} - 9)}^{3 / 2}}$

148.

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}} d x}{x}$

149.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

150.

$\int \frac{x^{2} d x}{x^{2} + 4}$

151.

$\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

152.

$\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

153.

$\int {(1 - x^{2})}^{3 / 2} d x$

Í eftirfarandi dæmum skal nota innsetningarnar $x = sinh θ, cosh θ,$ eða $tanh θ .$ Tjáið lokasvörin með breytunni x.

154.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

155.

$\int \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

156.

$\int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

157.

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x^{2}} d x$

158.

$\int \frac{d x}{1 - x^{2}}$

159.

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x^{2}} d x$

Fyllið í ferninginn til að reikna eftirfarandi heildi.

160.

$\int \frac{1}{x^{2} - 6 x} d x$

161.

$\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

162.

$\int \frac{1}{\sqrt{− x^{2} + 2 x + 8}} d x$

163.

$\int \frac{1}{\sqrt{− x^{2} + 10 x}} d x$

164.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4 x - 12}} d x$

165.

Reiknið heildið án þess að nota stærðfræðigreiningu: $\int_{−3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x .$

166.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af sporbaugnum $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

167.

168.

169.

Reiknið heildið $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ með forminu $\int \frac{1}{u} d u .$ Reiknið síðan sama heildi með $x = tan θ .$ Eru niðurstöðurnar þær sömu?

170.

Ákvarðið hvaða heildunaraðferð nota skal til að reikna heildið $\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x .$ Hvers vegna varð sú aðferð fyrir valinu?

171.

Ákvarðið hvaða heildunaraðferð nota skal til að reikna heildið $\int x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} d x .$ Hvers vegna varð sú aðferð fyrir valinu?

172.

Reiknið $\int_{−1}^{1} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

173.

Finnið bogalengd ferilsins á tilgreinda bilinu: $y = ln x, [1, 5] .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

174.

175.

Svæðinu sem afmarkast af grafi $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ og x-ásnum milli $x = 0$ auk $x = 1$ er snúið um x-ásinn. Finnið rúmmál snúðsins sem myndast.

Leysið upphafsgildisverkefnið og finnið y sem fall af x.

176.

$(x^{2} + 36) \frac{d y}{d x} = 1, y (6) = 0$

177.

$(64 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1, y (0) = 3$

178.

Finnið flatarmálið sem afmarkast af $y = \frac{2}{\sqrt{64 - 4 x^{2}}}, x = 0, y = 0, auk x = 2 .$

179.

180.

181.

Finnið lengd ferilsins $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ milli $x = 0$ og $x = 2 .$