33 Heildunaraðferðir

3.1 Hlutheildun

Námsmarkmið

3.1.1 Greina hvenær beita á hlutheildun.
3.1.2 Nota hlutheildunarformúluna til að leysa heildunarverkefni.
3.1.3 Nota hlutheildunarformúluna fyrir ákveðin heildi.

Nú höfum við nokkuð ítarlega aðferð til að reikna mörg einföld heildi. Þótt við getum reiknað $\int x sin (x^{2}) d x$ með innsetningunni $u = x^{2},$ ræður hún ekki við heildi sem virðist jafn einfalt og $\int x sin x d x$ . Margir nemendur spyrja hvort til sé margfeldisregla fyrir heildun. Svo er ekki, en til er aðferð sem byggist á margfeldisreglu deildunar og gerir okkur kleift að skipta einu heildi út fyrir annað. Aðferðin nefnist hlutheildun.

Hlutheildunarformúlan

Ef $h (x) = f (x) g (x),$ fæst samkvæmt margfeldisreglunni $h^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + g^{'} (x) f (x) .$ Þótt það virðist í fyrstu vinna gegn markmiðinu skulum við nú heilda báðar hliðar jöfnunnar: $\int h^{'} (x) d x = \int (g (x) f^{'} (x) + f (x) g^{'} (x)) d x .$

Þá fæst

h (x) = f (x) g (x) = \int g (x) f^{'} (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x .

Nú einangrum við $\int f (x) g^{'} (x) d x :$

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int g (x) f^{'} (x) d x .

Með innsetningunum $u = f (x)$ og $v = g (x),$ sem gefa $d u = f^{'} (x) d x$ og $d v = g^{'} (x) d x,$ fæst þéttara formið

\int u d v = u v - \int v d u .

Kosturinn við hlutheildunarformúluna er að með henni má skipta einu heildi út fyrir annað sem kann að vera auðveldara að reikna. Næsta dæmi sýnir hvernig formúlan er notuð.

Dæmi 3.1

Hlutheildun beitt

Beitið hlutheildun með $u = x$ og $d v = sin x d x$ til að reikna $\int x sin x d x .$

Lausn

Þegar $u = x,$ fæst $d u = 1 d x .$ Þar sem $d v = sin x d x,$ fæst $v = \int sin x d x = − cos x .$ Hentugt er að halda utan um þessi gildi á eftirfarandi hátt:

\begin{matrix} u & = & x & d v & = & sin x d x \\ d u & = & 1 d x & v & = & \int sin x d x = − cos x . \end{matrix}

Með hlutheildunarformúlunni fæst

\begin{matrix} \int x sin x d x & = (x) (− cos x) - \int (− cos x) (1 d x) & Substitute . \\ = − x cos x + \int cos x d x & Simplify . \\ = − x cos x + sin x + C . & Use \int cos x d x = sin x + C . \end{matrix}

Greining

Hér þarf að skýra nokkur atriði. Fyrst má velta fyrir sér hvað hefði gerst ef við hefðum valið $u = sin x$ og $d v = x .$ Þá hefðum við fengið $d u = cos x dx$ og $v = \frac{1}{2} x^{2} .$ Eftir hlutheildun fengist því $\int^{} x sin x d x = \frac{1}{2} x^{2} sin x - \int^{} \frac{1}{2} x^{2} cos x d x .$ Nýja heildið er því miður ekki auðveldara en það fyrra. Þegar hlutheildun er beitt getur þurft að prófa nokkur mismunandi val á $u$ og $d v$ áður en hentugt val finnst.

Næst má spyrja: Þegar við finnum $v = \int^{} sin x d x = − cos x,$ hvers vegna notum við þá ekki $v = − cos x + K .$ Til að sjá að það breytir engu getum við leyst verkefnið aftur með $v = − cos x + K :$

\begin{matrix} \int^{} x sin x d x & = (x) (− cos x + K) - \int^{} (− cos x + K) (1 d x) \\ = − x cos x + K x + \int^{} cos x d x - \int^{} K d x \\ = − x cos x + K x + sin x - K x + C \\ = − x cos x + sin x + C . \end{matrix}

Eins og sjá má breytir það ekki lokaniðurstöðunni.

Að lokum getum við staðfest stofnfallið með því að deilda $− x cos x + sin x + C :$

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (− x cos x + sin x + C) & = (−1) cos x + (− x) (− sin x) + cos x \\ = x sin x . \end{matrix}

Stofnfallið stenst því prófunina.

Nú vaknar eðlilega spurningin: Hvernig vitum við hvernig velja á $u$ og $d v ?$ Stundum þarf að prófa sig áfram, en skammstöfunin LIATE getur oft dregið úr ágiskunum. Stafirnir standa fyrir L – lograföll, I – andhverf hornaföll, A – algebruföll, T – hornaföll og E – vísisföll. Minnisreglan auðveldar val á heppilegu $u .$

Sú fallagerð í heildinu sem kemur fyrst í listanum ætti að vera fyrsta val okkar á $u .$ Ef heildi inniheldur til dæmis lografall og algebrufall veljum við lografallið sem $u$ því L kemur á undan A í LIATE. Heildið í dæmi 3.1 inniheldur hornafallið $(sin x)$ og algebrufallið $(x) .$ Þar sem A kemur á undan T í LIATE völdum við algebrufallið sem $u$ . Þegar velja þarf $u,$ er $d v$ sá hluti heildisstofnsins sem eftir stendur ásamt $d x .$

Hvers vegna virkar þessi minnisregla? Munum að það sem við veljum sem $d v$ verður að vera hægt að heilda. Þar sem við höfum engar heildunarreglur fyrir einföld lograföll og andhverf hornaföll er eðlilegt að velja þau ekki sem $d v .$ Þau koma því fremst á listanum sem valkostir fyrir $u .$ Af þeirri ástæðu byrjar minnisreglan á LI. Hún gæti allt eins byrjað á IL, því þessar tvær fallagerðir koma ekki saman í hlutheildunarverkefni. Vísisföll og hornaföll eru aftast á listanum þar sem tiltölulega auðvelt er að heilda þau og þau henta því vel sem $d v .$ Þess vegna endar minnisreglan á TE. Hún gæti allt eins endað á ET, því þegar þessar fallagerðir koma saman skiptir yfirleitt litlu hvort þeirra er $u$ og hvort er $d v .)$ Algebruföll eru almennt auðveld bæði í heildun og deildun og eru því í miðri minnisreglunni.

Dæmi 3.2

Hlutheildun beitt

Reiknið $\int \frac{ln x}{x^{3}} d x .$

Lausn

Byrjum á að umrita heildið:

\int \frac{ln x}{x^{3}} d x = \int^{​} x^{−3} ln x d x .

Heildið inniheldur algebrufallið $x^{−3}$ og lografallið $ln x,$ svo við veljum $u = ln x,$ þar sem L kemur á undan A í LIATE. Þegar $u = ln x,$ veljum við síðan $d v = x^{−3} d x .$

Þar sem $u = ln x,$ fæst $d u = \frac{1}{x} d x .$ Einnig er $v = \int^{} x^{−3} d x = - \frac{1}{2} x^{−2} .$ Tökum þetta saman:

\begin{matrix} u & = & ln x & d v & = & x^{−3} d x \\ d u & = & \frac{1}{x} d x & v & = & \int^{​} x^{−3} d x = - \frac{1}{2} x^{−2} . \end{matrix}

Með innsetningu í hlutheildunarformúluna (jöfnu 3.1) fæst

\begin{matrix} \int \frac{ln x}{x^{3}} d x & = \int^{​} x^{−3} ln x d x = (ln x) (− \frac{1}{2} x^{−2}) - \int^{​} (− \frac{1}{2} x^{−2}) (\frac{1}{x} d x) \\ = - \frac{1}{2} x^{−2} ln x + \int^{​} \frac{1}{2} x^{−3} d x & Simplify . \\ = - \frac{1}{2} x^{−2} ln x - \frac{1}{4} x^{−2} + C & Integrate . \\ = - \frac{1}{2 x^{2}} ln x - \frac{1}{4 x^{2}} + C . & Rewrite with positive integers. \end{matrix}

Í sumum tilvikum, eins og í næstu tveimur dæmum, þarf að beita hlutheildun oftar en einu sinni.

Dæmi 3.3

Hlutheildun beitt oftar en einu sinni

Reiknið $\int^{} x^{2} e^{3 x} d x .$

Lausn

Samkvæmt LIATE veljum við $u = x^{2}$ og $d v = e^{3 x} d x .$ Þá fást $d u = 2 x d x$ og $v = \int e^{3 x} d x = (\frac{1}{3}) e^{3 x} .$ Því fæst

\begin{matrix} u & = & x^{2} & d v & = & e^{3 x} d x \\ d u & = & 2 x d x & v & = & \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} . \end{matrix}

Með innsetningu í jöfnu 3.1 fæst

\int x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \int \frac{2}{3} x e^{3 x} d x .

Við getum enn ekki heildað $\int \frac{2}{3} x e^{3 x} d x$ beint, en veldið á $x .$ Nú er það lægra. Nýja heildið má reikna með annarri hlutheildun. Veljum $u = x$ og $d v = \frac{2}{3} e^{3 x} d x .$ Þá er $d u = d x$ og $v = \int (\frac{2}{3}) e^{3 x} d x = (\frac{2}{9}) e^{3 x} .$ Nú fæst

\begin{matrix} u & = & x & d v & = & \frac{2}{3} e^{3 x} d x \\ d u & = & d x & v & = & \int \frac{2}{3} e^{3 x} d x = \frac{2}{9} e^{3 x} . \end{matrix}

Þegar þessu er stungið aftur inn í fyrri jöfnuna fæst

\int^{​} x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - (\frac{2}{9} x e^{3 x} - \int^{​} \frac{2}{9} e^{3 x} d x) .

Eftir að síðasta heildið hefur verið reiknað og segðin einfölduð fæst

\int x^{2} e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x} + C .

Dæmi 3.4

Hlutheildun þegar LIATE dugar ekki

Reiknið $\int^{} t^{3} e^{t^{2}} d t .$

Lausn

Ef við fylgjum LIATE nákvæmlega við val á $u,$ fáum við $u = t^{3}$ og $d v = e^{t^{2}} d t .$ Þetta val gengur því miður ekki þar sem við getum ekki reiknað $\int^{} e^{t^{2}} d t .$ Við getum hins vegar reiknað $\int^{} t e^{t^{2}} d t,$ og prófum því að velja $u = t^{2}$ og $d v = t e^{t^{2}} d t .$ Með þessu vali fæst

\begin{matrix} u & = & t^{2} & d v & = & t e^{t^{2}} d t \\ d u & = & 2 t d t & v & = & \int^{​} t e^{t^{2}} d t = \frac{1}{2} e^{t^{2}} . \end{matrix}

Því fæst

\begin{matrix} \int^{} t^{3} e^{t^{2}} d t & = \frac{1}{2} t^{2} e^{t^{2}} - \int \frac{1}{2} e^{t^{2}} 2 t d t \\ = \frac{1}{2} t^{2} e^{t^{2}} - \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C . \end{matrix}

Dæmi 3.5

Hlutheildun beitt oftar en einu sinni

Reiknið $\int^{} sin (ln x) d x .$

Lausn

Heildið virðist aðeins innihalda eitt fall, $sin (ln x)$ , en alltaf má nota fastafallið 1 sem hitt fallið. Í þessu dæmi veljum við $u = sin (ln x)$ og $d v = 1 d x .$ Auðvelt er að ákveða að nota $u = sin (ln x)$ . Við getum ekki valið $d v = sin (ln x) d x$ því ef við gætum heildað það þyrftum við ekki hlutheildun. Þá fást $d u = (1 / x) cos (ln x) d x$ og $v = \int^{} 1 d x = x .$ Eftir hlutheildun og einföldun fæst

\int^{​} sin (ln x) d x = x sin (ln x) - \int^{​} cos (ln x) d x .

Þetta skilur því miður eftir nýtt heildi sem líkist því upprunalega. Skoðum samt hvað gerist ef hlutheildun er beitt aftur. Í þetta sinn veljum við $u = cos (ln x)$ og $d v = 1 d x,$ og þá fást $d u = − (1 / x) sin (ln x) d x$ og $v = \int^{} 1 d x = x .$ Með innsetningu fæst

\int^{​} sin (ln x) d x = x sin (ln x) - (x cos (ln x) — \int^{​} - sin (ln x) d x) .

Eftir einföldun fæst

\int^{​} sin (ln x) d x = x sin (ln x) - x cos (ln x) - \int^{​} sin (ln x) d x .

Síðasta heildið er nú það sama og upprunalega heildið. Við virðumst hafa farið í hring, en nú getum við í raun reiknað heildið. Til að sjá þetta skýrar setjum við $I = \int^{} sin (ln x) d x .$ Þá verður jafnan

I = x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x) - I I = x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x) - I

Leggjum fyrst $I$ við báðar hliðar jöfnunnar og fáum

2 I = x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x) 2 I = x \sin (\ln x) - x \cos (\ln x)

Deilum næst með 2:

I = \frac{1}{2} x sin (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) .

Þegar $I = \int^{} sin (ln x) d x$ er sett aftur inn fæst

\int^{​} sin (ln x) d x = \frac{1}{2} x sin (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) .

Af þessu sést að $(1 / 2) x sin (ln x) - (1 / 2) x cos (ln x)$ er stofnfall fyrir $sin (ln x) d x .$ Til að fá almenna stofnfallið bætum við við $+ C :$

\int^{​} sin (ln x) d x = \frac{1}{2} x sin (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x) + C .

Greining

Ef aðferðin virðist óvenjuleg í fyrstu getum við staðfest svarið með deildun:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x sin (ln x) - \frac{1}{2} x cos (ln x)) \\ = \frac{1}{2} (sin (ln x)) + cos (ln x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x - (\frac{1}{2} cos (ln x) - sin (ln x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x) \\ = sin (ln x) . \end{matrix}

Hlutheildun ákveðinna heilda

Nú þegar við höfum notað hlutheildun til að reikna óákveðin heildi snúum við okkur að ákveðnum heildum. Aðferðin er í raun sú sama; aðeins bætist við skref þar sem stofnfallið er metið við efri og neðri heildunarmörkin.

Dæmi 3.6

Flatarmál svæðis fundið

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast að ofan af grafi $y = {tan}^{−1} x$ og að neðan af $x$ -ásnum á bilinu $[0, 1] .$

Lausn

Svæðið er sýnt á mynd 3.2. Til að finna flatarmálið þurfum við að reikna $\int_{0}^{1} {tan}^{−1} x d x .$

Myndin sýnir graf andhverfa tangensfallsins. Fallið er vaxandi og fer í gegnum upphafspunktinn. Í fyrsta fjórðungi er skyggt svæði undir grafinu og ofan x-ássins. Hægri mörk skyggða svæðisins eru við x = 1 — **Mynd 3.2.** Til að finna flatarmál skyggða svæðisins þurfum við að beita hlutheildun.

Fyrir þetta heildi veljum við $u = {tan}^{−1} x$ og $d v = d x,$ þannig að þá fást $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ og $v = x .$ Með hlutheildunarformúlunni (jöfnu 3.2) fæst

Area = x {tan}^{−1} {x |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x .

Beitið u-innsetningu; þá fæst

\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 1 |_{0}^{1} .

Því fæst

Area = x \tan^{- 1} x |_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 1 | |_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \ln 2.

Nú er rétt að kanna hvort svarið sé raunhæft. Reiknaða flatarmálið er $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} ln 2 \approx 0.4388,$ og af mynd 3.2 sést að flatarmálið ætti að vera örlítið minna en 0.5. Niðurstaðan virðist því raunhæf.

Dæmi 3.7

Rúmmál snúðs fundið

Finnið rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af grafi $f (x) = e^{− x},$ x-ásnum, y-ásnum og línunni $x = 1$ er snúið um y-ásinn.

Lausn

Hentugast er að leysa verkefnið með hylkjaaðferðinni. Byrjið á að teikna svæðið sem á að snúa ásamt dæmigerðum rétthyrningi (sjá grafið hér á eftir).

Myndin sýnir graf fallsins e^-x. Fallið er vaxandi vinstra megin við y-ásinn og minnkandi hægra megin við y-ásinn. Ferillinn sker einnig y-ásinn í punktinum y=1. Undir ferlinum er skyggður rétthyrningur í fyrsta fjórðungi. Þar er einnig sívalningur undir grafinu sem myndast þegar rétthyrningnum er snúið um y-ásinn. — **Mynd 3.3.** Nota má hylkjaaðferðina til að finna rúmmál snúðs.

Til að finna rúmmálið með hylkjaaðferðinni þurfum við að reikna $2 π \int_{0}^{1} x e^{− x} d x .$ Látum $u = x$ og $d v = e^{− x} .$ Þessi val gefa $d u = d x$ og $v = \int^{} e^{− x} = − e^{− x} .$ Með innsetningu í jöfnu 3.2 fæst

\begin{matrix} Rúmmál & = 2 π \int_{0}^{1} x e^{− x} d x = 2 π (− x e^{− x} |_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{− x} d x) & Beitið hlutheildun . \\ = −2 π x e^{− x} |_{0}^{1} - 2 π e^{− x} |_{0}^{1} & Reiknið \int_{0}^{1} e^{− x} d x = − e^{− x} |_{0}^{1} . \\ = 2 π - \frac{4 π}{e} . & Reiknið og einfaldið . \end{matrix}

Greining

Aftur er skynsamlegt að kanna hvort svarið sé raunhæft. Rúmmál hlutarins er örlítið minna en samanlagt rúmmál sívalnings með geisla $1$ og hæð $1 / e$ og keilu með grunngeisla $1$ og hæð $1 - \frac{1}{e} .$ Rúmmál hlutarins ætti því að vera aðeins minna en

π {(1)}^{2} \frac{1}{e} + (\frac{π}{3}) {(1)}^{2} (1 - \frac{1}{e}) = \frac{2 π}{3 e} + \frac{π}{3} \approx 1.8177 .

Þar sem $2 π - \frac{4 π}{e} \approx 1.6603,$ sést að reiknaða rúmmálið er raunhæft.

Æfingar í hluta 3.1

Þegar hlutheildun er beitt þarf að velja vandlega hvaða segð verður u. Í hverju eftirfarandi verkefni skal nota leiðbeiningarnar í þessum hluta til að velja u. Reiknið ekki heildin.

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

$\int x^{3} ln (x) d x$

$\int y^{3} cos y d y$

$\int x^{2} arctan x d x$

$\int e^{3 x} sin (2 x) d x$

Finnið heildið með einföldustu aðferðinni. Ekki þarf að beita hlutheildun í öllum verkefnunum.

$\int v sin v d v$

$\int ln x d x$ (Ábending: $\int ln x d x$ jafngildir $\int 1 \cdot ln (x) d x .)$

$\int x cos x d x$

$\int {tan}^{−1} x d x$

10.

$\int x^{2} e^{x} d x$

11.

$\int x sin (2 x) d x$

12.

$\int x e^{4 x} d x$

13.

$\int x e^{− x} d x$

14.

$\int x cos 3 x d x$

15.

$\int x^{2} cos x d x$

16.

$\int x ln x d x$

17.

$\int ln (2 x + 1) d x$

18.

$\int x^{2} e^{4 x} d x$

19.

$\int e^{x} sin x d x$

20.

$\int e^{x} cos x d x$

21.

$\int x e^{− x^{2}} d x$

22.

$\int x^{2} e^{− x} d x$

23.

$\int sin (ln (2 x)) d x$

24.

$\int c o s (ln x) d x$

25.

$\int {(ln x)}^{2} d x$

26.

$\int ln (x^{2}) d x$

27.

$\int x^{2} ln x d x$

28.

$\int {sin}^{−1} x d x$

29.

$\int {cos}^{−1} (2 x) d x$

30.

$\int x arctan x d x$

31.

$\int x^{2} sin x d x$

32.

$\int x^{3} cos x d x$

33.

$\int x^{3} sin x d x$

34.

$\int x^{3} e^{x} d x$

35.

$\int x {sec}^{−1} x d x$

36.

$\int x {sec}^{2} x d x$

37.

$\int x cosh x d x$

Reiknið ákveðnu heildin. Staðfestið svörin með grafteikniforriti.

38.

$\int_{1 / e}^{1} ln x d x$

39.

$\int_{0}^{1} x e^{−2 x} d x$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

40.

$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} d x (let u = \sqrt{x})$

41.

$\int_{1}^{e} ln (x^{2}) d x$

42.

$\int_{0}^{π} x cos x d x$

43.

$\int_{− π}^{π} x sin x d x$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

44.

$\int_{0}^{3} ln (x^{2} + 1) d x$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

45.

$\int_{0}^{π / 2} x^{2} sin x d x$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

46.

$\int_{0}^{1} x 5^{x} d x$ (Gefið svarið með fimm markverðum tölustöfum.)

47.

Reiknið $\int cos x ln (sin x) d x$

Leiðið eftirfarandi formúlur út með hlutheildun. Gerið ráð fyrir að n sé jákvæð heiltala. Formúlurnar nefnast lækkunarformúlur þar sem veldisvísir x-liðarins lækkar um einn í hverju tilviki. Síðara heildið er einfaldara en upprunalega heildið.

48.

$\int x^{n} e^{x} d x = x^{n} e^{x} - n \int x^{n - 1} e^{x} d x$

49.

$\int x^{n} cos x d x = x^{n} sin x - n \int x^{n - 1} sin x d x$

50.

$\int x^{n} sin x d x = \underset{______}{}$

51.

Reiknið heildið $\int 2 x \sqrt{2 x - 3} d x$ með tveimur aðferðum:

Með hlutheildun, þar sem $d v = \sqrt{2 x - 3} d x$
Með innsetningu, þar sem $u = 2 x - 3$

Ákvarðið hvort beita ætti hlutheildun til að reikna heildið. Ef svo er skal tilgreina u og dv. Ef ekki skal lýsa aðferðinni sem nota mætti, án þess að leysa verkefnið.

52.

$\int x ln x d x$

53.

$\int \frac{{ln}^{2} x}{x} d x$

54.

$\int x e^{x} d x$

55.

$\int x e^{x^{2} - 3} d x$

56.

$\int x^{2} sin x d x$

57.

$\int x^{2} sin (3 x^{3} + 2) d x$

Teiknið svæðið sem afmarkast að ofan af ferlinum og að öðru leyti af x-ásnum og $x = 1,$ og finnið flatarmál þess. Gefið nákvæmt svar eða námundið með tilgreindum fjölda aukastafa.

58.

$y = 2 x e^{− x}$ (Námundið svarið að fjórum aukastöfum.)

59.

$y = e^{− x} sin (π x)$ (Námundið svarið að fimm aukastöfum.)

Finnið rúmmálið sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af gefnu ferlunum er snúið um tilgreinda línu. Gefið svörin á nákvæmu formi eða námundið með tilgreindum fjölda aukastafa.

60.

$y = sin x, y = 0, x = 2 π, x = 3 π$ um y-ásinn (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

61.

$y = e^{− x}$ $y = 0, x = −1 x = 0;$ um $x = 1$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

62.

Ögn sem hreyfist eftir beinni línu hefur hraðann $v (t) = t^{2} e^{− t}$ eftir t sekúndur. Hve langt fer hún á fyrstu 2 sekúndunum? (Gerið ráð fyrir að einingarnar séu fet og gefið svarið á nákvæmu formi.)

63.

Finnið flatarmálið undir grafi $y = {sec}^{3} x$ frá $x = 0 til x = 1 .$ (Námundið svarið að tveimur markverðum tölustöfum.)

64.

Finnið flatarmálið milli $y = (x - 2) e^{x}$ og x-ássins frá $x = 2$ til $x = 5 .$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

65.

Finnið flatarmál svæðisins sem ferillinn $y = x cos x$ og x-ásinn afmarka fyrir

$\frac{11 π}{2} \leq x \leq \frac{13 π}{2} .$ (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

66.

Finnið rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af ferlinum $y = ln x,$ x-ásnum og lóðréttu línunni $x = e^{2}$ er snúið um x-ásinn. (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

67.

Finnið rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af ferlinum $y = 4 cos x$ og x-ásnum, $\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2},$ er snúið um x-ásinn. (Gefið svarið á nákvæmu formi.)

68.

Finnið rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu í fyrsta fjórðungi sem afmarkast af $y = e^{x}$ og x-ásnum, frá $x = 0$ til $x = ln (7),$ er snúið um y-ásinn. (Gefið svarið á nákvæmu formi.)