88 Frekari notkun hornafræði

8.6 Stikajöfnur

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Stika feril.
Eyða stikanum.
Finna rétthyrnda jöfnu ferils sem er skilgreindur með stikajöfnum.
Finna stikajöfnur ferla sem eru skilgreindir með rétthyrndum jöfnum.

Skoðum braut tungls á sporbraut um reikistjörnu sem snýst um leið um sólina, eins og sést á mynd 1 . Á hverju augnabliki er tunglið á ákveðnum stað miðað við reikistjörnuna. En hvernig ritum við og leysum jöfnu fyrir staðsetningu tunglsins þegar fjarlægðin frá reikistjörnunni, hraði tunglsins á sporbrautinni um reikistjörnuna og snúningshraðinn um sólina eru allt óþekktar stærðir? Við getum aðeins leyst fyrir eina breytu í einu.

Teikning af hringlaga sporbraut reikistjörnu um sólina.

Í þessum hluta skoðum við jöfnupör af gerðinni $x (t)$ og $y (t)$ þar sem $t$ er óháða tímabreytan. Við getum notað þessar stikajöfnur í ýmsum verkefnum þegar við leitum ekki aðeins að ákveðinni staðsetningu heldur einnig hreyfistefnunni. Þegar við rekjum hvert gildi 𝑡 $t,$ á fætur öðru kemur stefna ferilsins skýrt í ljós. Þetta er einn helsti kostur stikajafna: við getum rakið hreyfingu hlutar eftir braut með tíma. Fyrst skoðum við grunneiningar stikajafna og hvað felst í því að stika feril. Síðan lærum við að eyða stikanum, umrita jöfnur ferils sem er skilgreindur með stikajöfnum sem rétthyrndar jöfnur og finna stikajöfnur ferla sem eru skilgreindir með rétthyrndum jöfnum.

Að stika feril

Þegar hlutur hreyfist eftir ferli — eða boginni braut — í tiltekna stefnu á tilteknum tíma er staðsetning hans í planinu gefin með x-hniti og y-hniti. Bæði 𝑥 x og 𝑦 y breytast þó með tíma og eru því föll af tíma. Af þeim sökum bætum við við annarri breytu, stikanum, sem bæði 𝑥 x og 𝑦 $x$ y $y$ eru háð föll af. Í dæminu í inngangi hlutans er stikinn tíminn, 𝑡 . t . x-staða x tunglsins á tímanum 𝑡 t , er táknuð með fallinu 𝑥 ⁡ ( 𝑡 $x$ ) $y$ , x ⁡ ( t ) , og y-staða y tunglsins á tímanum 𝑡 t , með fallinu 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) $t .$ . $x$ y ⁡ ( t ) . Saman nefnast $t,$ 𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) x ⁡ ( $x (t),$ t ) $y$ og 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) y ⁡ $t,$ ( t ) stikajöfnur og þær gefa raðaða $y (t) .$ tvennd ( 𝑥 $x (t)$ $y (t)$ ⁡ ( 𝑡 ) , 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) ) . ( x ⁡ ( t $(x (t), y (t)) .$ ) , y ⁡ ( t ) ) . Stikajöfnur lýsa fyrst og fremst hreyfingu og stefnu.

Þegar við stikum feril umritum við eina jöfnu með tveimur breytum, svo sem $x$ og $y,$ í jafngilt jöfnupár með þremur breytum, 𝑥 , 𝑦 $x, y,$ og $t .$ Ein ástæða þess að ferill er stikaður er að stikajöfnurnar veita meiri upplýsingar, einkum um hreyfistefnu hlutarins með tíma.

Þegar við teiknum gröf stikajafna getum við skoðað hegðun $x$ og 𝑦 $y .$ hvors um sig. Ýmis form er ekki hægt að setja fram sem $y = f (x),$ sem þýðir að þau eru ekki föll. Skoðum til dæmis graf hrings sem gefinn er með $r^{2} = x^{2} + y^{2} .$ Þegar leyst er fyrir $y$ fæst $y = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}},$ eða jöfnurnar tvær $y_{1} = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ og $y_{2} = - \sqrt{r^{2} - x^{2}} .$ Ef við teiknum gröf $y_{1}$ og $y_{2}$ saman stenst grafið ekki lóðrétta línuprófið, eins og sést á mynd 2 . Jafna hrings lýsir því ekki falli.

Graf hrings í rétthyrndu hnitakerfi. Lóðrétta línuprófið sýnir að hringurinn r^2 = x^2 + y^2 er ekki fall. Rauða punktalínan sker grafið á tveimur stöðum en mætti aðeins skera það á einum stað ef það ætti að vera graf falls.

Ef við teiknuðum hins vegar graf hvorrar jöfnu fyrir sig myndi hvort graf standast lóðrétta línuprófið og því lýsa falli. Að sumu leyti svipar því að skipta jöfnu hrings í tvö föll til þess að mynda stikajöfnur, þar sem tvö föll eru notuð til að lýsa ferli sem er ekki graf falls. Þetta skýrist betur hér á eftir.

Dæmi 1

Að stika feril

Stikið ferilinn $y = x^{2} - 1$ með því að láta $x (t) = t .$ Teiknið gröf beggja framsetninga.

Lausn

Ef $x (t) = t,$ þá finnum við $y (t)$ með því að skipta breytunni $x$ út fyrir stæðuna sem 𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) $x (t) .$ gefur. Með öðrum orðum er $y (t) = t^{2} - 1.$ Gerið gildistöflu á borð við töflu 1 og skissið grafið.

𝑡 t	𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) x ⁡ ( t )	𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) y ⁡ ( t )
− 4	− 4	𝑦 ⁡ ( − 4 ) = ( − 4 ) 2 − 1 = 1 5 y ⁡ ( − 4 ) = ( − 4 ) 2 − 1 = 15
− 3	− 3	𝑦 ⁡ ( − 3 ) = ( − 3 ) 2 − 1 = 8 y ⁡ ( − 3 ) = ( − 3 ) 2 − 1 = 8
− 2	− 2	𝑦 ⁡ ( − 2 ) = ( − 2 ) 2 − 1 = 3 y ⁡ ( − 2 ) = ( − 2 ) 2 − 1 = 3
− 1	− 1	𝑦 ⁡ ( − 1 ) = ( − 1 ) 2 − 1 = 0 y ⁡ ( − 1 ) = ( − 1 ) 2 − 1 = 0
0 0	0 0	𝑦 ⁡ ( 0 ) = ( 0 ) 2 − 1 = − 1 y ⁡ ( 0 ) = ( 0 ) 2 − 1 = − 1
1 1	1 1	𝑦 ⁡ ( 1 ) = ( 1 ) 2 − 1 = 0 y ⁡ ( 1 ) = ( 1 ) 2 − 1 = 0
2 2	2 2	𝑦 ⁡ ( 2 ) = ( 2 ) 2 − 1 = 3 y ⁡ ( 2 ) = ( 2 ) 2 − 1 = 3
3 3	3 3	𝑦 ⁡ ( 3 ) = ( 3 ) 2 − 1 = 8 y ⁡ ( 3 ) = ( 3 ) 2 − 1 = 8
4 4	4 4	𝑦 ⁡ ( 4 ) = ( 4 ) 2 − 1 = 1 5 y ⁡ ( 4 ) = ( 4 ) 2 − 1 = 15

Sjá gröfin á mynd 3 . Gagnlegt getur verið að nota TRACE-aðgerð grafreiknis til að sjá hvernig punktarnir myndast þegar $t$ vex.

Graf fleygboga á tvenns konar formi: með stikajöfnum og rétthyrndum hnitum. Um sama feril er að ræða, aðeins ritaðan á ólíkan hátt. — **Mynd 3.** (a) Stikajafna y ⁡ ( t ) = t² − 1 (b) Rétthyrnd jafna y = x² − 1

Greining

Örvarnar sýna í hvaða stefnu ferillinn er rakinn. Takið eftir að ferillinn er eins og ferillinn $y = x^{2} - 1.$

Dæmi 2

Að finna stikajöfnupár

Finnið stikajöfnupár sem lýsir grafi $y = 1 - x^{2},$ með stikanum $x (t) = t .$ Teiknið nokkra punkta og skissið grafið.

Lausn

Ef $x (t) = t$ og við setjum $t$ inn fyrir $x$ í jöfnunni f $y$ rir 𝑦 , y þá er $y (t) = 1 - t^{2} .$ Stikajöfnupárið er

\begin{array}{l} x (t) = t \\ y (t) = 1 - t^{2} \end{array}

Til að teikna gröfin gerum við fyrst gildistöflu eins og töflu 2 . Við getum valið gildi í kringum $t = 0,$ frá $t = - 3$ til $t = 3.$ Gildin í dálkinum $x (t)$ verða þau sömu og í dálkinum $t$ því $x (t) = t .$ Reiknið gildin í dálkinum $y (t) .$

𝑡 t	𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) = 𝑡 x ⁡ ( t ) = t	𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) = 1 − 𝑡 2 y ⁡ ( t ) = 1 − t²
− 3	− 3	𝑦 ⁡ ( − 3 ) = 1 − ( − 3 ) 2 = − 8 y ⁡ ( − 3 ) = 1 − ( − 3 ) 2 = − 8
− 2	− 2	𝑦 ⁡ ( − 2 ) = 1 − ( − 2 ) 2 = − 3 y ⁡ ( − 2 ) = 1 − ( − 2 ) 2 = − 3
− 1	− 1	𝑦 ⁡ ( − 1 ) = 1 − ( − 1 ) 2 = 0 y ⁡ ( − 1 ) = 1 − ( − 1 ) 2 = 0
0 0	0 0	𝑦 ⁡ ( 0 ) = 1 − 0 = 1 y ⁡ ( 0 ) = 1 − 0 = 1
1 1	1 1	𝑦 ⁡ ( 1 ) = 1 − ( 1 ) 2 = 0 y ⁡ ( 1 ) = 1 − ( 1 ) 2 = 0
2 2	2 2	𝑦 ⁡ ( 2 ) = 1 − ( 2 ) 2 = − 3 y ⁡ ( 2 ) = 1 − ( 2 ) 2 = − 3
3 3	3 3	𝑦 ⁡ ( 3 ) = 1 − ( 3 ) 2 = − 8 y ⁡ ( 3 ) = 1 − ( 3 ) 2 = − 8

Grafið $y = 1 - t^{2}$ er fleygbogi sem opnast niður, eins og sést á mynd 4 . Við höfum rakið ferilinn á bilinu $[−3, 3],$ sem er sýnt með heilli línu og örvum sem gefa stefnu ferilsins eftir því sem 𝑡 $t .$ vex. Með stefnu er átt við brautina sem er rakin eftir ferlinum þegar gildi 𝑡 $t .$ vaxa. Þar sem fleygboginn er samhverfur um línuna $x = 0,$ speglast gildi $x$ um y-ásinn.

Graf gefins fleygboga sem opnast niður. — Mynd 4

Dæmi 3

Að finna stikajöfnur sem uppfylla gefin skilyrði

Hlutur ferðast með jöfnum hraða eftir beinni braut frá $(−5, 3)$ til $(3, −1)$ í sama plani á fjórum sekúndum. Hnitin eru mæld í metrum. Finnið stikajöfnur fyrir staðsetningu hlutarins.

Lausn

Stikajöfnurnar eru einfaldar línulegar stæður en við þurfum að leysa verkefnið skref fyrir skref. x-gildi hlutarins byrjar í $−5$ metrum og endar í 3 metrum. Það merkir að vegalengdin x breytist um 8 metra á 4 sekúndum, sem samsvarar hraðanum $\frac{8 m}{4 s},$ eða $2 m / s .$ Við getum ritað x-hnitið sem línulegt fall af tíma: $x (t) = 2 t - 5.$ Í sniðmáti línulegs falls, 𝑦 = 𝑚 ⁢ 𝑥 + 𝑏 , 2 er 𝑡 = 𝑚 ⁢ 𝑥 $y = m x + b, 2 t = m x$ og $- 5 = b .$

Á sama hátt byrjar y-gildi hlutarins í 3 og endar í $−1,$ sem er breyting um −4 metra á 4 sekúndum og samsvarar hraðanum $\frac{- 4 m}{4 s},$ eða $- 1 m / s .$ Við getum einnig ritað y-hnitið sem línulega fallið $y (t) = - t + 3.$ Saman mynda þetta stikajöfnur fyrir staðsetningu hlutarins, þar sem $x$ og $y$ eru mæld í metrum og $t$ táknar tíma:

\begin{array}{l} x (t) = 2 t - 5 \\ y (t) = - t + 3 \end{array}

Með þessum jöfnum getum við gert gildistöflu fyrir 𝑡 , 𝑥 $t, x,$ og $y$ (sjá töflu 3 ). Í þessu dæmi takmörkuðum við gildi $t$ við ónneikvæðar tölur. Almennt má nota hvaða gildi $t$ sem er.

𝑡 t	𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) = 2 ⁢ 𝑡 − 5 x ⁡ ( t ) = 2 ⁢ t − 5	𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) = − 𝑡 + 3 y ⁡ ( t ) = − t + 3
0 0	𝑥 = 2 ⁢ ( 0 ) − 5 = − 5 x = 2 ⁢ ( 0 ) − 5 = − 5	𝑦 = − ( 0 ) + 3 = 3 y = − ( 0 ) + 3 = 3
1 1	𝑥 = 2 ⁢ ( 1 ) − 5 = − 3 x = 2 ⁢ ( 1 ) − 5 = − 3	𝑦 = − ( 1 ) + 3 = 2 y = − ( 1 ) + 3 = 2
2 2	𝑥 = 2 ⁢ ( 2 ) − 5 = − 1 x = 2 ⁢ ( 2 ) − 5 = − 1	𝑦 = − ( 2 ) + 3 = 1 y = − ( 2 ) + 3 = 1
3 3	𝑥 = 2 ⁢ ( 3 ) − 5 = 1 x = 2 ⁢ ( 3 ) − 5 = 1	𝑦 = − ( 3 ) + 3 = 0 y = − ( 3 ) + 3 = 0
4 4	𝑥 = 2 ⁢ ( 4 ) − 5 = 3 x = 2 ⁢ ( 4 ) − 5 = 3	𝑦 = − ( 4 ) + 3 = − 1 y = − ( 4 ) + 3 = − 1

Út frá töflunni getum við teiknað þrjú gröf, eins og sést á mynd 5 .

Þrjú gröf hlið við hlið. (A) sýnir lárétta staðsetningu með tíma, (B) lóðrétta staðsetningu með tíma og (C) staðsetningu hlutarins í planinu á tímanum t. Nánari upplýsingar eru í myndatextanum. — **Mynd 5.** (a) Graf x sem falls af t , sem sýnir lárétta staðsetningu með tíma. (b) Graf y sem falls af t , sem sýnir lóðrétta staðsetningu með tíma. (c) Graf y sem falls af x , sem sýnir staðsetningu hlutarins í planinu á tímanum t .

Greining

Á mynd 5 (c) sjáum við aftur að þegar stikinn táknar tíma getum við sýnt hreyfingu hlutarins eftir brautinni með örvum.

Að eyða stikanum

Oft höfum við stikajöfnupár en auðveldara er að teikna ferilinn ef jafnan inniheldur aðeins tvær breytur, svo sem $x$ og $y .$ Með því að eyða stikanum má einfalda teikningu sumra ferla. Ef við viljum hins vegar vita hvernig jafnan rekur ferilinn með tíma þarf einnig að sýna stefnu ferilsins. Ýmsar aðferðir má nota til að eyða stikanum $t$ úr stikajöfnupári en engin ein aðferð hentar öllum gerðum jafna. Hér förum við yfir aðferðir fyrir algengustu gerðirnar.

Að eyða stikanum úr margliðu-, vísis- og lograjöfnum

Þegar margliðu-, vísis- eða logra-jafna er sett fram sem tvær stikajöfnur veljum við þá jöfnu sem auðveldast er að umrita og leysum hana fyrir $t .$ Síðan setjum við stæðuna sem fæst fyrir $t$ inn í hina jöfnuna. Þá fæst ein jafna með $x$ og $y .$

Dæmi 4

Að eyða stikanum úr margliðujöfnum

Gefnar eru $x (t) = t^{2} + 1$ og 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) = 2 + 𝑡 . $y (t) = 2 + t,$ Eyðið stikanum og ritið stikajöfnurnar sem kartesíska jöfnu.

Lausn

Við byrjum á jöfnunni fyrir $y$ því auðveldara er að leysa línulegu jöfnuna fyrir $t .$

\begin{array}{l} y = 2 + t \\ y - 2 = t \end{array}

Næst setjum við $y - 2$ inn fyrir $t$ í $x (t) .$

\begin{array}{l} x = t^{2} + 1 \\ x = {(y - 2)}^{2} + 1 & Setjið stæðuna fyrir t inn í x . \\ x = y^{2} - 4 y + 4 + 1 \\ x = y^{2} - 4 y + 5 \\ x = y^{2} - 4 y + 5 \end{array}

Kartesíska formið er $x = y^{2} - 4 y + 5.$

Greining

Þetta er jafna fleygboga þar sem $x$ er háð 𝑦 $y .$ í rétthyrndri framsetningu. Frá topppunkti ferilsins í ( 1 , 2 ) $(1, 2),$ opnast grafið til hægri. Sjá mynd 6 . Í þessum hluta skoðum við jöfnupör sem eru gefin með föllunum $x (t)$ og $y (t),$ þar sem $t$ er óháða tímabreytan. Takið eftir að bæði $x$ og $y$ eru föll af tíma. Almennt er $y$ því ekki fall af $x .$

Graf gefins liggjandi fleygboga sem opnast til hægri. — Mynd 6

Dæmi 5

Að eyða stikanum úr vísisjöfnum

Eyðið stikanum og ritið kartesíska jöfnu: $x (t) = e^{- t}$ og $y (t) = 3 e^{t}$

Lausn

Einangrið $e^{t} .$

\begin{array}{l} x = e^{- t} \\ e^{t} = \frac{1}{x} \end{array}

Setjið stæðuna inn í $y (t) .$

\begin{array}{l} y = 3 e^{t} \\ y = 3 (\frac{1}{x}) \\ y = \frac{3}{x} \end{array}

Kartesíska formið er $y = \frac{3}{x} .$

Greining

Graf stikajöfnunnar er sýnt á mynd 7 (a) . Skilgreiningarmengið takmarkast við $t > 0.$ Kartesíska jafnan $y = \frac{3}{x}$ er sýnd á mynd 7 (b) og hefur aðeins eina takmörkun á skilgreiningarmenginu, $x \neq 0.$

Dæmi 6

Að eyða stikanum úr lograjöfnum

Eyðið stikanum og ritið kartesíska jöfnu: $x (t) = \sqrt{t} + 2$ og $y (t) = \log (t) .$

Lausn

Leysið fyrri jöfnuna fyrir $t .$

\begin{array}{l} x = \sqrt{t} + 2 \\ x - 2 = \sqrt{t} \\ {(x - 2)}^{2} = t & Hefjið báðar hliðar í annað veldi . \end{array}

Setjið síðan stæðuna fyrir $t$ inn í jöfnuna f $y$ rir 𝑦 . y

\begin{array}{l} y = \log (t) \\ y = \log {(x - 2)}^{2} \end{array}

Kartesíska formið er $y = \log {(x - 2)}^{2} .$

Greining

Til að ganga úr skugga um að stikajöfnurnar séu jafngildar kartesísku jöfnunni berum við saman skilgreiningarmengin. Stikajafnan takmarkar skilgreiningarmengið í $x = \sqrt{t} + 2$ við $t > 0;$ við takmörkum skilgreiningarmengi $x$ við $x > 2.$ Skilgreiningarmengi stikajöfnunnar $y = \log (t)$ takmarkast við $t > 0;$ við takmörkum skilgreiningarmengi $y = \log {(x - 2)}^{2}$ við $x > 2.$

Að eyða stikanum úr hornafallajöfnum

Einfalt er að eyða stikanum úr hornafallajöfnum með innsetningu. Við getum notað nokkrar kunnuglegar hornafallasamsemdir og reglu Pýþagórasar.

Fyrst notum við samsemdirnar:

\begin{array}{l} x (t) = a \cos t \\ y (t) = b \sin t \end{array}

Þegar leyst er fyrir $\cos t$ og s i n ⁡ 𝑡 $\sin t,$ fæst

\begin{array}{l} \frac{x}{a} = \cos t \\ \frac{y}{b} = \sin t \end{array}

Notum síðan reglu Pýþagórasar:

\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1

Með innsetningu fæst

\cos^{2} t + \sin^{2} t = {(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

Dæmi 7

Að eyða stikanum úr stikajöfnupári hornafalla

Eyðið stikanum úr gefnu hornafallajöfnupári þar sem $0 \leq t \leq 2 π$ og skissið grafið.

\begin{array}{l} x (t) = 4 \cos t \\ y (t) = 3 \sin t \end{array}

Lausn

Þegar leyst er fyrir $\cos t$ og s i n ⁡ 𝑡 $\sin t,$ fæst

\begin{array}{l} x = 4 \cos t \\ \frac{x}{4} = \cos t \\ y = 3 \sin t \\ \frac{y}{3} = \sin t \end{array}

Notið næst Pýþagórasarsamsemdina og setjið stæðurnar inn.

\begin{array}{r} \cos^{2} t + \sin^{2} t = 1 \\ {(\frac{x}{4})}^{2} + {(\frac{y}{3})}^{2} = 1 \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \end{array}

Graf jöfnunnar er sýnt á mynd 8 .

Graf gefins sporbaugs með miðju í (0,0). — Mynd 8

Greining

Með almennu jöfnunum fyrir keilusnið (kynntar í Hnitarúmfræði) getum við greint 𝑥 2 1 6 + 𝑦 2 9 = 1 x 2/16 + y 2/9 = 1 sem sporbaug með miðju í ( 0 , 0 ) . $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ( 0 , 0 ) . Takið eftir að þegar 𝑡 $(0, 0) .$ = 0 t = 0 eru $t = 0$ hnitin ( 4 , 0 ) , ( $(4, 0),$ 4 , 0 $t = \frac{π}{2}$ ) , og þegar 𝑡 = 𝜋 2 $(0, 3) .$ t = π/2 eru hnitin ( 0 , 3 ) . ( 0 , 3 ) . Þetta sýnir stefnu ferilsins þegar gildi 𝑡 t . vaxa. $t .$

Að finna kartesískar jöfnur ferla sem eru skilgreindir með stikajöfnum

Þegar stikajöfnupár er gefið og finna á jafngilda kartesíska jöfnu er í raun verið að „eyða stikanum“. Ýmsar aðferðir má þó nota til að umrita stikajöfnupár sem kartesíska jöfnu. Einfaldasta aðferðin er að láta aðra jöfnuna vera jafna stikanum, til dæmis $x (t) = t .$ Þá má $y (t)$ vera hvaða stæða sem er. Skoðum til dæmis eftirfarandi jöfnupár.

\begin{array}{l} x (t) = t \\ y (t) = t^{2} - 3 \end{array}

Stikajöfnupárið er umritað með því að setja $x$ inn fyrir $t .$ Kartesíska jafnan er því $y = x^{2} - 3.$

Dæmi 8

Að finna kartesíska jöfnu með ólíkum aðferðum

Notið tvær ólíkar aðferðir til að finna kartesísku jöfnuna sem er jafngild gefna stikajöfnupárinu.

\begin{array}{l} x (t) = 3 t - 2 \\ y (t) = t + 1 \end{array}

Lausn

Aðferð 1 . Fyrst leysum við jöfnuna fyrir $x$ með tilliti til $t .$ Síðan getum við sett niðurstöðuna inn í jöfnuna f $y$ rir 𝑦 . y

\begin{array}{l} x = 3 t - 2 \\ x + 2 = 3 t \\ \frac{x + 2}{3} = t \end{array}

Setjið nú stæðuna fyrir $t$ inn í jöfnuna f $y$ rir 𝑦 . y

\begin{array}{l} y = t + 1 \\ y = (\frac{x + 2}{3}) + 1 \\ y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3} + 1 \\ y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} \end{array}

Aðferð 2 . Leysið jöfnuna fyrir $y$ 𝑦 y með $t$ tilliti til 𝑡 t og setjið stæðuna inn í jöfnuna fyrir $x$ 𝑥 . x

\begin{array}{l} y = t + 1 \\ y - 1 = t \end{array}

Setjið stæðuna inn og leysið síðan fyrir $y .$

\begin{array}{l} x = 3 (y - 1) - 2 \\ x = 3 y - 3 - 2 \\ x = 3 y - 5 \\ x + 5 = 3 y \\ \frac{x + 5}{3} = y \\ y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} \end{array}

Að finna stikajöfnur ferla sem eru skilgreindir með rétthyrndum jöfnum

Við höfum sýnt að aðeins ein leið er til að túlka stikajöfnupár sem rétthyrnda jöfnu, en margar leiðir eru til að túlka rétthyrnda jöfnu sem stikajöfnupár. Sérhver aðferð við að finna stikajöfnurnar er gild ef hún gefur jafngilda framsetningu. Ef við veljum með öðrum orðum stæðu fyrir 𝑥 $x,$ og setjum hana inn í jöfnuna f $y$ rir 𝑦 , y er stikajöfnupárið gilt ef það gefur sama graf á sama skilgreiningarmengi og rétthyrnda jafnan. Ef skilgreiningarmengið þrengist í stikajöfnupárinu þannig að fallið leyfir ekki sömu gildi á $x$ og skilgreiningarmengi rétthyrndu jöfnunnar verða gröfin ólík.

Dæmi 9

Að finna stikajöfnupár fyrir ferla sem eru skilgreindir með rétthyrndum jöfnum

Finnið jafngilt stikajöfnupár fyrir $y = {(x + 3)}^{2} + 1.$

Lausn

Augljóst val væri að láta $x (t) = t .$ Þá væri $y (t) = {(t + 3)}^{2} + 1.$ Prófum þó áhugaverðari leið. Hvað gerist ef við látum $x = t + 3 ?$ Þá fæst

\begin{array}{l} y = {(x + 3)}^{2} + 1 \\ y = {((t + 3) + 3)}^{2} + 1 \\ y = {(t + 6)}^{2} + 1 \end{array}

Stikajöfnupárið er

\begin{array}{l} x (t) = t + 3 \\ y (t) = {(t + 6)}^{2} + 1 \end{array}

Sjá mynd 9 .

Gröf stikaframsetningar og rétthyrndrar framsetningar sama fleygboga. Gröfin eru eins. — Mynd 9

8.6 Æfingar hlutans

Hugtakaspurningar

Hvað er stikajöfnuhneppi?

Tími, lengd, hraði og mælikvarði eru dæmi um stika. Útskýrið hvenær tími er notaður sem stiki.

Útskýrið hvernig stika er eytt úr gefnu stikajöfnupári.

Hvaða kostur fylgir því að rita stikajöfnuhneppi sem kartesíska jöfnu?

Hvaða kostur fylgir notkun stikajafna?

Hvers vegna geta mörg ólík stikajöfnupör lýst sama ferli sem er gefinn með kartesískri jöfnu?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið eyða stikanum $t$ og rita stikajöfnurnar sem kartesíska jöfnu.

{𝑥⁡(𝑡)=5−𝑡𝑦⁡(𝑡)=8−2⁢𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 5 - t \\ y (t) = 8 - 2 t \end{array}$

{𝑥⁡(𝑡)=6−3⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=10−𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 6 - 3 t \\ y (t) = 10 - t \end{array}$

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢𝑡+1𝑦⁡(𝑡)=3⁢√𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 2 t + 1 \\ y (t) = 3 \sqrt{t} \end{array}$

10.

{𝑥⁡(𝑡)=3⁢𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=2⁢𝑡2 ${\begin{array}{l} x (t) = 3 t - 1 \\ y (t) = 2 t^{2} \end{array}$

11.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢𝑒𝑡𝑦⁡(𝑡)=1−5⁢𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 2 e^{t} \\ y (t) = 1 - 5 t \end{array}$

12.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑒−2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=2⁢𝑒−𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = e^{- 2 t} \\ y (t) = 2 e^{- t} \end{array}$

13.

{𝑥⁡(𝑡)=4⁢log⁡(𝑡)𝑦⁡(𝑡)=3+2⁢𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 4 log (t) \\ y (t) = 3 + 2 t \end{cases}$

14.

{𝑥⁡(𝑡)=log⁡(2⁢𝑡)𝑦⁡(𝑡)=√𝑡−1 ${\begin{cases} x (t) = log (2 t) \\ y (t) = \sqrt{t - 1} \end{cases}$

15.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡3−𝑡𝑦⁡(𝑡)=2⁢𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = t^{3} - t \\ y (t) = 2 t \end{array}$

16.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡−𝑡4𝑦⁡(𝑡)=𝑡+2 ${\begin{array}{l} x (t) = t - t^{4} \\ y (t) = t + 2 \end{array}$

17.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑒2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=𝑒6⁢𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = e^{2 t} \\ y (t) = e^{6 t} \end{array}$

18.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡5𝑦⁡(𝑡)=𝑡10 ${\begin{array}{l} x (t) = t^{5} \\ y (t) = t^{10} \end{array}$

19.

{𝑥⁡(𝑡)=4⁢cos⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=5⁢sin⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 4 cos t \\ y (t) = 5 \sin t \end{cases}$

20.

{𝑥⁡(𝑡)=3⁢sin⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=6⁢cos⁡𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 3 \sin t \\ y (t) = 6 \cos t \end{array}$

21.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢cos2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=−sin⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 2 {cos}^{2} t \\ y (t) = - \sin t \end{cases}$

22.

{𝑥⁡(𝑡)=cos⁡𝑡+4𝑦⁡(𝑡)=2⁢sin2⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = \cos t + 4 \\ y (t) = 2 \sin^{2} t \end{cases}$

23.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=𝑡2 ${\begin{cases} x (t) = t - 1 \\ y (t) = t^{2} \end{cases}$

24.

{𝑥⁡(𝑡)=−𝑡𝑦⁡(𝑡)=𝑡3+1 ${\begin{cases} x (t) = - t \\ y (t) = t^{3} + 1 \end{cases}$

25.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=𝑡3−2 ${\begin{cases} x (t) = 2 t - 1 \\ y (t) = t^{3} - 2 \end{cases}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið gera $x - y$ -töflu x - y og nota hana til að rita stikajöfnurnar sem kartesíska jöfnu.

26.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=𝑡+4 ${\begin{cases} x (t) = 2 t - 1 \\ y (t) = t + 4 \end{cases}$

27.

{𝑥⁡(𝑡)=4−𝑡𝑦⁡(𝑡)=3⁢𝑡+2 ${\begin{cases} x (t) = 4 - t \\ y (t) = 3 t + 2 \end{cases}$

28.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=5⁢𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 2 t - 1 \\ y (t) = 5 t \end{cases}$

29.

{𝑥⁡(𝑡)=4⁢𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=4⁢𝑡+2 ${\begin{cases} x (t) = 4 t - 1 \\ y (t) = 4 t + 2 \end{cases}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið stika hverja kartesíska jöfnu, það er rita stikajöfnur fyrir hana, með því að láta $x (t) = t$ eða $y (t) = t .$

30.

𝑦⁡(𝑥)=3⁢𝑥2+3 $y (x) = 3 x^{2} + 3$

31.

𝑦⁡(𝑥)=2⁢sin⁡𝑥+1 $y (x) = 2 \sin x + 1$

32.

𝑥⁡(𝑦)=3⁢log⁡(𝑦)+𝑦 $x (y) = 3 \log (y) + y$

33.

𝑥⁡(𝑦)=√𝑦+2⁢𝑦 $x (y) = \sqrt{y} + 2 y$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið stika hverja kartesíska jöfnu með því að nota $x (t) = a \cos t$ og $y (t) = b \sin t .$ Greinið ferilinn.

34.

𝑥24+𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

35.

𝑥216+𝑦236=1 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

36.

𝑥2+𝑦2=16 $x^{2} + y^{2} = 16$

37.

𝑥2+𝑦2=10 $x^{2} + y^{2} = 10$

38.

Stikið línuna frá $(3, 0)$ til $(−2, −5)$ þannig að punkturinn sé í $(3, 0)$ þegar $t = 0,$ og í $(−2, −5)$ þegar $t = 1.$

39.

Stikið línuna frá $(−1, 0)$ til $(3, −2)$ þannig að punkturinn sé í $(−1, 0)$ þegar $t = 0,$ og í $(3, −2)$ þegar $t = 1.$

40.

Stikið línuna frá $(−1, 5)$ til $(2, 3)$ þannig að punkturinn sé í $(−1, 5)$ þegar $t = 0,$ og í $(2, 3)$ þegar $t = 1.$

41.

Stikið línuna frá $(4, 1)$ til $(6, −2)$ þannig að punkturinn sé í $(4, 1)$ þegar $t = 0,$ og í $(6, −2)$ þegar $t = 1.$

Tækniverkefni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota töfluaðgerð grafreiknis til að ákvarða hvort gröfin skerist.

42.

{𝑥1⁡(𝑡)=3⁢𝑡𝑦1⁡(𝑡)=2⁢𝑡−1 and {𝑥2⁡(𝑡)=𝑡+3𝑦2⁡(𝑡)=4⁢𝑡−4 ${\begin{array}{l} x_{1} (t) = 3 t \\ y_{1} (t) = 2 t - 1 \end{array} og {\begin{array}{l} x_{2} (t) = t + 3 \\ y_{2} (t) = 4 t - 4 \end{array}$

43.

{𝑥1⁡(𝑡)=𝑡2𝑦1⁡(𝑡)=2⁢𝑡−1 and {𝑥2⁡(𝑡)=−𝑡+6𝑦2⁡(𝑡)=𝑡+1 ${\begin{array}{l} x_{1} (t) = t^{2} \\ y_{1} (t) = 2 t - 1 \end{array} og {\begin{array}{l} x_{2} (t) = - t + 6 \\ y_{2} (t) = t + 1 \end{array}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafreikni til að fylla út gildistöfluna fyrir hvert stikajöfnupár.

44.

{𝑥1⁡(𝑡)=3⁢𝑡2−3⁢𝑡+7𝑦1⁡(𝑡)=2⁢𝑡+3 ${\begin{array}{l} x_{1} (t) = 3 t^{2} - 3 t + 7 \\ y_{1} (t) = 2 t + 3 \end{array}$

𝑡 t	𝑥 x	𝑦 y
–1
0
1

45.

{𝑥1⁡(𝑡)=𝑡2−4𝑦1⁡(𝑡)=2⁢𝑡2−1 ${\begin{array}{l} x_{1} (t) = t^{2} - 4 \\ y_{1} (t) = 2 t^{2} - 1 \end{array}$

𝑡 t	𝑥 x	𝑦 y
1
2
3

46.

{𝑥1⁡(𝑡)=𝑡4𝑦1⁡(𝑡)=𝑡3+4 ${\begin{array}{l} x_{1} (t) = t^{4} \\ y_{1} (t) = t^{3} + 4 \end{array}$

𝑡 t	𝑥 x	𝑦 y
-1
0
1
2

Ítarverkefni

47.

Finnið tvö ólík stikajöfnupör fyrir $y = {(x + 1)}^{2} .$

48.

Finnið tvö ólík stikajöfnupör fyrir $y = 3 x - 2.$

49.

Finnið tvö ólík stikajöfnupör fyrir $y = x^{2} - 4 x + 4.$