Flugvél flýgur með lofthraðanum 200 mílur á klukkustund og stefnir í suðaustur eftir stefnunni 140°. Norðanvindur, frá norðri til suðurs, blæs með hraðanum 16.2 mílur á klukkustund, eins og sýnt er á mynd 1 . Hver eru ferð flugvélarinnar miðað við jörð og raunveruleg stefna hennar?
Ferð miðað við jörð er ferð flugvélar miðað við yfirborð jarðar. Lofthraði er ferð flugvélar miðað við loftmassann umhverfis hana. Þessar tvær stærðir eru ekki þær sömu vegna áhrifa vinds. Í fyrri hluta notuðum við þríhyrninga til að leysa svipað verkefni um hreyfingu báta. Síðar í þessum hluta finnum við ferð og stefnu flugvélarinnar miðað við jörð og skoðum um leið aðra aðferð við verkefni af þessu tagi. Fyrst skulum við þó kynna okkur undirstöðuatriði vigra.
Rúmfræðileg sýn á vigra
Vigur er tiltekin stærð sem er teiknuð sem línustrik með örvaroddi á öðrum endanum. Hann hefur upphafspunkt þar sem hann byrjar og endapunkt þar sem hann endar. Vigur er skilgreindur með stærð sinni, það er lengd línustriksins, og stefnu sem örvaroddurinn við endapunktinn sýnir. Vigur er því stefnt línustrik. Ýmis tákn eru notuð til að greina vigra frá öðrum stærðum:
Lágstafur í feitletri, með eða án örvar yfir, til dæmis
Ef upphafspunkturinn er og endapunkturinn 𝑄 má tákna vigurinn með Örin yfir tákninu sýnir að ekki er aðeins um línu að ræða heldur stefnt línustrik.
Ef upphafspunkturinn er og endapunkturinn ( 𝑎 𝑏 ) má tákna vigurinn með
Síðasta táknið, 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , hefur sérstaka merkingu og nefnist staðalstaða. Staðsetningarvigurinn hefur upphafspunktinn og endapunktinn Til að færa hvaða vigur sem er í staðalstöðu skoðum við breytinguna á x-hnitunum og breytinguna á y-hnitunum. Ef upphafspunktur vigursins er og endapunkturinn er fæst staðsetningarvigurinn með því að reikna
Á mynd 2 sjáum við upprunalega vigurinn og staðsetningarvigurinn
Dæmi 1
Að finna staðsetningarvigur
Skoðið vigur með upphafspunktinn og endapunktinn Finnið staðsetningarvigurinn.
Lausn
Staðsetningarvigurinn fæst með því að draga annað x-hnitið frá hinu og annað y-hnitið frá hinu. Því er
Staðsetningarvigurinn hefst í og endar í Gröf beggja vigra eru sýnd á mynd 3 .
Mynd 3
Við sjáum að staðsetningarvigurinn er
Dæmi 2
Að teikna vigur sem uppfyllir gefin skilyrði og jafngildan staðsetningarvigur hans
Finnið staðsetningarvigurinn þegar vigurinn hefur upphafspunkt í og endapunkt í og teiknið síðan báða vigrana í sama plani.
Lausn
Staðsetningarvigurinn fæst með eftirfarandi útreikningi:
Staðsetningarvigurinn hefst því í og endar í Sjá mynd 4 .
Mynd 4
Að finna stærð og stefnu
Til að reikna með vigri þurfum við að geta fundið stærð hans og stefnu. Stærðina finnum við með reglu Pýþagórasar eða fjarlægðarformúlunni og stefnuna með andhverfu tangensfalli.
Dæmi 3
Að finna stærð og stefnu vigurs
Finnið stærð og stefnu vigursins með upphafspunktinn og endapunktinn Teiknið vigurinn.
Lausn
Finnum fyrst staðsetningarvigurinn.
Við notum reglu Pýþagórasar til að finna stærðina.
Stefnan er gefin með
Hornið endar hins vegar í fjórða fjórðungi og því leggjum við 360° við til að fá jákvætt horn. Þá er Sjá mynd 6 .
Mynd 6
Dæmi 4
Að sýna að tveir vigrar séu jafnir
Sýnið að vigurinn v með upphafspunkt í og endapunkt í sé jafn vigrinum u með upphafspunkt í og endapunkt í Teiknið staðsetningarvigurinn á sama hnitakerfi og v og u. Finnið síðan stærð og stefnu hvors vigurs.
Lausn
Eins og sýnt er á mynd 7 teiknum við vigurinn frá upphafspunktinum að endapunktinum Teiknið vigurinn með upphafspunktinn og endapunktinn Finnið staðalstöðu hvors vigurs.
Finnið og skissið næst staðsetningarvigur v og u. Þá fæst
Þar sem staðsetningarvigrarnir eru eins eru v og u sami vigurinn.
Önnur leið til að sannreyna að vigrar séu jafnir er að sýna að þeir hafi sömu stærð og stefnu. Notið reglu Pýþagórasar til að sýna að stærðirnar séu jafnar.
Þar sem stærðirnar eru jafnar þurfum við nú að sannreyna stefnuna. Þegar tangensfallinu er beitt á staðsetningarvigurinn fæst
Við sjáum hins vegar að staðsetningarvigurinn endar í öðrum fjórðungi og því leggjum við 1 8 0 ° við. Stefnan er því
Mynd 7
Samlagning vigra og margföldun vigurs með tölu
Nú þegar við skiljum eiginleika vigra getum við reiknað með þeim. Þægilegt er að líta á vigurinn sem ör eða stefnt línustrik frá upphafspunktinum að punktinum en vigrar geta legið hvar sem er í planinu. Summa tveggja vigra u og v, eða vigursamlagning, gefur þriðja vigurinn u + v, summuvigurinn.
Til að finna u + v teiknum við fyrst vigurinn u og síðan vigurinn v frá endapunkti u. Upphafspunktur v er með öðrum orðum látinn falla að endapunkti u. Þetta samsvarar því að fara fyrst eftir öðrum vigrinum og síðan eftir hinum frá endapunkti þess fyrri. Summan u + v er summuvigurinn því hann fæst við samlagningu eða frádrátt tveggja vigra. Summuvigurinn liggur beint frá upphafspunkti u að endapunkti v, eins og sýnt er á mynd 8 .
Frádráttur vigra svipar til samlagningar. Til að finna u − v lítum við á stæðuna sem u + (−v). Að leggja −v við jafngildir því að snúa stefnu v við og leggja hann við endapunkt u. Nýi vigurinn hefst í upphafspunkti u og endar í endapunkti −v. Á mynd 9 er samlagning og frádráttur vigra borin saman með samsíðungum.
Dæmi 5
Samlagning og frádráttur vigra
Gefnir eru 𝐮 u = 〈 3 , − 2 〉 = 〈 3 , − 2 〉 og 𝐯 v = 〈 − 1 , 4 〉 . = 〈 −1 , 4 〉 , Finnið nýju vigrana tvo u + v og u − v .
Lausn
Til að finna summu tveggja vigra leggjum við þættina saman. Því er
Mynd 10. (a) Summa tveggja vigra (b) Mismunur tveggja vigra
Margföldun vigurs með tölu
Þegar vigrar eru lagðir saman eða dregnir hvor frá öðrum fæst nýr vigur með aðra stærð og stefnu. Þegar vigur er margfaldaður með tölu, það er fasta, breytist hins vegar aðeins stærð vigursins eða lengd línustriksins. Margföldun vigurs með tölu hefur ekki áhrif á stefnu nema talan sé neikvæð; þá verður stefna vigursins sem fæst gagnstæð stefnu upphaflega vigursins.
Dæmi 6
Að margfalda vigur með tölu
Gefinn er vigurinn 𝐯 v = 〈 3 , 1 〉 . = 〈 3 , 1 〉 , Finnið 3 v , 1 2 1/2 𝐯 v , og −v.
Takið eftir að vigurinn 3 v er þrisvar sinnum lengri en v , er helmingi styttri en v og −v er jafnlangur v en stefnir í gagnstæða átt.
Dæmi 7
Að finna nýjan vigur með vigursamlagningu og margföldun með tölu
Gefnir eru 𝐮 u = 〈 3 , − 2 〉 = 〈 3 , − 2 〉 og 𝐯 v = 〈 − 1 , 4 〉 . = 〈 − 1 , 4 〉 , Finnið nýja vigurinn w = 3 u + 2 v.
Lausn
Fyrst margföldum við hvorn vigur með tölunni.
Leggjum þá saman.
Því er
Að finna þáttaframsetningu
Í sumum verkefnum með vigra er gagnlegt að geta skipt vigri í þætti. Vigur hefur tvo þætti: lárétti þátturinn er í -stefnu og lóðrétti þátturinn í -stefnu. Á grafinu á mynd 12 sjáum við til dæmis að staðsetningarvigurinn fæst með því að leggja saman vigrana v 1 og v 2 . Vigurinn v 1 hefur upphafspunktinn og endapunktinn
Við höfum einnig vigurinn v 2 með upphafspunktinn og endapunktinn
Staðsetningarvigurinn er því
Samkvæmt reglu Pýþagórasar er stærð v 1 jöfn 2 og stærð v 2 jöfn 3. Notið formúluna með staðsetningarvigrinum til að finna stærð v.
Stærð v er Til að finna stefnuna notum við tangensfallið
Stærð er því og stefnan er frá láréttu.
Dæmi 8
Að finna þætti vigurs
Finnið þætti vigursins með upphafspunktinn og endapunktinn
Auk þess að finna þætti vigurs er gagnlegt við lausn verkefna að finna vigur sem stefnir í sömu átt og gefni vigurinn en hefur stærðina 1. Vigur með stærðina 1 nefnist einingarvigur. Þá getum við varðveitt stefnu upphaflega vigursins en einfaldað útreikninga.
Einingarvigrar eru skilgreindir með þáttum. Lárétti einingarvigurinn er ritaður og stefnir eftir jákvæða lárétta ásnum. Lóðrétti einingarvigurinn er ritaður og stefnir eftir jákvæða lóðrétta ásnum. Sjá mynd 14 .
Dæmi 9
Að finna einingarvigur í stefnu v
Finnið einingarvigur í sömu stefnu og
Lausn
Fyrst finnum við stærðina.
Síðan deilum við hverjum þætti með og fáum einingarvigur í sömu stefnu og v:
Sannreynið að stærð einingarvigursins sé 1. Stærð er gefin með
Vigurinn u i j er einingarvigurinn í sömu stefnu og v
Reikningar með vigrum með i og j
Hingað til höfum við skoðað undirstöðuatriði vigra: stærð og stefnu, samlagningu og frádrátt vigra, margföldun vigurs með tölu, þætti vigra og rúmfræðilega framsetningu þeirra. Nú þegar við þekkjum almennar aðferðir við reikning með vigrum setjum við vigra fram í rétthyrndum hnitum með i og j.
Dæmi 10
Að rita vigur með i og j
Gefinn er vigurinn með upphafspunktinn og endapunktinn 𝑄 = ( − 6 , 6 ) . Ritið vigurinn með og
Lausn
Byrjið á að rita almennt form vigursins. Setjið síðan gefnu gildin inn fyrir hnitin.
Dæmi 11
Að rita vigur með i og j út frá upphafs- og endapunkti
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( 2 , 7 ) . Ritið vigurinn með og
Lausn
Byrjið á að rita almennt form vigursins. Setjið síðan gefnu gildin inn fyrir hnitin.
Reikningar með vigrum með i og j
Þegar vigrar eru ritaðir með og 𝐣 getum við lagt þá saman, dregið þá hvorn frá öðrum og margfaldað þá með tölu með því að reikna með samsvarandi þáttum.
Dæmi 12
Að finna summu vigra
Finnið summu og
Lausn
Samkvæmt formúlunni fæst
Að reikna þáttaframsetningu vigurs: stefna
Við höfum séð hvernig vigrar eru teiknaðir út frá upphafs- og endapunkti og hvernig staðsetningarvigur er fundinn. Við höfum einnig skoðað táknmál fyrir vigra sem eru teiknaðir sérstaklega í kartesísku hnitaplani með 𝐢 og 𝐣 . Stærð allra slíkra vigra má reikna. Nú tengjum við saman meginatriðin og skoðum stærð og stefnu nánar.
Stefnan er reiknuð með sömu einföldu aðferð og við notuðum fyrir pólhnit. Við finnum stefnu vigursins með því að finna hornið við lárétt. Til þess notum við grundvallarsamsemdir hornafalla en setjum í stað
Dæmi 13
Að rita vigur á þáttaframsetningu þegar stærð og stefna eru gefnar
Gefinn er vigur með lengdina 7 og hornið 135°. Ritið hann á þáttaframsetningu.
Lausn
Með umritunarformúlunum og 𝑦 = | 𝐯 | s i n 𝜃 fæst
Vigurinn má rita sem eða á einfölduðu formi sem
Að finna innfeldi tveggja vigra
Eins og fyrr var fjallað um felst margföldun vigurs með tölu í að margfalda vigur með tölu og niðurstaðan er vigur. Ef vigur er margfaldaður með vigri koma tveir möguleikar til greina: innfeldi og krossfeldi. Hér skoðum við aðeins innfeldið; krossfeldi kann að koma fyrir í lengra komnum stærðfræðinámskeiðum.
Við innfeldi tveggja vigra eru tveir vigrar margfaldaðir saman og niðurstaðan er tala.
Dæmi 14
Að finna innfeldi tveggja vigra
Finnið innfeldi og
Lausn
Með formúlunni fæst
Dæmi 15
Að finna innfeldi tveggja vigra og hornið milli þeirra
Finnið innfeldi v 1 = 5 i + 2 j og v 2 = 3 i + 7 j. Finnið síðan hornið milli vigranna.
Lausn
Til að finna innfeldið margföldum við samsvarandi þætti.
Til að finna hornið milli vigranna notum við formúluna
Nú höfum við tækin til að leysa verkefnið sem kynnt var í upphafi hlutans.
Flugvél flýgur með lofthraðanum 200 mílur á klukkustund og stefnir í suðaustur eftir stefnunni 140°. Norðanvindur, frá norðri til suðurs, blæs með hraðanum 16.2 mílur á klukkustund. Hver eru ferð flugvélarinnar miðað við jörð og raunveruleg stefna hennar? Sjá mynd 19 .
Mynd 19
Lausn
Ferðin miðað við jörð er táknuð með á myndinni og við þurfum að finna hornið til að reikna leiðréttu stefnuna, sem verður
Takið eftir á mynd 19 að hornið verður að vera jafnt horninu samkvæmt reglunni um víxlhorn og því er hornið jafnt 140°. Við getum fundið með kósínusreglunni:
Ferðin miðað við jörð er um það bil 213 mílur á klukkustund. Nú getum við reiknað stefnuna með sínusreglunni.
Flugvélin stefnir því í suðaustur eftir stefnunni 140°+2.8°=142.8°. Ferðin miðað við jörð er 212.7 mílur á klukkustund.
8.8 Æfingar hlutans
Hugtakaspurningar
1.
Hvaða einkenni hafa bókstafirnir sem almennt eru notaðir til að tákna vigra?
2.
Að hvaða leyti er vigur nákvæmari lýsing en línustrik?
3.
Hvað eru og 𝐣 og hvað tákna þeir?
4.
Hvað er þáttaframsetning?
5.
Þegar einingarvigur er ritaður sem 〈 𝑎 , 𝑏 〉 hvor bókstafurinn er stuðull og hvor stuðull
Algebruverkefni
6.
Gefinn er vigur með upphafspunktinn og endapunktinn ( − 1 , − 3 ) . Finnið jafngildan vigur með upphafspunktinn Ritið vigurinn á þáttaframsetningunni
7.
Gefinn er vigur með upphafspunktinn og endapunktinn ( 3 , − 3 ) . Finnið jafngildan vigur með upphafspunktinn Ritið vigurinn á þáttaframsetningunni
8.
Gefinn er vigur með upphafspunktinn og endapunktinn ( − 1 , − 7 ) . Finnið jafngildan vigur með upphafspunktinn Ritið vigurinn á þáttaframsetningunni
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða hvort vigrarnir 𝐮 u og 𝐯 v séu jafnir, þar sem 𝐮 u hefur upphafspunktinn 𝑃 1 P 1 og endapunktinn 𝑃 2 P 2 og 𝐯 v hefur upphafspunktinn 𝑃 3 P 3 og endapunktinn 𝑃 4 . P 4
9.
𝑃1=(5,1),𝑃2=(3,−2),𝑃3=(−1,3), og 𝑃4=(9,−4)
10.
𝑃1=(2,−3),𝑃2=(5,1),𝑃3=(6,−1), og 𝑃4=(9,3)
11.
𝑃1=(−1,−1),𝑃2=(−4,5),𝑃3=(−10,6), og 𝑃4=(−13,12)
12.
𝑃1=(3,7),𝑃2=(2,1),𝑃3=(1,2), og 𝑃4=(−1,−4)
13.
𝑃1=(8,3),𝑃2=(6,5),𝑃3=(11,8), og 𝑃4=(9,10)
14.
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( 5 , 2 ) . Ritið vigurinn með og
15.
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( − 1 , − 3 ) . Ritið vigurinn með og
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota vigrana u = i + 5 j, v = −2 i − 3 j og w = 4 i − j .
16.
Find u + (v − w)
17.
Finnið 4 v + 2 u
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota gefnu vigrana til að reikna u + v, u − v og 2 u − 3 v.
18.
𝐮=〈2,−3〉,𝐯=〈1,5〉
19.
𝐮=〈−3,4〉,𝐯=〈−2,1〉
20.
Látum v = −4 i + 3 j. Finnið vigur sem er helmingi styttri og stefnir í sömu átt og
21.
Látum v = 5 i + 2 j. Finnið vigur sem er tvöfalt lengri og stefnir í gagnstæða átt við
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna einingarvigur í sömu stefnu og gefni vigurinn.
22.
a = 3i + 4j
23.
b = −2i + 5j
24.
c = 10i – j
25.
𝑑=−13𝐢+52𝐣
26.
u = 100i + 200j
27.
u = −14i + 2j
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna stærð og stefnu vigursins,
28.
〈0,4〉
29.
〈6,5〉
30.
〈2,−5〉
31.
〈−4,−6〉
32.
Gefnir eru u = 3 i − 4 j og v = −2 i + 3 j. Reiknið
33.
Gefnir eru u = − i − j og v = i + 5 j. Reiknið
34.
Gefnir eru og 𝐯 = 〈 − 3 , 1 〉 . Reiknið
35.
Gefnir eru u og v = 〈 6 , − 1 〉 . Reiknið
Grafísk verkefni
Í eftirfarandi æfingum er 𝐯 v , gefinn. Teiknið 3 og
36.
〈2,−1〉
37.
〈−1,4〉
38.
〈−3,−2〉
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota sýndu vigrana til að skissa u + v, u − v og 2 u.
39.
40.
41.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota sýndu vigrana til að skissa 2 u + v .
42.
43.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota sýndu vigrana til að skissa u − 3 v.
44.
45.
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið rita sýnda vigurinn á þáttaframsetningu.
46.
47.
48.
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( − 1 , 2 ) . Ritið vigurinn með og 𝐣 og teiknið síðan vigurinn á grafið.
49.
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( − 3 , 2 ) . Ritið vigurinn með og Teiknið punktana og vigurinn á grafið.
50.
Gefinn er upphafspunkturinn og endapunkturinn 𝑃 2 = ( − 3 , 3 ) . Ritið vigurinn með og Teiknið punktana og vigurinn á grafið.
Ítarverkefni
Í eftirfarandi æfingum eru stærð og stefna í staðalstöðu gefnar. Ritið vigurinn á þáttaframsetningu.
51.
|𝐯|=6,𝜃=45°
52.
|𝐯|=8,𝜃=220°
53.
|𝐯|=2,𝜃=300°
54.
|𝐯|=5,𝜃=135°
55.
Kassi sem vegur 60 pund hvílir á skáfleti sem hallar um 12°. Námundið að næsta tíunda hluta.
ⓐ Finnið stærð þverþáttar kraftsins, það er þáttarins sem er hornréttur á flötinn.
ⓑ Finnið stærð kraftþáttarins sem er samsíða skáfletinum.
56.
Kassi sem vegur 25 pund hvílir á skáfleti sem hallar um 8°. Námundið að næsta tíunda hluta.
ⓐ Finnið stærð þverþáttar kraftsins, það er þáttarins sem er hornréttur á flötinn.
ⓑ Finnið stærð kraftþáttarins sem er samsíða skáfletinum.
57.
Finnið stærð lárétta og lóðrétta þáttar vigurs með stærðina 8 pund sem stefnir 27° yfir láréttu. Námundið að næsta hundraðshluta.
58.
Finnið stærð lárétta og lóðrétta þáttar vigursins með stærðina 4 pund sem stefnir 127° yfir láréttu. Námundið að næsta hundraðshluta.
59.
Finnið stærð lárétta og lóðrétta þáttar vigurs með stærðina 5 pund sem stefnir 55° yfir láréttu. Námundið að næsta hundraðshluta.
60.
Finnið stærð lárétta og lóðrétta þáttar vigursins með stærðina 1 pund sem stefnir 8° yfir láréttu. Námundið að næsta hundraðshluta.
Verkefni úr raunveruleikanum
61.
Kona fer að heiman og gengur 3 mílur í vestur og síðan 2 mílur í suðvestur. Hve langt er hún að heiman og í hvaða átt þarf hún að ganga til að fara beint heim?
62.
Bátur leggur frá höfn og siglir 6 mílur í norður og síðan 2 mílur í norðaustur. Hve langt er báturinn frá höfninni og í hvaða átt þarf hann að sigla til að fara beint aftur til hafnar?
63.
Maður leggur af stað gangandi að heiman og gengur 4 mílur í austur, 2 mílur í suðaustur, 5 mílur í suður, 4 mílur í suðvestur og 2 mílur í austur. Hve langt hefur hann gengið? Hve langt þyrfti hann að ganga ef hann færi beint heim?
64.
Kona leggur af stað gangandi að heiman og gengur 4 mílur í austur, 7 mílur í suðaustur, 6 mílur í suður, 5 mílur í suðvestur og 3 mílur í austur. Hve langt hefur hún gengið? Hve langt þyrfti hún að ganga ef hún færi beint heim?
65.
Maður leggur af stað gangandi að heiman og gengur 3 mílur eftir stefnunni 20° norður frá vestri, síðan 5 mílur eftir stefnunni 10° vestur frá suðri og loks 4 mílur eftir stefnunni 15° norður frá austri. Hve langt þyrfti hann að ganga ef hann færi beint heim og í hvaða átt?
66.
Kona leggur af stað gangandi að heiman og gengur 6 mílur eftir stefnunni 40° norður frá austri, síðan 2 mílur eftir stefnunni 15° austur frá suðri og loks 5 mílur eftir stefnunni 30° suður frá vestri. Hve langt þyrfti hún að ganga ef hún færi beint heim og í hvaða átt?
67.
Flugvél stefnir í norður með lofthraðanum 600 km/hr en vindur blæs úr suðvestri með hraðanum 80 km/hr. Hve margar gráður rekur flugvélina af stefnu og hver er ferð hennar miðað við jörð?
68.
Flugvél stefnir í norður með lofthraðanum 500 km/hr en vindur blæs úr norðvestri með hraðanum 50 km/hr. Hve margar gráður rekur flugvélina af stefnu og hver er ferð hennar miðað við jörð?
69.
Flugvél þarf að stefna beint í norður en vindur blæs úr suðvestri með hraðanum 60 km/hr. Flugvélin flýgur með lofthraðanum 550 km/hr. Hve margar gráður vestur frá norðri þarf flugmaðurinn að stefna vélinni svo hún fljúgi beint í norður?
70.
Flugvél þarf að stefna beint í norður en vindur blæs úr norðvestri með hraðanum 80 km/hr. Flugvélin flýgur með lofthraðanum 500 km/hr. Hve margar gráður vestur frá norðri þarf flugmaðurinn að stefna vélinni svo hún fljúgi beint í norður?
71.
Í tölvuleik er punktinum snúið rangsælis um upphafspunktinn um hornið 35°. Finnið ný hnit punktsins.
72.
Í tölvuleik er punktinum snúið rangsælis um upphafspunktinn um hornið 40°. Finnið ný hnit punktsins.
73.
Tvö börn kasta bolta beint fram og til baka þvert yfir aftursæti bifreiðar. Boltanum er kastað með hraðanum 10 mílur á klukkustund miðað við bifreiðina og hún ekur með hraðanum 25 mílur á klukkustund eftir veginum. Ef annað barnið grípur ekki boltann og hann flýgur út um gluggann, í hvaða átt flýgur hann ef loftmótstaða er hunsuð?
74.
Tvö börn kasta bolta beint fram og til baka þvert yfir aftursæti bifreiðar. Boltanum er kastað með hraðanum 8 mílur á klukkustund miðað við bifreiðina og hún ekur með hraðanum 45 mílur á klukkustund eftir veginum. Ef annað barnið grípur ekki boltann og hann flýgur út um gluggann, í hvaða átt flýgur hann ef loftmótstaða er hunsuð?
75.
Hlutur sem vegur 50 pund hvílir á skáfleti sem hallar um 19°. Finnið stærð kraftþáttanna sem eru samsíða og hornréttir á skáflötinn, námundað að næsta tíunda hluta punds.
76.
Gerum ráð fyrir að kraftur sem nemur 10 pundum verki á hlut til hægri, kraftur sem nemur 25 pundum verki upp á við og kraftur sem nemur 5 pundum verki undir horninu 45° við lárétt. Hvaða einstaki kraftur er heildarkrafturinn sem verkar á hlutinn?
77.
Gerum ráð fyrir að kraftur sem nemur 10 pundum verki á hlut til hægri, kraftur sem nemur 25 pundum verki undir horninu ─135° við lárétt og kraftur sem nemur 5 pundum verki undir horninu 150° við lárétt. Hvaða einstaki kraftur er heildarkrafturinn sem verkar á hlutinn?
78.
Jafnvægisskilyrðið er að summa kraftanna sem verka á hlut sé núllvigurinn. Gerum ráð fyrir að kraftur sem nemur 2 pundum verki á hlut til hægri, kraftur sem nemur 5 pundum verki upp á við og kraftur sem nemur 3 pundum verki undir horninu 45° við lárétt. Hvaða einstaka kraft þarf til að koma hlutnum í jafnvægi?
79.
Gerum ráð fyrir að kraftur sem nemur 3 pundum verki á hlut til vinstri, kraftur sem nemur 4 pundum verki upp á við og kraftur sem nemur 2 pundum verki undir horninu 30° við lárétt. Hvaða einstaka kraft þarf til að koma hlutnum í jafnvægi? Teiknið vigurinn.
