88 Frekari notkun hornafræði

8.3 Pólhnit

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Teikna punkta með pólhnitum.
Umrita pólhnit í rétthyrnd hnit.
Umrita rétthyrnd hnit í pólhnit.
Umrita jöfnur milli pólhnitaforms og rétthyrnds forms.
Þekkja og teikna pólhnitajöfnur með því að umrita þær í rétthyrndar jöfnur.

Í meira en 12 kílómetra fjarlægð frá höfn lendir seglbátur í slæmu veðri og 16 hnúta vindur feykir honum af leið (sjá mynd 1). Hvernig getur siglingamaðurinn gefið Landhelgisgæslunni upp staðsetningu sína? Í þessum hluta skoðum við aðferð til að tákna staðsetningu sem er frábrugðin venjulegu hnitakerfi.

Að teikna punkta með pólhnitum

Þegar við hugsum um að teikna punkta í fleti koma rétthyrnd hnit $(x, y)$ í kartesísku hnitaplani yfirleitt fyrst upp í hugann. Hnitapar má þó rita á fleiri vegu og til eru önnur hnitakerfi. Í þessum hluta kynnumst við pólhnitum, þar sem punktar eru táknaðir $(r, θ)$ og teiknaðir á pólhnitanet. Pólhnitanetið er myndað úr sammiðja hringjum sem ganga út frá skautinu, það er upphafspunkti hnitaplansins.

Pólhnitanetið er kvarðað eins og einingarhringurinn, en jákvæði x-ásinn er nú pólhnitaásinn og upphafspunkturinn er skautið. Fyrra hnitið $r$ er geislinn, eða lengd stefnda línustriksins frá skautinu. Hornið $θ,$ mælt í radíönum, segir til um stefnu $r .$ Við færum okkur rangsælis frá pólhnitaásnum um hornið 𝜃 $θ,$ og mælum stefnt línustrik af lengdinni $r$ í stefnu $θ .$ Þótt við mælum $θ$ fyrst og síðan 𝑟 $r,$ er r-hnitið ritað á undan í pólhnitapunktinum. Til að teikna punktinn ( 2 , 𝜋 4 ) $(2, \frac{π}{4}),$ færum við okkur til dæmis $\frac{π}{4}$ einingar rangsælis og síðan um lengdina 2 frá skautinu. Punkturinn er teiknaður á netið á mynd 2.

Pólhnitanet með punktinum (2, pi/4) merktum inn.

Dæmi 1

Að teikna punkt á pólhnitanet

Teiknið punktinn $(3, \frac{π}{2})$ á pólhnitanetið.

Lausn

Hornið $\frac{π}{2}$ fæst með því að fara 90° rangsælis frá pólhnitaásnum. Punkturinn er í 3 eininga fjarlægð frá skautinu í stefnu $\frac{π}{2}$ , eins og sýnt er á mynd 3.

Pólhnitanet með punktinum (3, pi/2) merktum inn. — Mynd 3

Dæmi 2

Að teikna punkt með neikvætt hnit í pólhnitakerfi

Teiknið punktinn $(- 2, \frac{π}{6})$ á pólhnitanetið.

Lausn

Við vitum að $\frac{π}{6}$ er í fyrsta fjórðungi. Hins vegar er $r = −2.$ Punkt með neikvætt $r$ má teikna á tvo vegu:

Teiknið punktinn $(2, \frac{π}{6})$ með því að fara $\frac{π}{6}$ rangsælis og draga stefnt línustrik 2 einingar inn í fyrsta fjórðung. Farið síðan aftur eftir línustrikinu gegnum skautið og haldið áfram 2 einingar inn í þriðja fjórðung;
Farið $\frac{π}{6}$ rangsælis og dragið stefnt línustrik frá skautinu 2 einingar í neikvæða stefnu, inn í þriðja fjórðung.

Sjá mynd 4 (a). Berið þetta saman við graf pólhnitapunktsins $(2, \frac{π}{6})$ á mynd 4 (b).

Tvö pólhnitanet. Punktarnir (2, pi/6) og (-2, pi/6) eru merktir inn. Þeir eru spegilmyndir hvor annars um upphafspunktinn í fyrsta og þriðja fjórðungi. — Mynd 4

Umritun pólhnita í rétthyrnd hnit

Þegar pólhnit eru gefin gæti þurft að umrita þau í rétthyrnd hnit. Til þess rifjum við upp tengsl breytanna $x, y, r,$ og $θ .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \to x = r \cos θ \end{array} \\ \sin θ = \frac{y}{r} \to y = r \sin θ \end{array}

Ef lóðrétt lína er dregin frá punktinum í fletinum niður á x-ásinn myndast rétthyrndur þríhyrningur, eins og sýnt er á mynd 5. Auðvelt er að muna jöfnurnar hér að ofan með því að hugsa um $\cos θ$ sem aðlæga skammhlið deilda með langhlið og $\sin θ$ sem mótlæga skammhlið deilda með langhlið.

Samanburður á pólhnitum og rétthyrndum hnitum. Rétthyrndur þríhyrningur er teiknaður í x,y-hnitakerfi. Hliðar hans eru lárétt línustrik af lengd x á x-ásnum, lóðrétt línustrik frá x-ásnum að punkti í fjórðungi 1 og langhliðin r frá upphafspunkti að sama punkti í fjórðungi 1. Hornpunktarnir eru upphafspunkturinn (0,0), punktur á x-ásnum með hnitin (x,0) og punkturinn í fjórðungi 1. Síðasti punkturinn hefur hnitin (x,y) eða (r, theta), eftir því hvort hnitakerfið er notað.

Dæmi 3

Að rita pólhnit sem rétthyrnd hnit

Ritið pólhnitin $(3, \frac{π}{2})$ sem rétthyrnd hnit.

Lausn

Notið jafngildu tengslin.

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = 3 \cos \frac{π}{2} = 0 \\ y = r \sin θ \\ y = 3 \sin \frac{π}{2} = 3 \end{array}

Rétthyrndu hnitin eru $(0, 3) .$ Sjá mynd 6.

Teikning af (3, pi/2) í pólhnitum og (0,3) í rétthyrndum hnitum — þetta er sami punkturinn. — Mynd 6

Dæmi 4

Að rita pólhnit sem rétthyrnd hnit

Ritið pólhnitin $(- 2, 0)$ sem rétthyrnd hnit.

Lausn

Sjá mynd 7. Þegar pólhnitin eru rituð sem rétthyrnd hnit fæst

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ x = −2 \cos (0) = −2 \\ y = r \sin θ \\ y = −2 \sin (0) = 0 \end{array}

Rétthyrndu hnitin eru einnig $(- 2, 0) .$

Teikning af (-2, 0) í pólhnitum og (-2,0) í rétthyrndum hnitum — þetta er sami punkturinn. — Mynd 7

Umritun rétthyrndra hnita í pólhnit

Til að umrita rétthyrnd hnit í pólhnit notum við tvö önnur kunnugleg tengsl. Við þessa umritun þarf þó að hafa í huga að eitt par rétthyrndra hnita gefur fleiri en einn pólhnitapunkt.

Dæmi 5

Að rita rétthyrnd hnit sem pólhnit

Umritið rétthyrndu hnitin $(3, 3)$ í pólhnit.

Lausn

Við sjáum að upphaflegi punkturinn $(3, 3)$ er í fyrsta fjórðungi. Til að finna 𝜃 $θ,$ notum við formúluna $\tan θ = \frac{y}{x} .$ Þá fæst

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{3}{3} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \tan^{−1} (1) \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Til að finna 𝑟 $r,$ setjum við gildi $x$ og $y$ inn í formúluna $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$ Við vitum að $r$ verður að vera jákvætt þar sem $\frac{π}{4}$ er í fyrsta fjórðungi. Því fæst

\begin{array}{l} r = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \\ r = \sqrt{9 + 9} \\ r = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{array}

Því er $r = 3 \sqrt{2}$ og $θ = \frac{π}{4},$ svo pólhnitapunkturinn er $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ Sjá mynd 9.

Teikning af (3rad2, pi/4) í pólhnitum og (3,3) í rétthyrndum hnitum — þetta er sami punkturinn. — Mynd 9

Greining

Önnur pólhnitapör tákna sama punkt og fyrsta lausnin okkar. Punktarnir $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ og $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ falla til dæmis saman við upphaflegu lausnina $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ Punkturinn $(- 3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ merkir að farið er 𝜋 $π,$ lengra rangsælis, beint á móti $\frac{π}{4} .$ Geislinn er gefinn sem $- 3 \sqrt{2} .$ Hornið $\frac{5 π}{4}$ er hins vegar í þriðja fjórðungi og þar sem $r$ er neikvætt framlengjum við stefnda línustrikið í gagnstæða átt, inn í fyrsta fjórðung. Þetta er sami punktur og $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4}) .$ Punkturinn $(3 \sqrt{2}, - \frac{7 π}{4})$ fæst með því að fara $- \frac{7 π}{4},$ lengra réttsælis frá $\frac{π}{4} .$ Geislinn, $3 \sqrt{2},$ er sá sami.

Umritun jafna milli pólhnitaforms og rétthyrnds forms

Nú getum við umritað hnit milli pólhnitaforms og rétthyrnds forms. Erfiðara getur verið að umrita jöfnur, en gagnlegt er að geta farið á milli formanna tveggja. Þar sem sumar pólhnitajöfnur verða ekki settar skýrt fram á kartesísku formi, og öfugt, getum við beitt sömu aðferðum og við notuðum til að umrita punkta milli hnitakerfanna. Síðan má nota grafreikni til að teikna annaðhvort rétthyrnda form jöfnunnar eða pólhnitaform hennar.

Dæmi 6

Að rita kartesíska jöfnu á pólhnitaformi

Ritið kartesísku jöfnuna $x^{2} + y^{2} = 9$ á pólhnitaformi.

Lausn

Markmiðið er að eyða 𝑥 x og 𝑦 y úr jöfnunni og $x$ koma 𝑟 $y$ r og 𝜃 θ . inn í staðinn. Best væri að rita 𝑟 r sem fall $r$ af 𝜃 $θ .$ . θ . Til að fá pólhnitaformið notum við tengslin milli ( 𝑥 , 𝑦 ) ( x $r$ , y ) og ( 𝑟 , 𝜃 ) $θ .$ . ( r , θ ) . Þar sem 𝑥 = 𝑟 ⁢ c o s ⁡ 𝜃 x = r ⁢ cos ⁡ θ og 𝑦 = 𝑟 ⁢ s i $(x, y)$ n ⁡ $(r, θ) .$ 𝜃 y $x = r \cos θ$ = r $y = r \sin θ,$ ⁢ sin ⁡ θ , getum við sett inn og leyst fyrir 𝑟 . r . $r .$

\begin{array}{l} {(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2} = 9 \\ r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ = 9 \\ r^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) = 9 \\ r^{2} (1) = 9 & {Substitute cos}^{2} θ + \sin^{2} θ = 1. \\ r = \pm 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Use the square root property . \end{array}

Því ættu $x^{2} + y^{2} = 9, r = 3,$ og $r = - 3$ að gefa sama graf. Sjá mynd 10.

Hringur með geisla 3 og miðju í upphafspunkti er teiknaður í pólhnitum og rétthyrndum hnitum. Grafið er hið sama í báðum kerfum. — **Mynd 10.** (a) Kartesískt form x² + y² = 9 (b) Pólhnitaform r = 3

Til að teikna hring á rétthyrndu formi verðum við fyrst að leysa fyrir $y .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 9 \end{array} \\ y^{2} = 9 - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{9 - x^{2}} \end{array}

Athugið að hér er um tvö aðskilin föll að ræða þar sem hringur stenst ekki lóðrétta línuprófið. Því þarf að setja jákvæðu og neikvæðu kvaðratræturnar inn í reiknivélina sitt í hvoru lagi sem tvær jöfnur á forminu $Y_{1} = \sqrt{9 - x^{2}}$ og $Y_{2} = - \sqrt{9 - x^{2}} .$ Ýtið á GRAPH.

Dæmi 7

Að endurrita kartesíska jöfnu sem pólhnitajöfnu

Endurritið kartesísku jöfnuna $x^{2} + y^{2} = 6 y$ sem pólhnitajöfnu.

Lausn

Þessi jafna líkist jöfnunni í fyrra sýnidæmi en umritun hennar krefst annarra skrefa.

Við getum samt fylgt sömu aðferðum og áður og gert eftirfarandi innsetningar:

\begin{array}{l} r^{2} = 6 y & Notið x^{2} + y^{2} = r^{2} . \\ r^{2} = 6 r \sin θ & Setjið inn y = r \sin θ . \\ r^{2} - 6 r \sin θ = 0 & Set equal to 0 . \\ r (r - 6 \sin θ) = 0 & Factor and solve . \\ r = 0 & We reject r = 0, as it only represents one point, (0, 0) . \\ r = 6 \sin θ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{array}

Því ættu jöfnurnar $x^{2} + y^{2} = 6 y$ og $r = 6 \sin θ$ að gefa sama graf. Sjá mynd 11.

Gröf jafnanna hér að ofan eru eins í rétthyrndum hnitum og pólhnitum. Þau eru hringir. — **Mynd 11.** (a) Kartesískt form x² + y² = 6 ⁢ y (b) pólhnitaform r = 6 ⁢ sin ⁡ θ

Við teiknum kartesísku, eða rétthyrndu, jöfnuna á rétthyrnt net og pólhnitajöfnuna á pólhnitanet. Gröfin eru greinilega eins.

Dæmi 8

Að endurrita kartesíska jöfnu á pólhnitaformi

Endurritið kartesísku jöfnuna $y = 3 x + 2$ sem pólhnitajöfnu.

Lausn

Við notum tengslin $x = r \cos θ$ og $y = r \sin θ .$

\begin{array}{l} y = 3 x + 2 \\ r \sin θ = 3 r \cos θ + 2 \\ r \sin θ - 3 r \cos θ = 2 \\ r (\sin θ - 3 \cos θ) = 2 & Einangrið r . \\ r = \frac{2}{\sin θ - 3 \cos θ} \begin{matrix}  \end{matrix} & Solve for r . \end{array}

Að þekkja og teikna pólhnitajöfnur með umritun í rétthyrndar jöfnur

Við höfum lært að umrita rétthyrnd hnit í pólhnit og séð að punktarnir eru í raun þeir sömu. Við höfum einnig umritað pólhnitajöfnur í rétthyrndar jöfnur og öfugt. Nú sýnum við fram á að gröf þeirra eru eins þótt þau séu teiknuð á mismunandi hnitakerfi.

Dæmi 9

Að teikna pólhnitajöfnu með umritun í rétthyrnda jöfnu

Umritið pólhnitajöfnuna $r = 2 \sec θ$ í rétthyrnda jöfnu og teiknið samsvarandi graf.

Lausn

Umritunin er

\begin{matrix} r & = & 2 \sec θ \\ r & = & \frac{2}{\cos θ} \\ r \cos θ & = & 2 \\ x & = & 2 \end{matrix}

Athugið að jafnan $r = 2 \sec θ$ á pólhnitaneti gefur greinilega sömu lóðréttu línu og $x = 2$ á rétthyrndu neti (sjá mynd 12). Rétt eins og $x = c$ er staðalform lóðréttrar línu á rétthyrndu formi er $r = c \sec θ$ staðalform lóðréttrar línu á pólhnitaformi.

Gröf jafnanna hér að ofan eru eins í rétthyrndum hnitum og pólhnitum. Þau eru línur. — **Mynd 12.** (a) Pólhnitanet (b) Rétthyrnt hnitakerfi

Á svipaðan hátt mætti sýna að graf fallsins $r = 2 \csc θ$ er lárétta línan $y = 2.$ Reyndar er $r = c \csc θ$ staðalform láréttrar línu á pólhnitaformi og samsvarar rétthyrnda forminu $y = c .$

Dæmi 10

Að endurrita pólhnitajöfnu á kartesísku formi

Endurritið pólhnitajöfnuna $r = \frac{3}{1 - 2 \cos θ}$ sem kartesíska jöfnu.

Lausn

Markmiðið er að eyða $θ$ og 𝑟 $r,$ og koma $x$ og 𝑦 $y .$ inn í staðinn. Við eyðum brotinu og notum síðan innsetningu. Til að skipta $r$ út fyrir $x$ og 𝑦 $y,$ verðum við að nota sambandið $x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

\begin{matrix} r & = & \frac{3}{1 - 2 \cos θ} \\ r (1 - 2 (\frac{x}{r})) & = & 3 \\ r - 2 x & = & 3 & Notið \cos θ = \frac{x}{r} t o eyðið θ \\ r - 2 x & = & 3 \\ r & = & 3 + 2 x & Einangrið r \\ r^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Hefjið í annað veldi báðar hliðar \\ x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Notið x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

Kartesíska jafnan er $x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} .$ Til að teikna hana, einkum með grafreikni eða tölvuforriti, viljum við þó einangra $y .$

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} \\ y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{{(3 + 2 x)}^{2} - x^{2}} \end{array}

Þegar allri jöfnunni hefur verið breytt úr $r$ og $θ$ í $x$ og 𝑦 $y,$ getum við hætt, nema beðið sé um að leysa fyrir $y$ eða einfalda. Sjá mynd 13.

Gröf jafnanna hér að ofan eru eins í rétthyrndum hnitum og pólhnitum. Þau eru breiðbogar. — Mynd 13

„Stundaglaslögun“ grafsins nefnist breiðbogi. Breiðbogar hafa marga áhugaverða rúmfræðilega eiginleika og hagnýtingu sem við skoðum nánar í greinandi rúmfræði.

Greining

Í þessu dæmi má margfalda upp hægri hlið jöfnunnar og einfalda hana frekar, eins og sýnt er hér að ofan. Hins vegar er ekki hægt að rita jöfnuna sem eitt fall á kartesísku formi. Við gætum viljað rita rétthyrndu jöfnuna á staðalformi breiðboga. Til þess getum við byrjað á upphaflegu jöfnunni.

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} - {(3 + 2 x)}^{2} & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} - (9 + 12 x + 4 x^{2}) & = & 0 \\ x^{2} + y^{2} - 9 - 12 x - 4 x^{2} & = & 0 \\ - 3 x^{2} - 12 x + y^{2} & = & 9 & Margfaldið í gegn með - 1 \\ 3 x^{2} + 12 x - y^{2} & = & - 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x +) - y^{2} & = & - 9 \\ 3 (x^{2} + 4 x + 4) - y^{2} & = & - 9 + 12 & O r g a n i z e liðum til að mynda fullkomið ferningslið í x \\ 3 {(x + 2)}^{2} - y^{2} & = & 3 \\ {(x + 2)}^{2} - \frac{y^{2}}{3} & = & 1 \end{matrix}

Dæmi 11

Að endurrita pólhnitajöfnu á kartesísku formi

Endurritið pólhnitajöfnuna $r = \sin (2 θ)$ á kartesísku formi.

Lausn

\begin{array}{l} r = \sin (2 θ) & Use the double angle identity for sine . \\ r = 2 \sin θ \cos θ \begin{matrix}  \end{matrix} & Notið \cos θ = \frac{x}{r} og \sin θ = \frac{y}{r} . \\ r = 2 (\frac{x}{r}) (\frac{y}{r}) & Einfaldið . \\ r = \frac{2 x y}{r^{2}} & Multiply both sides by r^{2} . \\ r^{3} = 2 x y \\ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{3} = 2 x y & Þar sem x^{2} + y^{2} = r^{2}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \end{array}

Jöfnuna má einnig rita sem

{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = 2 x y or x^{2} + y^{2} = {(2 x y)}^{\frac{2}{3}}

8.3 Æfingar

Hugtök

Að hvaða leyti eru pólhnit frábrugðin rétthyrndum hnitum?

Að hvaða leyti eru pólhnitaásarnir frábrugðnir x- og y-ásum kartesíska plansins?

Útskýrið hvernig punktar í pólhnitum eru teiknaðir.

Hvernig tengjast punktarnir $(3, \frac{π}{2})$ og $(- 3, \frac{π}{2})$ ?

Útskýrið hvers vegna punktarnir $(- 3, \frac{π}{2})$ og $(3, - \frac{π}{2})$ eru sami punkturinn.

Reikningur

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita gefin pólhnit í kartesísk hnit. Þegar $θ$ er ákvarðað skuluð þið gæta að því í hvaða fjórðungi punkturinn er.

(7,7⁢𝜋6) $(7, \frac{7 π}{6})$

(5,𝜋) $(5, π)$

(6,−𝜋4) $(6, - \frac{π}{4})$

(−3,𝜋6) $(- 3, \frac{π}{6})$

10.

(4,7⁢𝜋4) $(4, \frac{7 π}{4})$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita gefin kartesísk hnit í pólhnit þar sem $r > 0, 0 \leq θ < 2 π .$ Gætið að því í hvaða fjórðungi punkturinn er.

11.

(4,2) $(4, 2)$

12.

(−4,6) $(- 4, 6)$

13.

(3,−5) $(3, −5)$

14.

(−10,−13) $(−10, −13)$

15.

(8,8) $(8, 8)$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita gefna kartesíska jöfnu í pólhnitajöfnu.

16.

𝑥=3 $x = 3$

17.

𝑦=4 $y = 4$

18.

𝑦=4⁢𝑥2 $y = 4 x^{2}$

19.

𝑦=2⁢𝑥4 $y = 2 x^{4}$

20.

𝑥2+𝑦2=4⁢𝑦 $x^{2} + y^{2} = 4 y$

21.

𝑥2+𝑦2=3⁢𝑥 $x^{2} + y^{2} = 3 x$

22.

𝑥2−𝑦2=𝑥 $x^{2} - y^{2} = x$

23.

𝑥2−𝑦2=3⁢𝑦 $x^{2} - y^{2} = 3 y$

24.

𝑥2+𝑦2=9 $x^{2} + y^{2} = 9$

25.

𝑥2=9⁢𝑦 $x^{2} = 9 y$

26.

𝑦2=9⁢𝑥 $y^{2} = 9 x$

27.

9⁢𝑥⁢𝑦=1 $9 x y = 1$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita gefna pólhnitajöfnu í kartesíska jöfnu. Ritið hana á staðalformi keilusniðs ef unnt er og tilgreinið hvaða keilusnið hún táknar.

28.

𝑟=3⁢sin⁡𝜃 $r = 3 \sin θ$

29.

𝑟=4⁢cos⁡𝜃 $r = 4 \cos θ$

30.

𝑟=4sin⁡𝜃+7⁢cos⁡𝜃 $r = \frac{4}{\sin θ + 7 \cos θ}$

31.

𝑟=6cos⁡𝜃+3⁢sin⁡𝜃 $r = \frac{6}{\cos θ + 3 \sin θ}$

32.

𝑟=2⁢sec⁡𝜃 $r = 2 \sec θ$

33.

𝑟=3⁢csc⁡𝜃 $r = 3 \csc θ$

34.

𝑟=√𝑟⁢cos⁡𝜃+2 $r = \sqrt{r \cos θ + 2}$

35.

𝑟2=4⁢sec⁡𝜃⁢csc⁡𝜃 $r^{2} = 4 \sec θ \csc θ$

36.

𝑟=4 $r = 4$

37.

𝑟2=4 $r^{2} = 4$

38.

𝑟=14⁢cos⁡𝜃−3⁢sin⁡𝜃 $r = \frac{1}{4 \cos θ - 3 \sin θ}$

39.

𝑟=3cos⁡𝜃−5⁢sin⁡𝜃 $r = \frac{3}{\cos θ - 5 \sin θ}$

Gröf

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna pólhnit punktsins.

40.

Pólhnitakerfi með punkti á þriðja sammiðja hringnum og pi/2.

41.

Pólhnitakerfi með punkti á þriðja sammiðja hringnum, mitt á milli pi/2 og pí í öðrum fjórðungi.

42.

Pólhnitakerfi með punkti mitt á milli fyrsta og annars sammiðja hringsins og þriðjung leiðarinnar frá pí að 3pi/2 (nær pí).

43.

Pólhnitakerfi með punkti á fimmta sammiðja hringnum og pí.

44.

Pólhnitakerfi með punkti á fjórða sammiðja hringnum og þriðjung leiðarinnar milli 3pi/2 og 2pi (nær 3pi/2).

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna punktana.

45.

(−2,𝜋3) $(- 2, \frac{π}{3})$

46.

(−1,−𝜋2) $(- 1, - \frac{π}{2})$

47.

(3.5,7⁢𝜋4) $(3.5, \frac{7 π}{4})$

48.

(−4,𝜋3) $(- 4, \frac{π}{3})$

49.

(5,𝜋2) $(5, \frac{π}{2})$

50.

(4,−5⁢𝜋4) $(4, \frac{- 5 π}{4})$

51.

(3,5⁢𝜋6) $(3, \frac{5 π}{6})$

52.

(−1.5,7⁢𝜋6) $(- 1.5, \frac{7 π}{6})$

53.

(−2,𝜋4) $(- 2, \frac{π}{4})$

54.

(1,3⁢𝜋2) $(1, \frac{3 π}{2})$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita jöfnuna úr rétthyrndu formi í pólhnitaform og teikna hana á pólhnitanet.

55.

5⁢𝑥−𝑦=6 $5 x - y = 6$

56.

2⁢𝑥+7⁢𝑦=−3 $2 x + 7 y = - 3$

57.

𝑥2+(𝑦−1)₂=1 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

58.

(𝑥+2)₂+(𝑦+3)₂=13 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 13$

59.

𝑥=2 $x = 2$

60.

𝑥2+𝑦2=5⁢𝑦 $x^{2} + y^{2} = 5 y$

61.

𝑥2+𝑦2=3⁢𝑥 $x^{2} + y^{2} = 3 x$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita jöfnuna úr pólhnitaformi í rétthyrnt form og teikna hana á rétthyrnt hnitaplan.

62.

𝑟=6 $r = 6$

63.

𝑟=−4 $r = - 4$

64.

𝜃=−2⁢𝜋3 $θ = - \frac{2 π}{3}$

65.

𝜃=𝜋4 $θ = \frac{π}{4}$

66.

𝑟=sec⁡𝜃 $r = \sec θ$

67.

𝑟=−10⁢sin⁡𝜃 $r = −10 \sin θ$

68.

𝑟=3⁢cos⁡𝜃 $r = 3 \cos θ$

Tækni

69.

Notið grafreikni til að finna rétthyrnd hnit punktsins $(2, - \frac{π}{5}) .$ Námundið að næsta þúsundasta hluta.

70.

Notið grafreikni til að finna rétthyrnd hnit punktsins $(- 3, \frac{3 π}{7}) .$ Námundið að næsta þúsundasta hluta.

71.

Notið grafreikni til að finna pólhnit punktsins $(- 7, 8)$ í gráðum. Námundið að næsta þúsundasta hluta.

72.

Notið grafreikni til að finna pólhnit punktsins $(3, - 4)$ í gráðum. Námundið að næsta hundraðasta hluta.

73.

Notið grafreikni til að finna pólhnit punktsins $(- 2, 0)$ í radíönum. Námundið að næsta hundraðasta hluta.

Viðbótarverkefni

74.

Lýsið grafi $r = a \sec θ; a > 0.$

75.

Lýsið grafi $r = a \sec θ; a < 0.$

76.

Lýsið grafi $r = a \csc θ; a > 0.$

77.

Lýsið grafi $r = a \csc θ; a < 0.$

78.

Hvaða pólhnitajöfnur gefa skálínu?

Í eftirfarandi æfingu skuluð þið teikna pólhnitaójöfnuna.

79.

𝑟<4 $r < 4$

80.

0≤𝜃≤𝜋4 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$

81.

𝜃=𝜋4,𝑟≥2 $θ = \frac{π}{4}, r \geq 2$

82.

𝜃=𝜋4,𝑟≥−3 $θ = \frac{π}{4}, r \geq −3$

83.

0≤𝜃≤𝜋3,𝑟<2 $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}, r < 2$

84.

−𝜋6<𝜃≤𝜋3,−3<𝑟<2 $\frac{- π}{6} < θ \leq \frac{π}{3}, - 3 < r < 2$