88 Frekari notkun hornafræði

8.5 Pólform tvinntalna

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Teikna tvinntölur í tvinntalnaplani.
Finna tölugildi tvinntölu.
Rita tvinntölur á pólformi.
Umrita tvinntölu af pólformi á rétthyrnt form.
Finna margfeldi tvinntalna á pólformi.
Finna kvóta tvinntalna á pólformi.
Finna veldi tvinntalna á pólformi.
Finna rætur tvinntalna á pólformi.

„Guð skapaði heilu tölurnar; allt annað er verk mannsins.“ Þessi þekkta tilvitnun í þýska stærðfræðinginn Leopold Kronecker frá nítjándu öld er viðeigandi inngangur að pólformi tvinntölu. Tvinntölur eru mannlegt hugverk og afrakstur meira en þúsund ára samfelldra rannsókna og glímu stærðfræðinga á borð við Pýþagóras, Descartes, de Moivre, Euler, Gauss og fleiri. Tvinntölur svöruðu spurningum sem höfðu vafist fyrir mestu vísindahugum um aldir.

Við kynntumst fyrst tvinntölum í hlutanum Tvinntölur. Hér einbeitum við okkur að reikniaðferðum með tvinntölur: umritun þeirra milli pólforms og rétthyrnds forms, túlkun tvinntalna í hagnýtum verkefnum og beitingu setningar de Moivres.

Að teikna tvinntölur í tvinntalnaplani

Að teikna tvinntöluna $a + b i$ líkist því að teikna rauntölu, nema að lárétti ásinn táknar raunhlutann 𝑎 $a,$ og lóðrétti ásinn þverhlutann $b i .$

Dæmi 1

Að teikna tvinntölu í tvinntalnaplani

Teiknið tvinntöluna $2 - 3 i$ í tvinntalnaplani.

Lausn

Farið tvær einingar frá upphafspunktinum í jákvæða lárétta stefnu og þrjár einingar í neikvæða lóðrétta stefnu. Sjá mynd 1.

Graf 2-3i í tvinntalnaplaninu (2 eftir raunásnum og -3 eftir þverásnum). — Mynd 1

Að finna tölugildi tvinntölu

Fyrsta skrefið við að vinna með tvinntölu á pólformi er að finna tölugildi hennar. Tölugildi tvinntölu er jafnt stærð hennar, eða $| z | .$ Það mælir fjarlægðina frá upphafspunktinum að punkti í planinu. Grafið af 𝑧 = 2 + 4 ⁢ 𝑖 $z = 2 + 4 i,$ á mynd 2 sýnir til dæmis $| z | .$

Graf 2 + 4i í tvinntalnaplaninu og stærð þess, |z| = rad 2 squared + 4 squared = rad 4 + 16 = rad 20 = 2 rad 5.

Dæmi 2

Að finna tölugildi tvinntölu með rótarstæðu

Finnið tölugildi $z = \sqrt{5} - i .$

Lausn

Með formúlunni fæst

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{5 + 1} \\ | z | = \sqrt{6} \end{array}

Sjá mynd 3.

Graf z=(rad5 - i) í tvinntalnaplaninu og stærð þess rad6. — Mynd 3

Dæmi 3

Að finna tölugildi tvinntölu

Fyrir 𝑧 = 3 − 4 ⁢ 𝑖 $z = 3 - 4 i,$ skuluð þið finna $| z | .$

Lausn

Með formúlunni fæst

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{9 + 16} \\ \begin{array}{l} | z | = \sqrt{25} \\ | z | = 5 \end{array} \end{array}

Tölugildi $z$ er 5. Sjá mynd 4.

Graf (3-4i) í tvinntalnaplaninu og stærð þess |z| =5. — Mynd 4

Að rita tvinntölur á pólformi

Pólform tvinntölu setur töluna fram með horni $θ$ og fjarlægð frá upphafspunkti $r .$ Fyrir tvinntölu á rétthyrndu formi, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⁢ 𝑖 $z = x + y i,$ , notum við sömu umritunarformúlur og þegar talan er rituð á hornafallasniði:

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

Við rifjum þessi tengsl upp á mynd 5.

Þríhyrningur í tvinntalnaplani, þar sem x-ásinn er raunás og y-ásinn þverás. Grunnlínan liggur eftir x/real ásnum, hæðin er eitthvert y/imaginary gildi í fjórðungi 1 og langhliðin r liggur frá upphafspunktinum að punktinum (x+yi) í fjórðungi 1. Hornið við upphafspunktinn er theta. Bogi liggur gegnum (x+yi).

Við notum hugtakið tölugildi um stærð tvinntölu, það er fjarlægð frá upphafspunktinum að punktinum $(x, y) .$ Tölugildið er því hið sama og 𝑟 $r,$ , geislinn á pólformi. Við notum $θ$ fyrir stefnuhornið, rétt eins og í pólhnitum. Með innsetningu fæst

\begin{array}{l} z = x + y i \\ z = r \cos θ + (r \sin θ) i \\ z = r (\cos θ + i \sin θ) \end{array}

Dæmi 4

Að setja tvinntölu fram með pólhnitum

Setjið tvinntöluna $4 i$ fram með pólhnitum.

Lausn

Í tvinntalnaplaninu er talan $z = 4 i$ sú sama og $z = 0 + 4 i .$ Til að $r$ ita hana á pólformi verðum við fyrst að reikna 𝑟 . r

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} \\ r = \sqrt{16} \\ r = 4 \end{array}

Næst skoðum við $x .$ Ef 𝑥 = 𝑟 ⁢ c o s ⁡ 𝜃 $x = r \cos θ,$ og 𝑥 = 0 $x = 0,$ , þá er $θ = \frac{π}{2} .$ Með pólhnitum má rita tvinntöluna $z = 0 + 4 i$ sem $z = 4 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$ eða $4 cis (\frac{π}{2}) .$ Sjá mynd 6.

Graf z=4i í tvinntalnaplaninu; einnig sést að pólhnit tölunnar eru (4,pi/2). — Mynd 6

Dæmi 5

Að finna pólform tvinntölu

Finnið pólform $- 4 + 4 i .$

Lausn

Finnið fyrst gildi $r .$

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + (4^{2})} \\ r = \sqrt{32} \\ r = 4 \sqrt{2} \end{array}

Finnið hornið $θ$ með formúlunni:

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \\ \cos θ = \frac{- 4}{4 \sqrt{2}} \\ \cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ θ = \cos^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3 π}{4} \end{array}

Lausnin er því $4 \sqrt{2} cis (\frac{3 π}{4}) .$

Umritun tvinntölu af pólformi á rétthyrnt form

Til að umrita tvinntölu af pólformi á rétthyrnt form reiknum við gefnu stærðirnar og beitum dreifireglunni. Fyrir 𝑧 = 𝑟 ⁢ ( c o s ⁡ 𝜃 + 𝑖 ⁢ s i n ⁡ 𝜃 ) $z = r (\cos θ + i \sin θ),$ reiknum við fyrst hornaföllin $\cos θ$ og $\sin θ .$ Síðan margföldum við upp úr sviganum með $r .$

Dæmi 6

Umritun af pólformi á rétthyrnt form

Umritið pólform gefinnar tvinntölu á rétthyrnt form:

z = 12 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))

Lausn

Við byrjum á að reikna hornafallastæðurnar.

\cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} and \sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Eftir innsetningu er tvinntalan

z = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)

Við beitum dreifireglunni:

\begin{array}{l} z = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) \\ = (12) \frac{\sqrt{3}}{2} + (12) \frac{1}{2} i \\ = 6 \sqrt{3} + 6 i \end{array}

Rétthyrnt form gefna punktsins sem tvinntölu er $6 \sqrt{3} + 6 i .$

Dæmi 7

Að finna rétthyrnt form tvinntölu

Finnið rétthyrnt form tvinntölunnar þegar $r = 13$ og $\tan θ = \frac{5}{12} .$ Gerið ráð fyrir að talan sé í fyrsta fjórðungi.

Lausn

Ef t a n ⁡ 𝜃 = 5 1 2 $\tan θ = \frac{5}{12},$ og t a n ⁡ 𝜃 = 𝑦 𝑥 $\tan θ = \frac{y}{x},$ staðfestum við fyrst að $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13 .$ Síðan finnum við $\cos θ = \frac{x}{r}$ og $\sin θ = \frac{y}{r} .$

\begin{array}{l} z = 13 (\cos θ + i \sin θ) \\ = 13 (\frac{12}{13} + \frac{5}{13} i) \\ = 12 + 5 i \end{array}

Rétthyrnt form gefnu tölunnar sem tvinntölu er $12 + 5 i .$

Að finna margfeldi tvinntalna á pólformi

Nú þegar við getum umritað tvinntölur á pólform lærum við að reikna með þeim á því formi. Í því sem eftir er hlutans notum við formúlur franska stærðfræðingsins Abrahams de Moivre (1667–1754). Þær einfalda margfeldi, kvóta, veldi og rætur tvinntalna verulega. Reglurnar byggjast á því að margfalda tölugildin og leggja stefnuhornin saman.

Dæmi 8

Að finna margfeldi tveggja tvinntalna á pólformi

Finnið margfeldið 𝑧 1 ⁢ 𝑧 2 $z_{1} z_{2},$ , þar sem $z_{1} = 4 (\cos (80°) + i \sin (80°))$ og $z_{2} = 2 (\cos (145°) + i \sin (145°)) .$

Lausn

Fylgið formúlunni

\begin{array}{l} z_{1} z_{2} = 4 \cdot 2 [\cos (80° + 145°) + i \sin (80° + 145°)] \\ z_{1} z_{2} = 8 [\cos (225°) + i \sin (225°)] \\ z_{1} z_{2} = 8 [\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] \\ z_{1} z_{2} = 8 [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ z_{1} z_{2} = - 4 \sqrt{2} - 4 i \sqrt{2} \end{array}

Að finna kvóta tvinntalna á pólformi

Kvóti tveggja tvinntalna á pólformi fæst með því að deila tölugildunum og draga stefnuhornin frá.

Dæmi 9

Að finna kvóta tveggja tvinntalna

Finnið kvóta $z_{1} = 2 (\cos (213°) + i \sin (213°))$ og $z_{2} = 4 (\cos (33°) + i \sin (33°)) .$

Lausn

Með formúlunni fæst

\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2}{4} [\cos (213° - 33°) + i \sin (213° - 33°)] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [\cos (180°) + i \sin (180°)] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [- 1 + 0 i] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} + 0 i \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} \end{array}

Að finna veldi tvinntalna á pólformi

Setning de Moivres einfaldar mjög útreikning velda tvinntalna. Hún segir að fyrir jákvæða heiltölu 𝑛 $n, z^{n}$ fæst 𝑧 𝑛 með því að hefja tölugildið í $n th$ veldi og margfalda stefnuhornið með $n .$ Þetta er staðalaðferð nútímastærðfræði.

Dæmi 10

Að reikna stæðu með setningu de Moivres

Reiknið stæðuna ${(1 + i)}^{5}$ með setningu de Moivres.

Lausn

Þar sem setning de Moivres gildir um tvinntölur á pólformi verðum við fyrst að rita $(1 + i)$ á pólformi. Finnum $r .$

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}} \\ r = \sqrt{2} \end{array}

Síðan finnum við $θ .$ Formúlan $\tan θ = \frac{y}{x}$ gefur

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{1}{1} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Notið setningu de Moivres til að reikna stæðuna.

\begin{array}{l} {(a + b i)}^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i \sin (n θ)] \\ {(1 + i)}^{5} = {(\sqrt{2})}^{5} [\cos (5 \cdot \frac{π}{4}) + i \sin (5 \cdot \frac{π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ {(1 + i)}^{5} = - 4 - 4 i \end{array}

Að finna rætur tvinntalna á pólformi

Til að finna n-tu rót tvinntölu á pólformi notum við setninguna um $n th$ rætur eða setningu de Moivres og hefjum tvinntöluna í veldi með ræðum veldisvísi. Formúlu fyrir $n th$ rætur tvinntalna á pólformi má setja fram á nokkra vegu.

Dæmi 11

Að finna n-tu rót tvinntölu

Reiknið teningsrætur $z = 8 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})) .$

Lausn

Við höfum

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3})] \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3})] \end{array}

Ræturnar eru þrjár: $k = 0, 1, 2.$ Þegar 𝑘 = 0 $k = 0,$ fæst

z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{2 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9}))

Þegar 𝑘 = 1 $k = 1,$ fæst

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} Add \frac{2 (1) π}{3} to each angle. \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{8 π}{9}) + i \sin (\frac{8 π}{9})) \end{array}

Þegar 𝑘 = 2 $k = 2,$ fæst

\begin{array}{l} z^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9}) + i \sin (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} & Add \frac{2 (2) π}{3} to each angle. \\ z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{14 π}{9}) + i \sin (\frac{14 π}{9})) \end{array}

Munið að finna samnefnara til að einfalda brot í tilvikum sem þessu. Fyrir 𝑘 = 1 $k = 1,$ einfaldast hornið sem

\begin{array}{l} \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 (1) π}{3} = \frac{2 π}{3} (\frac{1}{3}) + \frac{2 (1) π}{3} (\frac{3}{3}) \\ = \frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9} \\ = \frac{8 π}{9} \end{array}

8.5 Æfingar

Hugtök

Tvinntala er $a + b i .$ Útskýrið hvorn hluta.

Hvað táknar tölugildi tvinntölu?

Hvernig er tvinntölu umritað á pólform?

Hvernig finnum við margfeldi tveggja tvinntalna?

Hvað er setning de Moivres og til hvers er hún notuð?

Reikningur

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna tölugildi gefinnar tvinntölu.

5+⁢3⁢𝑖 $5 + 3 i$

−7+⁢𝑖 $- 7 + i$

−3−3⁢𝑖 $- 3 - 3 i$

√2−6⁢𝑖 $\sqrt{2} - 6 i$

10.

2⁢𝑖 $2 i$

11.

2.2−3.1⁢𝑖 $2.2 - 3.1 i$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið rita tvinntöluna á pólformi.

12.

2+2⁢𝑖 $2 + 2 i$

13.

8−4⁢𝑖 $8 - 4 i$

14.

−12−12𝑖 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

15.

√3+𝑖 $\sqrt{3} + i$

16.

3⁢𝑖 $3 i$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið umrita tvinntöluna af pólformi á rétthyrnt form.

17.

𝑧=7⁢cis⁡(𝜋6) $z = 7 cis (\frac{π}{6})$

18.

𝑧=2⁢cis⁡(𝜋3) $z = 2 cis (\frac{π}{3})$

19.

𝑧=4⁢cis⁡(7⁢𝜋6) $z = 4 cis (\frac{7 π}{6})$

20.

𝑧=7⁢cis⁡(25°) $z = 7 cis (25°)$

21.

𝑧=3⁢cis⁡(240°) $z = 3 cis (240°)$

22.

𝑧=√2⁢cis⁡(100°) $z = \sqrt{2} cis (100°)$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna $z_{1} z_{2}$ á pólformi.

23.

𝑧1=2⁢√3⁢cis⁡(116°);𝑧2=2⁢cis⁡(82°) $z_{1} = 2 \sqrt{3} cis (116°); z_{2} = 2 cis (82°)$

24.

𝑧1=√2⁢cis⁡(205°);𝑧2=2⁢√2⁢cis⁡(118°) $z_{1} = \sqrt{2} cis (205°); z_{2} = 2 \sqrt{2} cis (118°)$

25.

𝑧1=3⁢cis⁡(120°);𝑧2=14⁢cis⁡(60°) $z_{1} = 3 cis (120°); z_{2} = \frac{1}{4} cis (60°)$

26.

𝑧1=3⁢cis⁡(𝜋4);𝑧2=5⁢cis⁡(𝜋6) $z_{1} = 3 cis (\frac{π}{4}); z_{2} = 5 cis (\frac{π}{6})$

27.

𝑧1=√5⁢cis⁡(5⁢𝜋8);𝑧2=√15⁢cis⁡(𝜋12) $z_{1} = \sqrt{5} cis (\frac{5 π}{8}); z_{2} = \sqrt{15} cis (\frac{π}{12})$

28.

𝑧1=4⁢cis⁡(𝜋2);𝑧2=2⁢cis⁡(𝜋4) $z_{1} = 4 cis (\frac{π}{2}); z_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ á pólformi.

29.

𝑧1=21⁢cis⁡(135°);𝑧2=3⁢cis⁡(65°) $z_{1} = 21 cis (135°); z_{2} = 3 cis (65°)$

30.

𝑧1=√2⁢cis⁡(90°);𝑧2=2⁢cis⁡(60°) $z_{1} = \sqrt{2} cis (90°); z_{2} = 2 cis (60°)$

31.

𝑧1=15⁢cis⁡(120°);𝑧2=3⁢cis⁡(40°) $z_{1} = 15 cis (120°); z_{2} = 3 cis (40°)$

32.

𝑧1=6⁢cis⁡(𝜋3);𝑧2=2⁢cis⁡(𝜋4) $z_{1} = 6 cis (\frac{π}{3}); z_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

33.

𝑧1=5⁢√2⁢cis⁡(𝜋);𝑧2=√2⁢cis⁡(2⁢𝜋3) $z_{1} = 5 \sqrt{2} cis (π); z_{2} = \sqrt{2} cis (\frac{2 π}{3})$

34.

𝑧1=2⁢cis⁡(3⁢𝜋5);𝑧2=3⁢cis⁡(𝜋4) $z_{1} = 2 cis (\frac{3 π}{5}); z_{2} = 3 cis (\frac{π}{4})$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna veldi hverrar tvinntölu á pólformi.

35.

Finnið $z^{3}$ þegar $z = 5 cis (45°) .$

36.

Finnið $z^{4}$ þegar $z = 2 cis (70°) .$

37.

Finnið $z^{2}$ þegar $z = 3 cis (120°) .$

38.

Finnið $z^{2}$ þegar $z = 4 cis (\frac{π}{4}) .$

39.

Finnið $z^{4}$ þegar $z = cis (\frac{3 π}{16}) .$

40.

Finnið $z^{3}$ þegar $z = 3 cis (\frac{5 π}{3}) .$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna hverja rót.

41.

Reiknið teningsrót $z$ þegar $z = 27 cis (240°) .$

42.

Reiknið kvaðratrót $z$ þegar $z = 16 cis (100°) .$

43.

Reiknið teningsrót $z$ þegar $z = 32 cis (\frac{2 π}{3}) .$

44.

Reiknið kvaðratrót $z$ þegar $z = 32 cis (π) .$

45.

Reiknið kvaðratrót $z$ þegar $z = 8 cis (\frac{7 π}{4}) .$

Gröf

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna tvinntöluna í tvinntalnaplani.

46.

2+4⁢𝑖 $2 + 4 i$

47.

−3−3⁢𝑖 $- 3 - 3 i$

48.

5−4⁢𝑖 $5 - 4 i$

49.

−1−5⁢𝑖 $- 1 - 5 i$

50.

3+2⁢𝑖 $3 + 2 i$

51.

2⁢𝑖 $2 i$

52.

−4 $- 4$

53.

6−2⁢𝑖 $6 - 2 i$

54.

−2+𝑖 $- 2 + i$

55.

1−4⁢𝑖 $1 - 4 i$

Tækni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið námunda öll svör að næsta hundraðasta hluta.

56.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr rétthyrndu formi í pólform á grafreikni til að breyta $5 + 5 i$ í pólform.

57.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr rétthyrndu formi í pólform á grafreikni til að breyta $3 - 2 i$ í pólform.

58.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr rétthyrndu formi í pólform á grafreikni til að breyta $- 3 - 8 i$ í pólform.

59.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr pólformi í rétthyrnt form á grafreikni til að breyta $4 cis (120°)$ í rétthyrnt form.

60.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr pólformi í rétthyrnt form á grafreikni til að breyta $2 cis (45°)$ í rétthyrnt form.

61.

Notið aðgerðina fyrir umritun úr pólformi í rétthyrnt form á grafreikni til að breyta $5 cis (210°)$ í rétthyrnt form.