88 Frekari notkun hornafræði

8.7 Stikajöfnur: gröf

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Teikna ferla í plani sem lýst er með stikajöfnum með því að merkja inn punkta.
Teikna gröf stikajafna.

Þótt ekki kunni allir stuðningsmenn eða liðsstjórar að meta það reiða hafnabolti og margar aðrar íþróttir sig nú mjög á gagnagreiningu, sem felur í sér flókna gagnaskráningu og tölulegt mat til að skilja og spá fyrir um hegðun. Áhrif gagnagreiningar voru í fyrstu einkum tölfræðileg en á síðari árum hefur eðlisfræði og öðrum vísindum einnig verið beitt. Þar ber hæst áherslu á upphafshorn og hraða boltans frá kylfunni, en tiltekin gildi þeirra geta nánast tryggt heimahlaup. Á hinn bóginn leiðir áhersla á upphafshorn og heimahlaup fremur en heildarárangur höggsins til mun fleiri brenndra leikmanna. Skoðum eftirfarandi aðstæður: síðari hluti níundu lotu er hafinn, tveir leikmenn eru brenndir og tveir eru á höfn. Heimaliðið er tveimur stigum undir. Slagmaðurinn slær boltann með hraðanum 140 fet á sekúndu undir um það bil $45°$ horni við lárétt. Hve langt fer boltinn? Fer hann yfir girðinguna og tryggir sigur með heimahlaupi? Niðurstaðan kann að ráðast að hluta af öðrum þáttum, til dæmis vindi, en stærðfræðingar geta notað stikajöfnur til að líkja kastferlinum og spá nokkurn veginn fyrir um drægni boltans. Í þessum hluta fjöllum við um stikajöfnur og nokkur algeng notkunarsvið þeirra, svo sem verkefni um kasthreyfingu.

Ljósmynd af hafnaboltamanni að slá boltann. — **Mynd 1.** Með stikajöfnum má lýsa kastferli. (Mynd: Paul Kreher, Flickr)

Að teikna gröf stikajafna með því að merkja inn punkta

Þegar grafreiknir eða tölvuforrit til grafteikningar er ekki tiltækt er hefðbundið að teikna graf jöfnu með því að merkja inn punkta. Aðferðin er mjög áreiðanleg svo lengi sem gildin eru reiknuð af nákvæmni.

Dæmi 1

Að skissa graf stikajöfnupárs með því að merkja inn punkta

Skissið graf stikajafnanna $x (t) = t^{2} + 1,$ $y (t) = 2 + t .$

Lausn

Gerið gildistöflu fyrir 𝑡 , 𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) t , x ⁡ ( t $t, x (t),$ ) , $y (t),$ og 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) , y ⁡ ( t ) , eins og í töflu 1 og merkið punktana inn í plan.

𝑡 t	𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) = 𝑡 2 + 1 x ⁡ ( t ) = t² + 1	𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) = 2 + 𝑡 y ⁡ ( t ) = 2 + t
− 5	2 6 26	− 3
− 4	1 7 17	− 2
− 3	1 0 10	− 1
− 2	5 5	0 0
− 1	2 2	1 1
0 0	1 1	2 2
1 1	2 2	3 3
2 2	5 5	4 4
3 3	1 0 10	5 5
4 4	1 7 17	6 6
5 5	2 6 26	7 7

Grafið er fleygbogi með topppunkt í ( 1 , 2 ) $(1, 2),$ sem opnast til hægri. Sjá mynd 2 .

Graf gefins fleygboga sem opnast til hægri. — Mynd 2

Greining

Þegar gildi $t$ 𝑡 t vaxa í jákvæða stefnu frá 0 til 5 rekja punktarnir efri helming fleygbogans. Þegar gildi $t$ 𝑡 t verða neikvæð rekja þau neðri helminginn. Skilgreiningarmengið er ótakmarkað. Örvarnar sýna stefnuna þegar gildi 𝑡 t . vaxa. Grafið lýsir ekki falli því $t .$ það stenst ekki lóðrétta línuprófið. Grafið er teiknað í tveimur hlutum: fyrir jákvæð gildi 𝑡 t , og neikvæð gildi $t,$ 𝑡 . t . $t .$

Dæmi 2

Að skissa graf stikajafna hornafalla

Gerið gildistöflu fyrir gefnu stikajöfnurnar og skissið grafið:

\begin{array}{l} x = 2 \cos t \\ y = 4 \sin t \end{array}

Lausn

Gerið töflu eins og töflu 2 með horn í radíönum sem inntaksgildi 𝑡 $t,$ og reiknið $x$ og $y .$ Ú $t$ reikningarnir verða auðveldari ef valin eru horn með þekkt sínus- og kósínusgildi fyrir 𝑡 . t

𝑡 t	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ 𝑡 x = 2 ⁢ cos ⁡ t	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ 𝑡 y = 4 ⁢ sin ⁡ t
0	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 0 ) = 2 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 0 ) = 2	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 0 ) = 0 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 0 ) = 0
𝜋 6 π/6	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 𝜋 6 ) = √ 3 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( π/6 ) = 3	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 6 ) = 2 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( π/6 ) = 2
𝜋 3 π/3	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 𝜋 3 ) = 1 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( π/3 ) = 1	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 3 ) = 2 ⁢ √ 3 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( π/3 ) = 2 ⁢ 3
𝜋 2 π/2	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 𝜋 2 ) = 0 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( π/2 ) = 0	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 2 ) = 4 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( π/2 ) = 4
2 ⁢ 𝜋 3 2 ⁢ π/3	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 2 ⁢ 𝜋 3 ) = − 1 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 2 ⁢ π/3 ) = − 1	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 2 ⁢ 𝜋 3 ) = 2 ⁢ √ 3 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 2 ⁢ π/3 ) = 2 ⁢ 3
5 ⁢ 𝜋 6 5 ⁢ π/6	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 5 ⁢ 𝜋 6 ) = − √ 3 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 5 ⁢ π/6 ) = − 3	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 5 ⁢ 𝜋 6 ) = 2 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 5 ⁢ π/6 ) = 2
𝜋 π	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 𝜋 ) = − 2 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( π ) = − 2	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 𝜋 ) = 0 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( π ) = 0
7 ⁢ 𝜋 6 7 ⁢ π/6	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 7 ⁢ 𝜋 6 ) = − √ 3 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 7 ⁢ π/6 ) = − 3	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 7 ⁢ 𝜋 6 ) = − 2 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 7 ⁢ π/6 ) = − 2
4 ⁢ 𝜋 3 4 ⁢ π/3	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 4 ⁢ 𝜋 3 ) = − 1 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 4 ⁢ π/3 ) = − 1	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 4 ⁢ 𝜋 3 ) = − 2 ⁢ √ 3 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 4 ⁢ π/3 ) = − 2 ⁢ 3
3 ⁢ 𝜋 2 3 ⁢ π/2	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 3 ⁢ 𝜋 2 ) = 0 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 3 ⁢ π/2 ) = 0	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 3 ⁢ 𝜋 2 ) = − 4 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 3 ⁢ π/2 ) = − 4
5 ⁢ 𝜋 3 5 ⁢ π/3	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 5 ⁢ 𝜋 3 ) = 1 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 5 ⁢ π/3 ) = 1	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 5 ⁢ 𝜋 3 ) = − 2 ⁢ √ 3 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 5 ⁢ π/3 ) = − 2 ⁢ 3
1 1 ⁢ 𝜋 6 11 ⁢ π/6	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 1 1 ⁢ 𝜋 6 ) = √ 3 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 11 ⁢ π/6 ) = 3	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 1 1 ⁢ 𝜋 6 ) = − 2 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 11 ⁢ π/6 ) = − 2
2 ⁢ 𝜋 2 ⁢ π	𝑥 = 2 ⁢ c o s ⁡ ( 2 ⁢ 𝜋 ) = 2 x = 2 ⁢ cos ⁡ ( 2 ⁢ π ) = 2	𝑦 = 4 ⁢ s i n ⁡ ( 2 ⁢ 𝜋 ) = 0 y = 4 ⁢ sin ⁡ ( 2 ⁢ π ) = 0

Mynd 3 sýnir grafið.

Graf gefnu jafnanna, lóðréttur sporbaugur. — Mynd 3

Af samhverfunni í gildum $x$ og 𝑦 $y,$ sjáum við að stikajöfnurnar lýsa sporbaug. Sporbaugurinn er rakinn rangsælis, eins og örvarnar sem sýna vaxandi gildi $t$ gefa til kynna.

Greining

Við höfum séð að teikna má gröf stikajafna með því að merkja inn punkta. Grafreiknir sparar þó tíma og sýnir smáatriði í grafi sem of tímafrekt gæti verið að finna með handreikningi einum saman.

Gangið úr skugga um að reiknirinn sé stilltur á stikaham (PAR). Til staðfestingar ætti glugginn $Y =$ að sýna

\begin{matrix} X_{1 T} = \\ Y_{1 T} = \end{matrix}

í stað $Y_{1} = .$

Dæmi 3

Að teikna stikajöfnur og rétthyrnt form saman

Teiknið graf stikajafnanna $x = 5 \cos t$ og $y = 2 \sin t .$ Teiknið fyrst grafið með punktum sem fást úr stikaframsetningunni. Teiknið síðan rétthyrnda form jöfnunnar. Berið gröfin saman.

Lausn

Gerið gildistöflu eins og töflu 3 .

𝑡 t	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ 𝑡 x = 5 ⁢ cos ⁡ t	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ 𝑡 y = 2 ⁢ sin ⁡ t
0 0	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 0 ) = 5 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 0 ) = 5	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 0 ) = 0 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 0 ) = 0
1 1	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 1 ) ≈ 2 . 7 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 1 ) ≈ 2.7	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 1 ) ≈ 1 . 7 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 1 ) ≈ 1.7
2 2	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 2 ) ≈ − 2 . 1 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 2 ) ≈ −2.1	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 2 ) ≈ 1 . 8 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 2 ) ≈ 1.8
3 3	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 3 ) ≈ − 4 . 9 5 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 3 ) ≈ −4.95	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 3 ) ≈ 0 . 2 8 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 3 ) ≈ 0.28
4 4	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 4 ) ≈ − 3 . 3 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 4 ) ≈ −3.3	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 4 ) ≈ − 1 . 5 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 4 ) ≈ −1.5
5 5	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( 5 ) ≈ 1 . 4 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( 5 ) ≈ 1.4	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( 5 ) ≈ − 1 . 9 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( 5 ) ≈ −1.9
− 1 −1	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( − 1 ) ≈ 2 . 7 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( −1 ) ≈ 2.7	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 1 ) ≈ − 1 . 7 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( −1 ) ≈ −1.7
− 2 −2	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( − 2 ) ≈ − 2 . 1 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( −2 ) ≈ −2.1	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 2 ) ≈ − 1 . 8 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( −2 ) ≈ −1.8
− 3 −3	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( − 3 ) ≈ − 4 . 9 5 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( −3 ) ≈ −4.95	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 3 ) ≈ − 0 . 2 8 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( −3 ) ≈ −0.28
− 4 −4	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( − 4 ) ≈ − 3 . 3 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( −4 ) ≈ −3.3	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 4 ) ≈ 1 . 5 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( −4 ) ≈ 1.5
− 5 −5	𝑥 = 5 ⁢ c o s ⁡ ( − 5 ) ≈ 1 . 4 x = 5 ⁢ cos ⁡ ( −5 ) ≈ 1.4	𝑦 = 2 ⁢ s i n ⁡ ( − 5 ) ≈ 1 . 9 y = 2 ⁢ sin ⁡ ( −5 ) ≈ 1.9

Merkið gildin $(x, y)$ úr töflunni inn. Sjá mynd 4 .

Graf gefins sporbaugs í stikaframsetningu og rétthyrndum hnitum. Sama graf birtist á báðum myndum. — Mynd 4

Næst umritum við stikajöfnurnar á rétthyrnt form. Til þess leysum við fyrir $t$ í annaðhvort $x (t)$ eða 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) $y (t),$ og setjum síðan stæðuna fyrir $t$ inn í hina jöfnuna. Niðurstaðan verður fallið $y (x)$ ef $t$ er leyst sem fall af $x,$ eða $x (y)$ ef $t$ er leyst sem fall af $y .$

\begin{array}{l} x = 5 \cos t \\ \frac{x}{5} = \cos t & Leysið fyrir \cos t . \\ y = 2 \sin t \begin{matrix}  \end{matrix} & Leysið fyrir \sin t . \\ \frac{y}{2} = \sin t \end{array}

Notið síðan reglu Pýþagórasar.

\begin{array}{r} \cos^{2} t + \sin^{2} t = 1 \\ {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} = 1 \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{array}

Greining

Á mynd 5 eru gögn stikajafnanna og rétthyrndu jöfnunnar teiknuð saman. Stikajöfnurnar eru bláar en graf rétthyrndu jöfnunnar er teiknað ofan á þær með rauðri punktalínu. Ljóst er að bæði formin gefa sama graf.

Gröf tveggja framsetninga sporbaugsins lögð saman. Þau sýna að grafið er hið sama hvort sem það er gefið með stikajöfnum eða rétthyrndum hnitum. — Mynd 5

Dæmi 4

Að teikna stikajöfnur og rétthyrndar jöfnur í sama hnitakerfi

Teiknið stikajöfnurnar $x = t + 1$ og $y = \sqrt{t},$ $t \geq 0,$ og jafngildu rétthyrndu jöfnuna $y = \sqrt{x - 1}$ í sama hnitakerfi.

Lausn

Gerið gildistöflu fyrir stikajöfnurnar eins og í dæminu á undan og teiknið $y = \sqrt{t},$ $t \geq 0$ á sama hnitakerfi, eins og á mynd 6 .

Gröf tveggja framsetninga gefins falls lögð saman. Þau sýna að grafið er hið sama hvort sem það er gefið með stikajöfnum eða rétthyrndum hnitum. — Mynd 6

Greining

Þar sem skilgreiningarmengi $t$ er takmarkað teiknum við aðeins jákvæð gildi $t .$ Gögn stikajafnanna eru blá en graf rétthyrndu jöfnunnar er rauð punktalína. Enn á ný sjáum við að formin tvö falla saman.

Notkun stikajafna

Margir kostir stikajafna verða augljósir þegar þeim er beitt á raunveruleg verkefni. Rétthyrndar jöfnur með x og y gefa heildarmynd af braut hlutar en sýna ekki staðsetningu hans á tilteknum tíma. Stikajöfnur sýna hins vegar hvernig gildi x og y breytast eftir t og þar með staðsetningu hlutar á hreyfingu á hverjum tíma.

Algengt notkunarsvið stikajafna er lausn verkefna um kasthreyfingu. Í slíkri hreyfingu er hlut varpað fram og upp undir horninu $θ$ við lárétt, með upphafshraðanum 𝑣 0 $v_{0},$ og úr hæðinni $h$ yfir láréttum fleti.

Ferill hlutar sem varpað er undir horninu $θ$ við lárétt, með upphafshraðanum 𝑣 0 $v_{0},$ og úr hæðinni $h$ yfir láréttum fleti er gefinn með

\begin{array}{l} x = (v_{0} \cos θ) t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} \sin θ) t + h \end{array}

þar sem $g$ tekur tillit til þyngdarhröðunar og $h$ er upphafshæð hlutarins. Notið $g = 32 ft / s^{2}$ eða $g = 9.8 m / s^{2} .$ eftir því hvaða einingar eru notaðar í verkefninu. Jafnan fyrir $x$ gefur lárétta vegalengd og jafnan fyrir $y$ lóðrétta vegalengd.

Dæmi 5

Að finna stikajöfnur fyrir hreyfingu hafnabolta

Leysið verkefnið sem sett var fram í upphafi hlutans. Slær leikmaðurinn heimahlaup sem tryggir sigur? Gerið ráð fyrir að boltinn sé sleginn með upphafshraðanum 140 fet á sekúndu undir $45°$ horni við lárétt og að kylfan hitti boltann 3 fetum yfir jörðu.

ⓐ Finnið stikajöfnur sem lýsa ferli hafnaboltans.
ⓑ Hvar er boltinn eftir 2 sekúndur?
ⓒ Hve lengi er boltinn á lofti?
ⓓ Er þetta heimahlaup?

Lausn

ⓐ
Notið formúlurnar til að setja upp jöfnurnar. Lárétta staðsetningin fæst með stikajöfnunni fyrir $x .$ Því er

$\begin{array}{l} x = (v_{0} \cos θ) t \\ x = (140 \cos (45°)) t \end{array}$
Lóðrétta staðsetningin fæst með stikajöfnunni fyrir $y .$ Því er

$\begin{array}{l} y = - 16 t^{2} + (v_{0} \sin θ) t + h \\ y = - 16 t^{2} + (140 \sin (45°)) t + 3 \end{array}$
ⓑ
Setjið 2 inn í jöfnurnar til að finna lárétta og lóðrétta staðsetningu boltans.
$\begin{array}{l} x = (140 \cos (45°)) (2) \\ x = 198 fet \\ y = - 16 {(2)}^{2} + (140 \sin (45°)) (2) + 3 \\ y = 137 fet \end{array}$
Eftir 2 sekúndur er boltinn 198 fet frá sláreitnum og 137 fet yfir jörðu.
ⓒ
Til að reikna hve lengi boltinn er á lofti þurfum við að finna hvenær hann lendir, það er hvenær $y = 0.$ Því er 𝑦 = − 1 6 ⁢ 𝑡 2 + ( 1 4 0 ⁢ s i n ⁡ ( 4 5 ∘ ) ) ⁢ 𝑡 + 3 𝑦 = 0 Setjið 𝑦 ⁡ ( 𝑡 ) = 0 og leysið annars stigs jöfnuna. 𝑡 = 6 . 2 1 7 3

$\begin{array}{l} y = - 16 t^{2} + (140 \sin (45^{\circ})) t + 3 \\ y = 0 & Setjið y (t) = 0 og leysið annars stigs jöfnuna . \\ t = 6.2173 \end{array}$
Þegar $t = 6.2173$ sekúndur hefur boltinn lent. (Leysa má annars stigs jöfnuna á ýmsa vegu en í þessu verkefni var notað tölvuforrit til stærðfræðireikninga.)
ⓓ
Við getum ekki staðfest að höggið hafi verið heimahlaup án þess að taka tillit til stærðar útvallarins, sem er breytileg milli valla. Til einföldunar skulum við þó gera ráð fyrir að útvallarveggurinn sé 400 fet frá heimahöfn þar sem völlurinn er dýpstur og að veggurinn sé 10 fet á hæð. Til að ákvarða hvort boltinn fari yfir vegginn þurfum við að reikna hæð hans þegar x = 400 fet. Við setjum því x = 400, leysum fyrir 𝑡 $t,$ og setjum $t$ inn í $y .$
$\begin{matrix} \begin{array}{l} x = (140 \cos (45°)) t \\ 400 = (140 \cos (45°)) t \\ t = 4.04 \end{array} \\ \begin{array}{l} y = - 16 {(4.04)}^{2} + (140 \sin (45°)) (4.04) + 3 \\ y = 141.8 \end{array} \end{matrix}$
Boltinn er 141.8 fet yfir jörðu þegar hann flýgur út af vellinum. Þetta var því heimahlaup. Sjá mynd 7 .

Teiknaður kastferill slegins bolta. Slagmaðurinn er í upphafspunkti, braut boltans er breiður fleygbogi sem opnast niður og útvallarveggurinn er lóðrétt línustrik sem nær 10 fet upp undir feril boltans. — Mynd 7

8.7 Æfingar hlutans

Hugtakaspurningar

Hvaða tvær aðferðir eru notaðar til að teikna gröf stikajafna?

Nefnið einn mun á því að merkja inn punkta stikajafna og kartesískra jafna.

Hvers vegna eru örvar á sumum gröfum?

Nefnið nokkrar algengar gerðir grafa stikajafna.

Hvers vegna eru stikagröf mikilvæg til að skilja kasthreyfingu?

Grafísk verkefni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið gera gildistöflu og nota hana til að teikna hvert stikajöfnupár. Sýnið stefnu ferilsins á grafinu.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡𝑦⁡(𝑡)=𝑡2−1 ${\begin{array}{l} x (t) = t \\ y (t) = t^{2} - 1 \end{array}$

𝑡 t	− 3	− 2	− 1	0 0	1 1	2 2	3 3
𝑥 x
𝑦 y

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=𝑡2 ${\begin{array}{l} x (t) = t - 1 \\ y (t) = t^{2} \end{array}$

𝑡 t	− 3	− 2	− 1	0 0	1 1	2 2
𝑥 x
𝑦 y

{𝑥⁡(𝑡)=2+𝑡𝑦⁡(𝑡)=3−2⁢𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 2 + t \\ y (t) = 3 - 2 t \end{array}$

𝑡 t	− 2	− 1	0 0	1 1	2 2	3 3
𝑥 x
𝑦 y

{𝑥⁡(𝑡)=−2−2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=3+𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = - 2 - 2 t \\ y (t) = 3 + t \end{array}$

𝑡 t	− 3	− 2	− 1	0 0	1 1
𝑥 x
𝑦 y

10.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡3𝑦⁡(𝑡)=𝑡+2 ${\begin{array}{l} x (t) = t^{3} \\ y (t) = t + 2 \end{array}$

𝑡 t	− 2	− 1	0 0	1 1	2 2
𝑥 x
𝑦 y

11.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡2𝑦⁡(𝑡)=𝑡+3 ${\begin{array}{l} x (t) = t^{2} \\ y (t) = t + 3 \end{array}$

𝑡 t	− 2	− 1	0 0	1 1	2 2
𝑥 x
𝑦 y

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skissa ferilinn og sýna stefnu hans.

12.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡𝑦⁡(𝑡)=√𝑡 ${\begin{cases} x (t) = t \\ y (t) = \sqrt{t} \end{cases}$

13.

{𝑥⁡(𝑡)=−√𝑡𝑦⁡(𝑡)=𝑡 ${\begin{cases} x (t) = - \sqrt{t} \\ y (t) = t \end{cases}$

14.

{𝑥⁡(𝑡)=5−|𝑡|𝑦⁡(𝑡)=𝑡+2 ${\begin{cases} x (t) = 5 - | t | \\ y (t) = t + 2 \end{cases}$

15.

{𝑥⁡(𝑡)=−𝑡+2𝑦⁡(𝑡)=5−|𝑡| ${\begin{cases} x (t) = - t + 2 \\ y (t) = 5 - | t | \end{cases}$

16.

{𝑥⁡(𝑡)=4⁢sin⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=2⁢cos⁡𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 4 sin t \\ y (t) = 2 \cos t \end{array}$

17.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢sin⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=4⁢cos⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 2 sin t \\ y (t) = 4 cos t \end{cases}$

18.

{𝑥⁡(𝑡)=3⁢cos2⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=−3⁢sin⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 3 \cos^{2} t \\ y (t) = −3 \sin t \end{cases}$

19.

{𝑥⁡(𝑡)=3⁢cos2⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=−3⁢sin2⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 3 \cos^{2} t \\ y (t) = −3 \sin^{2} t \end{cases}$

20.

{𝑥⁡(𝑡)=sec⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=tan⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = \sec t \\ y (t) = \tan t \end{cases}$

21.

{𝑥⁡(𝑡)=sec⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=tan2⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = \sec t \\ y (t) = \tan^{2} t \end{cases}$

22.

{𝑥⁡(𝑡)=1𝑒2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=𝑒−𝑡 ${\begin{cases} x (t) = \frac{1}{e^{2 t}} \\ y (t) = e^{- t} \end{cases}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna graf jöfnunnar og sýna stefnu ferilsins. Ritið síðan kartesísku jöfnuna.

23.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=−𝑡2 ${\begin{array}{l} x (t) = t - 1 \\ y (t) = - t^{2} \end{array}$

24.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑡3𝑦⁡(𝑡)=𝑡+3 ${\begin{array}{l} x (t) = t^{3} \\ y (t) = t + 3 \end{array}$

25.

{𝑥⁡(𝑡)=2⁢cos⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=−sin⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 2 \cos t \\ y (t) = - \sin t \end{cases}$

26.

{𝑥⁡(𝑡)=7⁢cos⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=7⁢sin⁡𝑡 ${\begin{cases} x (t) = 7 \cos t \\ y (t) = 7 \sin t \end{cases}$

27.

{𝑥⁡(𝑡)=𝑒2⁢𝑡𝑦⁡(𝑡)=−𝑒𝑡 ${\begin{cases} x (t) = e^{2 t} \\ y (t) = - e^{t} \end{cases}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið teikna graf jöfnunnar og sýna stefnu ferilsins.

28.

𝑥=𝑡2,𝑦=3⁢𝑡,0≤𝑡≤5 $x = t^{2}, y = 3 t, 0 \leq t \leq 5$

29.

𝑥=2⁢𝑡,𝑦=⁢𝑡2,−5≤𝑡≤5 $x = 2 t, y = t^{2}, - 5 \leq t \leq 5$

30.

𝑥=𝑡, $x = t,$ 𝑦=√25−𝑡2, $y = \sqrt{25 - t^{2}},$ 0<𝑡≤5 $0 < t \leq 5$

31.

𝑥⁡(𝑡)=−𝑡,𝑦⁡(𝑡)=√𝑡, $x (t) = - t, y (t) = \sqrt{t},$ 𝑡≥0 $t \geq 0$

32.

𝑥=−2⁢cos⁡𝑡, $x = - 2 \cos t,$ 𝑦=6⁢sin⁡𝑡, $y = 6 \sin t,$ 0≤𝑡≤𝜋 $0 \leq t \leq π$

33.

𝑥=−sec⁡𝑡, $x = - \sec t,$ 𝑦=tan⁡𝑡, $y = \tan t,$ −𝜋2<𝑡<𝜋2 $- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota stikajöfnurnar fyrir heiltölurnar a og b:

\begin{array}{l} x (t) = a \cos ((a + b) t) \\ y (t) = a \cos ((a - b) t) \end{array}

34.

Teiknið graf á skilgreiningarmenginu [ − 𝜋 , 0 ] , [ − $[- π, 0],$ π , 0 ] $a = 2$ , þar $b = 1,$ sem 𝑎 = 2 a = 2 og 𝑏 = 1 , b = 1 , og sýnið stefnu ferilsins.

35.

Teiknið graf á skilgreiningarmenginu [ − 𝜋 , 0 ] , [ $[- π, 0],$ − π , 0 $a = 3$ ] , $b = 2$ þar sem 𝑎 = 3 a = 3 og 𝑏 = 2 b = 2 og sýnið stefnu ferilsins.

36.

Teiknið graf á skilgreiningarmenginu [ − 𝜋 , 0 ] , [ $[- π, 0],$ − π , 0 $a = 4$ ] , $b = 3$ þar sem 𝑎 = 4 a = 4 og 𝑏 = 3 b = 3 og sýnið stefnu ferilsins.

37.

Teiknið graf á skilgreiningarmenginu [ − 𝜋 , 0 ] , [ $[- π, 0],$ − π , 0 $a = 5$ ] , $b = 4$ þar sem 𝑎 = 5 a = 5 og 𝑏 = 4 b = 4 og sýnið stefnu ferilsins.

38.

$a$ Ef 𝑎 a er $b,$ 1 meira en 𝑏 , b , lýsið $a$ $b$ þá áhrifum gilda 𝑎 a og 𝑏 b á graf stikajafnanna.

39.

Lýsið grafinu ef $a = 100$ og $b = 99.$

40.

Hvað gerist ef $b$ er 1 meira en $a ?$ Lýsið grafinu.

41.

Stikajöfnurnar $x (t) = t^{2}$ og $y (t) = 6 - 3 t$ hafa graf sem er liggjandi fleygbogi sem opnast til hægri. Hvað myndi breyta stefnu ferilsins?

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið lýsa grafi stikajöfnupársins.

42.

$x (t) = - t^{2}$ og $y (t)$ er línulegt

43.

$y (t) = t^{2}$ og $x (t)$ er línulegt

44.

$y (t) = - t^{2}$ og $x (t)$ er línulegt

45.

Ritið stikajöfnur hrings með miðju í $(0, 0),$ geisla 5 og stefnu rangsælis.

46.

Ritið stikajöfnur sporbaugs með miðju í $(0, 0),$ langás af lengd 10, skammás af lengd 6 og stefnu rangsælis.

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafteiknitæki til að teikna graf í glugganum $[- 3, 3]$ sinnum $[- 3, 3]$ á skilgreiningarmenginu $[0, 2 π)$ fyrir eftirfarandi gildi $a$ og $b$ og sýna stefnu ferilsins.

{\begin{cases} x (t) = \sin (a t) \\ y (t) = \sin (b t) \end{cases}

47.

𝑎=1,𝑏=2 $a = 1, b = 2$

48.

𝑎=2,𝑏=1 $a = 2, b = 1$

49.

𝑎=3,𝑏=3 $a = 3, b = 3$

50.

𝑎=5,𝑏=5 $a = 5, b = 5$

51.

𝑎=2,𝑏=5 $a = 2, b = 5$

52.

𝑎=5,𝑏=2 $a = 5, b = 2$

Tækniverkefni

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skoða gröfin sem mynduð voru með stikajöfnum af gerðinni ${\begin{cases} x (t) = a cos (b t) \\ y (t) = c sin (d t) \end{cases} .$ Notið stikaham grafreiknis til að finna gildi $a, b, c,$ og $d$ sem gefa hvert graf.

53.

54.

55.

56.

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota grafteiknitæki til að teikna gefnu stikajöfnurnar.

{𝑥⁡(𝑡)=cos⁡𝑡−1𝑦⁡(𝑡)=sin⁡𝑡+𝑡 ${\begin{cases} x (t) = \cos t - 1 \\ y (t) = \sin t + t \end{cases}$
{𝑥⁡(𝑡)=cos⁡𝑡+𝑡𝑦⁡(𝑡)=sin⁡𝑡−1 ${\begin{cases} x (t) = \cos t + t \\ y (t) = \sin t - 1 \end{cases}$
{𝑥⁡(𝑡)=𝑡−sin⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=cos⁡𝑡−1 ${\begin{cases} x (t) = t - \sin t \\ y (t) = \cos t - 1 \end{cases}$

57.

Teiknið öll þrjú stikajöfnupörin á skilgreiningarmenginu $[0,$ $2 π] .$

58.

Teiknið öll þrjú stikajöfnupörin á skilgreiningarmenginu $[0, 4 π] .$

59.

Teiknið öll þrjú stikajöfnupörin á skilgreiningarmenginu $[- 4 π, 6 π] .$

60.

Graf hvers stikajöfnupárs virðist „skríða“ eftir öðrum ásnum. Hvað ræður því eftir hvorum ásnum grafið skríður?

61.

Útskýrið áhrif þess á graf stikajöfnunnar að víxla s i n ⁡ 𝑡 sin ⁡ t og c o s ⁡ 𝑡 . cos ⁡ $\sin t$ t $\cos t$

62.

Útskýrið áhrif breytingar á skilgreiningarmenginu á graf stikajöfnunnar.

Ítarverkefni

63.

Hlut er kastað upp í loft með lóðrétta hraðanum 20 ft/s og lárétta hraðanum 15 ft/s. Hæð hlutarins má lýsa með jöfnunni $y (t) = - 16 t^{2} + 20 t$ en hluturinn hreyfist lárétt með jafna hraðanum 15 ft/s. Ritið stikajöfnur fyrir staðsetningu hlutarins og eyðið síðan tímanum til að rita hæðina sem fall af láréttri staðsetningu.

64.

Hjólabrettamaður fer eftir láréttum fleti með jafna hraðanum 9 ft/s og kastar bolta upp í loft. Hæð boltans má lýsa með jöfnunni $y (t) = - 16 t^{2} + 10 t + 5 .$ Ritið stikajöfnur fyrir staðsetningu boltans og eyðið síðan tímanum til að rita hæðina sem fall af láréttri staðsetningu.

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota þessar aðstæður: Pílu er kastað upp með upphafshraðanum 64 ft/s undir hæðarhorninu 52°. Skoðið staðsetningu pílunnar á hverjum tíma $t .$ Lítið fram hjá loftmótstöðu.

65.

Finnið stikajöfnur sem lýsa aðstæðunum.

66.

Finnið öll möguleg gildi $x$ sem lýsa aðstæðunum.

67.

Hvenær lendir pílan?

68.

Finnið hámarkshæð pílunnar.

69.

Hvenær nær pílan hámarkshæð?

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skoða gröf fjögurra stikajafna. Þótt þau virðist óvenjuleg og falleg eru þau svo algeng að þau bera sérstök heiti sem koma fram í hverri æfingu. Notið grafteiknitæki til að teikna hvert graf á tilgreindu skilgreiningarmengi.

70.

An epicycloid: {𝑥⁡(𝑡)=14⁢cos⁡𝑡−cos⁡(14⁢𝑡)𝑦⁡(𝑡)=14⁢sin⁡𝑡+sin⁡(14⁢𝑡) ${\begin{cases} x (t) = 14 \cos t - \cos (14 t) \\ y (t) = 14 \sin t + \sin (14 t) \end{cases}$ á skilgreiningarmenginu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ .

71.

A hypocycloid: {𝑥⁡(𝑡)=6⁢sin⁡𝑡+2⁢sin⁡(6⁢𝑡)𝑦⁡(𝑡)=6⁢cos⁡𝑡−2⁢cos⁡(6⁢𝑡) ${\begin{array}{l} x (t) = 6 \sin t + 2 \sin (6 t) \\ y (t) = 6 \cos t - 2 \cos (6 t) \end{array}$ á skilgreiningarmenginu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ .

72.

A hypotrochoid: {𝑥⁡(𝑡)=2⁢sin⁡𝑡+5⁢cos⁡(6⁢𝑡)𝑦⁡(𝑡)=5⁢cos⁡𝑡−2⁢sin⁡(6⁢𝑡) ${\begin{array}{l} x (t) = 2 \sin t + 5 \cos (6 t) \\ y (t) = 5 \cos t - 2 \sin (6 t) \end{array}$ á skilgreiningarmenginu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ .

73.

A rose: {𝑥⁡(𝑡)=5⁢sin⁡(2⁢𝑡)⁢sin⁡𝑡𝑦⁡(𝑡)=5⁢sin⁡(2⁢𝑡)⁢cos⁡𝑡 ${\begin{array}{l} x (t) = 5 \sin (2 t) \sin t \\ y (t) = 5 \sin (2 t) \cos t \end{array}$ á skilgreiningarmenginu [0,2⁢𝜋] $[0, 2 π]$ .