1010 Margliður

10.5 Heilir veldisvísar og staðalform

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

notað skilgreiningu neikvæðs veldisvísis
einfaldað stæður með heilum veldisvísum
breytt úr tugabrotsrithætti í staðalform
breytt úr staðalformi í tugabrotsform
margfaldað og deilt með staðalformi

Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis

Kvótareglan fyrir veldi, sem var kynnt í kaflanum Deila einliðum, hafði tvö form eftir því hvort veldisvísirinn í teljara eða nefnara var stærri.

Hvað gerist ef við drögum veldisvísana einfaldlega frá, óháð því hvor er stærri? Skoðum $\frac{x^{2}}{x^{5}} .$

Við drögum veldisvísi nefnarans frá veldisvísi teljarans.

\frac{x^{2}}{x^{5}}

x^{2 - 5}

x^{−3}

Við getum einnig einfaldað $\frac{x^{2}}{x^{5}}$ með því að stytta sameiginlega þætti: $\frac{x^{2}}{x^{5}} .$

Brot er sýnt. Teljarinn er x sinnum x en nefnarinn x sinnum x sinnum x sinnum x sinnum x. Tvö x eru yfirstrikuð með rauðu bæði í teljara og nefnara. Fyrir neðan er brotið 1 deilt með x í þriðja veldi.

Þar með fæst $x^{−3} = \frac{1}{x^{3}}$ , sem leiðir okkur að skilgreiningu neikvæðs veldisvísis.

Neikvæður veldisvísir segir okkur að endurrita stæðuna með því að taka margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breyta síðan formerki veldisvísisins. Stæða með neikvæðum veldisvísum telst ekki vera á einföldustu mynd. Við notum skilgreiningu neikvæðs veldisvísis og aðrar veldisreglur til að skrifa stæðu aðeins með jákvæðum veldisvísum.

Dæmi 10.63

Einfaldið:

ⓐ 4−2 $4^{−2}$
ⓑ 10−3 $10^{−3}$

Lausn

ⓐ
	4 − 2 4 −2
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1 4 2 $\frac{1}{4}$ 2
Einfaldið.	1 1 6 $\frac{1}{16}$

ⓑ
	1 0 − 3 10 −3
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1 1 0 3 $\frac{1}{10}$ 3
Einfaldið.	1 1 0 0 0 $\frac{1}{1000}$

Þegar stæða með veldisvísum er einfölduð þarf að gæta þess að finna rétt þann veldisstofn sem hver veldisvísir á við.

Dæmi 10.64

Einfaldið:

ⓐ (−3)−2 ${(−3)}^{−2}$
ⓑ −3−2 ${−3}^{−2}$

Lausn

Mínusmerkið í veldisvísinum hefur ekki áhrif á formerki veldisstofnsins.

ⓐ
Veldisvísirinn á við veldisstofninn − 3 .	( − 3 ) − 2 ( −3 ) −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	1 ( − 3 ) 2 1/( −3 ) 2
Einfaldið.	1 9 $\frac{1}{9}$

ⓑ
Stæðan − 3 −2 merkir „finnið samlagningarandhverfu 3 −2“. Veldisvísirinn á aðeins við veldisstofninn 3.	− 3 − 2 − 3 −2
Endurritið sem margfeldi með −1.	− 1 · 3 − 2 −1 · 3 −2
Takið margföldunarandhverfu veldisstofnsins og breytið formerki veldisvísisins.	− 1 · 1 3 2 −1 · $\frac{1}{3}$ 2
Einfaldið.	− 1 9 − $\frac{1}{9}$

Við verðum að gæta þess að fylgja forgangsröð reikniaðgerða. Í næsta dæmi líkjast liðir ⓐ og ⓑ hvor öðrum en gefa ólíkar niðurstöður.

Dæmi 10.65

Einfaldið:

ⓐ 4·2−1 $4 \cdot 2^{−1}$
ⓑ (4·2)−1 ${(4 \cdot 2)}^{−1}$

Lausn

Munið að fylgja alltaf forgangsröð reikniaðgerða.

ⓐ
Reiknið veldi á undan margföldun.	4 · 2 − 1 4 · 2 −1
Notið a − n = 1/a n .	4 · 1 2 1 4 · $\frac{1}{2}$ 1
Einfaldið.	2 2

ⓑ	( 4 · 2 ) − 1 ( 4 · 2 ) −1
Einfaldið fyrst innan svigans.	( 8 ) − 1 ( 8 ) −1
Notið a − n = 1/a n .	1 8 1 $\frac{1}{8}$ 1
Einfaldið.	1 8 $\frac{1}{8}$

Þegar breyta er hafin í neikvætt veldi beitum við skilgreiningunni á sama hátt og þegar um tölur er að ræða.

Dæmi 10.66

Einfaldið: $x^{−6} .$

Lausn

	𝑥 − 6 x^-6
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1 𝑥 6 1/x⁶

Þegar margfeldi og veldisvísir koma fyrir saman þarf að gæta þess að beita veldisvísinum á rétta stærð. Samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða eru stæður innan sviga einfaldaðar áður en veldi eru reiknuð. Við sjáum hvernig þetta virkar í næsta dæmi.

Dæmi 10.67

Einfaldið:

ⓐ 5⁢𝑦−1 $5 y^{−1}$
ⓑ (5⁢𝑦)−1 ${(5 y)}^{−1}$
ⓒ (−5⁢𝑦)−1 ${(−5 y)}^{−1}$

Lausn

ⓐ
Athugið að veldisvísirinn á aðeins við veldisstofninn y .	5 ⁢ 𝑦 − 1 5 ⁢ y^-1
Takið margföldunarandhverfu y og breytið formerki veldisvísisins.	5 · 1 𝑦 1 5 · 1/y¹
Einfaldið.	5 𝑦 5/y

ⓑ
Hér valda svigarnir því að veldisvísirinn á við veldisstofninn 5 ⁢ y .	( 5 ⁢ 𝑦 ) − 1 ( 5 ⁢ y ) −1
Takið margföldunarandhverfu 5 ⁢ y og breytið formerki veldisvísisins.	1 ( 5 ⁢ 𝑦 ) 1 1/( 5 ⁢ y ) 1
Einfaldið.	1 5 ⁢ 𝑦 $\frac{1}{5}$ ⁢ y

ⓒ
	( − 5 ⁢ 𝑦 ) − 1 ( −5 ⁢ y ) −1
Veldisstofninn er − 5 ⁢ y . Takið margföldunarandhverfu − 5 ⁢ y og breytið formerki veldisvísisins.	1 ( − 5 ⁢ 𝑦 ) 1 1/( −5 ⁢ y ) 1
Einfaldið.	1 − 5 ⁢ 𝑦 1/−5 ⁢ y
Notið a/− b = − a/b .	− 1 5 ⁢ 𝑦 − $\frac{1}{5}$ ⁢ y

Nú þegar neikvæðir veldisvísar hafa verið skilgreindir þarf kvótareglan fyrir veldi aðeins eitt form, $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n},$ þar sem $a \neq 0$ og m og n eru heiltölur.

Þegar veldisvísirinn í nefnaranum er stærri en veldisvísirinn í teljaranum verður veldisvísir kvótans neikvæður. Ef niðurstaðan hefur neikvæðan veldisvísi endurritum við hana með skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

Einfaldið stæður með heilum veldisvísum

Allar veldisreglurnar sem við leiddum áður fyrir veldisvísa sem eru núll eða jákvæðar heiltölur gilda einnig um heila veldisvísa. Við tökum þær aftur saman hér til viðmiðunar.

Dæmi 10.68

Einfaldið:

ⓐ 𝑥−4 ·𝑥6 $x^{−4} \cdot x^{6}$
ⓑ 𝑦−6 ·𝑦4 $y^{−6} \cdot y^{4}$
ⓒ 𝑧−5 ·𝑧−3 $z^{−5} \cdot z^{−3}$

Lausn

ⓐ
	𝑥 − 4 · 𝑥 6 x^-4 · x⁶
Notið margfeldisregluna fyrir veldi, a m · a n = a m + n .	𝑥 − 4 + 6 x^-4 + 6
Einfaldið.	𝑥 2 x 2

ⓑ
	𝑦 − 6 · 𝑦 4 y^-6 · y⁴
Veldisstofnarnir eru eins, svo leggið veldisvísana saman.	𝑦 − 6 + 4 y^-6 + 4
Einfaldið.	𝑦 − 2 y^-2
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1 𝑦 2 1/y²

ⓒ
	𝑧 − 5 · 𝑧 − 3 z^-5 · z^-3
Veldisstofnarnir eru eins, svo leggið veldisvísana saman.	𝑧 − 5 − 3 z −5−3
Einfaldið.	𝑧 − 8 z^-8
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	1 𝑧 8 1/z⁸

Í næstu tveimur dæmum byrjum við á að nota víxlregluna til að færa sömu breytur saman. Þá er auðveldara að greina eins veldisstofna áður en margfeldisreglunni fyrir veldi er beitt.

Dæmi 10.69

Einfaldið: $(m^{4} n^{−3}) (m^{−5} n^{−2}) .$

Lausn

	( 𝑚 4 ⁢ 𝑛 − 3 ) ⁢ ( 𝑚 − 5 ⁢ 𝑛 − 2 ) ( m 4 ⁢ n^-3 ) ⁢ ( m −5 ⁢ n^-2 )
Notið víxlregluna til að setja eins veldisstofna saman.	𝑚 4 ⁢ 𝑚 − 5 · 𝑛 − 2 ⁢ 𝑛 − 3 m 4 ⁢ m^-5 · n −2 ⁢ n^-3
Leggið saman veldisvísa hvers veldisstofns.	𝑚 − 1 · 𝑛 − 5 m^-1 · n^-5
Takið margföldunarandhverfur og breytið formerkjum veldisvísanna.	1 𝑚 1 · 1 𝑛 5 1/m¹ · 1/n⁵
Einfaldið.	1 𝑚 ⁢ 𝑛 5 1/m ⁢ n⁵

Ef einliðirnir hafa tölustuðla margföldum við stuðlana, rétt eins og í kaflanum Beita margföldunarreglum veldisvísa.

Dæmi 10.70

Einfaldið: $(2 x^{−6} y^{8}) (−5 x^{5} y^{−3}) .$

Lausn

	( 2 ⁢ 𝑥 − 6 ⁢ 𝑦 8 ) ⁢ ( − 5 ⁢ 𝑥 5 ⁢ 𝑦 − 3 ) ( 2 ⁢ x −6 ⁢ y⁸ ) ⁢ ( −5 ⁢ x 5 ⁢ y^-3 )
Endurritið þannig að eins veldisstofnar séu saman.	2 ⁢ ( − 5 ) · ( 𝑥 − 6 ⁢ 𝑥 5 ) · ( 𝑦 8 ⁢ 𝑦 − 3 ) 2 ⁢ ( −5 ) · ( x −6 ⁢ x⁵ ) · ( y 8 ⁢ y^-3 )
Einfaldið.	− 1 0 · 𝑥 − 1 · 𝑦 5 −10 · x^-1 · y⁵
Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	− 1 0 · 1 𝑥 1 · 𝑦 5 −10 · 1/x¹ · y⁵
Einfaldið.	− 1 0 ⁢ 𝑦 5 𝑥 −10 ⁢ y 5/x

Í næstu tveimur dæmum notum við regluna um veldi af veldi og regluna um margfeldi í veldi.

Dæmi 10.71

Einfaldið: ${(k^{3})}^{−2} .$

Lausn

	( 𝑘 3 ) − 2 ( k³ ) −2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m .	𝑘 3 ⁢ ( − 2 ) k 3 ⁢ ( −2 )
Einfaldið.	𝑘 − 6 k^-6
Endurritið með jákvæðum veldisvísi.	1 𝑘 6 1/k⁶

Dæmi 10.72

Einfaldið: ${(5 x^{−3})}^{2} .$

Lausn

	( 5 ⁢ 𝑥 − 3 ) 2 ( 5 ⁢ x^-3 ) 2
Notið regluna um margfeldi í veldi, ( a ⁢ b ) m = a m ⁢ b m .	5 2 ⁢ ( 𝑥 − 3 ) 2 5 2 ⁢ ( x^-3 ) 2
Einfaldið 5 2 og margfaldið veldisvísana á x samkvæmt reglunni um veldi af veldi, ( a m ) n = a m · n .	2 5 ⁢ 𝑥 − 6 25 ⁢ x^-6
Endurritið x −6 með skilgreiningu neikvæðs veldisvísis, a − n = 1/a n .	2 5 · 1 𝑥 6 25 · 1/x⁶
Einfaldið	2 5 𝑥 6 25/x⁶

Til að einfalda brot notum við kvótaregluna fyrir veldi.

Dæmi 10.73

Einfaldið: $\frac{r^{5}}{r^{−4}} .$

Lausn


Notið kvótaregluna fyrir veldi, a m/a n = a m − n .

Einfaldið.

Breytið úr tugabrotsrithætti í staðalform talna

Rifjið upp sætisgildi í heilum tölum og tugabrotum. Talnakerfið okkar byggist á veldum af $10 .$ Við notum tugi, hundruð, þúsundir og svo framvegis. Tugabrot byggjast einnig á veldum af tíu—tíunduhlutum, hundraðshlutum, þúsundustu hlutum og svo framvegis.

Skoðum tölurnar $4000$ og $0.004 .$ Við vitum að $4000$ merkir $4 \times 1000$ og $0.004$ merkir $4 \times \frac{1}{1000} .$ Ef við skrifum $1000$ sem veldi af tíu getum við endurritað tölurnar þannig:

\begin{matrix} 4000 & 0.004 \\ 4 \times 1000 & 4 \times \frac{1}{1000} \\ 4 \times 10^{3} & 4 \times \frac{1}{10^{3}} \\ 4 \times 10^{−3} \end{matrix}

Þegar tala er skrifuð sem margfeldi tveggja talna, þar sem fyrri þátturinn er tala sem er stærri en eða jöfn einum en minni en $10,$ og síðari þátturinn er veldi af $10$ , 10 , er talan sögð vera á staðalformi.

Á staðalformi er venja að nota $\times$ sem margföldunarmerki, þótt við forðumst þetta merki annars staðar í algebru.

Staðalform er hentug leið til að skrifa mjög stórar eða mjög litlar tölur. Það er oft notað í vísindum til að auðvelda útreikninga.

Með því að skoða hvernig tugabrotskomman færðist getum við fundið einfalda aðferð til að breyta úr tugabrotsrithætti í staðalform.

Vinstra megin sést 4000 = 4 sinnum 10 í þriðja veldi. Fyrir neðan sést sama jafna með ör frá staðnum á eftir síðasta núllinu í 4000 að staðnum milli 4 og fyrsta núllsins. Þar stendur: „Tugabrotskomman færð um 3 sæti til vinstri.“ Hægra megin sést 0,004 = 4 sinnum 10 í mínus þriðja veldi. Fyrir neðan sést sama jafna með ör frá tugabrotskommunni að staðnum á eftir 4. Þar stendur: „Tugabrotskomman færð um 3 sæti til hægri.“

Í báðum tilvikum var tugabrotskomman færð um $3$ sæti til að einangra fyrri þáttinn, $4,$ . 4 .

Veldisvísirinn á $10$ er jákvæður þegar talan er stærri en $1 : 4000 = 4 \times 10^{3} .$
Veldisvísirinn á $10$ er neikvæður þegar talan er milli $0$ og $1 : 0.004 = 4 \times 10^{- 3} .$

Dæmi 10.74

Skrifið $37,000$ á staðalformi.

Lausn

Skref 1: Færið tugabrotskommuna þannig að fyrri þátturinn verði stærri en eða jafn 1 en minni en 10.
Skref 2: Teljið fjölda tugabrotasæta, n , sem tugabrotskomman var færð um.	3.70000 4 sæti
Skref 3: Skrifið töluna sem margfeldi með veldi af 10.	3 . 7 $\times ⁠$ 1 0 4 3.7 $\times ⁠$ 10 4
Ef upphaflega talan er stærri en 1 verður veldið af 10 jafnt 10 n . Ef hún er milli 0 og 1 verður veldið af 10 jafnt 10 −n
Skref 4: Sannreynið.
10 4 er 10.000 og 10.000 sinnum 3,7 er 37.000.
	3 7 , 0 0 0 = 3 . 7 $\times ⁠$ 1 0 4 37,000 = 3.7 $\times ⁠$ 10 4

Dæmi 10.75

Skrifið á staðalformi: $0.0052 .$

Lausn

	0.0052
Færið kommuna til að fá 5,2, tölu á milli 1 og 10.
Teljið hve mörg sæti komman var færð.	3 sæti
Skrifið sem margfeldi með veldi af 10.	5 . 2 $\times ⁠$ 1 0 − 3 5.2 $\times ⁠$ 10 −3
Sannreynið svarið: 5.2 $\times ⁠$ 10 −3 5.2 $\times ⁠$ $\frac{1}{10}$ 3 5.2 $\times ⁠$ $\frac{1}{1000}$ 5.2 $\times ⁠$ 0.001 0.0052
	0 . 0 0 5 2 = 5 . 2 $\times ⁠$ 1 0 − 3 0.0052 = 5.2 $\times ⁠$ 10 −3

Breytið úr staðalformi í tugabrotsform

Hvernig breytum við úr staðalformi í tugabrotsform? Skoðum tvær tölur á staðalformi.

\begin{matrix} 9.12 \times 10^{4} & 9.12 \times 10^{−4} \\ 9.12 \times 10,000 & 9.12 \times 0.0001 \\ 91,200 & 0.000912 \end{matrix}

Með því að skoða staðsetningu kommunnar sjáum við einfalda aðferð til að breyta tölu af staðalformi í tugabrotsrithátt.

Vinstra megin sést 9,12 sinnum 10 í fjórða veldi jafnt 91.200. Fyrir neðan er 9,12 og síðan tvö auð sæti, með ör frá tugabrotskommunni að staðnum á eftir seinna auða sætinu, sinnum 10 í fjórða veldi jafnt 91.200. Hægra megin sést 9,12 sinnum 10 í mínus fjórða veldi jafnt 0,000912. Fyrir neðan eru þrjú auð sæti og síðan 9,12, með ör frá tugabrotskommunni að staðnum á eftir fyrsta auða sætinu, sinnum 10 í mínus fjórða veldi jafnt 0,000912.

Í báðum tilvikum færðist komman um 4 sæti. Þegar veldisvísirinn var jákvæður færðist hún til hægri en þegar hann var neikvæður færðist hún til vinstri.

Dæmi 10.76

Breytið í tugabrotsform: $6.2 \times 10^{3} .$

Lausn

Skref 1: Finnið veldisvísinn n á þættinum 10.	6 . 2 $\times ⁠$ 1 0 3 6.2 $\times ⁠$ 10 3
Skref 2: Færið tugabrotskommuna um n sæti og bætið við núllum ef þörf krefur.
Ef veldisvísirinn er jákvæður skal færa tugabrotskommuna um n sæti til hægri. Ef veldisvísirinn er neikvæður skal færa tugabrotskommuna um \| n \| sæti til vinstri.	6,200
Skref 3: Sannreynið að svarið sé rökrétt.
10 3 er 1000 og 1000 sinnum 6,2 er 6.200.	6 . 2 $\times ⁠$ 1 0 3 = 6 , 2 0 0 6.2 $\times ⁠$ 10 3 = 6,200

Dæmi 10.77

Breytið í tugabrotsform: $8.9 \times 10^{−2} .$

Lausn

	8 . 9 $\times ⁠$ 1 0 − 2 8.9 $\times ⁠$ 10 −2
Finnið veldisvísinn n á þættinum 10.	Veldisvísirinn er −2.
Færið tugabrotskommuna um 2 sæti til vinstri.
Bætið við núllum eftir þörfum.	0.089
	8 . 9 $\times ⁠$ 1 0 − 2 = 0 . 0 8 9 8.9 $\times ⁠$ 10 −2 = 0.089
Sannreynið svarið sjálf.

Margfaldið og deilið tölum á staðalformi

Við notum veldisreglurnar til að margfalda og deila tölum á staðalformi.

Dæmi 10.78

Margfaldið. Skrifið svörin á tugabrotsformi: $(4 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−7}) .$

Lausn

	( 4 $\times ⁠$ 1 0 5 ) ⁢ ( 2 $\times ⁠$ 1 0 − 7 ) ( 4 $\times ⁠$ 10 5 ) ⁢ ( 2 $\times ⁠$ 10 −7 )
Notið víxlregluna til að endurraða þáttunum.	4 · 2 · 1 0 5 · 1 0 − 7 4 · 2 · 10 5 · 10 −7
Margfaldið 4 með 2 og notið margfeldisregluna fyrir veldi til að margfalda 10 5 með 10 −7 .	8 $\times ⁠$ 1 0 − 2 8 $\times ⁠$ 10 −2
Breytið í tugabrotsform með því að færa tugabrotskommuna um tvö sæti til vinstri.	0 . 0 8 0.08

Dæmi 10.79

Deilið. Skrifið svörin á tugabrotsformi: $\frac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{−2}} .$

Lausn

	9 $\times ⁠$ 1 0 3 3 $\times ⁠$ 1 0 − 2 9 $\times ⁠$ 10 $\frac{3}{3}$ $\times ⁠$ 10 −2
Aðskiljið þættina.	9 3 $\times ⁠$ 1 0 3 1 0 − 2 $\frac{9}{3}$ $\times ⁠$ 10 $\frac{3}{10}$ −2
Deilið 9 með 3 og notið kvótaregluna fyrir veldi til að deila 10 3 með 10 −2 .	3 $\times ⁠$ 1 0 5 3 $\times ⁠$ 10 5
Breytið í tugabrotsrithátt með því að færa kommuna um fimm sæti til hægri.	3 0 0 , 0 0 0 300,000

Æfingar úr kafla 10.5

Æfingin skapar meistarann

Notið skilgreiningu neikvæðs veldisvísis

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

316.

5−3 $5^{−3}$

317.

8−2 $8^{−2}$

318.

3−4 $3^{−4}$

319.

2−5 $2^{−5}$

320.

7−1 $7^{−1}$

321.

10−1 $10^{−1}$

322.

2−3+2−2 $2^{−3} + 2^{−2}$

323.

3−2+3−1 $3^{−2} + 3^{−1}$

324.

3−1+4−1 $3^{−1} + 4^{−1}$

325.

10−1+2−1 $10^{−1} + 2^{−1}$

326.

100−10−1+10−2 $10^{0} - 10^{−1} + 10^{−2}$

327.

20−2−1+2−2 $2^{0} - 2^{−1} + 2^{−2}$

328.

ⓐ (−6)−2 ${(−6)}^{−2}$
ⓑ −6−2 $- 6^{−2}$

329.

ⓐ (−8)−2 ${(−8)}^{−2}$
ⓑ −8−2 $- 8^{−2}$

330.

ⓐ (−10)−4 ${(−10)}^{−4}$
ⓑ −10−4 $- 10^{−4}$

331.

ⓐ (−4)−6 ${(−4)}^{−6}$
ⓑ −4−6 $- 4^{−6}$

332.

ⓐ 5 ·2−1 $5 \cdot 2^{−1}$
ⓑ (5·2)−1 ${(5 \cdot 2)}^{−1}$

333.

ⓐ 10 ·3−1 $10 \cdot 3^{−1}$
ⓑ (10·3)−1 ${(10 \cdot 3)}^{−1}$

334.

ⓐ 4 ·10−3 $4 \cdot 10^{−3}$
ⓑ (4·10)−3 ${(4 \cdot 10)}^{−3}$

335.

ⓐ 3 ·5−2 $3 \cdot 5^{−2}$
ⓑ (3·5)−2 ${(3 \cdot 5)}^{−2}$

336.

𝑛−4 $n^{−4}$

337.

𝑝−3 $p^{−3}$

338.

𝑐−10 $c^{−10}$

339.

𝑚−5 $m^{−5}$

340.

ⓐ 4⁢𝑥−1 $4 x^{−1}$
ⓑ (4⁢𝑥)−1 ${(4 x)}^{−1}$
ⓒ (−4⁢𝑥)−1 ${(−4 x)}^{−1}$

341.

ⓐ 3⁢𝑞−1 $3 q^{−1}$
ⓑ (3⁢𝑞)−1 ${(3 q)}^{−1}$
ⓒ (−3⁢𝑞)−1 ${(−3 q)}^{−1}$

342.

ⓐ 6⁢𝑚−1 $6 m^{−1}$
ⓑ (6⁢𝑚)−1 ${(6 m)}^{−1}$
ⓒ (−6⁢𝑚)−1 ${(−6 m)}^{−1}$

343.

ⓐ 10⁢𝑘−1 $10 k^{−1}$
ⓑ (10⁢𝑘)−1 ${(10 k)}^{−1}$
ⓒ (−10⁢𝑘)−1 ${(−10 k)}^{−1}$

Einfaldið stæður með heilum veldisvísum

Einfaldið í eftirfarandi æfingum.

344.

𝑝−4·𝑝8 $p^{−4} \cdot p^{8}$

345.

𝑟−2·𝑟5 $r^{−2} \cdot r^{5}$

346.

𝑛−10·𝑛2 $n^{−10} \cdot n^{2}$

347.

𝑞−8·𝑞3 $q^{−8} \cdot q^{3}$

348.

𝑘−3·𝑘−2 $k^{−3} \cdot k^{−2}$

349.

𝑧−6·𝑧−2 $z^{−6} \cdot z^{−2}$

350.

𝑎·𝑎−4 $a \cdot a^{−4}$

351.

𝑚·𝑚−2 $m \cdot m^{−2}$

352.

𝑝5·𝑝−2·𝑝−4 $p^{5} \cdot p^{−2} \cdot p^{−4}$

353.

𝑥4·𝑥−2·𝑥−3 $x^{4} \cdot x^{−2} \cdot x^{−3}$

354.

𝑎3⁢𝑏−3 $a^{3} b^{−3}$

355.

𝑢2⁢𝑣−2 $u^{2} v^{−2}$

356.

(𝑥5⁢𝑦−1)⁢(𝑥−10⁢𝑦−3) $(x^{5} y^{−1}) (x^{−10} y^{−3})$

357.

(𝑎3⁢𝑏−3)⁢(𝑎−5⁢𝑏−1) $(a^{3} b^{−3}) (a^{−5} b^{−1})$

358.

(𝑢⁢𝑣−2)⁢(𝑢−5⁢𝑣−4) $(u v^{−2}) (u^{−5} v^{−4})$

359.

(𝑝⁢𝑞−4)⁢(𝑝−6⁢𝑞−3) $(p q^{−4}) (p^{−6} q^{−3})$

360.

(−2⁢𝑟−3⁢𝑠9)⁢(6⁢𝑟4⁢𝑠−5) $(−2 r^{−3} s^{9}) (6 r^{4} s^{−5})$

361.

(−3⁢𝑝−5⁢𝑞8)⁢(7⁢𝑝2⁢𝑞−3) $(−3 p^{−5} q^{8}) (7 p^{2} q^{−3})$

362.

(−6⁢𝑚−8⁢𝑛−5)⁢(−9⁢𝑚4⁢𝑛2) $(−6 m^{−8} n^{−5}) (−9 m^{4} n^{2})$

363.

(−8⁢𝑎−5⁢𝑏−4)⁢(−4⁢𝑎2⁢𝑏3) $(−8 a^{−5} b^{−4}) (−4 a^{2} b^{3})$

364.

(𝑎3)−3 ${(a^{3})}^{−3}$

365.

(𝑞10)−10 ${(q^{10})}^{−10}$

366.

(𝑛2)−1 ${(n^{2})}^{−1}$

367.

(𝑥4)−1 ${(x^{4})}^{−1}$

368.

(𝑦−5)₄ ${(y^{−5})}^{4}$

369.

(𝑝−3)₂ ${(p^{−3})}^{2}$

370.

(𝑞−5)−2 ${(q^{−5})}^{−2}$

371.

(𝑚−2)−3 ${(m^{−2})}^{−3}$

372.

(4⁢𝑦−3)₂ ${(4 y^{−3})}^{2}$

373.

(3⁢𝑞−5)₂ ${(3 q^{−5})}^{2}$

374.

(10⁢𝑝−2)−5 ${(10 p^{−2})}^{−5}$

375.

(2⁢𝑛−3)−6 ${(2 n^{−3})}^{−6}$

376.

𝑢9𝑢−2 $\frac{u^{9}}{u^{−2}}$

377.

𝑏5𝑏−3 $\frac{b^{5}}{b^{−3}}$

378.

𝑥−6𝑥4 $\frac{x^{−6}}{x^{4}}$

379.

𝑚5𝑚−2 $\frac{m^{5}}{m^{−2}}$

380.

𝑞3𝑞12 $\frac{q^{3}}{q^{12}}$

381.

𝑟6𝑟9 $\frac{r^{6}}{r^{9}}$

382.

𝑛−4𝑛−10 $\frac{n^{−4}}{n^{−10}}$

383.

𝑝−3𝑝−6 $\frac{p^{−3}}{p^{−6}}$

Breytið úr tugabrotsrithætti í staðalform talna

Skrifið hverja tölu á staðalformi í eftirfarandi æfingum.

384.

45,000

385.

280,000

386.

8,750,000

387.

1,290,000

388.

0.036

389.

0.041

390.

0.00000924

391.

0.0000103

392.

Íbúafjöldi Bandaríkjanna 4. júlí 2010 var tæplega $310,000,000 .$

393.

Íbúafjöldi heimsins 4. júlí 2010 var meiri en $6,850,000,000 .$

394.

Meðalbreidd mannshárs er $0.0018$ sentímetrar.

395.

Líkurnar á að vinna Megamillions-happdrættið árið $2010$ eru um $0.0000000057 .$

Breytið staðalformi talna í tugabrotsrithátt

Breytið hverri tölu í tugabrotsrithátt í eftirfarandi æfingum.

396.

4.1 $\times ⁠$ 102 $4.1 \times 10^{2}$

397.

8.3 $\times ⁠$ 102 $8.3 \times 10^{2}$

398.

5.5 $\times ⁠$ 108 $5.5 \times 10^{8}$

399.

1.6 $\times ⁠$ 1010 $1.6 \times 10^{10}$

400.

3.5 $\times ⁠$ 10−2 $3.5 \times 10^{−2}$

401.

2.8 $\times ⁠$ 10−2 $2.8 \times 10^{−2}$

402.

1.93 $\times ⁠$ 10−5 $1.93 \times 10^{−5}$

403.

6.15 $\times ⁠$ 10−8 $6.15 \times 10^{−8}$

404.

Árið 2010 breyttu 2 $\times ⁠$ 1 0 4 . 2 $\times ⁠$ 10 4 Facebook-notendur á dag hjúskaparstöðu sinni í „trúlofuð“. $2 \times 10^{4} .$

405.

Í byrjun árs 2012 var halli á alríkisfjárlögum Bandaríkjanna meiri en $$1.5 \times 10^{13} .$

406.

Styrkur koltvísýrings í andrúmsloftinu er $3.9 \times 10^{−4} .$

407.

Breidd róteindar er $1 \times 10^{−5}$ af breidd atóms.

Margfaldið og deilið tölum á staðalformi

Margfaldið eða deilið í eftirfarandi æfingum og skrifið svarið á tugabrotsformi.

408.

(2 $\times ⁠$ 105)⁢(2 $\times ⁠$ 10−9) $(2 \times 10^{5}) (2 \times 10^{−9})$

409.

(3 $\times ⁠$ 102)⁢(1 $\times ⁠$ 10−5) $(3 \times 10^{2}) (1 \times 10^{−5})$

410.

(1.6 $\times ⁠$ 10−2)⁢(5.2 $\times ⁠$ 10−6) $(1.6 \times 10^{−2}) (5.2 \times 10^{−6})$

411.

(2.1 $\times ⁠$ 10−4)⁢(3.5 $\times ⁠$ 10−2) $(2.1 \times 10^{−4}) (3.5 \times 10^{−2})$

412.

6 $\times ⁠$ 1043 $\times ⁠$ 10−2 $\frac{6 \times 10^{4}}{3 \times 10^{−2}}$

413.

8 $\times ⁠$ 1064 $\times ⁠$ 10−1 $\frac{8 \times 10^{6}}{4 \times 10^{−1}}$

414.

7 $\times ⁠$ 10−21 $\times ⁠$ 10−8 $\frac{7 \times 10^{−2}}{1 \times 10^{−8}}$

415.

5 $\times ⁠$ 10−31 $\times ⁠$ 10−10 $\frac{5 \times 10^{−3}}{1 \times 10^{−10}}$

Stærðfræði daglegs lífs

416.

Hitaeiningar Í maí 2010 lofuðu matvæla- og drykkjarframleiðendur að draga úr hitaeiningafjölda vara sinna um $1.5$ billjónir fyrir árslok 2015.

ⓐ Skrifið $1.5$ billjónir á tugabrotsrithætti.
ⓑ Skrifið $1.5$ billjónir á staðalformi.

417.

Lengd árs Munurinn á almanaksári og stjarnfræðilegu ári er $0.000125$ dagur.

ⓐ Skrifið þessa tölu á staðalformi.
ⓑ Hve mörg ár líða þar til munurinn verður 1 dagur?

418.

Skjár reiknivélar Margar reiknivélar sýna svör sjálfkrafa á staðalformi ef tölustafirnir eru fleiri en rúmast á skjánum. Til að finna líkurnar á að fá tiltekna fimm spila hendi úr spilastokki deildi Mario $1$ með $2,598,960$ og fékk svarið $3.848 \times 10^{−7} .$ Skrifið töluna á tugabrotsrithætti.

419.

Skjár reiknivélar Margar reiknivélar sýna svör sjálfkrafa á staðalformi ef tölustafirnir eru fleiri en rúmast á skjánum. Til að finna fjölda leiða sem Barbara gæti búið til klippimynd úr $6$ af $50$ uppáhaldsljósmyndum sínum margfaldaði hún $50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 .$ Reiknivélin gaf svarið $1.1441304 \times 10^{10} .$ Skrifið töluna á tugabrotsrithætti.

Ritunaræfingar

420.

ⓐ Útskýrið merkingu veldisvísisins í stæðunni $2^{3} .$
ⓑ Útskýrið merkingu veldisvísisins í stæðunni $2^{−3}$

421.

Þegar tölu er breytt úr tugabrotsrithætti í staðalform, hvernig vitið þið hvort veldisvísirinn verður jákvæður eða neikvæður?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Eftir að hafa skoðað gátlistann teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?