1010 Margliður

10.3 Margfalda margliður

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

margfaldað margliðu með einlið
margfaldað tvílið með tvílið
margfaldað þrílið með tvílið

Margfaldið margliðu með einlið

Í kaflanum Dreifiregla lærðuð þið að nota dreifiregluna til að einfalda stæður á borð við 2 ⁢ ( 𝑥 − 3 ) . 2 ⁢ ( x − 3 ) . Þið margfölduðuð $2 (x - 3) .$ báða liðina innan sviganna, 𝑥 a n d 3 , x og 3 , með $x og 3,$ 2 $2,$ , 2 $2 x - 6 .$ , og fenguð 2 ⁢ 𝑥 − 6 . 2 ⁢ x − 6 . Með nýjum orðaforða þessa kafla má segja að þið hafið margfaldað tvíliðinn $x - 3,$ 𝑥 − 3 , x $2 .$ − 3 , með einliðnum 2 . 2 . Að margfalda tvílið með einlið er því ekkert nýtt fyrir ykkur!

Dæmi 10.28

Margfaldið: $3 (x + 7) .$

Lausn

	3 ⁢ ( 𝑥 + 7 ) 3 ⁢ ( x + 7 )
Beitið dreifireglu.
	3 · 𝑥 + 3 · 7 3 · x + 3 · 7
Einfaldið.	3 ⁢ 𝑥 + 2 1 3 ⁢ x + 21

Dæmi 10.29

Margfaldið: $x (x - 8) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.

Einfaldið.

Dæmi 10.30

Margfaldið: $10 x (4 x + y) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.

Einfaldið.

Margföldun einliðar og þríliðar fer fram með nánast sama hætti.

Dæmi 10.31

Margfaldið: $−2 x (5 x^{2} + 7 x - 3) .$

Lausn

	− 2 ⁢ 𝑥 ⁢ ( 5 ⁢ 𝑥 2 + 7 ⁢ 𝑥 − 3 ) −2 ⁢ x ⁢ ( 5 ⁢ x² + 7 ⁢ x − 3 )
Beitið dreifireglu.
	− 2 ⁢ 𝑥 ⋅ 5 ⁢ 𝑥 2 + ( − 2 ⁢ 𝑥 ) ⋅ 7 ⁢ 𝑥 − ( − 2 ⁢ 𝑥 ) ⋅ 3 −2 ⁢ x ⋅ 5 ⁢ x² + ( −2 ⁢ x ) ⋅ 7 ⁢ x − ( −2 ⁢ x ) ⋅ 3
Einfaldið.	− 1 0 ⁢ 𝑥 3 − 1 4 ⁢ 𝑥 2 + 6 ⁢ 𝑥 −10 ⁢ x³ − 14 ⁢ x² + 6 ⁢ x

Dæmi 10.32

Margfaldið: $4 y^{3} (y^{2} - 8 y + 1) .$

Lausn

	4 ⁢ 𝑦 3 ⁢ ( 𝑦 2 − 8 ⁢ 𝑦 + 1 ) 4 ⁢ y 3 ⁢ ( y² − 8 ⁢ y + 1 )
Beitið dreifireglu.
	4 ⁢ 𝑦 3 ⋅ 𝑦 2 − 4 ⁢ 𝑦 3 ⋅ 8 ⁢ 𝑦 + 4 ⁢ 𝑦 3 ⋅ 1 4 ⁢ y³ ⋅ y² − 4 ⁢ y³ ⋅ 8 ⁢ y + 4 ⁢ y³ ⋅ 1
Einfaldið.	4 ⁢ 𝑦 5 − 3 2 ⁢ 𝑦 4 + 4 ⁢ 𝑦 3 4 ⁢ y⁵ − 32 ⁢ y⁴ + 4 ⁢ y³

Nú látum við einliðinn vera síðari þáttinn.

Dæmi 10.33

Margfaldið: $(x + 3) p .$

Lausn

	( 𝑥 + 3 ) ⁢ 𝑝 ( x + 3 ) ⁢ p
Beitið dreifireglu.
	𝑥 ⋅ 𝑝 + 3 ⋅ 𝑝 x ⋅ p + 3 ⋅ p
Einfaldið.	𝑥 ⁢ 𝑝 + 3 ⁢ 𝑝 x ⁢ p + 3 ⁢ p

Margfaldið tvílið með tvílið

Rétt eins og sýna má margföldun talna á mismunandi vegu má nota nokkrar aðferðir til að margfalda tvílið með tvílið.

Notkun dreifireglunnar

Við byrjum á að nota dreifiregluna. Skoðið aftur sýnidæmi 10.33.


Við dreifðum p og fengum
Hvað ef við höfum ( x + 7 ) í stað p ?
Dreifið ( x + 7 ) .
Beitið dreifireglunni aftur.	𝑥 2 + 7 ⁢ 𝑥 + 3 ⁢ 𝑥 + 2 1 x 2 + 7 ⁢ x + 3 ⁢ x + 21
Sameinið samkynja liði.	𝑥 2 + 1 0 ⁢ 𝑥 + 2 1 x 2 + 10 ⁢ x + 21

Takið eftir að áður en samkynja liðir voru sameinaðir voru liðirnir fjórir. Við margfölduðum hvorn lið fyrri tvíliðarins með hvorum lið síðari tvíliðarins—fjórar margfaldanir.

Gætið þess að greina á milli summu og margfeldis.

\begin{matrix} Summa & Margfeldi \\ x + x & x \cdot x \\ 2 x & x^{2} \\ sameinið samkynja liði & leggið saman veldisvísa þegar veldisstofninn er sá sami \end{matrix}

Dæmi 10.34

Margfaldið: $(x + 6) (x + 8) .$

Lausn

	( 𝑥 + 6 ) ⁢ ( 𝑥 + 8 ) ( x + 6 ) ⁢ ( x + 8 )

Dreifið ( x + 8 ) .
Beitið dreifireglunni aftur.	𝑥 2 + 8 ⁢ 𝑥 + 6 ⁢ 𝑥 + 4 8 x² + 8 ⁢ x + 6 ⁢ x + 48
Einfaldið.	𝑥 2 + 1 4 ⁢ 𝑥 + 4 8 x² + 14 ⁢ x + 48

Nú sjáum við hvernig tvíliðir þar sem breytan hefur stuðul eru margfaldaðir.

Dæmi 10.35

Margfaldið: $(2 x + 9) (3 x + 4) .$

Lausn

	( 2 ⁢ 𝑥 + 9 ) ⁢ ( 3 ⁢ 𝑥 + 4 ) ( 2 ⁢ x + 9 ) ⁢ ( 3 ⁢ x + 4 )
Dreifið ( 3 ⁢ 𝑥 + 4 ) ( 3 ⁢ x + 4 ) . ( 3 ⁢ x + 4 )
Beitið dreifireglunni aftur.	6 ⁢ 𝑥 2 + 8 ⁢ 𝑥 + 2 7 ⁢ 𝑥 + 3 6 6 ⁢ x² + 8 ⁢ x + 27 ⁢ x + 36
Einfaldið.	6 ⁢ 𝑥 2 + 3 5 ⁢ 𝑥 + 3 6 6 ⁢ x² + 35 ⁢ x + 36

Í fyrri dæmunum voru tvíliðirnir summur. Þegar um mismun er að ræða þurfum við að gæta sérstaklega að því að formerki margfeldisins séu rétt.

Dæmi 10.36

Margfaldið: $(4 y + 3) (6 y - 5) .$

Lausn

	( 4 ⁢ 𝑦 + 3 ) ⁢ ( 6 ⁢ 𝑦 − 5 ) ( 4 ⁢ y + 3 ) ⁢ ( 6 ⁢ y − 5 )
Beitið dreifireglu.
Beitið dreifireglunni aftur.	2 4 ⁢ 𝑦 2 − 2 0 ⁢ 𝑦 + 1 8 ⁢ 𝑦 − 1 5 24 ⁢ y² − 20 ⁢ y + 18 ⁢ y − 15
Einfaldið.	2 4 ⁢ 𝑦 2 − 2 ⁢ 𝑦 − 1 5 24 ⁢ y² − 2 ⁢ y − 15

Hingað til hefur margfeldi tveggja tvíliða verið þríliður. Það á þó ekki alltaf við.

Dæmi 10.37

Margfaldið: $(x + 2) (x - y) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Beitið dreifireglunni aftur.
Einfaldið.	Engir samkynja liðir eru til að sameina.

Notkun FOIL-aðferðarinnar

Munið að þegar tvíliður er margfaldaður með tvílið fást fjórir liðir. Stundum má sameina samkynja liði og fá þrílið en stundum eru engir samkynja liðir til að sameina. Skoðum síðasta dæmið aftur og athugum sérstaklega hvernig liðirnir fjórir fengust.

(x + 2) (x - y)

x^{2} - xy + 2 x - 2 y

Hvaðan kom fyrsti liðurinn, 𝑥 2 , $x^{2},$ ?

Hann er margfeldi 𝑥 𝑎 𝑛 𝑑 𝑥 , x og x , fremstu liðanna í ( 𝑥 + 2 ) ⁢ a n d ⁡ $x og x,$ ( 𝑥 − 𝑦 ) . ( x + 2 ) ⁢ og ⁡ ( x − y ) . $(x + 2) og (x - y) .$

Næsti liður, − 𝑥 𝑦 , − $- xy,$ xy , er margfeldi 𝑥 a n d − $x og - y,$ 𝑦 , x og − y , ytri liðanna tveggja.

Þriðji liðurinn, + 2 ⁢ 𝑥 , +2 $+2 x,$ ⁢ x , er margfeldi 2 a n d $2 og x,$ 𝑥 , 2 og x , innri liðanna tveggja.

Síðasti liðurinn, $−2 y,$ fékkst með því að margfalda öftustu liðina tvo.

Sviginn x plús 2 margfaldaður með sviganum x mínus y er sýndur. Svartar örvar liggja frá fyrra x-inu að síðara x-inu og y og frá 2 að x. Rauð ör liggur frá 2 að y. Fyrir ofan stendur „öftustu“ með rauðum lit.

Við skammstöfum „fremstu, ytri, innri, öftustu“ sem FOIL eftir ensku heitunum First, Outer, Inner og Last. Auðvelt er að muna orðið FOIL og það tryggir að við finnum öll fjögur margfeldin. Við segjum því að FOIL-aðferðin sé notuð til að margfalda tvo tvíliði.

Sviginn a plús b margfaldaður með sviganum c plús d er sýndur. Fyrir ofan a stendur „fremsti“, fyrir ofan b „öftasti“, fyrir ofan c „fremsti“ og fyrir ofan d „öftasti“. Slaufa tengir a og d og er merkt „ytri“. Önnur slaufa tengir b og c og er merkt „innri“.

Skoðum $(x + 3) (x + 7)$ aftur. Nú vinnum við dæmi þar sem FOIL-mynstrið er notað til að margfalda tvo tvíliði.

Samanburður á dreifireglunni og FOIL-aðferðinni við margföldun tvíliða, svo sem (x+3)(x+7). Báðar aðferðir gefa x^2 + 10x + 21.

Dæmi 10.38

Margfaldið með FOIL-aðferðinni: $(x + 6) (x + 9) .$

Lausn

Skref 1: Margfaldið fremstu liðina.
Skref 2: Margfaldið ytri liðina.
Skref 3: Margfaldið innri liðina.
Skref 4: Margfaldið öftustu liðina.
Skref 5: Sameinið samkynja liði þegar það er hægt.

Skref FOIL-aðferðarinnar eru tekin saman hér fyrir neðan. FOIL-aðferðin gildir aðeins um margföldun tvíliða en ekki annarra margliða!

Dæmi 10.39

Margfaldið: $(y - 8) (y + 6) .$

Lausn

Skref 1: Margfaldið fremstu liðina.
Skref 2: Margfaldið ytri liðina.
Skref 3: Margfaldið innri liðina.
Skref 4: Margfaldið öftustu liðina.
Skref 5: Sameinið samkynja liði.

Dæmi 10.40

Margfaldið: $(2 a + 3) (3 a - 1) .$

Lausn



Margfaldið fremstu liðina.
Margfaldið ytri liðina.
Margfaldið innri liðina.
Margfaldið öftustu liðina.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 10.41

Margfaldið: $(5 x - y) (2 x - 7) .$

Lausn



Margfaldið fremstu liðina.
Margfaldið ytri liðina.
Margfaldið innri liðina.
Margfaldið öftustu liðina.
Sameinið samkynja liði. Þeir eru engir.

Notkun lóðréttu aðferðarinnar

FOIL-aðferðin er yfirleitt fljótlegasta leiðin til að margfalda tvo tvíliði en hún gildir aðeins um tvíliði. Nota má dreifiregluna til að finna margfeldi hvaða tveggja margliða sem er. Önnur aðferð sem gildir um allar margliður er lóðrétta aðferðin. Hún líkist mjög aðferðinni sem þið notið til að margfalda núll og jákvæðar heiltölur. Skoðið vandlega þetta dæmi um margföldun tveggja talna með tveimur tölustöfum.

Lóðrétt margföldunardæmi er sýnt. Talan 23 er margfölduð með 46 og strik er dregið undir. Undir strikinu stendur 138 og við hlið þess „hlutmargfeldi“. Þar fyrir neðan stendur 92 og við hlið þess „hlutmargfeldi“. Undir 92 er strik og þar fyrir neðan stendur 1058. Við hlið þess stendur „margfeldi“.

Þið byrjið á að margfalda $23$ með $6$ og fá $138 .$

Síðan margfaldið þið $23$ með $4,$ og stillið hlutmargfeldinu upp í rétta dálka.

Að lokum leggið þið hlutmargfeldin saman.

Nú beitum við sömu aðferð til að margfalda tvo tvíliði.

Dæmi 10.42

Margfaldið með lóðréttu aðferðinni: $(5 x - 1) (2 x - 7) .$

Lausn

Ekki skiptir máli hvor tvíliðurinn er efst. Stillið dálkunum upp þegar þið margfaldið, eins og þegar við margfölduðum $23 (46) .$


Margfaldið 2 ⁢ x − 7 með −1 .
Margfaldið 2 ⁢ x − 7 með 5 ⁢ x .
Sameinið samkynja liði.

Athugið að hlutmargfeldin eru sömu liðir og fást með FOIL-aðferðinni.

Vinstra megin er sýnt (5x − 1)(2x − 7). Fyrir neðan stendur 10x í öðru veldi mínus 35x mínus 2x plús 7. Fyrstu tveir liðirnir eru bláir og hinir tveir rauðir. Þar fyrir neðan stendur 10x í öðru veldi mínus 37x plús 7. Hægra megin er lóðrétt margföldunardæmi. Tvíliðurinn 2x mínus 7 er margfaldaður með 5x mínus 1 og strik er dregið undir. Undir strikinu stendur mínus 2x plús 7 með rauðum lit. Þar fyrir neðan stendur 10x í öðru veldi mínus 35x með bláum lit. Annað strik er dregið þar undir og niðurstaðan er 10x í öðru veldi mínus 37x plús 7.

Við höfum nú notað þrjár aðferðir til að margfalda tvíliði. Æfið hverja aðferð og reynið að ákveða hvaða aðferð þið kjósið. Aðferðirnar þrjár eru taldar upp hér til að auðvelda ykkur að muna þær.

Margfaldið þrílið með tvílið

Við höfum margfaldað einliði með einliðum, einliði með margliðum og tvíliði með tvíliðum. Nú erum við tilbúin að margfalda þrílið með tvílið. Munið að FOIL-aðferðin gildir ekki í þessu tilviki en nota má annaðhvort dreifiregluna eða lóðréttu aðferðina. Fyrst skoðum við dæmi þar sem dreifireglan er notuð.

Dæmi 10.43

Margfaldið með dreifireglunni: $(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .$

Lausn


Beitið dreifireglu.
Margfaldið.	2 ⁢ 𝑥 3 − 5 ⁢ 𝑥 2 + 8 ⁢ 𝑥 + 6 ⁢ 𝑥 2 − 1 5 ⁢ 𝑥 + 2 4 2 ⁢ x³ − 5 ⁢ x² + 8 ⁢ x + 6 ⁢ x² − 15 ⁢ x + 24
Sameinið samkynja liði.	2 ⁢ 𝑥 3 + 𝑥 2 − 7 ⁢ 𝑥 + 2 4 2 ⁢ x³ + x² − 7 ⁢ x + 24

Nú framkvæmum við sömu margföldun með lóðréttu aðferðinni.

Dæmi 10.44

Margfaldið með lóðréttu aðferðinni: $(x + 3) (2 x^{2} - 5 x + 8) .$

Lausn

Auðveldara er að setja margliðuna með færri liðum neðst, því þannig fást færri hlutmargfeldi.


Margfaldið ( 2 ⁢ x² − 5 ⁢ x + 8 ) með 3.
Margfaldið ( 2 ⁢ x² − 5 ⁢ x + 8 ) með x .
Sameinið samkynja liði.

Æfingar úr kafla 10.3

Æfingin skapar meistarann

Margfaldið margliðu með einlið

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda.

145.

4⁢(𝑥+10) $4 (x + 10)$

146.

6⁢(𝑦+8) $6 (y + 8)$

147.

15⁢(𝑟−24) $15 (r - 24)$

148.

12⁢(𝑣−30) $12 (v - 30)$

149.

−3⁢(𝑚+11) $−3 (m + 11)$

150.

−4⁢(𝑝+15) $−4 (p + 15)$

151.

−8⁢(𝑧−5) $−8 (z - 5)$

152.

−3⁢(𝑥−9) $−3 (x - 9)$

153.

𝑢⁢(𝑢+5) $u (u + 5)$

154.

𝑞⁢(𝑞+7) $q (q + 7)$

155.

𝑛⁢(𝑛2−3⁢𝑛) $n (n^{2} - 3 n)$

156.

𝑠⁢(𝑠2−6⁢𝑠) $s (s^{2} - 6 s)$

157.

12⁢𝑥⁢(𝑥−10) $12 x (x - 10)$

158.

9⁢𝑚⁢(𝑚−11) $9 m (m - 11)$

159.

−9⁢𝑎⁢(3⁢𝑎+5) $−9 a (3 a + 5)$

160.

−4⁢𝑝⁢(2⁢𝑝+7) $−4 p (2 p + 7)$

161.

6⁢𝑥⁢(4⁢𝑥+𝑦) $6 x (4 x + y)$

162.

5⁢𝑎⁢(9⁢𝑎+𝑏) $5 a (9 a + b)$

163.

5⁢𝑝⁢(11⁢𝑝−5⁢𝑞) $5 p (11 p - 5 q)$

164.

12⁢𝑢⁢(3⁢𝑢−4⁢𝑣) $12 u (3 u - 4 v)$

165.

3⁢(𝑣2+10⁢𝑣+25) $3 (v^{2} + 10 v + 25)$

166.

6⁢(𝑥2+8⁢𝑥+16) $6 (x^{2} + 8 x + 16)$

167.

2⁢𝑛⁢(4⁢𝑛2−4⁢𝑛+1) $2 n (4 n^{2} - 4 n + 1)$

168.

3⁢𝑟⁢(2⁢𝑟2−6⁢𝑟+2) $3 r (2 r^{2} - 6 r + 2)$

169.

−8⁢𝑦⁢(𝑦2+2⁢𝑦−15) $−8 y (y^{2} + 2 y - 15)$

170.

−5⁢𝑚⁢(𝑚2+3⁢𝑚−18) $−5 m (m^{2} + 3 m - 18)$

171.

5⁢𝑞3⁢(𝑞2−2⁢𝑞+6) $5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)$

172.

9⁢𝑟3⁢(𝑟2−3⁢𝑟+5) $9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)$

173.

−4⁢𝑧2⁢(3⁢𝑧2+12⁢𝑧−1) $−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)$

174.

−3⁢𝑥2⁢(7⁢𝑥2+10⁢𝑥−1) $−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)$

175.

(2⁢𝑦−9)⁢𝑦 $(2 y - 9) y$

176.

(8⁢𝑏−1)⁢𝑏 $(8 b - 1) b$

177.

(𝑤−6)·8 $(w - 6) \cdot 8$

178.

(𝑘−4)·5 $(k - 4) \cdot 5$

Margfaldið tvílið með tvílið

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda tvíliðina með ⓐ dreifireglunni, ⓑ FOIL-aðferðinni og ⓒ lóðréttu aðferðinni.

179.

(𝑥+4)⁢(𝑥+6) $(x + 4) (x + 6)$

180.

(𝑢+8)⁢(𝑢+2) $(u + 8) (u + 2)$

181.

(𝑛+12)⁢(𝑛−3) $(n + 12) (n - 3)$

182.

(𝑦+3)⁢(𝑦−9) $(y + 3) (y - 9)$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda tvíliðina. Notið hvaða aðferð sem er.

183.

(𝑦+8)⁢(𝑦+3) $(y + 8) (y + 3)$

184.

(𝑥+5)⁢(𝑥+9) $(x + 5) (x + 9)$

185.

(𝑎+6)⁢(𝑎+16) $(a + 6) (a + 16)$

186.

(𝑞+8)⁢(𝑞+12) $(q + 8) (q + 12)$

187.

(𝑢−5)⁢(𝑢−9) $(u - 5) (u - 9)$

188.

(𝑟−6)⁢(𝑟−2) $(r - 6) (r - 2)$

189.

(𝑧−10)⁢(𝑧−22) $(z - 10) (z - 22)$

190.

(𝑏−5)⁢(𝑏−24) $(b - 5) (b - 24)$

191.

(𝑥−4)⁢(𝑥+7) $(x - 4) (x + 7)$

192.

(𝑠−3)⁢(𝑠+8) $(s - 3) (s + 8)$

193.

(𝑣+12)⁢(𝑣−5) $(v + 12) (v - 5)$

194.

(𝑑+15)⁢(𝑑−4) $(d + 15) (d - 4)$

195.

(6⁢𝑛+5)⁢(𝑛+1) $(6 n + 5) (n + 1)$

196.

(7⁢𝑦+1)⁢(𝑦+3) $(7 y + 1) (y + 3)$

197.

(2⁢𝑚−9)⁢(10⁢𝑚+1) $(2 m - 9) (10 m + 1)$

198.

(5⁢𝑟−4)⁢(12⁢𝑟+1) $(5 r - 4) (12 r + 1)$

199.

(4⁢𝑐−1)⁢(4⁢𝑐+1) $(4 c - 1) (4 c + 1)$

200.

(8⁢𝑛−1)⁢(8⁢𝑛+1) $(8 n - 1) (8 n + 1)$

201.

(3⁢𝑢−8)⁢(5⁢𝑢−14) $(3 u - 8) (5 u - 14)$

202.

(2⁢𝑞−5)⁢(7⁢𝑞−11) $(2 q - 5) (7 q - 11)$

203.

(𝑎+𝑏)⁢(2⁢𝑎+3⁢𝑏) $(a + b) (2 a + 3 b)$

204.

(𝑟+𝑠)⁢(3⁢𝑟+2⁢𝑠) $(r + s) (3 r + 2 s)$

205.

(5⁢𝑥−𝑦)⁢(𝑥−4) $(5 x - y) (x - 4)$

206.

(4⁢𝑧−𝑦)⁢(𝑧−6) $(4 z - y) (z - 6)$

Margfaldið þrílið með tvílið

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið margfalda með ⓐ dreifireglunni og ⓑ lóðréttu aðferðinni.

207.

(𝑢+4)⁢(𝑢2+3⁢𝑢+2) $(u + 4) (u^{2} + 3 u + 2)$

208.

(𝑥+5)⁢(𝑥2+8⁢𝑥+3) $(x + 5) (x^{2} + 8 x + 3)$

209.

(𝑎+10)⁢(3⁢𝑎2+𝑎−5) $(a + 10) (3 a^{2} + a - 5)$

210.

(𝑛+8)⁢(4⁢𝑛2+𝑛−7) $(n + 8) (4 n^{2} + n - 7)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda. Notið aðra hvora aðferðina.

211.

(𝑦−6)⁢(𝑦2−10⁢𝑦+9) $(y - 6) (y^{2} - 10 y + 9)$

212.

(𝑘−3)⁢(𝑘2−8⁢𝑘+7) $(k - 3) (k^{2} - 8 k + 7)$

213.

(2⁢𝑥+1)⁢(𝑥2−5⁢𝑥−6) $(2 x + 1) (x^{2} - 5 x - 6)$

214.

(5⁢𝑣+1)⁢(𝑣2−6⁢𝑣−10) $(5 v + 1) (v^{2} - 6 v - 10)$

Stærðfræði daglegs lífs

215.

Hugareikningur Nota má margföldun tvíliða til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að þið þurfið að margfalda $13$ með $15 .$ Lítið á $13$ sem $10 + 3$ og $15$ sem $10 + 5 .$

ⓐ Margfaldið $(10 + 3) (10 + 5)$ með FOIL-aðferðinni.
ⓑ Margfaldið $13 \cdot 15$ án þess að nota reiknivél.

216.

Hugareikningur Nota má margföldun tvíliða til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að þið þurfið að margfalda $18$ með $17 .$ Lítið á $18$ sem $20 - 2$ og $17$ sem $20 - 3 .$

ⓐ Margfaldið $(20 - 2) (20 - 3)$ með FOIL-aðferðinni.
ⓑ Margfaldið $18 \cdot 17$ án þess að nota reiknivél.

Ritunarverkefni

217.

Hvaða aðferð kjósið þið við margföldun tveggja tvíliða—dreifiregluna, FOIL-aðferðina eða lóðréttu aðferðina? Hvers vegna?

218.

Hvaða aðferð kjósið þið við margföldun þríliðar með tvílið—dreifiregluna eða lóðréttu aðferðina? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um tök ykkar á efni kaflans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?