1010 Margliður

10.1 Leggja saman og draga frá margliður

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

borið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði
ákvarðað stig margliða
lagt saman og dregið frá einliði
lagt saman og dregið frá margliður
reiknað gildi margliðu fyrir gefið gildi

Berið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði

Í kaflanum Reikna gildi, einfalda og þýða stæður lærðuð þið að liður er fasti eða margfeldi fasta og einnar eða fleiri breyta. Fastinn kallast stuðull. Liður af gerðinni $a x^{m},$ þar sem $a$ er fasti og $m$ er heiltala sem er ekki neikvæð, kallast einliður. Einliður eða summa og/eða mismunur einliða kallast margliða.

Athugið orðstofnana:

marg- merkir margir
ein- merkir einn
tví- merkir tveir
þrí- merkir þrír

Hér eru nokkur dæmi um margliður:

Margliða	𝑏 + 1 b + 1	4 ⁢ 𝑦 2 − 7 ⁢ 𝑦 + 2 4 ⁢ y 2 − 7 ⁢ y + 2	5 ⁢ 𝑥 5 − 4 ⁢ 𝑥 4 + 𝑥 3 + 8 ⁢ 𝑥 2 − 9 ⁢ 𝑥 + 1 5 ⁢ x 5 − 4 ⁢ x 4 + x 3 + 8 ⁢ x 2 − 9 ⁢ x + 1
Einliður	5 5	4 ⁢ 𝑏 2 4 ⁢ b 2	− 9 ⁢ 𝑥 3 −9 ⁢ x 3
Tvíliður	3 ⁢ 𝑎 − 7 3 ⁢ a − 7	𝑦 2 − 9 y 2 − 9	1 7 ⁢ 𝑥 3 + 1 4 ⁢ 𝑥 2 17 ⁢ x 3 + 14 ⁢ x 2
Þríliður	𝑥 2 − 5 ⁢ 𝑥 + 6 x 2 − 5 ⁢ x + 6	4 ⁢ 𝑦 2 − 7 ⁢ 𝑦 + 2 4 ⁢ y 2 − 7 ⁢ y + 2	5 ⁢ 𝑎 4 − 3 ⁢ 𝑎 3 + 𝑎 5 ⁢ a 4 − 3 ⁢ a 3 + a

Athugið að sérhver einliður, tvíliður og þríliður er einnig margliða. Þetta eru sérstakir flokkar margliða og bera því sérstök heiti. Við notum orðin „einliður“, „tvíliður“ og „þríliður“ um þessar sérstöku margliður en köllum allar hinar einfaldlega „margliður“.

Dæmi 10.1

Ákvarðið hvort hver margliða sé einliður, tvíliður, þríliður eða annars konar margliða:

ⓐ 8⁢𝑥2 −7⁢𝑥 −9 $8 x^{2} - 7 x - 9$
ⓑ −5⁢𝑎4 $−5 a^{4}$
ⓒ 𝑥4 −7⁢𝑥3 −6⁢𝑥2 +5⁢𝑥 +2 $x^{4} - 7 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 2$
ⓓ 11 −4⁢𝑦3 $11 - 4 y^{3}$
ⓔ 𝑛 $n$

Lausn

	Margliða	Fjöldi liða	Gerð
ⓐ	8 ⁢ 𝑥 2 − 7 ⁢ 𝑥 − 9 8 ⁢ x² − 7 ⁢ x − 9	3	Þríliður
ⓑ	− 5 ⁢ 𝑎 4 −5 ⁢ a⁴	1	Einliður
ⓒ	𝑥 4 − 7 ⁢ 𝑥 3 − 6 ⁢ 𝑥 2 + 5 ⁢ 𝑥 + 2 x⁴ − 7 ⁢ x³ − 6 ⁢ x² + 5 ⁢ x + 2	5	Margliða
ⓓ	1 1 − 4 ⁢ 𝑦 3 11 − 4 ⁢ y³	2	Tvíliður
ⓔ	𝑛 n	1	Einliður

Ákvarðið stig margliða

Í þessum kafla vinnum við með margliður sem hafa aðeins eina breytu í hverjum lið. Veldisvísar breytunnar ákvarða stig margliðu og stig liða hennar.

Einliður sem hefur enga breytu heldur aðeins fasta er sértilvik. Stig fasta er $0$ —hann hefur enga breytu.

Skoðum nokkrar margliður til að sjá hvernig þetta virkar. Við förum skref fyrir skref, byrjum á einliðum og höldum síðan áfram að margliðum með fleiri liðum.

Munið: Veldisstofn sem er skrifaður án veldisvísis hefur sjálfgefna veldisvísinn $1 .$

Tafla er sýnd. Efsta röðin ber heitið „Einliðir“ og sýnir einliðina 5, 4b í öðru veldi, mínus 9x í þriðja veldi og mínus 18. Næsta röð ber heitið „Stig“ og sýnir tölurnar 0, 2, 3 og 0 með bláum lit. Næsta röð ber heitið „Tvíliður“ og sýnir tvíliðina b plús 1, 3a mínus 7, y í öðru veldi mínus 9 og 17x í þriðja veldi plús 14x í öðru veldi. Næsta röð ber heitið „Stig hvers liðar“, þar sem orðið „liðar“ er blátt, og sýnir tölurnar 1, 0, 1, 0, 2, 0, 3 og 2 með bláum lit. Næsta röð ber heitið „Stig margliðu“, þar sem orðið „margliðu“ er rautt, og sýnir tölurnar 1, 1, 2 og 3 með rauðum lit. Næsta röð ber heitið „Þríliður“ og sýnir þríliðina x í öðru veldi mínus 5x plús 6, 4y í öðru veldi mínus 7y plús 2, 5a í fjórða veldi mínus 3a í þriðja veldi plús a og x í fjórða veldi plús 2x í öðru veldi mínus 5. Næsta röð ber heitið „Stig hvers liðar“, þar sem orðið „liðar“ er blátt, og sýnir tölurnar 2, 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 1, 4, 2 og 0 með bláum lit. Næsta röð ber heitið „Stig margliðu“, þar sem orðið „margliðu“ er rautt, og sýnir tölurnar 2, 2, 4 og 4 með rauðum lit. Næsta röð ber heitið „Margliða“ og sýnir margliðurnar b plús 1, 4y í öðru veldi mínus 7y plús 2 og 4x í fjórða veldi plús x í þriðja veldi plús 8x í öðru veldi mínus 9x plús 1. Næsta röð ber heitið „Stig hvers liðar“, þar sem orðið „liðar“ er blátt, og sýnir tölurnar 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1 og 0 með bláum lit. Síðasta röðin ber heitið „Stig margliðu“, þar sem orðið „margliðu“ er rautt, og sýnir tölurnar 1, 2 og 4 með rauðum lit.

Dæmi 10.2

Finnið stig eftirfarandi margliða:

ⓐ 4⁢𝑥 $4 x$
ⓑ 3⁢𝑥3 −5⁢𝑥 +7 $3 x^{3} - 5 x + 7$
ⓒ −11 $−11$
ⓓ −6⁢𝑥2 +9⁢𝑥 −3 $−6 x^{2} + 9 x - 3$
ⓔ 8⁢𝑥 +2 $8 x + 2$

Lausn

ⓐ	4 ⁢ 𝑥 4 ⁢ x
Veldisvísir x er einn. x = x¹	Stigið er 1.
ⓑ	3 ⁢ 𝑥 3 − 5 ⁢ 𝑥 + 7 3 ⁢ x³ − 5 ⁢ x + 7
Hæsta stig allra liðanna er 3.	Stigið er 3.
ⓒ	− 1 1 − 11
Stig fasta er 0.	Stigið er 0.
ⓓ	− 6 ⁢ 𝑥 2 + 9 ⁢ 𝑥 − 3 −6 ⁢ x² + 9 ⁢ x − 3
Hæsta stig allra liðanna er 2.	Stigið er 2.
ⓔ	8 ⁢ 𝑥 + 2 8 ⁢ x + 2
Hæsta stig allra liðanna er 1.	Stigið er 1.

Auðveldara er að vinna með margliður þegar liðirnir eru skrifaðir í lækkandi röð eftir stigi. Margliða sem er skrifuð þannig er sögð vera á staðalformi. Skoðið aftur margliðurnar í sýnidæmi 10.2. Athugið að þær eru allar á staðalformi. Venjið ykkur á að skrifa liðinn með hæsta stigið fyrst.

Leggið saman og dragið frá einliði

Í kaflanum Tungumál algebrunnar einfölduðuð þið stæður með því að sameina samkynja liði. Að leggja saman og draga frá einliði jafngildir því að sameina samkynja liði. Samkynja liðir verða að hafa sömu breytu með sama veldisvísi. Munið að þegar samkynja liðir eru sameinaðir eru aðeins stuðlarnir lagðir saman, aldrei veldisvísarnir.

Dæmi 10.3

Leggið saman: $17 x^{2} + 6 x^{2} .$

Lausn

	1 7 ⁢ 𝑥 2 + 6 ⁢ 𝑥 2 17 ⁢ x² + 6 ⁢ x²
Sameinið samkynja liði.	2 3 ⁢ 𝑥 2 23 ⁢ x 2

Dæmi 10.4

Dragið frá: $11 n - (−8 n) .$

Lausn

	1 1 ⁢ 𝑛 − ( − 8 ⁢ 𝑛 ) 11 ⁢ n − ( −8 ⁢ n )
Sameinið samkynja liði.	1 9 ⁢ 𝑛 19 ⁢ n

Dæmi 10.5

Einfaldið: $a^{2} + 4 b^{2} - 7 a^{2} .$

Lausn

	𝑎 2 + 4 ⁢ 𝑏 2 − 7 ⁢ 𝑎 2 a² + 4 ⁢ b² − 7 ⁢ a²
Sameinið samkynja liði.	− 6 ⁢ 𝑎 2 + 4 ⁢ 𝑏 2 −6 ⁢ a² + 4 ⁢ b²

Munið að $−6 a^{2}$ og $4 b^{2}$ eru ekki samkynja liðir. Breyturnar eru ekki þær sömu.

Leggja saman og draga frá margliður

Líta má á samlagningu og frádrátt margliða sem samlagningu og frádrátt samkynja liða. Leitið að samkynja liðum, það er liðum með sömu breytur og sömu veldisvísa. Víxlreglan gerir okkur kleift að endurraða liðunum þannig að samkynja liðir standi saman. Einnig getur verið gagnlegt að undirstrika, draga hring utan um eða ramma inn samkynja liði.

Dæmi 10.6

Finnið summuna: $(4 x^{2} - 5 x + 1) + (3 x^{2} - 8 x - 9) .$

Lausn


Berið kennsl á samkynja liði.
Endurraðið þannig að samkynja liðir standi saman.
Sameinið samkynja liði.

Svigar eru flokkunartákn. Þegar við leggjum saman margliður, eins og í sýnidæmi 10.6, getum við endurskrifað stæðuna án sviga og síðan sameinað samkynja liði. Þegar við drögum margliður frá þurfum við hins vegar að gæta sérstaklega að formerkjunum.

Dæmi 10.7

Finnið mismuninn: $(7 u^{2} - 5 u + 3) - (4 u^{2} - 2) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigana og finnið samkynja liði.
Endurraðið liðunum.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 10.8

Dragið $(m^{2} - 3 m + 8)$ frá $(9 m^{2} - 7 m + 4) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigana og finnið samkynja liði.
Endurraðið liðunum.
Sameinið samkynja liði.

Reiknið gildi margliðu fyrir gefið gildi

Í kaflanum Tungumál algebrunnar reiknuðum við gildi stæða. Þar sem margliður eru stæður notum við sömu aðferð til að reikna gildi þeirra: setjum gefna gildið inn fyrir breytuna í margliðunni og einföldum síðan.

Dæmi 10.9

Reiknið gildi $3 x^{2} - 9 x + 7$ þegar

ⓐ 𝑥 =3 $x = 3$
ⓑ 𝑥 =−1 $x = −1$

Lausn

ⓐ 𝑥 = 3 x = 3
	3 ⁢ 𝑥 2 − 9 ⁢ 𝑥 + 7 3 ⁢ x² − 9 ⁢ x + 7
Setjið 3 inn fyrir x	3 ⁢ ( 3 ) 2 − 9 ⁢ ( 3 ) + 7
Reiknið veldið í stæðunni.	3 · 9 − 9 ⁢ ( 3 ) + 7
Margfaldið.	2 7 − 2 7 + 7 27 − 27 + 7
Einfaldið.	7 7

ⓑ 𝑥 = − 1 x = −1
	3 ⁢ 𝑥 2 − 9 ⁢ 𝑥 + 7 3 ⁢ x² − 9 ⁢ x + 7
Setjið −1 inn fyrir x	3 ⁢ ( − 1 ) 2 − 9 ⁢ ( − 1 ) + 7 3 ⁢ ( −1 ) 2 − 9 ⁢ ( −1 ) + 7
Reiknið veldið í stæðunni.	3 · 1 − 9 ⁢ ( − 1 ) + 7 3 · 1 − 9 ⁢ ( −1 ) + 7
Margfaldið.	3 + 9 + 7
Einfaldið.	1 9 19

Dæmi 10.10

Margliðan $−16 t^{2} + 300$ gefur hæð hlutar $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt af $300$ feta hárri brú. Finnið hæðina eftir $t = 3$ sekúndur.

Lausn


Setjið 3 inn fyrir t
Reiknið veldið í stæðunni.
Margfaldið.
Einfaldið.

Æfingar úr kafla 10.1

Æfingin skapar meistarann

Berið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða hvort hver margliða sé einliður, tvíliður, þríliður eða annars konar margliða.

5⁢𝑥+2 $5 x + 2$

𝑧2−5⁢𝑧−6 $z^{2} - 5 z - 6$

𝑎2+9⁢𝑎+18 $a^{2} + 9 a + 18$

−12⁢𝑝4 $−12 p^{4}$

𝑦3−8⁢𝑦2+2⁢𝑦−16 $y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16$

10−9⁢𝑥 $10 - 9 x$

23⁢𝑦2 $23 y^{2}$

𝑚4+4⁢𝑚3+6⁢𝑚2+4⁢𝑚+1 $m^{4} + 4 m^{3} + 6 m^{2} + 4 m + 1$

Ákvarðið stig margliða

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða stig hverrar margliðu.

8⁢𝑎5−2⁢𝑎3+1 $8 a^{5} - 2 a^{3} + 1$

10.

5⁢𝑐3+11⁢𝑐2−𝑐−8 $5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8$

11.

3⁢𝑥−12 $3 x - 12$

12.

4⁢𝑦+17 $4 y + 17$

13.

−13 $−13$

14.

−22 $−22$

Leggið saman og dragið frá einliði

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leggja einliðina saman eða draga þá frá.

15.

6x2+9⁢𝑥2 ${6x}^{2} + 9 x^{2}$

16.

4y3+6⁢𝑦3 ${4y}^{3} + 6 y^{3}$

17.

−12⁢𝑢+4⁢𝑢 $−12 u + 4 u$

18.

−3⁢𝑚+9⁢𝑚 $−3 m + 9 m$

19.

5⁢𝑎+7⁢𝑏 $5 a + 7 b$

20.

8⁢𝑦+6⁢𝑧 $8 y + 6 z$

21.

Leggið saman: $4 a, - 3 b, - 8 a$

22.

Leggið saman: $4 x, 3 y, - 3 x$

23.

18⁢𝑥−2⁢𝑥 $18 x - 2 x$

24.

13⁢𝑎−3⁢𝑎 $13 a - 3 a$

25.

Dragið 5 ⁢ 𝑥 6 f r o m − 1 2 ⁢ 𝑥 6 5 ⁢ x 6 frá − 12 ⁢ x 6 $5 x^{6} frá - 12 x^{6}$

26.

Dragið 2 ⁢ 𝑝 4 f r o m − 7 ⁢ 𝑝 4 2 ⁢ p 4 frá − 7 ⁢ p 4 $2 p^{4} frá - 7 p^{4}$

Leggja saman og draga frá margliður

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leggja margliðurnar saman eða draga þær frá.

27.

(4⁢𝑦2+10⁢𝑦+3)+(8⁢𝑦2−6⁢𝑦+5) $(4 y^{2} + 10 y + 3) + (8 y^{2} - 6 y + 5)$

28.

(7⁢𝑥2−9⁢𝑥+2)+(6⁢𝑥2−4⁢𝑥+3) $(7 x^{2} - 9 x + 2) + (6 x^{2} - 4 x + 3)$

29.

(𝑥2+6⁢𝑥+8)+(−4⁢𝑥2+11⁢𝑥−9) $(x^{2} + 6 x + 8) + (−4 x^{2} + 11 x - 9)$

30.

(𝑦2+9⁢𝑦+4)+(−2⁢𝑦2−5⁢𝑦−1) $(y^{2} + 9 y + 4) + (−2 y^{2} - 5 y - 1)$

31.

(3⁢𝑎2+7)+(𝑎2−7⁢𝑎−18) $(3 a^{2} + 7) + (a^{2} - 7 a - 18)$

32.

(𝑝2−5⁢𝑝−11)+(3⁢𝑝2+9) $(p^{2} - 5 p - 11) + (3 p^{2} + 9)$

33.

(6⁢𝑚2−9⁢𝑚−3)−(2⁢𝑚2+𝑚−5) $(6 m^{2} - 9 m - 3) - (2 m^{2} + m - 5)$

34.

(3⁢𝑛2−4⁢𝑛+1)−(4⁢𝑛2−𝑛−2) $(3 n^{2} - 4 n + 1) - (4 n^{2} - n - 2)$

35.

(𝑧2+8⁢𝑧+9)−(𝑧2−3⁢𝑧+1) $(z^{2} + 8 z + 9) - (z^{2} - 3 z + 1)$

36.

(𝑧2−7⁢𝑧+5)−(𝑧2−8⁢𝑧+6) $(z^{2} - 7 z + 5) - (z^{2} - 8 z + 6)$

37.

(12⁢𝑠2−15⁢𝑠)−(𝑠−9) $(12 s^{2} - 15 s) - (s - 9)$

38.

(10⁢𝑟2−20⁢𝑟)−(𝑟−8) $(10 r^{2} - 20 r) - (r - 8)$

39.

Finnið summu $(2 p^{3} - 8)$ og $(p^{2} + 9 p + 18)$

40.

Finnið summu $(q^{2} + 4 q + 13)$ og $(7 q^{3} - 3)$

41.

Dragið $(7 x^{2} - 4 x + 2)$ frá $(8 x^{2} - x + 6)$

42.

Dragið $(5 x^{2} - x + 12)$ frá $(9 x^{2} - 6 x - 20)$

43.

Finnið mismun $(w^{2} + w - 42)$ og $(w^{2} - 10 w + 24)$

44.

Finnið mismun $(z^{2} - 3 z - 18)$ og $(z^{2} + 5 z - 20)$

Reiknið gildi margliðu fyrir gefið gildi

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna gildi hverrar margliðu fyrir gefið gildi.

45.

Reiknið gildi 8⁢𝑦2 −3⁢𝑦 +2 $Reiknið gildi 8 y^{2} - 3 y + 2$

ⓐ 𝑦 =5 $y = 5$
ⓑ 𝑦 =−2 $y = −2$
ⓒ 𝑦 =0 $y = 0$

46.

Reiknið gildi 5⁢𝑦2 −𝑦 −7 þegar: $Reiknið gildi 5 y^{2} - y - 7 þegar:$

ⓐ 𝑦 =−4 $y = −4$
ⓑ 𝑦 =1 $y = 1$
ⓒ 𝑦 =0 $y = 0$

47.

Reiknið gildi 4 −36⁢𝑥 þegar: $Reiknið gildi 4 - 36 x þegar:$

ⓐ 𝑥 =3 $x = 3$
ⓑ 𝑥 =0 $x = 0$

48.

Reiknið gildi 16 −36⁢𝑥2 þegar: $Reiknið gildi 16 - 36 x^{2} þegar:$

ⓐ 𝑥 =−1 $x = −1$
ⓑ 𝑥 =0 $x = 0$
ⓒ 𝑥 =2 $x = 2$

49.

Gluggaþvottamaður missir sköfu af $275$ feta háum palli. Margliðan $−16 t^{2} + 275$ gefur hæð sköfunnar $t$ sekúndum eftir að hún féll. Finnið hæðina eftir $t = 4$ sekúndur.

50.

Framleiðandi örbylgjuofna hefur komist að því að tekjur af sölu ofna á 𝑝 p dali stykkið eru gefnar með margliðunni $−5 p^{2} + 350 p .$ Finnið tekjurnar þegar $p = 50$ dalir.

Stærðfræði daglegs lífs

51.

Eldsneytisnýting Eldsneytisnýting rútu, í mílum á gallon, þegar ekið er á hraðanum $x$ mílur á klukkustund er gefin með margliðunni $- \frac{1}{160} x^{2} + \frac{1}{2} x .$ Finnið eldsneytisnýtinguna þegar $x = 40 mílur/klst.$

52.

Stöðvunarvegalengd Fjöldi feta sem þarf til að stöðva bíl sem ekið er á hraðanum $x$ mílur á klukkustund á þurru, sléttu steinsteyptu yfirborði er gefinn með margliðunni $0.06 x^{2} + 1.1 x .$ Finnið stöðvunarvegalengdina þegar $x = 60 mílur/klst.$

Ritunarverkefni

53.

Útskýrið með eigin orðum muninn á einlið, tvílið og þrílið.

54.

Eloise telur að summa $5 x^{2} + 3 x^{4}$ sé $8 x^{6} .$ Hvað er rangt við röksemdafærslu hennar?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.

… með smá aðstoð. Bregðast þarf fljótt við því þau viðfangsefni sem þið náið ekki tökum á geta orðið hindranir á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennarinn eru góðir aðilar til að leita til. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

…nei—ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Þið skuluð leita hjálpar tafarlaust, annars getur námsefnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og auðið er. Saman getið þið gert áætlun um að fá þá aðstoð sem þið þurfið.