Leyst hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Grafísk aðferð til að leysa línuleg jöfnuhneppi gefur góða mynd af þeim gerðum lausna sem geta komið fram. Oft er þó óhentugt eða ónákvæmt að leysa hneppi með gröfum. Ef gröfin ná út fyrir lítið hnitakerfi þar sem bæði x og y eru milli −10 og 10 getur verið seinlegt að teikna línurnar. Ef lausnir hneppisins eru ekki heiltölur getur einnig verið erfitt að lesa nákvæm gildi þeirra af grafi.
Í þessum hluta leysum við línuleg jöfnuhneppi með innsetningaraðferðinni.
Leysið jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Við notum sama hneppi og fyrst var leyst með grafískri aðferð.
Fyrst leysum við aðra jöfnuna annaðhvort fyrir x eða y. Við getum valið hvora jöfnuna sem er og hvora breytuna sem er, en reynum að velja þannig að reikningurinn verði einfaldur.
Síðan setjum við stæðuna inn í hina jöfnuna. Þá fæst jafna með aðeins einni breytu, og slíkar jöfnur kunnum við að leysa.
Þegar við höfum fundið gildi annarrar breytunnar setjum við það inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysum fyrir hina breytuna. Að lokum sannreynum við lausnina og göngum úr skugga um að hún geri báðar jöfnurnar sannar.
Í dæmi 5.19, þarf aðeins meiri vinnu til að leysa aðra jöfnuna fyrir x eða y.
Dæmi 5.19
Leysið hneppið með innsetningu.
Lausn
Við þurfum að leysa aðra jöfnuna fyrir aðra breytuna. Við leysum fyrri jöfnuna fyrir x.
Leysið fyrri jöfnuna fyrir x.
Setjið y + í stað x í seinni jöfnunni.
Setjið x í staðinn fyrir y + .
Leysið fyrir y.
Þar sem 0 = 0 er sönn fullyrðing er hneppið samkvæmt. Jöfnurnar eru háðar og gröf þeirra falla saman. Hneppið hefur óendanlega margar lausnir.
Skoðið aftur jöfnurnar í dæmi 5.19. Er hægt að sjá á einhvern hátt að þær lýsa sömu línunni?
Skoðum hvað gerist í næsta dæmi.
Dæmi 5.20
Leysið hneppið með innsetningu.
Lausn
Seinni jafnan er þegar leyst fyrir y, og því getum við sett stæðuna fyrir y inn í fyrri jöfnuna.
Setjið x í stað y í fyrri jöfnunni.
Setjið y í staðinn fyrir x .
Leysið fyrir x.
Þar sem 0 = −10 er ósönn fullyrðing er hneppið ósamkvæmt. Gröf jafnanna eru tvær samsíða línur og hneppið hefur enga lausn.
Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Við endurtökum hér verkefnalausnaraðferðina sem við notuðum í hlutanum um lausn jöfnuhneppa með grafískri aðferð. Nú kunnum við að leysa hneppi með innsetningaraðferð og notum hana því í skrefi 5.
Sumum finnst auðveldara að setja hagnýt verkefni fram með tveimur breytum en einni. Einfaldara er að velja breytur þegar aðeins þarf að skrá tvo bókstafi. Hugsið um þetta í næsta dæmi: hvernig hefðuð þið leyst það með aðeins einni breytu?
Dæmi 5.21
Summa tveggja talna er núll. Önnur talan er níu minni en hin. Finnið tölurnar.
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að tveimur tölum.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum n = tákna fyrri töluna og látum m = tákna seinni töluna.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi.
Summa tveggja talna er núll.
Önnur talan er níu minni en hin.
Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Við notum innsetningu þar sem seinni jafnan er leyst fyrir n.
Setjið m − 9 í stað n í fyrri jöfnunni.
Leysið fyrir m.
Setjið m = inn í seinni jöfnuna og leysið síðan fyrir n.
Skref 6. Athugið svarið í dæminu.
Eru þessar tölur skynsamlegar í samhengi verkefnisins? Við látum ykkur eftir að sannreyna það.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Tölurnar eru og − .
Í dæmi 5.22 notum við formúluna fyrir ummál rétthyrnings, P = 2L + 2W.
Dæmi 5.22
Ummál rétthyrnings er 88. Lengdin er fimm einingum meiri en tvöföld breiddin. Finnið lengdina og breiddina.
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að lengdinni og breiddinni.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum L = tákna lengdina og W = tákna breiddina.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi.
Ummál rétthyrnings er 88.
2 L + 2 W = P
Lengdin er fimm einingum meiri en tvöföld breiddin.
Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Við notum innsetningu þar sem seinni jafnan er leyst fyrir L. Setjið 2W + 5 í stað L í fyrri jöfnunni.
Leysið fyrir W.
Setjið W = 13 inn í seinni jöfnuna og leysið síðan fyrir L.
Skref 6. Athugið svarið í dæminu.
Er rétthyrningur sem er 31 á lengd og 13 á breidd með ummálið 88? Já.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Lengdin er 31 og breiddin 13.
Fyrir dæmi 5.23 þurfum við að muna að hornasumma þríhyrnings er 180 gráður og að eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 90 gráður.
Dæmi 5.23
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er tíu gráðum stærra en þreföld stærð hins hvassa hornsins. Finnið stærð beggja hornanna.
Lausn
Við teiknum mynd og merkjum inn á hana.
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að stærð hornanna.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum a = tákna stærð 1. hornsins og b = tákna stærð 2. hornsins.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi.
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er tíu gráðum stærra en þreföld stærð hins hvassa hornsins.
Hornasumma þríhyrnings er 180.
Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Við notum innsetningu þar sem fyrri jafnan er leyst fyrir a.
Setjið 3b + 10 í stað a í seinni jöfnunni.
Leysið fyrir b.
Setjið b = 20 inn í fyrri jöfnuna og leysið síðan fyrir a.
Skref 6. Athugið svarið í dæminu.
Við látum ykkur eftir að sannreyna þetta.
Skref 7. Svarið spurningunni.
Hvössu hornin eru20 og 70.
Dæmi 5.24
Heather hefur fengið tvo launakosti fyrir starf sem þjálfari í líkamsræktarstöð. Samkvæmt kosti A fær hún $25.000 auk $15 fyrir hvern þjálfunartíma. Samkvæmt kosti B fær hún $10.000 auk $40 fyrir hvern þjálfunartíma. Hve marga þjálfunartíma þarf hún að halda til að launin verði jöfn?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
Við leitum að þeim fjölda þjálfunartíma sem gefur sömu laun.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.
Látum s = tákna laun Heather og n = tákna fjölda þjálfunartíma.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi.
Samkvæmt kosti A fær hún $25.000 auk $15fyrir hvern þjálfunartíma.
Samkvæmt kosti B fær hún $10.000 auk $40fyrir hvern þjálfunartíma.
Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Við notum innsetningu.
Setjið 25.000 + 15n í stað s í seinni jöfnunni.
Leysið fyrir n.
Skref 6. Athugið svarið.
Eru 600 þjálfunartímar á ári raunhæfir? Gefa kostirnir tveir sömu laun þegar n = 600?
Skref 7. Svarið spurningunni.
Launakostirnir gefa sömu laun fyrir 600 þjálfunartíma.
Verkefni úr hluta 5.2
Æfingin skapar meistarann
Leysið jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með innsetningaraðferð.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
Leysið hagnýt verkefni um jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið þau.
107.
Summa tveggja talna er 15. Önnur talan er 3 minni en hin. Finnið tölurnar.
108.
Summa tveggja talna er 30. Önnur talan er 4 minni en hin. Finnið tölurnar.
109.
Summa tveggja talna er −26. Önnur talan er 12 minni en hin. Finnið tölurnar.
110.
Ummál rétthyrnings er 50. Lengdin er 5 einingum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.
111.
Ummál rétthyrnings er 60. Lengdin er 10 einingum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.
112.
Ummál rétthyrnings er 58. Lengdin er 5 einingum meiri en þreföld breiddin. Finnið lengdina og breiddina.
113.
Ummál rétthyrnings er 84. Lengdin er 10 einingum meiri en þreföld breiddin. Finnið lengdina og breiddina.
114.
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er 14 gráðum stærra en 3 sinnum stærð hins hvassa hornsins. Finnið stærð beggja hornanna.
115.
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er 26 gráðum stærra en 3 sinnum stærð hins hvassa hornsins. Finnið stærð beggja hornanna.
116.
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er 15 gráðum minna en tvöföld stærð hins hvassa hornsins. Finnið stærð beggja hornanna.
117.
Annað hvassa hornið í rétthyrndum þríhyrningi er 45 gráðum minna en tvöföld stærð hins hvassa hornsins. Finnið stærð beggja hornanna.
118.
Maxim hefur fengið atvinnutilboð frá tveimur bílasölum. Fyrra fyrirtækið greiðir $10.000 í laun auk $1.000 í þóknun fyrir hvern seldan bíl. Hið síðara greiðir $20.000 í laun auk $500 í þóknun fyrir hvern seldan bíl. Hve marga bíla þarf að selja til að heildarlaunin verði jöfn?
119.
Jackie hefur fengið atvinnutilboð frá tveimur kapalsjónvarpsfyrirtækjum. Fyrra fyrirtækið greiðir $ 14.000 í laun auk $100 í þóknun fyrir hvern seldan sjónvarpspakka. Hið síðara greiðir $20.000 í laun auk $25 í þóknun fyrir hvern seldan sjónvarpspakka. Hve marga sjónvarpspakka þarf að selja til að heildarlaunin verði jöfn?
120.
Amara selur nú sjónvörp fyrir fyrirtæki A og fær $17.000 í laun auk $100 í þóknun fyrir hvert selt sjónvarp. Fyrirtæki B býður henni starf með $29.000 í laun auk $20 í þóknun fyrir hvert selt sjónvarp. Hve mörg sjónvörp þarf Amara að selja til að kostirnir verði jafngildir?
121.
Mitchell selur nú eldavélar fyrir fyrirtæki A og fær $12.000 í laun auk $150 í þóknun fyrir hverja selda eldavél. Fyrirtæki B býður honum starf með $24.000 í laun auk $50 í þóknun fyrir hverja selda eldavél. Hve margar eldavélar þarf Mitchell að selja til að kostirnir verði jafngildir?
Stærðfræði daglegs lífs
122.
Þegar Gloria var 15 mínútur á sporöskjulaga þjálfunartæki og síðan 30 mínútur í stöðvaþjálfun sýndi líkamsræktarforritið að hún hefði brennt 435 hitaeiningum. Þegar hún var 30 mínútur á tækinu og 40 mínútur í stöðvaþjálfun brenndi hún 690 hitaeiningum. Leysið hneppið fyrir , fjölda hitaeininga sem hún brennir á mínútu á tækinu, og , fjölda hitaeininga sem hún brennir á mínútu í stöðvaþjálfun.
123.
Stephanie ók húsbílnum sínum frá Riverside í Kaliforníu norður eftir þjóðvegi 15 í átt að Salt Lake City á hraðanum 56 mílur á klukkustund. Hálfri klukkustund síðar ók Tina frá Riverside sömu leið í bíl sínum á hraðanum 70 mílur á klukkustund. Leysið hneppið .
ⓐ Leysið fyrir til að finna hve langan tíma það tekur Tinu að ná Stephanie.
ⓑ Hvert er gildi , sem táknar fjölda klukkustunda sem Stephanie hefur ekið áður en Tina nær henni?
Ritunarverkefni
124.
Leysið jöfnuhneppið
ⓐ með grafískri aðferð. ⓑ með innsetningaraðferð. ⓒ Hvora aðferðina kjósið þið? Hvers vegna?
125.
Leysið jöfnuhneppið með innsetningaraðferð og útskýrið öll skrefin með orðum.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.
ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir að hafa farið yfir gátlistann til að öðlast öryggi í öllum markmiðunum?
