55 Línuleg jöfnuhneppi

5.4 Leysið hagnýt verkefni með jöfnuhneppum

5.4 Leysa hagnýt verkefni með jöfnuhneppum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Sett verkefni fram sem jöfnuhneppi
Leyst hagnýt verkefni sem setja má beint fram með jöfnuhneppi
Leyst rúmfræðiverkefni
Leyst verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða

Fyrr í þessum kafla leystum við nokkur hagnýt verkefni með línulegum jöfnuhneppum. Í þessum hluta skoðum við tilteknar gerðir verkefna sem tengja tvær stærðir. Við setjum verkefnin fram sem línulegar jöfnur, veljum hentugustu lausnaraðferðina og leysum síðan hneppin.

Við notum verkefnalausnaraðferðina fyrir línuleg jöfnuhneppi.

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi

Mörg verkefnanna sem við leystum fyrr tengdu tvær stærðir. Hér eru tvö verkefni úr kaflanum um stærðfræðilíkön.

Summa tveggja talna er mínus fjórtán. Ein tala er fjórum minni en hin. Finnið tölurnar.
Samanlagðar árstekjur hjónanna eru $110,000. Tekjur eiginkonunnar eru $16,000 lægri en tvöfaldar tekjur eiginmannsins. Hverjar eru tekjur eiginmannsins?

Í þeim kafla settum við hverjar aðstæður fram sem eina jöfnu með aðeins einni breytu. Stundum reyndist dálítið snúið að gefa stærðunum tveimur heiti, ekki satt?

Skoðum hvernig setja má þessi tvö verkefni fram sem jöfnuhneppi með tveimur breytum. Við einbeitum okkur að skrefum 1 til 4 í verkefnalausnaraðferðinni.

Dæmi 5.35

Að setja verkefni fram sem jöfnuhneppi

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi:

Summa tveggja talna er mínus fjórtán. Ein tala er fjórum minni en hin. Finnið tölurnar.

Lausn

Myndin sýnir töflu með fjórum röðum og þremur dálkum. Í fyrstu röð stendur: „Skref 1: Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að þið skiljið öll orð og hugmyndir. Þetta er talnadæmi. Summa tveggja talna er mínus fjórtán. Önnur talan er fjórum minni en hin. Finnið tölurnar.“

Í annarri röð stendur: „Skref 2: Finnið það sem leitað er að. ‘Finnið tölurnar.’ Við leitum að 2 tölum.“

Í þriðju röð stendur: „Skref 3: Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytur sem tákna þessar stærðir. Við notum tvær breytur, m og n. Látum me = one tákna aðra töluna og n = second hina töluna.“

Í fjórðu röð stendur: „Skref 4: Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi. Við skrifum eina jöfnu fyrir hverja setningu.“ Myndin sýnir síðan hvernig „Summa talnanna er -14“ verður að m + n = -14 og „Önnur talan er fjórum minni en hin“ verður að m = n – 4. Að lokum stendur: „Jöfnuhneppið er m + n = -14 og m = n – 4.“

Skoðum annað verkefni og ljúkum því eftir að jöfnuhneppið hefur verið sett fram.

Dæmi 5.36

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi:

Samanlagðar árstekjur hjónanna eru $110,000. Tekjur eiginkonunnar eru $16,000 lægri en tvöfaldar tekjur eiginmannsins. Hverjar eru tekjur eiginmannsins?

Lausn

Við leitum að tekjum hvors hjónanna.	Látum h = tákna tekjur eiginmannsins og w = tákna tekjur eiginkonunnar.
Setjið verkefnið fram.	Samanlagðar tekjur hjónanna eru $110.000.
	w + h = 110,000
	Tekjur eiginkonunnar eru $16.000 lægri en tvöfaldar tekjur eiginmannsins.
	w = 2 h − 16,000
Jöfnuhneppið er:	{ w + h = 110,000 w = 2 h − 16,000

Leysið hagnýt verkefni sem setja má beint fram með jöfnuhneppi

Í dæmi 5.35 og dæmi 5.36 settum við fram jöfnuhneppi en leystum þau ekki. Nú setjum við aðstæður fram sem jöfnuhneppi og leysum það síðan.

Dæmi 5.37

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Devon er 26 árum eldri en sonur hans, Cooper. Samanlagður aldur þeirra er 50 ár. Finnið aldur þeirra.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að aldri Devons og Coopers.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum d = tákna aldur Devons og c = tákna aldur Coopers.
Skref 4. Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi.	Devon er 26 árum eldri en Cooper.

	Samanlagður aldur þeirra er 50 ár.

Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið. Notið innsetningu.
Setjið c + 26 inn í seinni jöfnuna.
Leysið fyrir c.


Setjið c = 12 inn í fyrri jöfnuna og leysið síðan fyrir d.

Skref 6. Athugið svarið í verkefninu.	Er Devon 26 árum eldri en Cooper? Já, 38 er 26 meira en 12. Er samanlagður aldur þeirra 50 ár? Já, 38 plús 12 er 50.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Devon er 38 ára og Cooper 12 ára.

Dæmi 5.38

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Þegar Jenna var í 10 mínútur á sporöskjulaga þjálfunartæki og tók síðan hringþjálfun í 20 mínútur sýndi líkamsræktarforritið að hún hefði brennt 278 hitaeiningum. Þegar hún var í 20 mínútur á þjálfunartækinu og tók hringþjálfun í 30 mínútur brenndi hún 473 hitaeiningum. Hve mörgum hitaeiningum brennir hún á mínútu á þjálfunartækinu? Hve mörgum hitaeiningum brennir hún á mínútu í hringþjálfun?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að fjölda hitaeininga sem Jenna brennir á hverri mínútu á sporöskjulaga þjálfunartækinu og á hverri mínútu í hringþjálfun.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum e = tákna fjölda hitaeininga sem Jenna brennir á mínútu á sporöskjulaga þjálfunartækinu og c = tákna fjölda hitaeininga sem hún brennir á mínútu í hringþjálfun.
Skref 4. Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi.	Á 10 mínútum á sporöskjulaga þjálfunartækinu og 20 mínútum í hringþjálfun brenndi Jenna 278 hitaeiningum

	Á 20 mínútum á sporöskjulaga þjálfunartækinu og 30 mínútum í hringþjálfun brenndi Jenna 473 hitaeiningum

Jöfnuhneppið er:
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið.
Margfaldið fyrri jöfnuna með −2 til að gera stuðla e að samlagningarandhverfum.
Einfaldið og leggið jöfnurnar saman. Leysið fyrir c.
Setjið c = 8,3 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysið fyrir e.




Skref 6. Athugið svarið í verkefninu.	Sannreynið útreikningana sjálf.

Skref 7. Svarið spurningunni.	Jenna brennir 8,3 hitaeiningum á mínútu í hringþjálfun og 11,2 hitaeiningum á mínútu á sporöskjulaga þjálfunartækinu.

Leysið rúmfræðiverkefni

Þegar við lærðum um stærðfræðilíkön leystum við rúmfræðiverkefni með eiginleikum þríhyrninga og rétthyrninga. Nú bætum við nokkrum eiginleikum horna við listann.

Hornastærðir tveggja lagshorna eru samtals 90 gráður. Hornastærðir tveggja frændhorna eru samtals 180 gráður.

Ef tvö horn eru lagshorn segjum við að annað hornið sé lagshorn hins.

Ef tvö horn eru frændhorn segjum við að annað hornið sé frændhorn hins.

Dæmi 5.39

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Mismunur tveggja lagshorna er 26 gráður. Finnið hornastærðirnar.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að stærð hvors horns.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum x = tákna stærð fyrra hornsins x =. Látum m = tákna stærð seinna hornsins.
Skref 4. Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi.	Hornin eru lagshorn. x + y = 90
	Mismunur hornanna tveggja er 26 gráður. x - y = 26
Jöfnuhneppið er	{ x + y = 90 x − y = 26
Skref 5. Leysið jöfnuhneppið með eyðingaraðferð.	{ x + y = 90 x − y = 26 _________ 2 x = 116
Setjið x = 58 inn í fyrri jöfnuna.	x + y = 90 58 + y = 90 y = 32
Skref 6. Sannreynið svarið í verkefninu. 58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hornastærðirnar eru 58 gráður og 32 gráður.

Dæmi 5.40

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Tvö horn eru frændhorn. Stærð stærra hornsins er tólf gráðum minni en fimmföld stærð þess minna. Finnið stærð beggja horna.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að stærð hvors horns.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum x = tákna stærð fyrra hornsins og y = tákna stærð seinna hornsins.
Skref 4. Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi.	Hornin eru frændhorn.

	Stærð stærra hornsins er tólf gráðum minni en fimmföld stærð þess minna

Jöfnuhneppið er: Skref 5. Leysið jöfnuhneppið með innsetningaraðferð.
Setjið 5x − 12 inn fyrir y í fyrri jöfnunni.
Leysið fyrir x.


Setjið 32 inn fyrir x í seinni jöfnunni og leysið síðan fyrir y.


Skref 6. Sannreynið svarið í verkefninu. 32 + 158 = 180 ✓ 5 · 32 − 12 = 147 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hornastærðirnar eru 148 og 32.

Dæmi 5.41

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Randall hefur 125 fet af girðingu til að girða af rétthyrndan hluta bakgarðsins við húsið. Hann þarf aðeins að girða þrjár hliðar því fjórða hliðin verður húsveggurinn. Hann vill að lengd hins afgirta svæðis, samsíða húsveggnum, sé 5 fetum meiri en fjórföld breiddin. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.	Við leitum að lengdinni og breiddinni.

Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum L = tákna lengd afgirts svæðis og W = tákna breidd þess.
Skref 4. Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi.	Ein lengd og tvær breiddir eru samtals 125.

	Lengdin verður 5 fetum meiri en fjórföld breiddin.

Jöfnuhneppið er: Skref 5. Leysið jöfnuhneppið með innsetningaraðferð.
Setjið L = 4W + 5 inn í fyrri jöfnuna og leysið síðan fyrir W.


Setjið 20 inn fyrir W í seinni jöfnunni og leysið síðan fyrir L.



Skref 6. Sannreynið svarið í verkefninu. 20 + 28 + 20 = 125 ✓ 85 = 4 · 20 + 5 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 85 fet og breiddin 20 fet.

Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða

Þegar við kynntum verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða notuðum við töflu til að skipuleggja upplýsingarnar. Við höldum áfram að nota töfluna hér. Grunnjafnan var D = rt, þar sem D er vegalengdin, r er hraðinn og t er tíminn.

Fyrsta verkefnið okkar um hreyfingu með jöfnum hraða lýsir aðstæðum sem svipar til þeirra sem við höfum þegar séð, en nú getum við notað tvær breytur og tvær jöfnur.

Dæmi 5.42

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Joni lagði af stað frá St. Louis eftir þjóðveginum vestur í átt að Denver á hraðanum 65 mílur á klukkustund. Hálfri klukkustund síðar lagði Kelly af stað frá St. Louis sömu leið og Joni, á hraðanum 78 mílur á klukkustund. Hve langan tíma tekur það Kelly að ná Joni?

Lausn

Skýringarmynd hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.

Myndin sýnir skýringarmynd. Denver er vinstra megin og St. Louis hægra megin. Geisli liggur frá St. Louis til Denver. Hann er merktur „Joni“ og „65 mílur á klst.“ Annar geisli liggur frá St. Louis til Denver. Hann er merktur „Kelly (1/2 klukkustund síðar)“ og „78 mílur á klst.“

Finnið og nefnið það sem leitað er að. Tafla hjálpar okkur að skipuleggja gögnin. Við þekkjum hraða bæði Joni og Kelly og skráum því báða hraðana í töfluna.
Við leitum að aksturstíma Kelly, k, og Joni, j. Þar sem D = r · t getum við fyllt út dálkinn Vegalengd.
Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi. Til að mynda jöfnuhneppið verðum við að átta okkur á því að Kelly og Joni aka sömu vegalengd. Því er 65 j = 78 k . Þar sem Kelly lagði síðar af stað verður aksturstími hennar einnig $\frac{1}{2}$ klukkustund skemur en Joni. Því er k = j − $\frac{1}{2}$ .
Nú höfum við jöfnuhneppið.
Leysið jöfnuhneppið með innsetningaraðferð.
Setjið k = j − $\frac{1}{2}$ inn í seinni jöfnuna og leysið síðan fyrir j.



Til að finna aksturstíma Kelly skuluð þið setja j = 3 inn í fyrri jöfnuna og leysa síðan fyrir k.


Sannreynið svarið í verkefninu. Joni: 3 klukkustundir (65 mílur á klst.) = 195 mílur. Kelly: 2 $\frac{1}{2}$ klukkustundir (78 mílur á klst.) = 195 mílur. Já, þær hafa ekið sömu vegalengd þegar Kelly nær Joni.
Svarið spurningunni.	Kelly nær Joni eftir 2 $\frac{1}{2}$ klukkustundir. Þá hefur Joni ekið í 3 klukkustundir.

Mörg raunveruleg verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða verða til vegna áhrifa strauma, í vatni eða lofti, á raunverulegan hraða farartækis. Flug þvert yfir Bandaríkin tekur yfirleitt lengri tíma til vesturs en austurs vegna ríkjandi vindstrauma.

Skoðum bát sem siglir eftir ánni. Eftir því í hvora áttina báturinn fer hægir straumurinn annaðhvort á honum eða eykur hraða hans.

Mynd 5.7 og mynd 5.8 sýna hvernig árstraumur hefur áhrif á raunverulegan hraða báts. Við táknum hraða bátsins í kyrru vatni með b og hraða árstraumsins með c.

Á mynd 5.7 fer báturinn niður ána, í sömu átt og árstraumurinn. Straumurinn hjálpar bátnum áfram og raunverulegur hraði hans er því meiri en hraðinn í kyrru vatni. Raunverulegur hraði bátsins er b + c.

Myndin sýnir bát á vatni. Hægra megin vísar ör í átt að bátnum og er merkt „c“. Vinstra megin vísar ör frá bátnum og er merkt „b“.

Á mynd 5.8 fer báturinn upp ána, gegn árstraumnum. Straumurinn vinnur gegn bátnum og raunverulegur hraði hans er því minni en hraðinn í kyrru vatni. Raunverulegur hraði bátsins er $b - c$ .

Myndin sýnir bát á vatni. Vinstra megin vísar ör frá bátnum og er merkt „b“ og önnur ör vísar í átt að bátnum og er merkt „c“.

Í dæmi 5.43 setjum við tölur inn í þessar aðstæður.

Dæmi 5.43

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Skemmtiferðaskip sigldi 60 mílur niður ána á 4 klukkustundum og var síðan 5 klukkustundir að sigla upp ána aftur að bryggjunni. Finnið hraða skipsins í kyrru vatni og hraða árstraumsins.

Lausn

Lesið verkefnið.

Þetta er verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða og mynd hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.

Myndin sýnir ör merkta „c“ sem heldur áfram til hægri og táknar strauminn. Undir straumnum er geisli sem vísar til hægri og er merktur „fjórar klukkustundir“. Undir honum er jafnlangur geisli sem vísar til vinstri og er merktur „fimm klukkustundir“. Svigi undir geislanum merktum „fimm klukkustundir“ er merktur „60 mílur“.

Finnið það sem leitað er að.	Við leitum að hraða skipsins í kyrru vatni og hraða straumsins.
Nefnið það sem leitað er að.	Látum s = tákna hraða skipsins í kyrru vatni og c = tákna hraða straumsins.
Tafla hjálpar okkur að skipuleggja upplýsingarnar. Skipið siglir niður ána og síðan upp hana. Þegar það siglir niður ána hjálpar straumurinn skipinu og raunverulegur hraði þess er því s + c. Þegar það siglir upp ána hægir straumurinn á skipinu og raunverulegur hraði þess er því s − c.
Það tekur 4 klukkustundir að sigla niður ána. Það tekur 5 klukkustundir að sigla upp hana. Vegalengdin er 60 mílur í hvora átt.
Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi. Þar sem hraði sinnum tími er vegalengd getum við skrifað jöfnuhneppið.
Leysið jöfnuhneppið. Margfaldið inn í sviga til að setja báðar jöfnurnar á staðalform og leysið síðan með eyðingaraðferð.
Margfaldið efri jöfnuna með 5 og neðri jöfnuna með 4. Leggið jöfnurnar saman og leysið síðan fyrir s.
Setjið s = 13,5 inn í aðra upphaflegu jöfnuna.




Sannreynið svarið í verkefninu. Hraðinn niður ána væri 13,5 + 1,5 = 15 mílur á klukkustund. Á 4 klukkustundum færi skipið 15 · 4 = 60 mílur. Hraðinn upp ána væri 13,5 − 1,5 = 12 mílur á klukkustund. Á 5 klukkustundum færi skipið 12 · 5 = 60 mílur.
Svarið spurningunni.	Hraði skipsins er 13,5 mílur á klukkustund og hraði straumsins 1,5 mílur á klukkustund.

Vindstraumar hafa áhrif á hraða flugvéla á sama hátt og vatnsstraumar á hraða báta. Við sjáum þetta í dæmi 5.44. Vindur í sömu átt og flugvélin flýgur nefnist meðvindur. Vindur gegn flugstefnunni nefnist mótvindur.

Dæmi 5.44

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi og leysið síðan:

Einkaþota getur flogið 1095 mílur á þremur klukkustundum í meðvindi en aðeins 987 mílur á þremur klukkustundum í mótvindi. Finnið hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðann.

Lausn

Lesið verkefnið.

Þetta er verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða og mynd hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.

Myndin sýnir ör merkta „3 klukkustundir“ sem heldur áfram til hægri og táknar vindinn. Undir henni er geisli sem vísar til hægri og er merktur „j plús w jafngildir 365“ og „1,095 mílur“. Undir honum er geisli sem vísar til vinstri og er merktur „j mínus w jafngildir 329“ og „987 mílur“.

Finnið það sem leitað er að.	Við leitum að hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðanum.
Nefnið það sem leitað er að.	Látum j = tákna hraða þotunnar í kyrru lofti og w = tákna vindhraðann.
Tafla hjálpar okkur að skipuleggja upplýsingarnar. Þotan fer tvær ferðir, aðra í meðvindi og hina í mótvindi. Í meðvindi hjálpar vindurinn þotunni og hraðinn er j + w. Í mótvindi hægir vindurinn á þotunni og hraðinn er j − w.
Hvor ferð tekur 3 klukkustundir. Í meðvindi flýgur þotan 1095 mílur. Í mótvindi flýgur hún 987 mílur.
Setjið verkefnið fram yfir í jöfnuhneppi. Þar sem hraði sinnum tími er vegalengd fáum við jöfnuhneppið.
Leysið jöfnuhneppið. Margfaldið inn í sviga og leysið síðan með eyðingaraðferð.
Leggið saman og leysið fyrir j. Setjið j = 347 inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysið síðan fyrir w.




Sannreynið svarið í verkefninu. Í meðvindi væri raunverulegur hraði þotunnar 347 + 18 = 365 mílur á klukkustund. Á 3 klukkustundum færi þotan 365 · 3 = 1095 mílur. Í mótvindi væri raunverulegur hraði þotunnar 347 − 18 = 329 mílur á klukkustund. Á 3 klukkustundum færi þotan 329 · 3 = 987 mílur.
Svarið spurningunni.	Hraði þotunnar er 347 mílur á klukkustund og vindhraðinn 18 mílur á klukkustund.

Verkefni úr hluta 5.4

Æfingin skapar meistarann

Setjið verkefnið fram sem jöfnuhneppi

Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið hneppið.

183.

Summa tveggja talna er fimmtán. Önnur talan er þremur minni en hin. Finnið tölurnar.

184.

Summa tveggja talna er tuttugu og fimm. Önnur talan er fimm minni en hin. Finnið tölurnar.

185.

Summa tveggja talna er mínus þrjátíu. Önnur talan er fimmföld hin. Finnið tölurnar.

186.

Summa tveggja talna er mínus sextán. Önnur talan er sjöföld hin. Finnið tölurnar.

187.

Tvöföld tala að viðbættri þrefaldri annarri tölu er tuttugu og tveir. Þreföld fyrri talan að viðbættri fjórfaldri seinni tölunni er þrjátíu og einn. Finnið tölurnar.

188.

Sexföld tala að viðbættri tvöfaldri annarri tölu er fjórir. Tvöföld fyrri talan að viðbættri fjórfaldri seinni tölunni er átján. Finnið tölurnar.

189.

Þreföld tala að viðbættri þrefaldri annarri tölu er fimmtán. Fjórföld fyrri talan að viðbættri tvöfaldri seinni tölunni er fjórtán. Finnið tölurnar.

190.

Tvöföld tala að viðbættri þrefaldri annarri tölu er mínus einn. Fyrri talan að viðbættri fjórfaldri seinni tölunni er tveir. Finnið tölurnar.

191.

Samanlagðar tekjur hjónanna eru $75.000. Tekjur eiginmannsins eru $15.000 hærri en fimmfaldar tekjur eiginkonunnar. Hverjar eru tekjur eiginkonunnar?

192.

Á tveimur árum í háskóla hafði nemandi samtals $9.500 í tekjur. Seinna árið voru tekjur hennar $500 hærri en tvöfaldar tekjur fyrra ársins. Hverjar voru tekjur hennar fyrra árið?

193.

Daniela fjárfesti samtals $50.000, hluta á bundnum innlánsreikningi og afganginn í skuldabréfum. Fjárhæðin í skuldabréfum var $5000 meiri en tvöföld fjárhæðin á innlánsreikningnum. Hve mikið fjárfesti hún á hvorum stað?

194.

Jorge fjárfesti $28.000 á tveimur reikningum. Fjárhæðin á peningamarkaðsreikningnum var $2.000 minni en tvöföld fjárhæðin á bundnum innlánsreikningi. Hve mikið fjárfesti hann á hvorum reikningi?

195.

Síðustu tvö árin í háskóla fékk Marlene samtals $42.000 að láni. Lánsfjárhæð fyrra ársins var $6.000 lægri en þreföld lánsfjárhæð seinna ársins. Hve hátt lán fékk hún hvort ár?

196.

Jen og David skulda $22.000 í lán vegna bílanna tveggja. Lánsfjárhæð vegna bíls Jens er $2000 lægri en tvöföld lánsfjárhæð vegna bíls Davids. Hve hátt er hvort bílalán?

Leysið hagnýt verkefni sem setja má beint fram með jöfnuhneppi

Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið.

197.

Alyssa er tólf árum eldri en Bethany systir hennar. Samanlagður aldur þeirra er fjörutíu og fjögur ár. Finnið aldur þeirra.

198.

Robert er 15 árum eldri en Helen systir hans. Samanlagður aldur þeirra er sextíu og þrjú ár. Finnið aldur þeirra.

199.

Aldur föður Noelle er sex árum lægri en þrefaldur aldur hennar. Samanlagður aldur þeirra er sjötíu og fjögur ár. Finnið aldur þeirra.

200.

Aldur föður Marks er 4 árum lægri en tvöfaldur aldur hans. Samanlagður aldur þeirra er níutíu og fimm ár. Finnið aldur þeirra.

201.

Tvö bensínílát rúma samtals fimmtíu gallon. Stóra ílátið rúmar tíu gallonum minna en tvöfalt rúmmál litla ílátsins. Hve mörg gallon rúmar hvort ílát?

202.

June þarf 48 gallon af drykk fyrir veislu og hefur tvo misstóra kælikassa til að flytja hann. Stærri kassinn rúmar fimmfalt meira en sá minni. Hve mörg gallon rúmar hvor kassi?

203.

Shelly skokkaði í 10 mínútur og hjólaði í 20 mínútur og brenndi 300 hitaeiningum. Daginn eftir víxlaði hún tímalengdunum, skokkaði í 20 mínútur og hjólaði í 10 mínútur, og brenndi jafnmörgum hitaeiningum. Hve mörgum hitaeiningum brenndi hún á hverri mínútu við skokk og hve mörgum á hverri mínútu við hjólreiðar?

204.

Drew brenndi 1800 hitaeiningum á föstudegi þegar hann lék körfubolta í eina klukkustund og réri kanó í tvær klukkustundir. Á laugardegi lék hann körfubolta í tvær klukkustundir og réri kanó í þrjár klukkustundir og brenndi 3200 hitaeiningum. Hve mörgum hitaeiningum brenndi hann á klukkustund við körfubolta?

205.

Troy og Lisa keyptu skólavörur. Hvort þeirra keypti mismunandi fjölda af sams konar stílabókum og minnislyklum. Troy keypti fjórar stílabækur og fimm minnislykla fyrir $116. Lisa keypti tvær stílabækur og þrjá minnislykla fyrir $68. Finnið verð hverrar stílabókar og hvers minnislykils.

206.

Nancy keypti sjö pund af appelsínum og þrjú pund af banönum fyrir $17. Síðar keypti eiginmaður hennar þrjú pund af appelsínum og sex pund af banönum fyrir $12. Hvert var pundverð appelsínanna og banananna?

Leysið rúmfræðiverkefni. Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið.

207.

Mismunur tveggja lagshorna er 30 gráður. Finnið hornastærðirnar.

208.

Mismunur tveggja lagshorna er 68 gráður. Finnið hornastærðirnar.

209.

Mismunur tveggja frændhorna er 70 gráður. Finnið hornastærðirnar.

210.

Mismunur tveggja frændhorna er 24 gráður. Finnið hornastærðirnar.

211.

Mismunur tveggja frændhorna er 8 gráður. Finnið hornastærðirnar.

212.

Mismunur tveggja frændhorna er 88 gráður. Finnið hornastærðirnar.

213.

Mismunur tveggja lagshorna er 55 gráður. Finnið hornastærðirnar.

214.

Mismunur tveggja lagshorna er 17 gráður. Finnið hornastærðirnar.

215.

Tvö horn eru frændhorn. Stærð stærra hornsins er fjórum gráðum meiri en þreföld stærð þess minna. Finnið stærð beggja horna.

216.

Tvö horn eru frændhorn. Stærð stærra hornsins er fimm gráðum minni en fjórföld stærð þess minna. Finnið stærð beggja horna.

217.

Tvö horn eru lagshorn. Stærð stærra hornsins er tólf gráðum minni en tvöföld stærð þess minna. Finnið stærð beggja horna.

218.

Tvö horn eru lagshorn. Stærð stærra hornsins er tíu gráðum meiri en fjórföld stærð þess minna. Finnið stærð beggja horna.

219.

Wayne hengir 45 feta langa ljósaseríu meðfram þremur hliðum rétthyrndrar verandar við húsið. Lengd verandarinnar, hliðin meðfram húsinu, er fimm fetum meiri en tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd verandarinnar.

220.

Darrin hengir 200 fet af jólaskrauti á þrjár hliðar girðingar um rétthyrndan framgarð. Lengdin, hliðin meðfram húsinu, er fimm fetum minni en þreföld breiddin. Finnið lengd og breidd girðingarinnar.

221.

Ummál ramma utan um rétthyrnda fjölskyldumynd er 60 tommur. Lengdin er fimmtán tommum minni en tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd rammans.

222.

Ummál rétthyrnds leiksvæðis fyrir smábörn er 100 fet. Lengdin er tíu fetum meiri en þreföld breiddin. Finnið lengd og breidd leiksvæðisins.

Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða. Setjið eftirfarandi verkefni fram sem jöfnuhneppi og leysið.

223.

Sarah lagði af stað frá Minneapolis austur eftir þjóðveginum á hraðanum 60 mílur á klukkustund. Systir hennar fór sömu leið tveimur klukkustundum síðar á hraðanum 70 mílur á klukkustund. Hve langan tíma tekur það systur Söru að ná henni?

224.

Háskólafélagarnir John og David óku heim í sama bæ um hátíðarnar. John ók á hraðanum 55 mílur á klukkustund en David lagði af stað klukkustund síðar og ók á hraðanum 60 mílur á klukkustund. Hve langan tíma tekur það David að ná John?

225.

Í lok vorfrís lagði Lucy af stað frá ströndinni heim á leið á hraðanum 40 mílur á klukkustund. Vinkona hennar lagði af stað heim 30 mínútum, eða hálfri klukkustund, síðar og ók á hraðanum 50 mílur á klukkustund. Hve langan tíma tók það vinkonuna að ná Lucy?

226.

Felecia lagði af stað að heiman til að heimsækja dóttur sína á hraðanum 45 mílur á klukkustund. Eiginmaður hennar beið eftir að hundapassari kæmi og lagði af stað tuttugu mínútum (1/3 klukkustund) síðar. Hann ók á hraðanum 55 mílur á klukkustund til að ná Feleciu. Hve langan tíma tekur það hann að ná henni?

227.

Jones-fjölskyldan réri 12 mílur á kanó niður Indian-fljótið á tveimur klukkustundum. Eftir hádegismat tók ferðin upp ána þrjár klukkustundir. Finnið hraða kanósins í kyrru vatni og hraða straumsins.

228.

Vélbátur siglir 60 mílur niður ána á þremur klukkustundum en er fimm klukkustundir á leiðinni til baka upp ána. Finnið hraða bátsins í kyrru vatni og hraða straumsins.

229.

Vélbátur sigldi 18 mílur niður ána á tveimur klukkustundum en vegna straumsins tók ferðin til baka upp ána 4,5 klukkustundir. Finnið hraða vélbátsins í kyrru vatni og hraða straumsins.

230.

Skemmtibátur sigldi 80 mílur niður Mississippi-fljótið á fjórum klukkustundum. Ferðin til baka tók fimm klukkustundir. Finnið hraða bátsins í kyrru vatni og hraða straumsins.

231.

Lítil þota getur flogið 1.072 mílur á 4 klukkustundum í meðvindi en aðeins 848 mílur á 4 klukkustundum í mótvindi. Finnið hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðann.

232.

Lítil þota getur flogið 1.435 mílur á 5 klukkustundum í meðvindi en aðeins 1215 mílur á 5 klukkustundum í mótvindi. Finnið hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðann.

233.

Farþegaþota getur flogið 868 mílur á 2 klukkustundum í meðvindi en aðeins 792 mílur á 2 klukkustundum í mótvindi. Finnið hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðann.

234.

Farþegaþota getur flogið 1.320 mílur á 3 klukkustundum í meðvindi en aðeins 1.170 mílur á 3 klukkustundum í mótvindi. Finnið hraða þotunnar í kyrru lofti og vindhraðann.

Stærðfræði daglegs lífs

235.

Á skólatónleikum seldust 425 miðar. Nemendamiðar kostuðu $5 hver og fullorðinsmiðar $8 hver. Heildartekjur tónleikanna voru $2.851. Leysið hneppið

${\begin{matrix} s + a = 425 \\ 5 s + 8 a = 2,851 \end{matrix}$

til að finna $s$ , fjölda nemendamiða, og $a$ , fjölda fullorðinsmiða.

236.

Nemendur í fyrsta bekk í einum skóla fóru í dýragarðsferð. Heildarfjöldi barna og fullorðinna í ferðinni var 115. Fjöldi fullorðinna var $\frac{1}{4}$ af fjölda barnanna. Leysið hneppið

${\begin{matrix} c + a = 115 \\ a = \frac{1}{4} c \end{matrix}$

til að finna $c$ , fjölda barna, og $a$ , fjölda fullorðinna.

Ritunarverkefni

237.

Semjið hagnýtt dæmi sem svipar til dæmis 5.37 og notið aldur tveggja vina eða fjölskyldumeðlima. Setjið það síðan fram sem jöfnuhneppi og leysið.

238.

Semjið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða sem svipar til dæmis 5.42 og tengist heimabyggð ykkar, vinum eða fjölskyldu. Setjið það síðan fram sem jöfnuhneppi og leysið.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Myndin sýnir töflu með fjórum röðum og fjórum dálkum. Dálkarnir eru merktir „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki“. Aðeins dálkurinn „Ég get…“ hefur texta í reitunum fyrir neðan. Þar stendur: „sett verkefni fram sem jöfnuhneppi“, „leyst hagnýt verkefni sem setja má beint fram með jöfnuhneppi“, „leyst rúmfræðiverkefni“ og „leyst verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða“.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hvernig metið þið tök ykkar á efni hlutans með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt þau?