1111 Kosningar og úthlutun sæta

11.3 Staðaldeilar, staðalkvótar og sætaúthlutunarvandinn

Ljósmynd sýnir köku þar sem ein sneið hefur verið skorin og lögð á disk. — **Mynd 11.15.** Allir í veislu fá sanngjarnan hlut af kökunni. (mynd: „apple spice cake“ eftir Mark Bonica/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Greint sætaúthlutunarvandann og beitingu hans við fulltrúaskipan.
Metið hagnýtingu staðaldeila.
Metið hagnýtingu staðalkvóta.

Sætaúthlutunarvandinn

Í hinu nýja lýðræðisríki Ímyndunarlandi eru fjögur fylki: Sögubær, Gervistaður, Blekkingarhamur og Goðsagnaborg. Hvert fylki fær fulltrúa á löggjafarþingi Ímyndunarlands. Þið kunnið að hafa náð samkomulagi um hvaða kosningaraðferð borgararnir nota til að kjósa fulltrúa. Áður en það ferli getur hafist þarf þó að ákveða hve marga fulltrúa hvert fylki fær. Sú ákvörðun hefur sínar eigin áskoranir.

Þegar afmælisköku er skipt er sanngjarnt að allir fái jafnstóran hlut. Kökunni má skipta jafnt og gefa hverjum eina sneið. Köku má skera á hvaða hátt sem er, en hvernig á að úthluta hlutum sem ekki má skipta? Gerum ráð fyrir að þú eigir kassa með 16 Ring Pops™-sleikjóum, sem eru gimsteinslaga sleikjóar á plasthring. Þú ætlar að deila kassanum með fjórum öðrum börnum. Þegar sleikjóunum 16 er skipt milli fimm barna fær hvert þeirra þrjá en einn verður eftir. Hver fær þann síðasta? Sætaúthlutunarvandinn snýst um að skipta tiltækum gæðum með sanngjörnum hætti þegar úthluta verður heilum hlutum en ekki brotum úr hlut.

Sætaúthlutunarvandinn kemur upp víða í lífinu, meðal annars við skiptingu fulltrúa á löggjafarþingi Ímyndunarlands. Taflan sýnir nokkur dæmi um gæði sem úthluta verður í heilum hlutum og viðtakendur þeirra.

Gæði	Viðtakendur
Bóluefni gegn COVID-19	Lönd heims
Flugstöðvar	Flugfélög
Stöður kennara við háskóla	Deildir
Opinberir skólar	Sveitarfélög
Sæti í fulltrúadeild Bandaríkjaþings	Fylki
Þingsæti	Stjórnmálaflokkar

Sanngjörn skipting gæða er ekki endilega jöfn skipting eins og þegar kökusneiðum er dreift. Við úthlutun flugstöðva til flugfélaga þarf að taka mið af mörgu, svo sem stærð flugfélagsins, fjölda og gerð flugvéla og eftirspurn eftir þjónustunni. Oftast telst skipting sanngjörn þegar hún er hlutfallsleg; tvær stærðir eru hlutfallslegar ef þær hafa sömu hlutfallslegu stærð. Við úthlutun bóluefnis gegn COVID-19 væri til dæmis eðlilegt að fjölmennari lönd fengju fleiri skammta. Á löggjafarþingi Ímyndunarlands mætti á sama hátt ætla að fjölmennari fylki fengju fleiri fulltrúa. Þetta nefnist hlutfall hluta og hluta.

Gerum ráð fyrir að stórmarkaður bjóði tvær bökur á 5 dali. Fyrsti viðskiptavinurinn kaupir fjórar bökur á 10 dali og sá næsti átta bökur á 20 dali. Hlutfall dala og baka hjá þeim fyrri er 1 0 d a l i r 4 b ö k u r = 2 . 5 d a l i r á b ö k u 10 $\frac{10 dollars}{4 pies} = 2.5 dollars per pie$ dalir/4 bökur = 2,5 dalir á böku og hjá þeim síðari 2 0 d a l i r $\frac{20 dollars}{5 pies} = 2.5 dollars per pie$ 5 b ö k u r = 2 . 5 d a l i r á b ö k u 20 dalir/5 bökur = 2,5 dalir á böku. Hlutfall dala og baka er því fast. Þótt viðskiptavinirnir verji ekki sömu fjárhæð er eyðsla hvors þeirra hlutfallsleg við fjölda keyptra baka.

Gerum nú ráð fyrir að tilboðið breytist þannig að fyrsta bakan kosti 5 dali en hver viðbótarbaka 2 dali. Þá kosta fjórar bökur $$ 5 + 3 ($ 2) = $ 11$ $ ⁢ 5 + 3 ⁢ ( $ ⁢ 2 ) = $ ⁢ 11 en átta bökur $$ 5 + 7 ($ 2) = $ 19$ $ ⁢ 5 + 7 ⁢ ( $ ⁢ 2 ) = $ ⁢ 19. Hlutföll dala og baka verða 1 1 d a $\frac{11 dollars}{4 pies} = 2.75 dollars per pie$ l i r $\frac{19 dollars}{8 pies} = 2.375 dollars per pie$ 4 b ö k u r = 2 . 7 5 d a l i r á b ö k u 11 dalir/4 bökur = 2,75 dalir á böku og 1 9 d a l i r 8 b ö k u r = 2 . 3 7 5 d a l i r á b ö k u 19 dalir/8 bökur = 2,375 dalir á böku. Tilboðið gefur því ekki fast hlutfall hluta og hluta. Fjárhæðin er ekki hlutfallsleg við fjölda keyptra baka.

Dæmi 11.24

Hlutfall kennara og nemenda í háskóla

Taflan ber saman fjölda kennara í hverri deild tiltekins háskóla við fjölda nemenda og námskeiðshópa í deildinni á vormisseri. Notaðu upplýsingarnar til að svara spurningunum.

Deild	Stærðfræði	Enska	Sagnfræði	Náttúruvísindi
(S) Fjöldi nemenda	4800	2376	1536	2880
(C) Námskeiðshópar	120	108	48	96
(T) Heildarfjöldi kennara	30	27	12	24
(F) Kennarar í fullu starfi	10	9	4	8
(P) Kennarar í hlutastarfi	20	18	8	16

Finndu eftirfarandi hlutföll fyrir hverja deild: S á móti C, C á móti T, S á móti T og F á móti P.
Hvaða einingar hafa hlutföllin sem þú fannst?
Hver þessara stærðapara, ef einhver, hafa fast hlutfall hluta og hluta? Tilgreindu hlutfallið.
Virðist heildarfjölda kennarastaða hafa verið úthlutað eftir fjölda nemenda, fjölda námskeiðshópa eða hvorugu? Rökstyddu svarið.

Lausn

Deildu fyrri stærðinni með þeirri síðari fyrir hverja deild eins og sýnt er í töflunni.

Svörin eru í síðasta dálki töflunnar. Deild Stærðfræði Enska Sagnfræði Náttúruvísindi Einingar fundinna hlutfalla S á móti C 4 8 0 0 1 2

0 = 4	0 2 3	7 6 1	0 8 =	2 2	1 5 3 6 4 8 = 3 2 2
8 8 0 9 6 = 3 0	$\frac{4800}{120} = 40$	$\frac{2376}{108} = 22$	$\frac{1536}{48} = 32$	$\frac{2880}{96} = 30$	nemendur á námskeiðshóp C á móti T 1 2 0 3 0 = 4 1 0 8 2 7
= 4 4 8 1 2 = 4 9 6 2 4 = 4	$\frac{120}{30} = 4$	$\frac{108}{27} = 4$	$\frac{48}{12} = 4$	$\frac{96}{24} = 4$	námskeiðshópar á kennara S á móti T 4 8 0 0 3 0 = 1 6 0 2 3 7 6 2 7 = 8 8 1 5 3
6 1 2 = 1 2 8 2 8 8 0 2 4 = 1 2 0	$\frac{4800}{30} = 160$	$\frac{2376}{27} = 88$	$\frac{1536}{12} = 128$	$\frac{2880}{24} = 120$	nemendur á kennara F á móti P 1 0 2 0 = 1 2 9 1 8 =
1 2 4 8 = 1 2 8 1 6 = 1 2	$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$	$\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$	$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$	$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$	einn kennari í fullu starfi á tvo í hlutastarfi

Hlutfall námskeiðshópa og kennara er fast og jafnt fjórum. Hlutfall kennara í fullu starfi og hlutastarfi er fast og jafnt 1 2 $\frac{1}{2}$ .
Kennarastöðum virðist hafa verið úthlutað eftir fjölda námskeiðshópa því fast hlutfall er fjórir námskeiðshópar á hvern kennara.

Þitt verkefni 11.24

SAT-próf verður haldið í framhaldsskóla. Við undirbúning þess hefur blýöntum verið dreift í kennslustofur eftir sætafjölda. Notaðu upplýsingarnar í töflunni til að svara spurningunum.


Stofunúmer	B	C	D	E
Sætafjöldi stofu (fjöldi nemendaborða)	24	18	32	22
Fjöldi blýanta	36	27	48	33

Finndu hlutfall borða og blýanta í hverri stofu. Sýndu það bæði sem fullstytt brot og tugabrot, námundað að næsta hundraðshluta eftir þörfum.

Finndu hlutfall blýanta og borða í hverri stofu. Sýndu það bæði sem fullstytt brot og tugabrot, námundað að næsta hundraðshluta eftir þörfum.

Var blýöntunum dreift hlutfallslega? Ef svo er, hvert er fasta hlutfall blýanta og borða? Tilgreindu einingarnar.

Stærðir sem eru hlutfallslegar hafa nokkra gagnlega eiginleika. Þegar hlutfall tveggja stærða er fast má finna aðra með því að margfalda hina með hlutfallinu. Mundu tilboðið um tvær bökur á 5 dali. Hlutfall dala og baka er 5 d a l i r 2 b ö k u r = 2 . 5 d a l i r á b ö k u 5 dalir/2 bökur = 2,5 dalir á böku og hlutfall baka og dala er 2 b ö k u r 5 d a l i r = 0 . 4 b $\frac{5 dollars}{2 pies} = 2.5 dollars per pie$ ö k u r á d a l 2 bökur/5 dalir = 0,4 bökur $\frac{2 pies}{5 dollars} = 0.4 pies per dollar$ á dal. Gildin eru margföldunarandhverfur hvort annars, 1 2 . 5 = 0 . 4 $\frac{1}{2.5} = 0.4$ og 1 0 . 4 = 2 . 5 $\frac{1}{0.4} = 2.5$ . Að margfalda með öðru hefur því sömu áhrif og að deila með hinu. Ef annað fasta hlutfallið er þekkt má reikna verð út frá fjölda baka. Verð 20 baka fæst með því að margfalda með hlutfalli dala og baka eða deila með hlutfalli baka og dala.

20pies $\times ⁠$ 2.50dollars per pie=50dollars $20 bökur \times 2.50 dalir á böku = 50 dalir$
20pies÷0.4pies per dollar=50dollars $20 bökur \div 0.4 bökur á dal = 50 dalir$

Þessi mynstur gilda almennt.

FORMÚLA

Látum 𝐴 $A$ vera tiltekinn hlut og 𝐵 $B$ annan hlut þannig að hlutfall 𝐴 $A$ og 𝐵 sé fast. $B$

$hlutfall B á móti A's = \frac{1}{hlutfall A á móti B's}$ h l u t f a l l 𝐵 o g 𝐴 = 1 h l u t f a l l 𝐴 o g 𝐵 hlutfall B og A = 1/hlutfall A og B og h l u t f a l l 𝐴 o g 𝐵 = 1 h l u t f a l l 𝐵 o g 𝐴 hlutfall A og B = 1/hlutfall B og A $hlutfall A á móti B's = \frac{1}{hlutfall B á móti A's}$
einingar af𝐴=(einingar af𝐵) $\times ⁠$ (hlutfall𝐴 á móti𝐵's)=einingar af𝐵hlutfall𝐵 á móti𝐴's $einingar af A = (einingar af B) \times (hlutfall A á móti B's) = \frac{einingar af B}{hlutfall B á móti A's}$
einingar af𝐵=(einingar af𝐴) $\times ⁠$ (hlutfall𝐵 á móti𝐴's)=einingar af𝐴hlutfall𝐴 á móti𝐵's $einingar af B = (einingar af A) \times (hlutfall B á móti A's) = \frac{einingar af A}{hlutfall A á móti B's}$

Dæmi 11.25

Hlutfall kennara og nemenda í háskóla

Notaðu upplýsingarnar í dæmi 11.24.

Ef 32 námskeiðshópar eru í myndlistardeild á hverju misseri og sama hlutfall er notað til að ákvarða fjölda kennara, hve margir kennarar ættu þá að vera í myndlistardeildinni?
Ef sex kennarar í heilbrigðisvísindadeild eru í fullu starfi, hve margir eru þá í hlutastarfi?

Lausn

Margfaldaðu fjölda námskeiðshópa með hlutfalli kennara og námskeiðshópa til að finna fjölda kennara. Þar sem fjórir hópar eru á hvern kennara er hlutfall kennara og námskeiðshópa 1 4 $\frac{1}{4}$ . Fyrir 32 hópa ættu því að vera 3 2 $\times ⁠$ 1 4 = 8 $32 \times \frac{1}{4} = 8$ kennarar.
Margfaldaðu fjölda kennara í fullu starfi með hlutfalli hlutastarfskennara og kennara í fullu starfi. Hlutfall kennara í fullu starfi og hlutastarfi við skólann er 1 2 $\frac{1}{2}$ , eða einn í fullu starfi á tvo í hlutastarfi. Hlutfall hlutastarfskennara og kennara í fullu starfi er því 2 1 = 2 $\frac{2}{1} = 2$ á móti 1. Í deild með sex kennara í fullu starfi ættu því að vera $6 . 4 = 24$ 6 . 4 = 24 kennarar í hlutastarfi.

Þitt verkefni 11.25

Notaðu aftur töfluna um sætafjölda kennslustofa og dreifingu blýanta.


Stofunúmer	B	C	D	E
Sætafjöldi stofu (fjöldi nemendaborða)	24	18	32	22
Fjöldi blýanta	36	27	48	33

Finndu hve mörgum blýöntum yrði úthlutað til stofu F með 28 borðum með því að margfalda fjölda borða með hlutfalli blýanta og borða.

Finndu hve mörgum blýöntum yrði úthlutað til stofu F með 28 borðum með því að deila fjölda borða með hlutfalli borða og blýanta.

Gerum ráð fyrir að blýöntum sé áfram dreift á sama hátt og að ný stofa G fái 51 blýant. Hve mörg borð mætti þá búast við að væru í stofunni?

Sú beiting sætaúthlutunar sem skiptir stofnendur Ímyndunarlands máli kemur fyrir í fulltrúalýðræði þar sem kjörnir einstaklingar eru fulltrúar hóps. Bretland, Frakkland og Indland hafa hvert sitt þjóðþing og Bandaríkin hafa þing, rétt eins og Ímyndunarland mun hafa löggjafarþing. Borgarar lands þurfa að ákveða hve stóran hluta fulltrúa hver hópur, svo sem fylki, hérað eða stjórnmálaflokkur, fær. Stærri hlutur fulltrúa veitir meiri áhrif á stefnumótun.

Dæmi 11.26

Hlutfall bandarískra fulltrúa og íbúa fylkja

Tafla 11.4 sýnir þau fimm bandarísku fylki sem eiga flesta fulltrúa í fulltrúadeild Bandaríkjaþings og íbúafjölda þeirra árið 2021. Notaðu upplýsingarnar til að svara spurningunum.

Fylki	Þingsæti fulltrúa	Íbúafjöldi fylkis
(CA) Kalifornía	53	39,613,000
(TX) Texas	36	29,730,300
(NY) New York	27	19,300,000
(FL) Flórída	27	21,944,600
(PA) Pennsylvanía	18	12,804,100

Hvert er hlutfall íbúafjölda fylkis og þingsæta þess, námundað að næsta hundrað þúsundi?
Hvert er hlutfall þingsæta og íbúafjölda fylkis, námundað að sjö aukastöfum?
Hvert er hlutfall þingsæta og íbúafjölda fylkis, námundað að sex aukastöfum?
Virðist hlutfallið vera fast? Rökstyddu svarið.

Lausn

CA 700.000; TX 800.000; NY 700.000; FL 800.000; PA 700.000
CA 0,0000013; TX 0,0000012; NY 0,0000014; FL 0,0000012; PA 0,0000014
CA 0,000001; TX 0,000001; NY 0,000001; FL 0,000001; PA 0,000001
Hlutfall íbúafjölda og þingsæta virðist vera annaðhvort 700.000 eða 800.000. Hlutfall þingsæta og íbúafjölda virðist vera fast, um 0,000001, ef námundað er að sex aukastöfum.

Þitt verkefni 11.26

Tafla 11.9 sýnir þau fimm bandarísku fylki sem eru í sjötta til tíunda sæti eftir fjölda fulltrúa í fulltrúadeild Bandaríkjaþings og íbúafjölda þeirra árið 2021. Notaðu upplýsingarnar til að svara spurningunum.

Fylki	Þingsæti fulltrúa	Íbúafjöldi fylkis
(IL) Illinois	18	12,804,100
(OH) Ohio	16	11,714,600
(MI) Michigan	14	9,992,430
(GA) Georgía	14	10,830,000
(NC) Norður-Karólína	13	10,701,000

Hvert er hlutfall íbúafjölda fylkis og þingsæta þess, námundað að næsta hundrað þúsundi?

Hvert er hlutfall þingsæta og íbúafjölda fylkis, námundað að sjö aukastöfum?

Hvert er hlutfall þingsæta og íbúafjölda fylkis, námundað að sex aukastöfum?

Virðist hlutfallið vera fast? Eru niðurstöðurnar svipaðar og hjá fimm efstu fylkjunum?

Þú kannt að velta fyrir þér hvers vegna hlutfallið virðist breytast eftir því hvernig gildin eru námunduð. Við munum sjá að skýringin liggur í brotunum. Rétt eins og þegar börnin fimm deildu 16 Ring Pops™-sleikjóum verða afgangar, og margar aðferðir eru til við að ákveða hvað gera skuli við þá.

Staðaldeilirinn

Bandaríkjaþing skiptist í tvær deildir: öldungadeild og fulltrúadeild. Hvert fylki hefur tvo öldungadeildarþingmenn en fjöldi fulltrúadeildarþingmanna fer eftir íbúafjölda. Lög ákveða nú að 435 sæti séu í fulltrúadeildinni. Til að skipta sætunum með sanngjörnum hætti milli fylkja þarf að reikna hlutfall heildaríbúafjölda Bandaríkjanna og fjölda sæta. Hlutfall heildaríbúafjölda og þingstærðar nefnist staðaldeilir og segir hve margir íbúar standa að baki hverju sæti.

Þótt sætaúthlutun eigi við um margar aðrar aðstæður, svo sem dreifingu blýanta fyrir SAT-próf, byggist orðfærið á fulltrúadeildinni. Nokkur stjórnsýsluhugtök fá því almenna merkingu. Fylkin eru viðtakendur úthlutaðra gæða, sætin eru einingar gæðanna, þingstærð er heildarfjöldi sæta sem úthluta skal, íbúafjöldi fylkis mælir stærð þess og heildaríbúafjöldi er summa íbúafjölda fylkjanna.

Dæmi 11.27

Staðaldeilir fulltrúadeildar Bandaríkjaþings árið 2021

Þegar þetta er skrifað sýnir íbúaklukka Census.gov 332.693.997 íbúa Bandaríkjanna. Sætin í fulltrúadeildinni eru 435. Finndu staðaldeilinn, námundaðan að næsta tíunda hluta.

Lausn

Þegar $330,147,881$ 330.147.881 íbúa er deilt með 435 sætum fást 758.960,6 íbúar á hvern fulltrúa.

Hvort staðaldeilirinn er minni en, jafn eða stærri en 1 ræðst af hlutfalli íbúafjölda og sætafjölda.

Staðaldeilirinn er 1 ef heildaríbúafjöldi jafngildir sætafjölda. Þá fær hver íbúi eitt eigið sæti.
Staðaldeilirinn er milli 0 og 1 þegar heildaríbúafjöldi er minni en sætafjöldinn. Þá fær hver íbúi fleiri en eitt sæti.
Staðaldeilirinn er stærri en 1 þegar heildaríbúafjöldi er meiri en sætafjöldinn. Þá deila nokkrir íbúar einu sæti.

Ef íbúarnir eru fimm börn og þingið samanstendur af fimm sælgætismolum er staðaldeilirinn 5 b ö r n 5 m o l a r = 1 b a r n á m o l a 5 börn/5 molar = $\frac{5 children}{5 candies} = 1 child per candy$ 1 barn á mola, svo hvert barn fær einn mola. Ef börnin eru fimm og molarnir tíu er staðaldeilirinn 5 b ö r n 1 0 m o l a r = 0 . 5 b ö r n á m o l $\frac{5 children}{10 candies} = 0.5 child per candy$ a 5 börn/10 molar = 0,5 börn á mola, svo hvert barn fær fleiri en einn mola. Ef börnin eru fimm en molarnir fjórir er staðaldeilirinn 5 b ö r n 4 m o l a r = 1 . 2 5 b ö r n á m o $\frac{5 children}{4 candies} = 1.25 child per candy$ l a 5 börn/4 molar = 1,25 börn á mola, svo hvert barn fær minna en einn mola.

Ef sætum á löggjafarþingi Ímyndunarlands er skipt milli fylkja eftir íbúafjölda verður þingstærðin minni en íbúafjöldinn og staðaldeilirinn því stærri en 1.

Dæmi 11.28

Skólaöryggisfulltrúar í Brevard-sýslu á Flórída

Opinberir skólar í tiltekinni sýslu hafa fengið 349 skólaöryggisfulltrúa sem skipta skal milli 327 skóla með samtals um 271.500 nemendur.

Tilgreindu fylki, sæti, þingstærð, íbúafjölda fylkis og heildaríbúafjölda í þessu úthlutunardæmi.
Lýstu hlutfallinu sem staðaldeilirinn táknar og reiknaðu hann að næsta tíunda hluta.

Lausn

Fylkin eru skólarnir í sýslunni. Sætin eru skólaöryggisfulltrúarnir. Þingstærðin er fjöldi þeirra, 349. Íbúafjöldi fylkis er fjöldi nemenda í tilteknum skóla, sem er ekki gefinn upp. Heildaríbúafjöldinn er summa nemendafjölda skólanna, 271.500.
Staðaldeilirinn er hlutfall heildaríbúafjölda og þingstærðar, það er fjöldi nemenda sem hver öryggisfulltrúi þjónar. Deilum 2 7 1 , 5 0 0 n e m e n d u m ÷ 3 4 9 f u l l t r ú u m = 7 7 7 . 9 271.500 nemendum ÷ 349 $271, 500 nemendum \div 349 fulltrúum = 777.9$ fulltrúum = 777,9 nemendur á fulltrúa.

Staðalkvótinn

Þegar staðaldeilir löggjafarþings Ímyndunarlands hefur verið reiknaður þarf að ákvarða hve mörg sæti hvert fylki ætti að fá. Sá fjöldi nefnist staðalkvóti fylkisins. Nema öll fylki séu jafnfjölmenn fær hvert þeirra mismörg sæti, því fjöldinn er hlutfallslegur við íbúafjölda fylkisins. Til að finna fjöldann notum við fyrri niðurstöðu: Þegar fjöldi eininga af hlut 𝐴 $A$ er hlutfallslegur við fjölda eininga af hlut 𝐵 $B$ gildir: e i n i n g a r a f 𝐴 = e i n i n g a r a f 𝐵 h l u t f a l l 𝐵 o g 𝐴 einingar af A = einingar af B/hlutfall B og A. $einingar af A = \frac{einingar af B}{hlutfall B á móti A's}$

Hér viljum við reikna fjölda sæta sem úthluta ætti til fylkis, það er staðalkvóta þess. 𝐴 $A$ táknar þá sæti sem fylkið fær en 𝐵 B íbúafjölda fylkisins. Hlutfall 𝐵 B og 𝐴 $A$ er því hlutfall $B$ heildaríbúafjölda og þingstærðar, það $B$ er $A$ staðaldeilirinn. Með hugtökum sætaúthlutunar fæst eftirfarandi formúla.

Dæmi 11.29

Staðalkvóti Kaliforníu í fulltrúadeild Bandaríkjaþings árið 2021

Í dæmi 11.27 kom fram að íbúaklukka Census.gov sýndi 330.147.881 íbúa, að 435 sæti væru í fulltrúadeild Bandaríkjaþings og að staðaldeilirinn væri 758.960,6 íbúar á fulltrúa. Íbúar Kaliforníu eru um 39.613.000. Notaðu gildin til að finna staðalkvóta Kaliforníu með tveimur aukastöfum.

Lausn

$California's standard Quota = \frac{California's population}{Standard Divisor} = \frac{39, 613, 000}{758, 960.6} = 52.19$ S t a ð a l k v ó t i K a l i f o r n í u = Í b ú a f j ö l d i K a l i f o r n í u S t a ð a l d e i l i r = 3 9 , 6 1 3 , 0 0 0 7 5 8 , 9 6 0 . 6 = 5 2 . 1 9 Staðalkvóti Kaliforníu = íbúafjöldi Kaliforníu/staðaldeilir = 39.613.000/758.960,6 = 52,19 fulltrúar

Dæmi 11.30

Úthlutun fartölva í náttúruvísindadeild

Náttúruvísindadeild framhaldsskóla hefur fengið styrk fyrir 34 fartölvum. Deildin ætlar að skipta þeim milli sex kennslustofa eftir sætafjölda. Notaðu gildin í töflunni til að finna staðalkvóta hverrar stofu.

Stofa	Nemendur
A	30
B	25
C	28
D	32
E	24
F	27

Lausn

Skref 1: Tilgreindu íbúafjölda fylkis, heildaríbúafjölda og þingstærð. Fylkin eru kennslustofurnar og íbúafjöldi þeirra er sýndur í töflunni. Heildaríbúafjöldinn er summa nemendafjöldans, 166. Þingstærðin er fjöldi sæta, það er fartölva, sem úthluta skal: 34.

Skref 2: Reiknaðu staðaldeilinn með því að deila heildaríbúafjöldanum með þingstærðinni.

Standard Divisor = \frac{Total of Room Capacities}{Number of Laptops} = \frac{166}{34} \approx 4.88

Skref 3: Reiknaðu staðalkvótann með því að deila íbúafjölda fylkis með staðaldeilinum eins og sýnt er í töflunni. S t a ð a l k v ó t i s t o f u = S æ t a f j ö l d i s t o f u S t a ð a l d e i l i r Staðalkvóti stofu = sætafjöldi stofu/staðaldeilir $Room's Standard Quota = \frac{Room Capacity}{Standard Divisor}$

Stofa	Sætafjöldi stofu	Staðalkvóti stofu
A	30	30 ÷ 4.88 ≈ 6.15 3 0 ÷ 4 . 8 8 ≈ 6 . 1 5 30 ÷ 4,88 ≈ 6,15 fartölvur
B	25	25 ÷ 4.88 ≈ 5.12 2 5 ÷ 4 . 8 8 ≈ 5 . 1 2 25 ÷ 4,88 ≈ 5,12 fartölvur
C	28	28 ÷ 4.88 ≈ 5.74 2 8 ÷ 4 . 8 8 ≈ 5 . 7 4 28 ÷ 4,88 ≈ 5,74 fartölvur
D	32	32 ÷ 4.88 ≈ 6.56 3 2 ÷ 4 . 8 8 ≈ 6 . 5 6 32 ÷ 4,88 ≈ 6,56 fartölvur
E	24	24 ÷ 4.88 ≈ 4.92 2 4 ÷ 4 . 8 8 ≈ 4 . 9 2 24 ÷ 4,88 ≈ 4,92 fartölvur
F	27	27 ÷ 4.88 ≈ 5.53 2 7 ÷ 4 . 8 8 ≈ 5 . 5 3 27 ÷ 4,88 ≈ 5,53 fartölvur

Skref 4: Finndu summu staðalkvótanna. $6.15 + 5.12 + 5.74 + 6.56 + 4.91 + 5.53 = 34.01$ 6,15 + 5,12 + 5,74 + 6,56 + 4,91 + 5,53 = 34,01. Það er aðeins frábrugðið fartölvufjöldanum 34, sem getur stafað af námundun í fyrri skrefum. Þetta bendir til að útreikningarnir séu réttir. Ef summa staðalkvótanna er verulega frábrugðin þingstærðinni kann staðaldeilirinn að hafa verið reiknaður með of fáum aukastöfum. Reiknaðu þá staðaldeilinn og staðalkvótana aftur með fleiri aukastöfum.

Athugaðu skilning þinn

Í eftirfarandi spurningum skaltu gera ráð fyrir föstu hlutfalli milli eininga A og B. Tveir nemendur ræða saman. Ákvarðaðu hvor hefur rétt fyrir sér: nemandi 1, nemandi 2, báðir eða hvorugur.

Nemandi 1 segir að fjöldi eininga A sé margfeldi fjölda eininga B og hlutfalls A og B. Nemandi 2 segir að fjöldi eininga A sé kvóti fjölda eininga B deilt með hlutfalli A og B.

Nemandi 1 segir að fjöldi eininga A sé kvóti fjölda eininga B deilt með hlutfalli B og A. Nemandi 2 segir að fjöldi eininga B sé kvóti fjölda eininga A deilt með hlutfalli A og B.

Gerum ráð fyrir að hlutir A séu 110 og hlutir B 55.
Nemandi 1 segir hlutfall A og B vera 1 2

\frac{1}{2}

. Nemandi 2 segir hlutfall B og A vera 1 0 . 5

\frac{1}{0.5}

Gerum ráð fyrir að fasta hlutfall A og B sé 0,75. Nemandi 1 segir hlutfall A og B vera 4 3

\frac{4}{3}

. Nemandi 2 segir hlutfall B og A vera 3 4

\frac{3}{4}

Nemandi 1 segir að S t a ð a l d e i l i r = Þ i n g s t æ r ð H e i l d a r í b ú a f j ö l d i staðaldeilir = þingstærð/heildaríbúafjöldi. Nemandi 2 segir að S t

{\text{Standard Divisor}} = \frac{{{\text{House Size}}}}{{{\text{Total Population}}}}

a ð a l d e i l i r = S u m m a í b ú a f j ö l d a f y l k j a H e i l d a r f j ö l d i t i l t æ k

{\text{Standard Divisor}} = \frac{{{\text{Sum of the State Populations}}}}{{{\text{Total Number of Seats Available}}}}

r a s æ t a staðaldeilir = summa íbúafjölda fylkja/heildarfjöldi tiltækra sæta.

Nemandi 1 segir að S t a ð a l d e i l i r f y l k i s = H e i l d a r í b ú a f j ö l d i S t a ð a l k

{\text{State's Standard Divisor}} = \frac{{{\text{Total Population}}}}{{{\text{State's Standard Quota}}}}

v ó t i f y l k i s staðaldeilir fylkis
= heildaríbúafjöldi/staðalkvóti fylkis. Nemandi 2 segir að S t a ð a l k v ó t i f y l k i s = Í b ú a f j ö l d i f y l k i s S t a ð a

{\text{State's Standard Quota}} = \frac{{{\text{State Population}}}}{{{\text{Standard Divisor}}}}

l d e i l i r staðalkvóti fylkis = íbúafjöldi fylkis/staðaldeilir.

Nemandi 1 segir að S t a ð a l k v ó t i f y l k i s = Í b ú a f j ö l d i f y l k i s ÷ H e i l d a r í b ú a f j ö l d i

{\text{State's Standard Quota}} = {\text{State Population }} \div \frac{{{\text{Total Population}}}}{{{\text{House Size}}}}

Þ i n g s t æ r ð staðalkvóti fylkis = íbúafjöldi fylkis
÷ heildaríbúafjöldi/þingstærð. Nemandi 2 segir að S t a ð a l k v ó t i f y l k i s = Í b ú a f j ö l d i f y l k i s S t a ð a l d e i l i r staðalkvóti fylkis = íbúafjöldi fylkis/staðaldeilir.

{\text{State's Standard Quota = }}\frac{{{\text{State Population}}}}{{{\text{Standard}}\,{\text{Divisor}}}}

Æfingar úr hluta 11.3

Í eftirfarandi æfingum skaltu tilgreina fylkin, sætin og íbúafjölda fylkisins, það er grundvöll úthlutunarinnar.

Foreldri skiptir 25 sælgætismolum milli fjögurra barna. Börnin vinna sér inn sælgætið eftir því hve margar mínútur þau sinntu heimilisverkum í vikunni.

Háskólaráð hefur samþykkt uppsetningu 70 nýrra neyðarljósa á fimm bílastæðum. Fjöldi ljósa á hverju stæði verður hlutfallslegur við flatarmál þess í ekrum.

Lestrarráðgjafi grunnskóla hefur 52 verðlaun til að dreifa meðal nemenda eftir þeim tíma sem þeir vörðu í lestur.

„Yfirmenn Operation Warp Speed, áætlunar bandarískra stjórnvalda um hraðari þróun og afhendingu bóluefna gegn COVID-19, tilkynntu að 6,4 milljónum skammta hefði verið úthlutað til fylkja eftir heildaríbúafjölda þeirra.“ (The Coronavirus Crisis, eftir Pien Huang, Shots Health News frá NPR, npr.org, 24. nóvember 2020)

Notaðu 4. spurningu en gerðu ráð fyrir að bóluefnaskömmtum gegn COVID-19 sé úthlutað eftir fjölda viðkvæmustu íbúanna, fólks 65 ára og eldra.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota upplýsingarnar til að finna staðaldeilinn að næsta hundraðshluta. Tilgreindu einingarnar.

Heildaríbúafjöldinn er 2.235 bifreiðar og sætin eru 14 vöruhús.

Heildaríbúafjöldinn er 135 sjúkrahús og sætin eru 200 öndunarvélar.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota upplýsingarnar til að finna staðalkvótann. Tilgreindu einingarnar.

Íbúafjöldi fylkisins er átta íbúar í húseiningu og staðaldeilirinn 1,75 íbúar á bílastæði.

Íbúafjöldi fylkisins er 52 gjörgæslusjúklingar á viku og staðaldeilirinn 6,5 sjúklingar á öndunarvél.

10.

Heildaríbúafjöldinn er 145 körfuknattleiksmenn, sætin eru 62 verðlaunagripir og íbúafjöldi fylkisins er 14 leikmenn í Tigers-liðinu.

11.

Heildaríbúafjöldinn er 12 gíraffar, sætin eru níu vatnsþrær og íbúafjöldi fylkisins er þrír gíraffar í gerði C.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota töfluna sem sýnir fjölda nemenda, námskeiðshópa og kennara í fjórum háskóladeildum.

Deild	(M) Stærðfræði	(E) Enska	(H) Sagnfræði	(S) Náttúruvísindi	(O) Háskólinn í heild
(T) Fjöldi nemenda	4800	2376	1536	2880	87118
(C) Námskeiðshópar	120	108	48	96	3712
(F) Fjöldi kennara	30	27	12	24	928

12.

Finndu hlutfall F og T í hverri deild, námundað að fjórum aukastöfum eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

13.

Finndu hlutfall C og F í hverri deild, námundað að fjórum aukastöfum eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

14.

Hvert er hlutfall F og T fyrir háskólann í heild? Tilgreindu einingarnar. Hvernig ber það saman við hlutföll einstakra deilda?

15.

Hvert er heildarhlutfall C og F? Tilgreindu einingarnar. Hvernig ber það saman við hlutföll einstakra deilda?

16.

Virðist hlutfall F og T vera fast? Ef svo er, hvert er það? Ef ekki, hvað segir það um mun deildanna?

17.

Virðist hlutfall C og F vera fast? Ef svo er, hvert er það? Ef ekki, hvað segir það um mun deildanna?

18.

Láttu deildirnar vera fylki, nemendur íbúafjölda og kennara sæti. Notaðu dálkinn fyrir háskólann í heild til að finna staðaldeili úthlutunar kennara, námundaðan að tveimur aukastöfum eftir þörfum. Tilgreindu einingarnar.

19.

Láttu deildirnar vera fylki, námskeiðshópa íbúafjölda og kennara sæti. Notaðu dálkinn fyrir háskólann í heild til að finna staðaldeilinn, námundaðan að tveimur aukastöfum eftir þörfum. Tilgreindu einingarnar.

20.

Notaðu staðaldeilinn úr spurningu 18 til að finna staðalkvóta hverrar deildar, námundaðan að tveimur aukastöfum eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

21.

Notaðu staðaldeilinn úr spurningu 19 til að finna staðalkvóta hverrar deildar, námundaðan að tveimur aukastöfum eftir þörfum.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota þessar upplýsingar: Wakanda, ríki Svarta pardussins T’Challa konungs, hefur sex virkisborgir. Á wakandísku merkir orðið „birnin“ virkisbær. T’Challa konungur hefur fundið 111 vibranium-gripi sem dreifa skal milli virkisborga Wakanda. Hann ákveður að úthluta þeim eftir íbúafjölda hvers birnin. Taflan sýnir íbúafjölda helstu borga Wakanda.

Virkisborgir	Birnin Djata (D)	Birnin T’Chaka (T)	Birnin Zana (Z)	Birnin S’Yan (S)	Birnin Bashenga (B)	Birnin Azzaria (A)	Heildaríbúafjöldi
Íbúar	26,000	57,000	27,000	18,000	64,000	45,000	237,000

22.

Tilgreindu fylkin, sætin og íbúafjölda fylkisins, það er grundvöll úthlutunarinnar.

23.

Finndu staðaldeili úthlutunar vibranium-gripanna. Námundaðu að næsta tíunda hluta eftir þörfum og tilgreindu einingarnar.

24.

Finndu staðalkvóta hvers birnin fyrir úthlutun vibranium-gripanna. Námundaðu að næsta hundraðshluta eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

25.

Finndu summu staðalkvótanna. Er hún hæfilega nálægt fjölda gripanna sem dreifa skal?

Í eftirfarandi æfingum skaltu gera ráð fyrir að 6,4 milljónum bóluefnaskammta gegn COVID-19 sé dreift milli bandarískra fylkja. Skömmtunum verður annaðhvort dreift eftir heildaríbúafjölda fylkis eða fjölda íbúa 65 ára og eldri eins og taflan sýnir.

Fylki	Íbúafjöldi fylkis	Íbúar fylkis 65 ára og eldri	Hlutfall íbúa fylkis 65 ára og eldri
(CA) Kalifornía	39,613,000	5,669,000	14.3%
(TX) Texas	29,730,300	3,602,000	12.6%
(NY) New York	19,300,000	3,214,000	16.4%
(FL) Flórída	21,944,600	4,358,000	20.5%
(PA) Pennsylvanía	12,804,100	2,336,000	18.2%
(US) Bandaríkin	330,151,000	52,345,000	15.8%

26.

Finndu staðaldeili úthlutunar bóluefnaskammta eftir íbúafjölda með áætluðum heildaríbúafjölda Bandaríkjanna. Námundaðu að næsta tíunda hluta eftir þörfum og tilgreindu einingarnar.

27.

Finndu staðalkvóta hvers fylkis fyrir úthlutun bóluefnaskammtanna. Námundaðu að næsta tíunda hluta eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

28.

Finndu staðaldeili úthlutunar bóluefnaskammta eftir fjölda fólks 65 ára og eldra með áætluðum heildarfjölda Bandaríkjamanna í þeim aldurshópi. Námundaðu að næsta tíunda hluta eftir þörfum og tilgreindu einingarnar.

29.

Finndu staðalkvóta hvers fylkis fyrir úthlutun bóluefnaskammta eftir heildaríbúafjölda. Námundaðu að næsta tíunda hluta eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

30.

Berðu saman staðalkvóta hvers fylkis eftir heildaríbúafjölda og eftir fjölda íbúa 65 ára og eldri. Hvaða fylki fengju fleiri skammta ef úthlutunin byggðist á íbúum 65 ára og eldri?

31.

Um 15,8 prósent íbúa Bandaríkjanna eru 65 ára

og eldri. Í hvaða fylkjum af þeim fimm sem talin eru upp
er hlutfallið hærra en 15,8 prósent og í hverjum þeirra lægra?
Útskýrðu fylgnina.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota þessar upplýsingar: Börn úr fimm fjölskyldum — Chorro, Eswaran, Javernick, Lahde og Stolly — tóku þátt í páskaeggjaleit bæjarins. Þegar þau sneru aftur með körfurnar höfðu þau fundið 827 egg. Þau ákváðu að skipta eggjunum milli fjölskyldnanna eftir fjölda barna eins og taflan sýnir.

Fjölskylda	Fjöldi barna
(C) Chorro	3
(E) Eswaran	2
(J) Javernick	4
(L) Lahde	1
(S) Stolly	5

32.

Tilgreindu fylkin, sætin og íbúafjölda fylkisins, það er grundvöll úthlutunarinnar.

33.

Finndu staðaldeili úthlutunar páskaeggjanna. Námundaðu að fimm aukastöfum eftir þörfum og tilgreindu einingarnar.

34.

Finndu staðalkvóta hverrar fjölskyldu fyrir úthlutun páskaeggjanna. Námundaðu að næsta hundraðshluta eftir þörfum. Hverjar eru einingarnar?

35.

Finndu summu staðalkvótanna úr æfingu 34. Er hún hæfilega nálægt fjölda páskaeggja sem dreifa skal?