99 Gastegundir

9.2 Tengsl þrýstings, rúmmáls, magns og hitastigs: Kjörgaslögmálið

Námsmarkmið

Að loknum þessum kafla munt þú geta:

greina stærðfræðileg tengsl milli ýmissa eiginleika lofttegunda
nota kjörgaslögmálið og tengd gaslögmál til að reikna út ýmsa eiginleika lofttegunda við tiltekin skilyrði

Á sautjándu og einkum átjándu öld settu nokkrir vísindamenn fram tengsl milli stórsæja eðliseiginleika lofttegunda, það er þrýstings, rúmmáls, hitastigs og efnismagns gass. Drifkrafturinn var bæði löngun til að skilja náttúruna og áhugi á að smíða loftbelgi sem hægt væri að fljúga í (mynd 9.9). Þótt mælingar þeirra hafi ekki verið nákvæmar á mælikvarða nútímans tókst þeim að ákvarða stærðfræðileg tengsl milli para þessara breyta, til dæmis þrýstings og hitastigs eða þrýstings og rúmmáls, sem gilda fyrir kjörgas. Kjörgas er fræðilegt líkan sem raungös nálgast við tiltekin skilyrði. Að lokum voru þessi einstöku lögmál sameinuð í eina jöfnu, kjörgaslögmálið, sem tengir saman stærðir lofttegunda og gefur nokkuð nákvæmar niðurstöður við lágan þrýsting og hóflegt hitastig. Við skoðum fyrst mikilvægustu tengslin hvert fyrir sig, af kennslufræðilegum ástæðum ekki alveg í sögulegri röð, og sameinum þau síðan í kjörgaslögmálið.

Þessi mynd inniheldur þrjár myndir. Mynd a er svarthvít mynd af vetnisloftbelg sem virðist vera tæmdur af mannfjölda. Á mynd b er bláum, gylltum og rauðum loftbelg haldið við jörðina með reipum á meðan hann er staðsettur yfir palli þar sem reykur stígur upp undir belgnum. Á mynd c er sýnd grá mynd á ferskjulituðum bakgrunni af uppblásnum loftbelg með lóðréttum röndum í loftinu. Hann virðist hafa körfu festu við neðri hliðina. Stór og glæsileg bygging sést í bakgrunni. — **Mynd 9.9.** Árið 1783 átti sér stað fyrsta (a) flug vetnisloftbelgs, (b) mannað flug hitabelgs og (c) mannað flug vetnisloftbelgs. Þegar vetnisloftbelgurinn sem sýndur er í (a) lenti, er sagt að skelfdir þorpsbúar í Gonesse hafi eyðilagt hann með heykvíslum og hnífum. Sagt er að 400.000 manns hafi fylgst með flugtaki þess síðarnefnda í París.

Þrýstingur og hitastig: lögmál Amontons

Hugsaðu þér að stíft ílát, tengt þrýstimæli, sé fyllt með gasi og síðan lokað þannig að ekkert gas sleppi út. Ef ílátið er kælt kólnar gasið inni í því líka og þrýstingurinn lækkar. Þar sem ílátið er stíft og vel lokað haldast bæði rúmmál og efnismagn gassins stöðug. Ef kúlan er hituð hitnar gasið inni í henni (mynd 9.10) og þrýstingurinn hækkar.

Þessi mynd inniheldur þrjár svipaðar skýringarmyndir. Á fyrstu myndinni til vinstri er stíft kúlulaga ílát með gasi, sem hefur þrýstimæli á toppnum, sett í stóran bikar með vatni, sem er ljósblátt á litinn, ofan á hitaplötu. Nálin á þrýstimælinum bendir lengst til vinstri á mælinum. Myndin er merkt „lágur P“ að ofan og „slökkt á hitaplötu“ að neðan. Önnur svipuð mynd sýnir einnig stífa kúlulaga gasílátið í stórum bikar þar sem ljósbláar bylgjulínur stíga upp frá yfirborði vökvans í bikarnum. Bikarinn er staðsettur ofan á örlítið rauðleitu hringlaga svæði. Nálin á þrýstimælinum bendir beint upp, eða á miðju mælisins. Myndin er merkt „miðlungs P“ að ofan og „hitaplata á miðlungshita“ að neðan. Þriðja myndin sýnir einnig stífa kúlulaga gasílátið í stórum bikar þar sem bólur sjást nærri yfirborði vökvans og nokkrar ljósbláar bylgjulínur stíga upp frá yfirborðinu og út úr bikarnum. Bikarinn er staðsettur ofan á skærrauðu hringlaga svæði. Nálin á þrýstimælinum bendir lengst til hægri á mælinum. Myndin er merkt „hár P“ að ofan og „hitaplata á háum hita“ að neðan. — **Mynd 9.10.** Áhrif hitastigs á gasþrýsting: Þegar slökkt er á hitaplötunni er þrýstingur gassins í kúlunni tiltölulega lágur. Þegar gasið er hitað eykst þrýstingur þess í kúlunni.

Þetta samband hitastigs og þrýstings sést hjá hvaða gassýni sem er þegar rúmmálið er fast. Dæmi um tilraunagögn fyrir þrýsting og hitastig loftsýnis við slík skilyrði er sýnt á mynd 9.11. Hitastig og þrýstingur reynast vera í línulegu sambandi og ef hitastigið er gefið á kelvinkvarða eru P og T í beinu hlutfalli, aftur að því gefnu að rúmmál og efnismagn gassins haldist föst. Ef hitastigið á kelvinkvarða hækkar um ákveðinn margfaldara hækkar þrýstingur gassins um sama margfaldara.

Þessi mynd inniheldur töflu og línurit. Taflan hefur 3 dálka og 7 raðir. Fyrsta röðin er haus sem merkir dálkana „Hitastig, gráður C“, „Hitastig, K“ og „Þrýstingur, kPa“. Fyrsti dálkurinn inniheldur eftirfarandi gildi frá toppi til botns: mínus 100, mínus 50, 0, 50, 100 og 150. Annar dálkurinn inniheldur gildin, frá toppi til botns, 173, 223, 273, 323, 373 og 423. Þriðji dálkurinn inniheldur gildin 36,0, 46,4, 56,7, 67,1, 77,5 og 88,0. Línurit er hægra megin við töfluna. Lárétti ásinn er merktur „Hitastig ( K )“ með merkingum fyrir margfeldi af 100 sem byrja á 0 og enda á 500. Lóðrétti ásinn er merktur „Þrýstingur ( kPa )“ með merkingum fyrir margfeldi af 10, sem byrja á 0 og enda á 100. Sex gagnapunktar úr töflunni eru teiknaðir á línuritið með svörtum punktum. Þessir punktar eru tengdir með heilli svartri línu. Brotalinja nær frá gagnapunktinum lengst til vinstri að upphafspunkti. Línuritið sýnir jákvæða línulega leitni. — **Mynd 9.11.** Fyrir fast rúmmál og magn af lofti eru þrýstingur og hitastig í beinu hlutfalli, að því tilskildu að hitastigið sé í kelvin. (Ekki er hægt að gera mælingar við lægra hitastig vegna þéttingar gassins.) Þegar þessi lína er framlengd að lægri þrýstingi nær hún þrýstingnum 0 við –273 °C, sem er 0 á kelvinkvarða og lægsta mögulega hitastigið, kallað alkul.

Guillaume Amontons var fyrstur til að staðfesta með tilraunum sambandið milli þrýstings og hitastigs gass (um 1700), og Joseph Louis Gay-Lussac ákvarðaði sambandið með nákvæmari hætti (um 1800). Af þessum sökum er P–T-samband lofttegunda þekkt annaðhvort sem lögmál Amontons eða lögmál Gay-Lussacs. Hvort nafnið sem er notað segir lögmálið að þrýstingur tiltekins efnismagns gass sé í beinu hlutfalli við hitastig þess á kelvinkvarða þegar rúmmálinu er haldið stöðugu. Stærðfræðilega má rita þetta þannig:

P \propto T eða P = fasti \times T eða P = k \times T

þar sem ∝ merkir „er í hlutfalli við“ og k er hlutfallsfasti sem fer eftir gerð, efnismagni og rúmmáli gassins.

Fyrir innilokað gas við fast rúmmál er hlutfallið P/T því fasti (þ.e. P/T = k). Ef gasið er upphaflega í ástandi 1 (P = P₁ og T = T₁) og breytist síðan í ástand 2 (P = P₂ og T = T₂) gildir P₁/T₁ = k og P₂/T₂ = k, sem leiðir til P₁/T₁ = P₂/T₂. Þessi jafna er gagnleg í útreikningum á þrýstingi og hitastigi fyrir innilokað gas við fast rúmmál. Athugið að hitastig verður að vera á kelvinkvarða í öllum útreikningum með gaslögmálum; 0 K er lægsta mögulega hitastig og kallast alkul. Einnig má lýsa því hvernig þrýstingur gass breytist með hitastigi á að minnsta kosti þrjá vegu: með gildistöflu, línuriti eða stærðfræðilegri jöfnu.

Dæmi 9.5

Að spá fyrir um breytingu á þrýstingi með hitastigi

Hárspreybrúsi er notaður þar til hann er tómur að undanskildu drifefninu, sem er ísóbútangas.

(a) Á dósinni stendur viðvörunin „Geymist aðeins við hitastig undir 120 °F (48,8 °C). Má ekki brenna.“ Hvers vegna?

(b) Gasið í dósinni er upphaflega við 24 °C og 360 kPa og rúmmál dósarinnar er 350 mL. Ef dósin er skilin eftir í bíl sem nær 50 °C á heitum degi, hver verður þá nýi þrýstingurinn í dósinni?

Lausn

(a) Dósin inniheldur tiltekið magn af ísóbútangasi við fast rúmmál. Ef hitastigið er hækkað með hitun mun þrýstingurinn því aukast í réttu hlutfalli. Hár hiti gæti leitt til mikils þrýstings sem veldur því að dósin springur. (Auk þess er ísóbútan eldfimt, þannig að brennsla gæti valdið sprengingu.)

(b) Við leitum að þrýstingsbreytingu vegna hitastigsbreytingar við fast rúmmál og notum því lögmál Amontons/Gay-Lussacs. Ef P₁ og T₁ eru upphafsgildin, T₂ er hitastigið þar sem þrýstingurinn er óþekktur og P₂ er óþekkti þrýstingurinn, og °C er breytt í K, fæst:

\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{360 kPa}{297 K} = \frac{P_{2}}{323 K}

Með því að umraða og leysa fæst: P₂ = 360 kPa × 323 K / 297 K = 390 kPa

Prófaðu þig

Sýni af köfnunarefni, N₂, tekur 45,0 mL rúmmál við 27 °C og 600 torr. Hvaða þrýsting mun það hafa ef það er kælt niður í –73 °C á meðan rúmmálið helst stöðugt?

Svar:

400 torr

Rúmmál og hitastig: lögmál Charles

Ef loftbelgur er fylltur með lofti og lokaður inniheldur hann tiltekið efnismagn lofts við loftþrýsting, segjum 1 atm. Ef belgurinn er settur í ísskáp kólnar gasið inni í honum og belgurinn skreppur saman, þótt bæði efnismagn gassins og þrýstingur þess haldist föst. Ef belgurinn er kældur mjög mikið skreppur hann verulega saman og þenst síðan aftur út þegar hann hlýnar.

Þessi dæmi um áhrif hitastigs á rúmmál tiltekins efnismagns af innilokuðu gasi við fastan þrýsting gilda almennt: rúmmálið eykst þegar hitastigið hækkar og minnkar þegar hitastigið lækkar. Gögn um rúmmál og hitastig fyrir 1 móls sýni af metangasi við 1 atm eru sýnd í töflu og á línuriti á mynd 9.12.

Þessi mynd inniheldur töflu og línurit. Taflan hefur 3 dálka og 6 raðir. Fyrsta röðin er haus sem merkir dálkana „Hitastig, gráður C“, „Hitastig, K“ og „Þrýstingur, kPa“. Fyrsti dálkurinn inniheldur gildin frá toppi til botns mínus 100, mínus 50, 0, 100 og 200. Annar dálkurinn inniheldur gildin frá toppi til botns 173, 223, 273, 373 og 473. Þriðji dálkurinn inniheldur gildin 14,10, 18,26, 22,40, 30,65 og 38,88. Línurit er hægra megin við töfluna. Lárétti ásinn er merktur „Hitastig ( K )“ með merkingum fyrir margfeldi af 100 sem byrja á 0 og enda á 300. Lóðrétti ásinn er merktur „Rúmmál ( L )“ með merkingum fyrir margfeldi af 10, sem byrja á 0 og enda á 30. Fimm gagnapunktar úr töflunni eru merktir inn á línuritið með svörtum punktum. Þessir punktar eru tengdir með heilli svartri línu. Línuritið sýnir jákvæða línulega leitni. — **Mynd 9.12.** Rúmmál og hitastig eru í línulegu sambandi fyrir 1 mól af metangasi við fastan þrýsting sem er 1 atm. Ef hitastigið er í kelvin eru rúmmál og hitastig í beinu hlutfalli. Línan endar við 111 K vegna þess að metan þéttist í vökva við það hitastig. Ef línan er framlengd sker hún upphafspunkt línuritsins, sem táknar alkul.

Samband rúmmáls og hitastigs tiltekins efnismagns gass við fastan þrýsting kallast lögmál Charles, til heiðurs franska vísindamanninum og frumkvöðli í blöðruflugi, Jacques Alexandre César Charles. Lögmál Charles segir að rúmmál tiltekins efnismagns gass sé í beinu hlutfalli við hitastig þess á kelvinkvarða þegar þrýstingi er haldið föstum.

Stærðfræðilega má rita þetta þannig:

V \propto T eða V = fasti · T eða V = k · T eða V_{1} / T_{1} = V_{2} / T_{2}

þar sem k er hlutfallsfasti sem fer eftir efnismagni og þrýstingi gassins.

Fyrir innilokað gassýni við fastan þrýsting er V/T fasti (þ.e. hlutfallið er k), og eins og í P–T-sambandinu leiðir þetta til annarrar framsetningar á lögmáli Charles: V₁/T₁ = V₂/T₂.

Dæmi 9.6

Að spá fyrir um breytingu á rúmmáli með hitastigi

Sýni af koldíoxíði, CO₂, tekur 0,300 L rúmmál við 10 °C og 750 torr. Hvaða rúmmál mun gasið hafa við 30 °C og 750 torr?

Lausn

Þar sem við leitum að rúmmálsbreytingu vegna hitastigsbreytingar við fastan þrýsting notum við lögmál Charles. Ef við tökum V₁ og T₁ sem upphafsgildi, T₂ sem hitastigið þar sem rúmmálið er óþekkt og V₂ sem óþekkta rúmmálið, og breytum °C í K, fáum við:

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{0,300 L}{283 K} = \frac{V_{2}}{303 K}

Með því að umraða og leysa fæst: V₂ = 0,300 L × 303 K / 283 K = 0,321 L

Þetta svar samræmist væntingunni út frá lögmáli Charles: hækkun hitastigs gassins úr 283 K í 303 K við fastan þrýsting leiðir til aukins rúmmáls, úr 0,300 L í 0,321 L.

Prófaðu þig

Sýni af súrefni, O₂, tekur 32,2 mL rúmmál við 30 °C og 452 torr. Hvaða rúmmál mun það taka við –70 °C og sama þrýsting?

Svar:

21,6 mL

Dæmi 9.7

Hitastig mælt með rúmmálsbreytingu

Hitastig er stundum mælt með gashitamæli þar sem fylgst er með rúmmálsbreytingu gassins þegar hitastigið breytist við fastan þrýsting. Vetnið í tilteknum vetnisgashitamæli hefur rúmmálið 150,0 cm³ þegar honum er dýft í blöndu af ís og vatni (0,00 °C). Þegar honum er dýft í sjóðandi fljótandi ammoníak er rúmmál vetnisins, við sama þrýsting, 131,7 cm³. Finndu hitastig sjóðandi ammoníaks á kelvin- og Celsíuskvarða.

Lausn

Þegar mælinum er dýft í ísvatnsbað við 0,00 °C (T₁) er rúmmál gassins í hitamælinum 150,0 cm³ (V₁). Þegar honum er dýft í sjóðandi fljótandi ammoníak (T₂) er rúmmál gassins í hitamælinum 131,7 cm³. Samband rúmmáls og hitastigs við fastan þrýsting er gefið með lögmáli Charles:

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{150,0 {cm}^{3}}{273,15 K} = \frac{131,7 {cm}^{3}}{T_{2}}

Með umröðun fæst T₂ = 131,7 cm³ × 273,15 K / 150,0 cm³ = 239,8 K

Þegar 273,15 er dregið frá 239,8 K fæst að suðumark ammóníaks á Celsíuskvarða er –33,4 °C.

Prófaðu þig

Hvert er rúmmál etansýnis við 467 K og 1,1 atm ef það tekur 405 mL við 298 K og 1,1 atm?

Svar:

635 mL

Rúmmál og þrýstingur: lögmál Boyles

Ef loftþétt sprauta er fyllt að hluta með lofti inniheldur hún tiltekið efnismagn lofts við fast hitastig, til dæmis 25 °C. Ef stimplinum er ýtt hægt inn og hitastiginu haldið stöðugu þjappast gasið í sprautunni saman í minna rúmmál og þrýstingur þess eykst. Ef stimpillinn er dreginn út eykst rúmmálið og þrýstingurinn minnkar. Þetta dæmi um áhrif rúmmáls á þrýsting tiltekins efnismagns af innilokuðu gasi gildir almennt. Þegar rúmmál innilokaðs gass minnkar eykst þrýstingur þess, og þegar rúmmálið eykst minnkar þrýstingurinn. Ef rúmmálið eykst um ákveðinn margfaldara minnkar þrýstingurinn um sama margfaldara, og öfugt. Gögn um rúmmál og þrýsting fyrir loftsýni við stofuhita eru sýnd á línuriti á mynd 9.13.

Þessi mynd inniheldur skýringarmynd og tvö línurit. Skýringarmyndin sýnir sprautu sem er merkt með kvarða í mL eða cc með margfeldum af 5 merktum frá 5 til 30. Merkingar mitt á milli þessara mælinga eru einnig sýndar. Efst á sprautunni er þrýstimælir með kvarða sem er merktur í fimm skrefum frá 40 vinstra megin til 5 hægra megin. Nál mælisins hvílir á milli 10 og 15, aðeins nær 15. Staða stimpilsins sýnir rúmmálsmælingu um það bil mitt á milli 10 og 15 mL eða cc. Fyrra línuritið er merkt „V ( mL )“ á lárétta ásnum og „P ( psi )“ á lóðrétta ásnum. Punktar eru merktir við 5, 10, 15, 20 og 25 mL með samsvarandi gildum 39,0, 19,5, 13,0, 9,8 og 6,5 psi. Punktarnir eru tengdir með mjúkum ferli sem lækkar með minnkandi breytingahraða. Seinna línuritið er merkt „V ( mL )“ á lárétta ásnum og „1 deilt með P ( psi )“ á lóðrétta ásnum. Lárétti ásinn er merktur við margfeldi af 5, byrjar á núlli og nær upp í 35 mL. Lóðrétti ásinn er merktur með margfeldum af 0,02, byrjar á 0 og nær upp í 0,18. Sex punktar sem eru táknaðir með svörtum doppum á þessu línuriti eru tengdir með svörtu línustriki sem sýnir jákvæða línulega leitni. — **Mynd 9.13.** Þegar gas tekur minna rúmmál beitir það meiri þrýstingi. Þegar það tekur meira rúmmál beitir það minni þrýstingi (að því gefnu að magn gass og hitastig breytist ekki). Þar sem P og V eru í öfugu hlutfalli er línurit af 1/P á móti V línulegt.

Ólíkt P–T- og V–T-samböndunum eru þrýstingur og rúmmál ekki í beinu hlutfalli hvort við annað. Þess í stað eru P og V í öfugu hlutfalli: aukinn þrýstingur leiðir til minna rúmmáls gassins. Stærðfræðilega má rita þetta þannig:

P \propto 1 / V eða P = k · 1 / V eða P · V = k eða P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2}

þar sem k er fasti. Myndrænt birtist þetta samband sem bein lína þegar andhverfa þrýstingsins (1/P) er teiknuð á móti rúmmálinu (V), eða andhverfa rúmmálsins (1/V) á móti þrýstingnum (P). Erfitt er að lesa nákvæmlega af bognum línuritum við lág eða há gildi breytanna, og einnig er erfiðara að nota þau til að fella fræðilegar jöfnur og stika að tilraunagögnum. Af þessum sökum reyna vísindamenn oft að finna leið til að línuleggja gögn sín. Ef P er teiknað á móti V fæst breiðbogaferill (sjá mynd 9.14).

Þessi skýringarmynd sýnir tvö línurit. Á a er sýnt línurit með rúmmál á lárétta ásnum og þrýsting á þeim lóðrétta. Bogin lína er á línuritinu sem sýnir minnkandi leitni með minnkandi breytingahraða. Á b er sýnt línurit með rúmmál á lárétta ásnum og einn deilt með þrýstingi á þeim lóðrétta. Línustrik, sem byrjar í upphafspunkti línuritsins, sýnir jákvæða, línulega leitni. — **Mynd 9.14.** Sambandið milli þrýstings og rúmmáls er í öfugu hlutfalli. (a) Línurit af P á móti V er breiðbogi, en (b) línurit af 1/P á móti V er línulegt.

Samband rúmmáls og þrýstings tiltekins efnismagns gass við fast hitastig var fyrst birt af enska náttúruspekingnum Robert Boyle fyrir meira en 300 árum. Það er dregið saman í fullyrðingunni sem nú kallast lögmál Boyles: rúmmál tiltekins efnismagns gass við fast hitastig er í öfugu hlutfalli við þrýstinginn sem það er mælt við.

Dæmi 9.8

Rúmmál gassýnis

Gassýnið á mynd 9.13 hefur rúmmálið 15,0 mL við þrýstinginn 13,0 psi. Ákvarðaðu þrýsting gassins við rúmmálið 7,5 mL með því að nota:

(a) P–V-línuritið á mynd 9.13

(b) línuritið fyrir 1/P á móti V á mynd 9.13

Metðu líklega nákvæmni hverrar aðferðar.

Lausn

(a) Áætlun út frá P–V línuritinu gefur gildið P einhvers staðar í kringum 27 psi.

(b) Áætlun út frá línuriti af 1/P á móti V gefur um það bil 26 psi.

(c) Samkvæmt lögmáli Boyles er margfeldi þrýstings og rúmmáls (PV) fyrir tiltekið gassýni við fast hitastig alltaf sama gildi. Því gildir P₁V₁ = k og P₂V₂ = k, sem þýðir að P₁V₁ = P₂V₂.

Ef P₁ og V₁ eru þekktu gildin 13,0 psi og 15,0 mL, P₂ er þrýstingurinn sem leitað er að og V₂ er nýja rúmmálið, fáum við:

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2} eða 13,0 psi \times 15,0 mL = P_{2} \times 7,5 mL

Leyst:

P_{2} = \frac{13,0 psi \times 15,0 mL}{7,5 mL} = 26 psi

Erfiðara reyndist að áætla nákvæmlega af P–V-línuritinu og því er (a) líklega ónákvæmari en (b) eða (c). Útreikningurinn verður eins nákvæmur og jafnan og mælingarnar leyfa.

Prófaðu þig

Gassýnið á mynd 9.13 hefur rúmmálið 30,0 mL við þrýstinginn 6,5 psi. Ákvarðaðu rúmmál gassins við þrýstinginn 11,0 psi með því að nota:

(a) P–V-línuritið á mynd 9.13

(b) línuritið fyrir 1/P á móti V á mynd 9.13

Gerðu grein fyrir líklegri nákvæmni hverrar aðferðar.

Svar:

(a) um 17–18 mL; (b) ~18 mL; (c) 17,7 mL; erfiðara reyndist að áætla nákvæmlega af P–V-línuritinu og því er (a) líklega ónákvæmari en (b); útreikningurinn verður eins nákvæmur og jafnan og mælingarnar leyfa

Efnafræði í daglegu lífi

Öndun og lögmál Boyles

Hvað gerirðu um það bil 20 sinnum á mínútu alla ævi, án hlés og oft án þess að taka eftir því? Svarið er auðvitað öndun. Hvernig virkar hún? Í ljós kemur að gaslögmálin eiga hér við. Lungun taka inn gas sem líkaminn þarfnast (súrefni) og losa sig við úrgangsgas (koldíoxíð). Lungun eru gerð úr svampkenndum, teygjanlegum vef sem þenst út og dregst saman við öndun. Þegar þú andar að þér dragast þindin og millirifjavöðvarnir saman, brjóstholið stækkar og rúmmál lungnanna eykst. Rúmmálsaukningin veldur þrýstingslækkun (lögmál Boyles), svo loft flæðir inn í lungun, frá hærri þrýstingi til lægri. Þegar þú andar frá þér snýst ferlið við: þindin og millirifjavöðvarnir slakna, brjóstholið dregst saman og rúmmál lungnanna minnkar. Þá eykst þrýstingurinn, aftur samkvæmt lögmáli Boyles, og loft flæðir út úr lungunum, frá hærri þrýstingi til lægri. Síðan andarðu aftur að þér og frá þér og endurtekur þessa hringrás lögmáls Boyles það sem eftir er ævinnar (mynd 9.15).

Mynd 9.15. Öndun á sér stað vegna þess að þegar rúmmál lungnanna stækkar og minnkar skapast lítill þrýstingsmunur milli lungnanna og umhverfisins, sem veldur því að loft dregst inn í og þrýstist út úr lungunum.

Efnismagn gass og rúmmál: lögmál Avogadros

Ítalski vísindamaðurinn Amedeo Avogadro setti fram tilgátu árið 1811 til að skýra hegðun lofttegunda. Hún kvað á um að jöfn rúmmál allra lofttegunda, mæld við sömu skilyrði hitastigs og þrýstings, innihaldi sama fjölda sameinda. Með tímanum studdu margar tilraunaathuganir þetta samband, sem lögmál Avogadros lýsir þannig: fyrir innilokað gas eru rúmmál (V) og efnismagn (n) í beinu hlutfalli ef þrýstingur og hitastig haldast stöðug.

Á jöfnuformi er þetta ritað þannig:

\begin{matrix} V \propto n & eða & V = k \times n & eða & \frac{V_{1}}{n_{1}} = \frac{V_{2}}{n_{2}} \end{matrix}

Einnig er hægt að ákvarða stærðfræðileg sambönd fyrir önnur pör breyta, svo sem P gagnvart n, og n gagnvart T.

Kjörgaslögmálið

Hingað til hefur verið fjallað um fjögur aðskilin lögmál sem tengja saman þrýsting, rúmmál, hitastig og efnismagn gass:

lögmál Boyles: PV = fasti við fast T og n
lögmál Amontons: P/T = fasti við fast V og n
lögmál Charles: V/T = fasti við fast P og n
lögmál Avogadros: V/n = fasti við fast P og T

Með því að sameina þessi fjögur lögmál fæst kjörgaslögmálið, samband milli þrýstings, rúmmáls, hitastigs og efnismagns gass:

P V = n R T

þar sem P er þrýstingur gassins, V er rúmmál þess, n er efnismagn gassins, T er hitastig þess á kelvinkvarða og R er fasti sem kallast kjörgasfastinn eða almenni gasfastinn. Einingarnar sem notaðar eru fyrir þrýsting, rúmmál og hitastig ákvarða hvaða gildi gasfastans hentar, eins og víddargreining krefst. Algengustu gildin eru 0,08206 L atm mol⁻¹ K⁻¹ og 8,314 kPa L mol⁻¹ K⁻¹.

Lofttegundir sem kjörgaslögmálið (eða önnur gaslögmál) lýsir nákvæmlega með tilliti til P, V og T eru sagðar sýna kjörhegðun eða nálgast eiginleika kjörgass. Kjörgas er fræðilegt líkan sem hægt er að nota ásamt hreyfifræðikenningu sameinda til að útskýra gaslögmálin á áhrifaríkan hátt, eins og lýst verður síðar í þessum kafla. Þótt allir útreikningar í þessum hluta geri ráð fyrir kjörhegðun er sú forsenda aðeins raunhæf fyrir gös við tiltölulega lágan þrýsting og hátt hitastig. Í lokahluta kaflans verður kynnt breytt gaslögmál sem tekur tillit til frávika frá kjörhegðun sem margar lofttegundir sýna við tiltölulega háan þrýsting og lágt hitastig.

Kjörgasjafnan inniheldur fimm stærðir: gasfastann R og breytilegu eiginleikana P, V, n og T. Ef fjórar þessara stærða eru þekktar má nota kjörgaslögmálið til að reikna þá fimmtu, eins og sýnt er í eftirfarandi sýnidæmum.

Dæmi 9.9

Notkun kjörgaslögmálsins

Metan, CH₄, kemur til greina sem valkostur við bensín sem eldsneyti á bíla. Eitt gallon af bensíni mætti leysa af hólmi með 655 g af CH₄. Hvert er rúmmál þessa magns af metani við 25 °C og 745 torr?

Lausn

Við þurfum að umraða PV = nRT til að einangra V: V = nRT/P.

Ef við veljum að nota R = 0,08206 L atm mol⁻¹ K⁻¹ þarf efnismagnið að vera í mólum, hitastigið í kelvin og þrýstingurinn í atm.

Breytt í réttar einingar:

n = 655 g {CH}_{4} \times \frac{1 mol}{16,043 {g CH}_{4}} = 40,8 mol

T = 25 °C + 273 = 298 K

P = 745 torr \times \frac{1 atm}{760 torr} = 0,980 atm

V = \frac{n R T}{P} = \frac{(40,8 mol) (0,08206 L {atm mol}^{–1} K^{–1}) (298 K)}{0,980 atm} = 1,02 \times 10^{3} L

Það þyrfti 1020 L (269 gal) af metangasi við um það bil 1 atm þrýsting til að koma í stað 1 gal af bensíni. Því þarf stórt ílát til að geyma nægilegt metan við 1 atm til að koma í stað nokkurra gal af bensíni.

Prófaðu þig

Reiknaðu þrýstinginn í bar fyrir 2520 mól af vetnisgasi sem geymt er við 27 °C í 180 L geymslutanki nútímalegs vetnisbíls.

Svar:

350 bar

Ef efnismagni kjörgass er haldið stöðugu við tvenns konar aðstæður fæst gagnlegt stærðfræðilegt samband sem kallast sameinaða gaslögmálið: P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ með einingunum atm, L og K. Við báðar aðstæður er gildið jafnt margfeldinu n × R, þar sem n er efnismagn gassins og R er gasfastinn.

Dæmi 9.10

Notkun samanlagða gaslögmálsins

Þegar dæmigerður köfunarkútur með rúmmálið 13,2 L er fylltur af lofti er þrýstingurinn í honum 153 atm (mynd 9.16). Ef hitastig vatnsins er 27 °C, hversu marga lítra af lofti mun slíkur kútur veita lungum kafara á um það bil 70 feta dýpi í sjónum þar sem þrýstingurinn er 3,13 atm?

Þessi ljósmynd sýnir kafara neðansjávar með kút á bakinu og loftbólur sem stíga upp frá öndunarbúnaðinum. — **Mynd 9.16.** Kafarar nota þrýstiloft til að anda neðansjávar. (innsent efni: breytt verk eftir Mark Goodchild)

Lausn

Látum 1 tákna loftið í köfunarkútnum og 2 tákna loftið í lungunum. Ef við höfum í huga að líkamshitinn (hitastig loftsins í lungunum) er 37 °C, fáum við:

\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}} ⟶ \frac{(153 atm) (13,2 L)}{(300 K)} = \frac{(3,13 atm) (V_{2})}{(310 K)}

Leyst fyrir V₂:

V_{2} = \frac{(153 atm) (13,2 L) (310 K)}{(300 K) (3,13 atm)} = 667 L

(Athugið: Í þessu tiltekna dæmi er forsendan um kjörhegðun gassins ekki mjög raunhæf, þar sem um er að ræða gas við tiltölulega háan þrýsting og lágt hitastig. Þrátt fyrir þessa takmörkun má líta á reiknað rúmmál sem góða nálgun.)

Prófaðu þig

Sýni af ammoníaki tekur 0,250 L rúmmál við rannsóknarstofuaðstæður þar sem hitastigið er 27 °C og þrýstingurinn 0,850 atm. Finndu rúmmál þessa sýnis við 0 °C og 1,00 atm.

Svar:

0,193 L

Efnafræði í daglegu lífi

Samhengi dýpis og þrýstings í köfun

Hvort sem kafað er við Kóralrifið mikla í Ástralíu (sýnt á mynd 9.17) eða í Karíbahafinu þurfa kafarar að skilja hvernig þrýstingur hefur áhrif á ýmis atriði sem varða þægindi þeirra og öryggi.

Mynd 9.17. Kafarar, hvort sem er við Kóralrifið mikla eða í Karíbahafinu, verða að vera meðvitaðir um flot, þrýstijöfnun og þann tíma sem þeir verja neðansjávar, til að forðast þá áhættu sem fylgir þrýstingsgösum í líkamanum. (innsent efni: Kyle Taylor)

Þrýstingur eykst með dýpi sjávar og breytingin er hröðust þegar kafarar nálgast yfirborðið. Þrýstingurinn sem kafari finnur fyrir er summa alls þrýstingsins fyrir ofan hann, frá vatninu og loftinu. Flestar þrýstimælingar eru gefnar upp í lofthjúps-einingum (atm), sem kafarar kalla „algildan þrýsting“ eða ATA: hver 33 fet af sjó jafngilda 1 ATA þrýstingi til viðbótar við þann 1 ATA þrýsting sem andrúmsloftið veldur við sjávarmál. Þegar kafari fer niður veldur aukinn þrýstingur því að loftrými í eyrum og lungum dragast saman. Á uppleið veldur minnkandi þrýstingur því að þessi loftrými þenjast út, sem getur sprengt hljóðhimnur eða lungu. Kafarar verða því að þrýstijafna á niðurleið, bæði með eðlilegri öndun og með því að bæta lofti í grímuna með útöndun um nefið eða í eyru og kinnholur með þrýstijöfnunaraðferðum. Sama gildir á uppleið: kafarar verða að hleypa lofti úr líkamanum til að viðhalda þrýstijafnvægi. Flot, það er hæfileikinn til að stjórna því hvort kafari sekkur eða flýtur, er stjórnað með flotjafnara (BCD). Ef kafari er á uppleið þenst loftið í flotjafnaranum út vegna lægri þrýstings samkvæmt lögmáli Boyles; þegar þrýstingur á gas minnkar eykst rúmmál þess. Útþensla loftsins eykur flotkraft kafarans og hann byrjar að stíga upp. Kafarinn verður að hleypa lofti úr flotjafnaranum, annars á hann á hættu stjórnlausa uppferð sem gæti sprengt lungun. Á niðurleið veldur aukinn þrýstingur því að loftið í flotjafnaranum dregst saman og kafarinn sekkur mun hraðar. Þá verður kafarinn að bæta lofti í flotjafnarann, annars á hann á hættu stjórnlausa niðurferð og mun meiri þrýsting nær sjávarbotni. Þrýstingurinn hefur einnig áhrif á hversu lengi kafari getur dvalið neðansjávar áður en hann fer upp. Því dýpra sem kafari kafar, því meira þjappast loftið sem hann andar að sér vegna aukins þrýstings: á 33 feta dýpi er þrýstingurinn 2 ATA og loftið þjappast í helming af upprunalegu rúmmáli sínu. Kafarinn notar þá tiltækt loft tvöfalt hraðar en við yfirborðið.

Staðalhiti og staðalþrýstingur

Við höfum séð að rúmmál tiltekins magns af gasi og fjöldi sameinda (móla) í tilteknu rúmmáli gass breytast með þrýstingi og hitastigi. Efnafræðingar miða stundum við staðalhita og staðalþrýsting (STP) þegar þeir gefa upp eiginleika lofttegunda: 273,15 K og 1 atm (101,325 kPa). Við staðalaðstæður hefur eitt mól af kjörgasi rúmmálið um það bil 22,4 L; þetta kallast staðalmólrúmmál (mynd 9.18).

Þessi mynd sýnir þrjár blöðrur sem eru fylltar með He, NH lágvísir 2 og O lágvísir 2. Undir fyrstu blöðrunni er merkingin „4 g af He“. Undir annarri blöðrunni er merkingin „17 g af NH lágvísir 2“. Undir þriðju blöðrunni er merkingin „32 g af O lágvísir 2“. Hver blaðra inniheldur sama fjölda sameinda af viðkomandi gasi. — **Mynd 9.18.** Óháð efnafræðilegri gerð tekur eitt mól af gasi, sem hegðar sér sem kjörgas, um það bil 22,4 L rúmmál við staðalaðstæður.

Dæmi 9.5

Að spá fyrir um breytingu á þrýstingi með hitastigi

Hárspreybrúsi er notaður þar til hann er tómur að undanskildu drifefninu, sem er ísóbútangas.

(a) Á dósinni stendur viðvörunin „Geymist aðeins við hitastig undir 120 °F (48,8 °C). Má ekki brenna.“ Hvers vegna?

Lausn

\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{360 kPa}{297 K} = \frac{P_{2}}{323 K}

Með því að umraða og leysa fæst: P₂ = 360 kPa × 323 K / 297 K = 390 kPa

Prófaðu þig

Sýni af köfnunarefni, N₂, tekur 45,0 mL rúmmál við 27 °C og 600 torr. Hvaða þrýsting mun það hafa ef það er kælt niður í –73 °C á meðan rúmmálið helst stöðugt?

Svar:

400 torr

Dæmi 9.6

Að spá fyrir um breytingu á rúmmáli með hitastigi

Sýni af koldíoxíði, CO₂, tekur 0,300 L rúmmál við 10 °C og 750 torr. Hvaða rúmmál mun gasið hafa við 30 °C og 750 torr?

Lausn

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{0,300 L}{283 K} = \frac{V_{2}}{303 K}

Með því að umraða og leysa fæst: V₂ = 0,300 L × 303 K / 283 K = 0,321 L

Þetta svar samræmist væntingunni út frá lögmáli Charles: hækkun hitastigs gassins úr 283 K í 303 K við fastan þrýsting leiðir til aukins rúmmáls, úr 0,300 L í 0,321 L.

Prófaðu þig

Sýni af súrefni, O₂, tekur 32,2 mL rúmmál við 30 °C og 452 torr. Hvaða rúmmál mun það taka við –70 °C og sama þrýsting?

Svar:

21,6 mL

Dæmi 9.7

Hitastig mælt með rúmmálsbreytingu

Lausn

\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}} sem þýðir að \frac{150,0 {cm}^{3}}{273,15 K} = \frac{131,7 {cm}^{3}}{T_{2}}

Með umröðun fæst T₂ = 131,7 cm³ × 273,15 K / 150,0 cm³ = 239,8 K

Þegar 273,15 er dregið frá 239,8 K fæst að suðumark ammóníaks á Celsíuskvarða er –33,4 °C.

Prófaðu þig

Hvert er rúmmál etansýnis við 467 K og 1,1 atm ef það tekur 405 mL við 298 K og 1,1 atm?

Svar:

635 mL

Dæmi 9.8

Rúmmál gassýnis

Gassýnið á mynd 9.13 hefur rúmmálið 15,0 mL við þrýstinginn 13,0 psi. Ákvarðaðu þrýsting gassins við rúmmálið 7,5 mL með því að nota:

(a) P–V-línuritið á mynd 9.13

(b) línuritið fyrir 1/P á móti V á mynd 9.13

Metðu líklega nákvæmni hverrar aðferðar.

Lausn

(a) Áætlun út frá P–V línuritinu gefur gildið P einhvers staðar í kringum 27 psi.

(b) Áætlun út frá línuriti af 1/P á móti V gefur um það bil 26 psi.

Ef P₁ og V₁ eru þekktu gildin 13,0 psi og 15,0 mL, P₂ er þrýstingurinn sem leitað er að og V₂ er nýja rúmmálið, fáum við:

P_{1} V_{1} = P_{2} V_{2} eða 13,0 psi \times 15,0 mL = P_{2} \times 7,5 mL

Leyst:

P_{2} = \frac{13,0 psi \times 15,0 mL}{7,5 mL} = 26 psi

Erfiðara reyndist að áætla nákvæmlega af P–V-línuritinu og því er (a) líklega ónákvæmari en (b) eða (c). Útreikningurinn verður eins nákvæmur og jafnan og mælingarnar leyfa.

Prófaðu þig

Gassýnið á mynd 9.13 hefur rúmmálið 30,0 mL við þrýstinginn 6,5 psi. Ákvarðaðu rúmmál gassins við þrýstinginn 11,0 psi með því að nota:

(a) P–V-línuritið á mynd 9.13

(b) línuritið fyrir 1/P á móti V á mynd 9.13

Gerðu grein fyrir líklegri nákvæmni hverrar aðferðar.

Svar:

Dæmi 9.9

Notkun kjörgaslögmálsins

Lausn

Við þurfum að umraða PV = nRT til að einangra V: V = nRT/P.

Ef við veljum að nota R = 0,08206 L atm mol⁻¹ K⁻¹ þarf efnismagnið að vera í mólum, hitastigið í kelvin og þrýstingurinn í atm.

Breytt í réttar einingar:

n = 655 g {CH}_{4} \times \frac{1 mol}{16,043 {g CH}_{4}} = 40,8 mol

T = 25 °C + 273 = 298 K

P = 745 torr \times \frac{1 atm}{760 torr} = 0,980 atm

V = \frac{n R T}{P} = \frac{(40,8 mol) (0,08206 L {atm mol}^{–1} K^{–1}) (298 K)}{0,980 atm} = 1,02 \times 10^{3} L

Prófaðu þig

Reiknaðu þrýstinginn í bar fyrir 2520 mól af vetnisgasi sem geymt er við 27 °C í 180 L geymslutanki nútímalegs vetnisbíls.

Svar:

350 bar

Dæmi 9.10

Notkun samanlagða gaslögmálsins

Lausn

Látum 1 tákna loftið í köfunarkútnum og 2 tákna loftið í lungunum. Ef við höfum í huga að líkamshitinn (hitastig loftsins í lungunum) er 37 °C, fáum við:

\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}} ⟶ \frac{(153 atm) (13,2 L)}{(300 K)} = \frac{(3,13 atm) (V_{2})}{(310 K)}

Leyst fyrir V₂:

V_{2} = \frac{(153 atm) (13,2 L) (310 K)}{(300 K) (3,13 atm)} = 667 L

Prófaðu þig

Sýni af ammoníaki tekur 0,250 L rúmmál við rannsóknarstofuaðstæður þar sem hitastigið er 27 °C og þrýstingurinn 0,850 atm. Finndu rúmmál þessa sýnis við 0 °C og 1,00 atm.

Svar:

0,193 L